江苏省2020年高考数学说明典型例题(教师版)
2020年江苏省高考说明
-----典型题示例
(一)填空题
1．函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【解析】本题主要考查对数函数的单调性．本题属容易题. 【答案】+∞1（－，）
2
. 2．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 为虚数单位），则z 的实部是_______. 【解析】本题主要考查复数的基本概念、基本运算．本题属容易题. 【答案】1.
3．设集合{1,1,3}A =-，2
{2,4}B a a =++，{3}A B ?=，则实数a 的值为_______. 【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识．本题属容易题. 【答案】1.
4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是______.
【解析】本题主要考查古典概型．本题属容易题. 【答案】
13
. 5．某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据均在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根棉花纤维中，有 根的长度小于20mm.
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计．本题属容易题. 【答案】30
6．右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是________. 【解析】本题主要考查算法流程图的基础知识．本题属容易题. 【答案】63.
7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若11a =，公差2d =，22k k S S +-=， 则正整数k =________.
【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和与其通项的关系等基础知识． 本题属容易题. 【答案】5.
8．设直线1
2
y x b =
+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法．本题属中等题. 【答案】ln21-.
(第6题)
(第5题)
9．函数??,,)(sin()(w A wx A x f +=是常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则)0(f 的
值为________.
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质， 考查特殊角的三角函数值．本题属中等题.
【答案】2
6.
10．已知→
→
21,e e 是夹角为3
2π
的两个单位向量，.,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=?→→b a ，则实
数k 的值为________.
【解析】本题主要考查平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识．本题属中等题. 【答案】
4
5. 11．在平面直角坐标系xOy 中,曲线2
61y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上,则圆C 的方程为 .
【解析】本题主要考查圆的方程等基础知识，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力．本题属中等题.
【答案】2
2
6210.x y x y +--+=
12．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2
y xz
的最小值是 .
【解析】本题主要考查代数式的变形及基本不等式等基础知识．本题属中等题. 【答案】3.
13．已知函数21,0,()1,
0,x x f x x ?+≥=?
(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围
是 .
【解析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，简单不等式的解法，以及数形结合与分类讨论的思想.考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力．本题属难题. 【答案】).12,1(-- 14
．满足条件2,AB AC ==
的三角形ABC 的面积的最大值是_________.
【解析】本题主要考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力．本题属难题. 【答案
】. （二）解答题 15．在?ABC 中，C －A=
2
π
，sinB=13.
（1）求sinA 的值；
（2）设AC=6，求?ABC 的面积.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力．本题属容易题.
【参考答案】
（1）由A B C π++=及2
C A π
-=
，得22A B π=-，故04A π<<，
并且cos 2cos(
)sin 2A B B π
=-=，即21
12sin 3
A -=，得3sin 3A =. （2）由（1）得36cos =
A .又由正弦定理得sin sin AC BC
B A
=， 所以sin 32sin AC A BC B ?=
=.因为2
C A π
=+，所以6sin sin()cos .23C A A π=+==
因此，116
sin 6323 2.223
ABC S AC BC C ?=
??=???= 16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900
. （1）求证：PC ⊥BC ；
（2）求点A 到平面PBC 的距离.
【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空
间想象能力、推理论证能力和运算能力．本题属容易题. 【参考答案】
（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900
，得BC ⊥DC.又PD DC D ?=，
PD ?平面PCD ，DC ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD.
因为PC ?平面PCD ，所以PC ⊥BC.
（2）如图，连结AC.设点A 到平面PBC 的距离h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900
，所以∠ABC=900
. 从而由AB=2，BC=1，得ABC ?的面积1212
1
=??=
?ABC S . 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积11
.33
ABC V S PD ?==g 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1，所以2=
PC .
(第16题（1）)
由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ?的面积2
2=?PBC S . 由111
3323
PBC V S h h ?=
==g
，得h =因此点A 到平面PBC
17．请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所
示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
（1）某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？
（2）若厂商要求包装盒的容积V(cm 3
)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面
边长的比值.
【解析】本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力．本题属中等题. 【参考答案】
设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).
由已知得a =
，)h x =
=-，
030.x <<
（1）2
48(30)8(15)1800S ah x x x ==-=--+（030x <<），所以当x=15时，S 取得最大值.
（2
）232
30)(030)V a h x x x ==-+<<，)20(26'x x V -=.
