解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案
解三角形
【考纲说明】
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
【知识梳理】
一、正弦定理
1、正弦定理：在△ABC 中，R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB
C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c
A B C R R R
=
== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）
2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C
++====++.
3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC
abc S ah ab C ac B bc A R A B C R
?====== 4、正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理
1、余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=?bc
a
c b A 2cos 2
2
2
-+=
B ac a c b cos 22
2
2
-+=?ca
b a
c B 2cos 2
2
2
-+=
C ab b a c cos 22
2
2
-+=?ab
c b a C 2cos 2
22-+=
2、余弦定理可以解决的问题：
（1）已知三边，求三个角；（解唯一）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：
（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.
图1 图2 图3 图4
2、方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角
相对于某一正方向的水平角（如图3）.
4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）
【经典例题】
1、（2012天津理）在ABC ?中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．725
-
C ．725
±
D ．
2425
【答案】A 【解析】
85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，
所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525
B B
C B B ≠∴=
==-=. 2、（2009广东文）已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==
75A ∠=o ，则b =
( )
A ．2
B ．4
＋ C ．4
— D
【答案】 A
【解析】0
sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304
A ==+=+=
由a c ==
可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2
B =
由正弦定理得1
sin 2sin 2a
b B A
=
?==,故选A
3、（2011浙江）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )
A ．-
12 B ．1
2
C ． -1
D ． 1 【答案】D
【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2
sin cos sin =，
∴1cos sin cos cos sin 2
2
2
=+=+B B B A A .
4、（2012福建文）在ABC ?中,
已知60,45,BAC ABC BC ∠=?∠=?=则AC =_______.
【解析】由正弦定理得
sin 45AC AC =?=?
5、（2011北京）在ABC 中，若1
5,,sin 43
b B A π
=∠=
=，则a = . 【答案】
3
2
5 【解析】：由正弦定理得
sin sin a b A B =又1
5,,sin 43b B A π=∠==
所以5,13sin 34
a a π==6、（2012重庆理）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a
b
c ,且35
cos ,cos ,3,513
A B b ===则c =______ 【答案】14
5
c =
【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513
A B A B =
=?==, 由正弦定理sin sin a b A B
=
得43sin 13512sin 513
b A a B ?
===, 由余弦定理2222142cos 25905605
a c
b b
c A c c c =+-?-+=?=
7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.
己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ； （Ⅱ）若0
75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I
）由正弦定理得222
a c
b +=
由余弦定理得2
2
22cos b a c ac B =+-.
故cos B =
，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=
+4
=
故sin 1sin A a b B =?
==+ sin sin 602
6sin sin 45
C c b B =?
=?=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知
3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
（1）求cosA;
（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.
【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()1
1cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=??-=-??
+=-??
?-=-
??
则1cos
3A =. （2）由（1）得sin A =
,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291
cos 2123
b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,
①②两式联立可得32b a =???=??或3
2
a b =???=??.
9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，
12cos()0B C ++=，求边BC 上的高
.
【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1
cos 2
A =
， 又0° 在△ABC 中，由正弦定理 sin sin a b A B =得sin 602sin b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 75 2sin(4530)= + 45cos30cos 45sin 30)= + 1)2==10、（2012辽宁理）在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列. （I ）求cos B 的值; （Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知1 2,,,cos 3 2 B A C A B C B B π π=+++=∴= = （Ⅱ）解法一：2 b a c =，由正弦定理得2 3sin sin sin 4 A C B == ， 解法二：222222 1,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac +-+-====，由此得22 a b ac ac +-=，得a c = 所以3,sin sin 3 4 A B C A C π === = 【课堂练习】 1、（2012广东文）在ABC ?中,若60A ∠=?,45B ∠=?,BC =,则AC =（ ） A ． B ． C D 2、（2011四川）在△ABC 中，222 sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ） A ．(0,]6 π B ．[,)6 π π C ．(0,]3 π D ．[,)3 π π 3、（2012陕西理）在ABC ?中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ） A B C ．12 D ．1 2 - 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小 值为（ ） A ． 2 3 B ． 2 2 C ． 2 1 D ．21- 5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( ) A ． 3 B ．6 C ．3 D ．6 6、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b （ ） A ． B ． C D 7、（2012湖北文）设ABC ?的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且 A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（ ） A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 8、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0 75,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距 离是 千米。 9、（2012重庆文）设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、,且1 cos 4 a b C ==1，=2，,则sin B =____ 10、（2012北京文）在△ABC 中,若3a = ,b =3 A π ∠= ,则C ∠的大小为___________. 11、（2012陕西文）在三角形ABC 中,角A,B,C 所对应的长分别为a,b,c,若a=2 ,B=6 π ,则b=______ 12、（2012北京理）在△ABC 中,若2a =,7b c +=,1 cos 4 B =- ,则b =___________. 13、已知△ABC 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________. 14、如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？ 