上海历年中考数学压轴题复习[试题附答案解析]

历年中考数学压轴题复习

2001年市数学中考

27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．

图8

①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．

（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．

27．（1）①证明：

∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠

ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．

②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得

DC

PD AP AB =

，即252x

x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．

（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴

DQ AP PD AB =．即y

x x +=

-252，得22

5

212-+-=x x y ，1＜x ＜4．

②AP ＝2或AP ＝3－5．

（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）

市2002年中等学校高中阶段招生文化考试

27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）

27．

图1 图2 图3

（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．

∴ NP ＝NC ＝MB ． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ ＝90°，∴ ∠QPN ＋∠BPM ＝90°．

而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ． （2）解法一

由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ． ∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝

x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 2

2

， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·

x 2

2

＝1－x 2． 得S △PBC ＝

21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝2

1－42x ． ………………（1分） S △PCQ ＝

21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－

x 22）＝21－x 423＋2

1x 2

（1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝

2

1x 2

－x 2＋1． 即 y ＝2

1x 2

－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分）

解法二

作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形．

∴ PT ＝CB ＝PN ．

又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ． S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN …（2分）

＝CN 2

＝（1－x 22）2＝2

1x 2

－x 2＋1 ∴ y ＝

2

1x 2

－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）

（3）△PCQ 可能成为等腰三角形

①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形， 此时x ＝0 ……………………（1分） ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3） ……………………（1分） 解法一 此时，QN ＝PM ＝

x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－

x 2

2． ∴ CQ ＝QN －CN ＝

x 22－（1－x 2

2

）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分） 解法二 此时∠CPQ ＝

2

1

∠PCN ＝22.5°，∠APB ＝90°－22.5°＝67.5°， ∠ABP ＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB ＝∠ABP ，

∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）

市2003年初中毕业高中招生统一考试

27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC 于点F，G为切点：

（1）当∠DEF＝45o时，求证：点G为线段EF的中点；

（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D

1EF，如图，当EF＝

6

5

时，讨论△AD

1

D与△ED

1

F是

否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

2004年市中考数学试卷

27、（2004?）数学课上，老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为x C、x D，点H的纵坐标为y H．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3 ②数值相等关系：x C?x D=﹣y H

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t ＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么x C、x D与y H有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）

考点：二次函数综合题。

专题：压轴题。

分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；

（2）（3）的解法同（1）完全一样．

解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），

由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，

故点M的坐标为（2，2），

所以S△CMD=1，S梯形ABMC=

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b，

则，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．

由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），y H=﹣2

因为x C?x D=2，

所以x C?x D=﹣y H，

即结论②成立；

（2）（1）的结论仍然成立．

理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），

由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，

故点M的坐标为（2t，2t2），

所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b，

则，

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；

由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），y H=﹣2t2

因为x C?x D=2t2，

所以x C?x D=﹣y H，

即结论②成立；

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），

设直线CD的解析式为y=kx+b，

则：，