对法向量的透彻理解与灵活运用
对法向量的透彻理解与灵活运用
一、法向量概念理解
如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．
特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；
（3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=；
（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的．
二、法向量求解步骤
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：
（1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ；
（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0
=??
=?n a n b ；
（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角
直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==
||||
l n
l n ．
注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角．
2．平面与平面成角
设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12
12
12|
n n |n ||n ．
注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．
3．求点面距离
点面距离的具体求解步骤是： （1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离
问题重要公式．
四、法向量的具体应用
例1如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，1
2PM BC ==，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC
所成的角为60．
（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）求二面角M AC B --余弦值的大小． 解：（1）∵,,PC AB PC BC AB
BC B ⊥⊥=，∴PC ABC ⊥平面，
又∵PC PAC ?平面，∴平面PAC ⊥平面ABC ．
（2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -．
由题意有1,02A ?-????
，设()()000,0,0P z z >，
则()()000310,1,,,,,0,0,2
2M z AM z CP z ??
=-= ?
???，
由直线AM 与直线PC 所成的解为0
60，得
cos60AM CP AM CP =???，即200z z =
，解得01z =
∴()310,0,1,,02CM CA ??
==-
?
???
，设平面MAC 的一个法向量为n
{}111,,x y z =， 则11110
1
022
y z y z +=?-=??，取11x =，得{=n （正方向）， 平面ABC 的法向量取为(
)0,0,1=m （正方向），
设m 与n 所成的角为θ，则3
cos 7
θ-=
=
?m n m n ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角，
故二面角
M AC B --． 评注：设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小．何时就是二面角的平面角？何时又是其补角？资料上（包括高考试题的答案上）如是说：由图形不难（显然）得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小，说的含糊其辞，毫无判断依据，让同学们辨别不清，对结果的处理困惑不解，往往导致错误的结果，走入了解题的一个个误区．为了让同学们思维走入清淅化，能得到一个正确的结果．在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解二面角．所谓“穿入法”就是穿入二面角l αβ--内部的平面α的法向量1n （如右图所示）方向为正方向，穿出二面角l αβ--的平面β的法向量2n 方向为负方向．根据二面角的定义，只要取二面角两个平面的法向量中的一个正方向，一个负方向，则两法向量所夹角12,<>n n 即为二面角的平面角，由公式
12
1212cos ,||||
<>=
n n n n n n 便可轻松求出．如果两个法向量都取正方向（或负方向），则12,<>n n 即为所求
二面角的补角．
例2如图，是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知
11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．
（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小；
解：（1）以1B 为原点建立空间直角坐标系，
则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ?
? ???
，，， 1102OC ??=- ???
，，．
易知，n (001)=，，是平面111A B C 的一个法向量．
因为OC 0=n ，OC ?平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．
（2）(012)AB =--，
，，(101)BC =，，， 设m ()x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则
则AB 0=m ，BC 0=m 得：20
0y z x z --=??
+=?
取1x z =-=，(121)=-，，m （负方向）
． 显然，l (110)=，，为平面11AAC C 的一个法向量（正方向）
． 所以,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小，
而cos ,2<>=
==?m l m l m l ， 所以二面角1B AC A --的大小是30?．
11
1
x
评注：用“穿入法”确定法向量方向求解二面角，体现了“数”与“形”的结合，淡化了传统立体中的“形”到“形”的推理方法，也避免了处理结果中对所求角为二面角还是其补角的判断，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，易于接受，是用向量法求二面角的独到之处．