由'0V =得0x =（舍），或20.x =
当200< 12 a h =. 由题设的实际意义可知20=x 时，V 取得最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为12 . 答案：（1）x=15cm 时包装盒的侧面积S(cm 2 )最大； P (第17题) （2）20=x cm 时包装盒的容积V(cm 3)最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12 . 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的直线 交椭圆 12 42 2=+y x 于P 、A 两点，其中点P 在第一象限. 过P 作x 轴的垂线，垂足为C.连接AC ，并延长交椭圆于 点B.设直线PA 的斜率为k. （1）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离； （2）对任意k>0，求证：PA⊥PB . 【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、直线的垂直关系以及点到直线的距离等 基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力．本题属中等题. 【参考答案】 （1）由题设知直线PA 的方程为2y x =，代入椭圆方程得224142x x +=，解得23 x =±， 所以2424(,),(,)3333P A --.于是2(,0)3 C ，从而得直线AC 的斜率为 4 0312233 + =+， 直线AB 的方程为2 03 x y -- =.因此，点P 到直线AB 3 = （2）解法一：将直线PA 的方程y kx =代入1242 2=+y x ，解得x =记μ = ，则(,)P k μμ，(,)A k μμ--. 于是(,0)C μ，从而直线AB 的斜率为 02k k μμμ+=+，其方程为()2 k y x μ=-. 代入椭圆方程得222 2 2 (2)2(32)0k x k x k μμ+--+=， 解得22 (32) 2k x k μ+= +或x μ=-.所以23 2 2 (32) ( , )22k k B k k μμ+++ . (第18题) 于是直线PB 的斜率3 3221222 2 (2)12(32)32(2) 2k k k k k k k k k k k k μμμμ --++===-++-+-+， 得11k k =-.故PA PB ⊥. 解法二：设1122(,),(,),P x y B x y 则12120,0,,x x x x >>≠111(,),(,0)A x y C x --，且1 1 y k x =. 设直线,PB AB 的斜率分别为12,.k k 因为C 在直线AB 上，所以1121110().()22 y y k k x x x --= ==-- 从而21211121121() 12121()() y y y y k k k k x x x x ---+=+=+----g g 22222221221122222 2 21212122(2)(2)4410y y x y x y x x x x x x -+-+-=+===---， 得11k k =-.故PA PB ⊥. 19．（1）设12,,,n a a a L 是各项均不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列. （i ）当4=n 时，求 d a 1 的数值；（ii ）求n 的所有可能值. （2）求证：存在一个各项及公差均不为零的)4(≥n n 项等差数列，任意删去其中的k 项 (13)k n ≤≤-，都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列． 【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力．本题属难题. 【参考答案】 首先证明一个“基本事实”： 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差00=d . 事实上，设这个数列中的连续三项00,,d a a d a +-成等比数列，则 ),)((002d a d a a +-=由此得2022d a a -=,故.00=d （1）（i ）当4=n 时，由于数列的公差0d =/，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为2 a 或3a ． ①若删去2a ，则由431,,a a a 成等比数列，得)3()2(1121d a a d a +?=+. 因,0=/d 故由上式得,41d a -=即 .41 -=d a 此时数列为,3,4d d --,,2d d --满足题设． ②若删去3a ,则由421,,a a a 成等比数列,得).3()(1121d a a d a +?=+ 因,0=/d 故由上式得,1d a =即.11 =d a 此时数列为d d d d 4,3,2,,满足题设． 综上可知 d a 1 的值为4-或1． （ii ）当6≥n 时，则从满足题设的数列n a a a a ,,,,321Λ中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列 n a a a a ,,,,321Λ的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数.5≤n 又因题设 ,4≥n 故4=n 或5． 当4=n 时，由（i ）中的讨论知存在满足题设的数列． 当5=n 时，若存在满足题设的数列54321,,,,a a a a a ,则由“基本事实”知，删去的项只能是3a ，从 而 5 421,,,a a a a 成等比数列，故 ), 3()(1121d a a d a +?=+及 ).4)(()3(1121d a d a d a ++=+ 分别化简上述两个等式，得2 1d d a =及,52 1d d a -=故0d =，矛盾． 因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列． 综上可知n 只能为4． （2）我们证明：若一个等差数列)4(,,,21≥n b b b n Λ的首项1b 与公差d '之比值为无理数，则此等差数列满足题设要求． 证明如下： 假设任意删去等差数列)4(,,,21≥n b b b n Λ中的)31(-≤≤n k k 项后，得到的新数列(按原来的顺序)构成等比数列，设此新数列中的连续三项为 +1b ), 10(,,32131211-≤<<≤'+'+'n m m m d m b d m b d m 于是有 ),)(()(3111221d m b d m b d m b '+'+='+化简得d b m m m d m m m '-+='-12312312 2)2()( (*) 由01=/'d b 知，3122m m m -与2312m m m -+同时为零或同时不为零． 若,02231=-+m m m 且,0312 2=-m m m 则有,0)2 ( 312 31=-+m m m m 即,0)(2 31=-m m 得,31m m =从而,321m m m ==矛盾． 因此，2312m m m -+与3122 m m m -都不为零，故由(*)式得 ?-+-='2 31312212m m m m m m d b (**) 因为321,,m m m 均为非负整数，所以(**)式右边是有理数，而d b ' 1 是一个无理数， 所以(**)式不成立．这就证明了上述结果． 因12+是一个无理数，因此，取首项,121+= b 公差'1d =，则相应的等差数列 )4(2,,32,22,12≥++++n n Λ是一个满足题设要求的数列．