第十一讲同余问题

第十一讲同余问题

当整数a不能被非零的整数b整除时，一定存在a÷b=m....n, m为a 除以b的商，n 为a除以b的余数（0＜n＜b）m、n为整数。由于被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数除法。

36÷5=7 (1)

37÷5=7 (2)

38÷5=7 (3)

39÷5=7 (4)

40÷5=7....5 也可以表示为 40÷5=8. 0

通过观察上面的几个等式我们发现：当余数等于零或者余数等于除数时，表示整除。所以在带余数的除法中一定存在：①余数必须大于0小于除数；

②被除数=商×除数+余数；

③余数最大为：除数-1；

④余数最小为1。

例题一：在带余数的除法中a÷4=5....b,被除数a最大为多少？a最小为多少？

分析：当余数比除数小1时，被除数最大。即b=4-1=3时，a最大a=5×4+3=23,当余数等于１时，被除数最小。即b=1时，a最小。a=4×5+1=21.

练习一

1、在带余数的除法中a÷20=5....n，被除数a最大为多少？a最小为多少？

2、：在带余数的除法中a÷b=5....9，b最小为多少？此时a为多少？

考察带余数除法的题型中，数论推理题通常是考察的重点，而要解决这类题，就需要我们认清带余数除法的本质，以及如何把带余数的除法等式进行变化来方便解题。

观察下面的几个等式：

36÷5=7....1 （36-1）÷5=7

37÷5=7....2 （37-2）÷5=7

38÷5=7....3 （38-3）÷5=7

39÷5=7....4 （39-4）÷5=7

通过观察可以总结为：

除数和商都是（被除数-余数）的约数；

（被除数-余数）是除数和商的倍数。

根据上面的总结，在带余数的除法中，如果余数相同，则可以通过求几个数的公约数或公倍数来解题，当余数不相同时，也可以通过某些方法把余数转化相同。

例题二：如果我们按照每一行10人排队，9人排队，8人排队，人数都刚刚排完。那么最少有多少人？

分析：按照不同人数排列，可是排列的队形的人数都刚刚好，说明总人数应该是各种排列的人数的公倍数。

解得：【10、9、8】最小公倍数为：360。

[余数相同]

练习二

1、如果我们按照每一行10人排队剩1人，9人排队剩1人，8人排队剩1人。那么最少有多少人？

2、六一儿童节老师买来一袋糖发给同学，如果每人7颗少3颗，每人9颗少3颗，每人12颗少3颗，那么老师至少买来多少糖？

3、如果我们按照每一行10人排队剩1人，9人排队剩1人，8人排队剩1人。人数在700—800之间，那么有多少人？

小结：（1）被除数和余数相同的几个除法算式中，被除数=几个除数或商的公倍数+余数。（2）除数和余数都相同的几个除法算式中，除数=几个被除数分别减去余数再求公约数。（3）余同加余，最小公倍数做周期。

【余数不相同】在带余数的除法中，通常会通过变型把几个等式的余数变成相同，方便

解题。余数通常可以变化为：余数+除数的倍数

如36÷5=7....1 可以表示为：36÷5=6....5×1+1

36÷5=5....5×2+1

36÷5=4....5×3+1

如何把几个等式的余数转化为相同：

39÷5=7....4 可以变化为：39÷5=（7-1）....（4+1×5）余数转化为9

39÷6=6....3 可以变化为：39÷6=（6-1）....（3+1×6）余数转化为9

练习：把下面等式的余数转化为相同

65÷7=9....2 37÷3=12. (5)

37÷6=6....3 65÷8=8. (3)

通过前面几讲的学习，我们已经知道当在带余数除法的数论推理题中，如果余数相同可以直接根据求公约数或者公倍数的方法来求。但是在一些考试题中，余数都是不相等的，在余数不相等的题中，我们往往是通过转换，把余数转化为相同。即解题步骤可以归纳为：解题步骤：余数变相同—去掉余数—变整除—求公倍数（或公约数）—加余数通常带余数的除法题型按照问题求的什么可以分为两类：求被除数的题型、求除数的题型。

一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，这样的数总可以表示为：

几个除数的最小公倍数×N+余数（把最小公倍数作为周期，Ｎ为整数）

例题三：一个三位数除以5余4，除以6余3，除以7余2，这个数最小是多少？

分析：设这个数为m，则可以把题意用式子可以表示为：

m÷5= (4)

M÷6= (3)

M÷7= (2)