15、（2009安徽理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB= 1 3 . （I ）求sinA 的值； （II ）设 ，求?ABC 的面积. 16、（2012安徽文）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且有2sin cos sin cos cos sin B A A C A C =+ （Ⅰ）求角A 的大小; （II ） 若2b =,1c =,D 为BC 的中点,求AD 的长. 17、（2011江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+ π 求A 的值； （2）若c b A 3,3 1 cos ==，求C sin 的值. 18、（2012天津文）在ABC ?中,内角,,A B C 所对的分别是,,a b c . 已知2,a c A ===. （I ）求sin C 和b 的值; （II ）求cos(2)3 A π + 的值. 19、（2010陕西）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距C 点的救援船立即即前往营救， 30? 45? 75? A C D 15? 其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？ 20、我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知 6000CD =米，45ACD ∠=?，75ADC ∠=?，目标出现于地面点B 处时，测得30BCD ∠=?，15BDC ∠=?（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）. 【课后作业】 1、（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = ( ) A ．1213 B ．513 C ． 513- D ． 1213 - 2、（2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ?中，12 cot 5 A =-， 则cos A = ( ) A. 1213 B.513 C.513- D. 1213 - 3、（2012湖南文）在△ABC 中,BC=2,B =60°,则BC 边上的高等于（ ） A B C D 4、在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B ·sin C ，则角A 等于（ ） A ． π3 B ． 2π3 C ． 3π4 D ． 5π 6 5、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 6、在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于 ( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7、（2009湖南文）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则 cos AC A 的值等于 ，AC 的取值范围为 . 8、（2012湖北理）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________. 9、在△ABC 中，已知c ＝10 2 ，C ＝60°，a ＝2033，则∠A ＝ . 10、在△ABC 中，已知三边满足（a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则∠C 等于 . 11、在△ABC 中，若 a 2b 2 ＝tan A tan B ，则△ABC 是 . 12、在△ABC 中，已知B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，那么此三角形的最大边的长是 . 13、在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝ 3 sin A sin C ，求B 的度数. 14、如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB . 15、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2 2 2a c b -=，且 sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b. 16、（2009浙江理）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =，3AB AC ?=． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 17、已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列，又三边a 、b 、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三 角形. 18、（2011山东） 在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c a B b --= ， （Ⅰ）求 sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1 cos ,24 B b ==，求AB C ?的面积S 。 19、某观测站C 在目标A 南偏西25?方向，从A 出发有一条南偏东35?走向的公路，在C 处测得公路上与C 相距31千米的B 处有一人正沿此公路向A 走去， 走20千米到达D ，此时测得CD 距离为21千米，求此人所在D 处距A 还有多少千米？ 20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为 180km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为' 1830?，经过120秒后又看到山顶的俯角为81?，求山顶的海拔高度（精确到1m ）. A C D 31 21 20 35? 25? 东 北 A B D M 【参考答案】 【课堂练习】 1-7、BCCCD DD 8 9、 4 10、 2 π 11、2 12、4 13、4 - 14、10 2 km 15、sin 3A = ， ABC S = 16、,3 A AD π == 17、1 ,sin 33 A C π = = 18、sin C ，1b = cos(2)3A π+= 19、需要1小时 20、 【课后作业】 1-6、DDBBDA 7、2，)3,2( 8、 23 π 9、45° 10、60° 11、等腰或直角三角形 12、5 2 13、B ＝150° 14、562 15、40(b b ==或舍） 16、1 sin 22ABC S bc A ?∴= =， a ∴=17、证法一：∵A 、B 、C 成等差数列，则2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°， 再由a 、b 、c 成等比数列，可得b 2＝ac ， 因此用余弦定理 b 2＝a 2＋ c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac ·1 2 ， 即（a －c ）2＝0，∴a ＝c ，A ＝C 又B ＝60°，∴△ABC 为正三角形. 18、 sin 2sin C A =，S =19、15千米 20、18130m 解三角形(1)---正弦定理 【定理推导】 如图1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ （2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？ 如图1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数 中正弦函数的定义，有a sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C ==。 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况） 如图1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即 sin sin = a c A C 证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴ 2sin sin a a CD R A D ===， 同理：sin b B =2R ，sin c C ＝2R 同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC == 类推：当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的探究过程，可得以下定理： c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) 1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是() A．8B．217 C．6 2 D．219 解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219. 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为() A. 57 19 B. 21 7 C. 3 38D．－ 57 19 解析：选A.c2＝a2＋b2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19. ∴c＝19. 由a sin A＝ c sin C得sin A＝ 57 19. 3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________． 解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a2 2·2a·2a＝ 7 8. 答案：7 8 4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac cos B. ∵B＝60°，2b＝a＋c， ∴(a＋c 2) 2＝a2＋c2－2ac cos 60°， 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. ∴△ABC是正三角形． 法二：根据正弦定理， 2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°， ∴C＝120°－A， ∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)， 整理得sin(A＋30°)＝1， ∴A＝60°，C＝60°. ∴△ABC是正三角形． 课时训练一、选择题 1．在△ABC中，符合余弦定理的是() A．c2＝a2＋b2－2ab cos C B．c2＝a2－b2－2bc cos A C．b2＝a2－c2－2bc cos A D．cos C＝a2＋b2＋c2 2ab 解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题． 