可以把这个式子都转化为： m÷5= ....（4+5）

M÷6= ....（3+6）

M÷7= ....（2+7）

如果把M减去9，就刚好转化为余数等于0，即：刚好能被5、6、7整除。所以这个数就应该等于5,6,7的公倍数加9。5、6、7的最小公倍数为5×6×7=210这个数可以表示为：210N+9，题中要求这个数为三位数且最小，所以当N=1时成立。这个数为：210×1+9=219。

观察变型3可以发现一个非常重要的特点：几个除数与它们余数的和相等（都是9）,

我们把这种情况称作“和同”即除数与余数的和相等。解题时是用这几个除数的公倍数的倍数加上这个“和”。

小结：和同加和，最小公倍数做周期。

练习三

1、一个三位数除以6余3，除以5余4，除以7余2，这个三位数最大是多少？

2、一个三位数被ll除余l0，被6除余4，被4除余2，这个三位数最小是多少?

例题四：一个三位数除以5余3，除以6余4，除以7余5，这个数最小是多少？

分析：设这个数为m，则可以把题意用式子可以表示为：

m÷5= (3)

m÷6= (4)

m÷7= (5)

可以把这个式子都转化为: (m+2)÷5= ....(3+2)

(m+2)÷6= ....(4+2)

(m+2)÷7= ....(5+2)

把m加上2后刚好能被5,6,7整除，所以这个数可以表示为5,6,7的最公倍数减去2。即可以表示为：210N-2，题中要求这个数最小，则当N=1时符合题意。

所以这个数最小为：210×1-2=208

观察变型4可以发现一个非常重要的特点：几个除数与它们余数的差相等（都是2）,我们把这种情况称作“差同”即除数与余数的差相等。解题时是用这几个除数的公倍数的倍数加上这个“和”。

小结：差同减差，最小公倍数做周期。

以上几种情况可以总结为：余同加余，差同减差，和同加和。

练习四

1、一个两位数除以6余1，除以8余1，这个两位数最小是多少？最大是多少？

2、一个三位数除以6余4，除以5余3，除以10余8，这个三位数是多少？

余数不相同，余数与除数的差、和都不相同。

当出现的几个条件全不符合时，可以考虑把这几个条件中的几个（全部）凑成余同（和同、差同）的形式。

例题：有一堆水果要装进水果篮，5个一篮多4个，7个一篮少3个，10个一篮少6个，这堆水果最少多少个？

分析：通过观察发现不能整除，有余有缺，需要凑成和同或者差同，即都可以看成“多4个”，求出最小公倍数再加上4即可。

基础篇

1、有一堆棋子，3个3个地数余一个；4个4个地数也余一个；5个5个地数还余一个。堆棋子至少有几个?

2、某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少?

3、57、96和1 48被某自然数除，余数相同，且不为0，求284被这个自然数除的余数。

4、一筐苹果分给几个人，若分给5个人还剩3个，分给6个人还剩4个，分给9个人则有2人各少1个，这筐苹果至少有多少个?

5、一个数，除50余2，除65余5，除9 1余7，求这个数是多少?

提高篇

1、有这样的自然数：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了 l以外最小的数是多少?

2、有一箱水果，3个3个地数余2个，4个4个地数余3个，5个5个地数余4个，6个6个地数余5个。问这个箱子里最少有多少个水果?

3、用卡车运500多袋货物，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余5袋。这批货有多少袋？

4、有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数，按从小到大的顺序写出这类自然数的前三个？

5、某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？

第十一章第1节

第十一章 几种重要的金属 电化学 第一节 镁和铝 1．(2009·广东理基)下列有关金属及其合金的说法不正确的是 ( ) A ．目前我国流通的硬币是由合金材料制造的 B ．生铁、普通钢和不锈钢中的碳含量依次增加 C ．镁在空气中燃烧发出耀眼的白光，可用于制作照明弹 D ．日用铝制品表面覆盖着氧化膜，对内部金属起保护作用 解析：本题考查金属的相关知识，主要涉及Mg 、Al ；B 项中生铁、普通钢、不锈钢 中碳含量应是依次减少的，故B 错。 答案：B 2．下列有关镁的叙述正确的是( ) A ．镁条燃烧的火灾可用CO 2进行扑灭 B ．镁不能与水反应放出H 2 C ．镁制容器可用来装浓HNO 3 D ．镁在空气中燃烧产物并不全是MgO 解析：镁是很活泼的金属，具有强还原性，燃着的镁条能够夺取CO 2中的氧而继续燃烧，镁条也 能与水反应放出H 2，温度低时反应较慢,加热时速度可以加快。镁条在空气中燃烧不仅与氧气化 合生成MgO ，还能与少量氮气化合生成Mg 3N 2。常温时，铝在浓HNO 3中钝化，而镁则不能。 答案：D 3．镁和铝都是较活泼的金属，下列叙述正确的是( ) A ．镁不与任何金属氧化物反应，而铝可用于冶炼金属 B ．金属镁、铝作电极构成原电池时，负极反应一定为：Mg －2e －===Mg 2＋ C ．MgCl 2及AlCl 3溶液分别蒸发并灼烧，均可得到氧化镁和氧化铝 D ．历史上曾用反应3Na ＋AlCl 3=====△ Al ＋3NaCl 制铝； 现代工业用反应Mg ＋2RbCl=====800℃MgCl 2＋2Rb↑制铷，所以活动性：Mg>Rb>Na>Al 解析：氯化镁、氯化铝在溶液中均能水解，加热时水解生成的氯化氢从体系中不断逸出，生成的 氢氧化物灼烧后生成氧化物，故C 项正确；镁制取铷的反应实际上是利用铷的沸点比镁沸点低， 铷蒸气不断从体系中抽出从而制得铷，不是依据金属活动性大小置换原理，D 项不正确。 答案：C 4．把镁粉中混入的少量铝粉除去，应选用的试剂是 ( )

余数性质及同余定理(B级) 1

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 二、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 知识框架 余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同． 一、同余定理 1、定义 整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。 〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）； 〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm） 〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）； 〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm） 〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）； 〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm） 其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类： 〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数） 〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

【小学六年级奥数】第38讲 应用同余问题

第38讲应用同余问题 一、知识要点 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大 1

的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 二、精讲精练 【例题1】求1992×59除以7的余数。 应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1： 1、求4217×364除以6的余数。 2、求1339655×12除以13的余数。 2

余数及同余问题 小学五年级奥数

余数及同余问题 （一） 1、310被一个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。 2、一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是________。 3、某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小是________。 4、378×196×251除以17的余数是________。 5、若871和633两个自然数都被同一个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。 6、有一个整数，用它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。 7、一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。 8、有一个等于1的整数，用它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。 9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。 10、数713,1103,830,947被一个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。 11、一个数除以7余2，如果把被除数扩大9倍，那么余数是几？_________ 12、账本上记着买机器用去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器用去多少元吗？_________。 （二） 1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。 2、有一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。 3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。 4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。 5、有一个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。

余数与同余问题

余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余

同余的应用的开题报告

呼伦贝尔学院 本科生毕业论文开题报告题目同余的应用 专业数学与应用数学 姓名______________________彭丽霞 学号2011071115 指导教师付莉 2014年11月7日

七、论文提纲 （一）前言 同余是《算术研究》中的一个基本研究课题，这个术语来自拉丁文，同余的概念的建立和同余符号的引入大大简化了数论中的许多问题，它的引入使得无限的整数被划分为有限类。而且同余在生产、生活中也有广泛的应用，如制作万年历、循环赛程、电话电缆的 （二）提纲 一、同余 1、同余的定义 2、同余的定理 3、同余的性质 4、完全剩余系定义 5、完全剩余系定理 6、一次同余式定义 7、孙子定理 二、同余的应用 1、求最大公约数 2、检验因子 3、检验整数计算 4、检验素数合数 5、循环赛程 6、万年历 （三）结论 通过本文的论证，我们发现同余的出现给很多问题的解决提供了简便的途径。同余的性质虽然只有固定的那几条，但它却能解决许多困扰我们的问题，在解决问题时开阔了我们的思路。同余的性质易懂，但在运用其解题时有一定的困难，所以在生活中我们要仔细观察。 八、参考文献 [1]苏亚丽，杨继明.孙子定理在两个数学竞赛题的应用[J].云南：玉溪师范学院学报（第27卷），2011年第4期. [2]郭小菊.同余法求最大公约数[J].读与写杂志，2012，4. [3]潘承洞，潘承彪.初等数论[M]北京大学出版社，1992. [4]刘合义.谈数论中的同余及其应用[J].河北：衡水师范专科学校.第4卷，第11期，2002， [5]姜浩瑞.初等数论在高中数学解题中的一些应用[J].中学数学教学，2006，第5期. [6]姚磊.整除性的若干解法[J].皖西学院学报2001，5 [7]王志兰.关于同余的几个问题[J].高师理科学刊.2009，28(5)：44—46 [8]颜松远.数论及应用[J]数学实践与认知，2002，19(4)：486—508 [9]原新生.一次同余方程的几种解法[J].牡丹江教育学院学报，2009，115(3)：115 [10]陈小辉.关于同余理论在中学奥数中的应用[J].数学通讯，2001，(5)：43—46