2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是() A.12 13 B. 5 13 《解三角形》 一、 正弦定理：sin sin sin a b c A B C ===2R 推论：(1) ::sin :sin :sin a b c A B C = (2) a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC (3) sin =,sin =,sin = 222a b c A B C R R R 1. 在△中，若，则= 2. 在△中，a =b=6, A=300 ,则B= 3. 【2013山东文】在中，若满足，，，则 4.【2010山东高考填空15题】在△ABC 中a ，b=2，sinB+cosB ，则A=？ 5.【2017全国文11】△ABC 中，sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =？ 6. 在△ABC 中, C =90o , 角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.则 a b c +的取值范围是？ 二、余弦定理：222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 推论 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 1. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值 2. 在△ABC 中，若则A= 3. 【2012上海高考】在中，若，则的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 4.【2016山东文科】ABC △中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，,b c = 22 2(1sin )a b A =-, 则A =? （A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6 余弦定理详解 余弦定理定义及公式 余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。 a2=b2+c2-2bccosA 余弦定理证明 如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到： 将等式同乘以c得到： 运用同样的方式可以得到： 将两式相加： 向量证明 正弦定理和余弦定理 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。 余弦定理 是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三 边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起 来更为方便、灵活。 直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值 在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF?EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的中ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是_____． 答案: ． 解析: 由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论 解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角 故答案为： 证明如下：如图斜三棱柱ABC-A1B1C1 设侧棱长为a 做面EFG垂直于侧棱AA1、BB1、CC1，则∠EFG=θ 又∵ 在△EFG中，根据余弦定理得：EG2=EF2+FG2-2EF?FG?COSθ 学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b 4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求 《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用： 例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C =， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ?= == ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ?= ===?= 总结升华： 1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题； 2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三： 【变式1】在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0 sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在?ABC 中，已知075B =，0 60C =，5c =，求a 、A . 【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60 o o a =，∴56a =【变式3】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ?= ==中，，求：a 和A ，C ． 思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a . 余弦定理 一、教材分析 本节主要研究xxxxxx，分两课时，这里是第一课时。它是在学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解三角形的基础上进行学习的。通过利用平面几何法、坐标法(两点的距离公式)、向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理，学生会正确理解余弦定理的结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”问题，体会方程思想，理解余弦定理是勾股定理的特例, 从多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质,激发学生探究数学，应用数学的潜能，培养学生思维的广阔性。 二、学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了"边"和"角"的互化，从而使"三角"与"几何"有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了"已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形"，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完 1.1.1 解三角形之正弦定理2 2015.03.17 命题人——王峰 班级 姓名 学号 一、选择题 1．在△ABC 中，若∠B ＝135°，AC ＝2，则BC sin A ＝ ( ) A ．2 B ．1 C ． 2 D ．2 2 2．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433 ，则∠A 的大小为 ( ) A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 3．已知△ABC 的面积为3 2，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝ ( ) A ．32 B ．12 C ．34 D ． 3 4．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为 ( ) A ．22 B ．24 C ．32 D ．3＋14 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为 ( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 6．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝ ( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶6 7．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 *8．[2013·辽宁理，6]在△ABC 中，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a >b ，则B ＝ ( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π 6 二、填空题 9．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π 4，cos A ＝5 5，则sin A ＝________；a ＝________． 10．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________； (2)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________． 11．(1)在△ABC 中，若b ＝a cos C ，则△ABC 是___________三角形； (2)在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是______________三角形； 正弦定理 教学重点：正弦定理 教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用,边角转化。多解问题 1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即 A a s i n = B b sin =C c sin 2. 三角形面积公式 在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 3.正弦定理的推论： A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 4.正弦定理解三角形 1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； 2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 3）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:（多解情况） ○ 1若A 为锐角时: ??? ?? ? ?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a 已知边a,b 和∠A 有两个解 仅有一个解无解 CH=bsinA 2、ΔABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin A=，b=sin B，则a等于 ( D ) A．3B．C． D． 1. 在ABC ?中，若sin 2sin 2A B =，则ABC ?一定是( ) 3.在Rt △ABC 中，C= 2 π ，则B A sin sin 的最大值是_______________. [解析] ∵在Rt △ABC 中，C= 2 π ，∴sin sin sin sin( )2 A B A A π =-sin cos A A = 1sin 22A = ，∵0,2A π<<∴02,A π<<∴4A π=时，B A sin sin 取得最大值12 。 4. 若ABC ?中，10 10 3B cos ,21A tan == ，则角C 的大小是__________ 解析 11 tan ,cos ,sin tan 23A B O B B B π==<<∴=∴= tan tan 3tan tan()tan()1,tan tan 14 A B C A B A B O C C A B π ππ+∴=--=-+= =-<<∴=- 7.在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =， sin 2c C R = 。 所以由2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R =?，即：2 a bc =。 又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。 ６．在ABC ?中， b A a B sin sin <是B A >成立的 ( C ) Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 1.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2 答案 D 3.下列判断中正确的是 （ ） 利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。 例题设计一： 已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。 （1）∠A＝60°∠B=45° a＝10 （2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10 （1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2 （2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a=== b=== 这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一： 设计意图：巩固当堂内容 已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B. 解：∵，∴a＝，∠B＝180°- （∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b ＝＝20sin75°=20×=5+5. 例题设计二： 已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1） （1） a=3 b=4 ∠A＝30° （2） a=b＝6 ∠A＝120° （3） a=2 b=3 ∠A＝45° （1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理 知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A， ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°； 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°， c＝＝≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°， 正弦定理 【基础知识点】 1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2 1ca sin B ； sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=-cosC, sin(A+B)/2=cosC/2, cos(A+B)/2=sinC/2 2．三角形中的边角不等关系: A>B ?a>b,a+b>c,a-b 余弦定理练习题 1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝1 3 ，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6 D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2 ＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° ? 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2 )tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π 3 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．2 3 或2 3 D ．2 ~ 9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝1 3 ，S △ABC ＝43，则b ＝________. 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 2 4 ，则角C ＝________. 16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2 －23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长． ` 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为1 6 sin C ，求角C 的度数． ： 19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π 4 )的值． 20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状． — 第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 （1）在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；a ＋b >c ，a －b 正弦定理、余弦定理综合应用 例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ， 由ABC △为锐角三角形得π6B = ． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ???1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<， 所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，． 例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数． 解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=， 两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ， 所以60C =o ． 例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ， 且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值； 解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长. 《正弦定理、余弦定理、解斜三角形》 一、复习要求 ： 1． 掌握正弦、余弦定理，能运用知识解斜三角形。 2． 用正弦、余弦定理判断三角形的形状。 二、知识点回顾 （1） 正弦定理：,22sin sin sin ? ====S abc R C c B b A a （2R 为三角形外接圆直径）， （?S 为三角形面积），其他形式： a ：b ：c = sinA ：sinB ：sinC a=2RsinA, b=2RsinB , c=2RsinC (2) 余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,(可按a,b,c,a 轮换得另二式) 余弦定理变式：bc a c b A 2cos 2 22-+= , (轮换得另二式) 余弦定理向量式：如图 a=b+ c , c= a – b c 2=|c|2=|a-b |2=(a-b)2=a 2+b 2 - 2﹒a ﹒b =a 2+b 2 - 2abcosC (其中｜a|=a,|b|=b,|c|=c) 三、典型例题分析： 例1：在三角形ABC 中，若C=3B ，求b c 的范围 分析：角边比转化，可用正弦定理 解：1cos 4cos 22cos sin ) 2sin(sin 3sin sin sin 2-=+=+===B B B B B B B B B C b c A+B+C=1800 ，C=3B ， ∴４Ｂ<１８００，００<Ｂ<４５０， 1cos 22 <C ,且b 2+c 2 =a 2+bc, 求A ，B ，C 。 解：21 22cosA 2 22==-+=bc bc bc a c b ， ∴ A=600 又 4sinBsinC=1 ∴4sinBsin(1200-B)=11 sin 22sin 31)sin 21 cos 23 (sin 42=+?=+?B B B B B B con B 22sin 3=? ∴33 2t a n =B ∴2B=300 或2100 B>C , ∴2B=2100 即 B=1050 ∴A=600 B=1050 C=150 练习2：在?ABC 中，2B=A+C 且tanAtanC=2+3 求（1）A 、B 、C 的大小 （2） 若AB 边上的高CD=43，求三边a 、b 、c 例３：如图，已知Ｐ为?ABC 内一点，且满足∠ＰＡＢ ＝∠ＰＢＣ＝ ∠ＰＣＡ＝θ 求证cot θ=cotA+cotB+cotC C A B a c b θ A B C P θ θ 解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理：在△ABC 中，R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△AB C 外接圆半径）。 2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一） （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 二、余弦定理 1、余弦定理：A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.解三角形(1)---正弦定理
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