余数性质及同余定理(B级)

一、 带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图 这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 一、 余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 余数性质及定理 知识框架

15、同余法解题

第十五讲同余法解题 一、知识要点 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，52÷24=2……4，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1、同余的表达式和特殊符号:37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。记作：37≡44(mod7),“≡”读作同余。一般地，两个整数A 和B，除以大于1的自然数M所得的余数相同，就称A、B对于模M同余，记作：A≡B(modM) 2、同余的性质 （1）A≡A(modM)（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若A≡B(modM)，那么B≡A(modM)（这称作同余的对称性） （3）若A≡B(modM)，B≡C(modM)，则A≡C(modM)（这称为同余的传递性） （4）若A≡B(modM)，C≡D(modM)，则A±C≡B±D(modM)（这称为同余的可加性、可减性）则A×C≡B×D(modM)（称为同余的可乘性） （5）若A≡B(modM)，则A n≡B n (modM)，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果A≡B(modM),那么M｜(A－B)（A－B的差一定能被M整除）,这是为什么呢？ 3、同余口诀：“差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。1）、差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：“差同减差”。例：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示为60n-3。 2）、和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为：“和同加和”。例：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，因为4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示为60n+7。 3）、余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为：“余同取余”。例：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为60n+1。

余数与同余解析

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

小学奥数同余问题

同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再 过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7 “三”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■ 2. 同余的性质 （1）-，-?:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性） （3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性） 1- 」（称为同余的可乘性） （5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果詔 -：1- ■- '■- 那么日瑤严的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ ? d；- 上） a=充7〕4鬥 盘一B =切［+ 口一（舫2 +与） 二切-切-金） k也就是■二的公约数，所以有…一- ■ k\（a -町 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

分析与解答： 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412?笳6讷化57-1辺， 说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 (巧5, 124, 279) =31 所以a最大是31 o 例2. 除以19,余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 249.2(uodl9) 388 = 8(mod 19) 234要乳m初19) 234x 388x249 = 6x8x2(mod!93 6x8x2 = 所以一 I .： 1.： 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 222 (2) ' ------ V ------ ' 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 222 (2) 吃这个数除以13,商是有规律的。 222 (2) 、-- V------- ' 1997个2 亠13= 170940170940... 商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是 我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o 余数是几呢？ 222 (2) ' ----- V ------ ' ? 199亍个2 -^13 = 170^40170940.... 1995^ 6= 332 (4) 则'丄「」_ 所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5 【模拟试题】(答题时间：20分钟) 1. 求下列算式中的余数。 111......1 222 (2)

林匹克训练题库余数与同余

余数与同余 216两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？ 217两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被 13除余几？ 218用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？ 2191111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。 220用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数 89… 这个100位数除以9余几？ 221把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？ 222求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。 223求下列各数除以11的余数： 224将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。 225已知大小两数之和是789，大数去掉个位数字后等于小数。求大数。 226分别求满足下列条件的最小自然数： (1)用3除余2，用5除余1，用7除余1； (2)用3除余1，用5除余2，用7除余2； (3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。 227一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。 228A，B，C三人绕校园一周的时间分别为6分、7分、11分。由开始点A出发后，B比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C初次同时通过开始出发的地点是在A出发后多少分钟？

229有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。问：这类自然数中最小的是几？ 230有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。 231在一个四位数除以19的竖式中，每商一次后的余数都是8。满足条件的四位数有哪些？ 232一个自然数，减去它除以7所得余数的5倍，结果是100，求原来的自然数。 233两数相除商9余4。如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，则被除数、除数、商、余数之和等于2583。求原来的被除数和除数。 234甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。问：最后一张(第54张)牌发给了谁？ 235节日的街上挂起了长长一排彩灯，从第1盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。问：第2000盏灯是什么颜色？ 236右图中，从A点出发沿顺时针方向绕正方形走，到B点拐第1个弯，在哪个点拐第67个弯？ 237某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。问：这班学生至少有多少人？ 238有一个数除以3余2，除以4余1。问：此数除以12余几？ 2392000除以自然数a的不完全商是46，求a。 240678除以一个数的不完全商是13，并且除数与余数的差是8，求除数和余数。 241从6月 25日12时起，过10000分钟后是哪月哪日的几时几分？ 242求1 2＋2 2＋…＋99 2除以4的余数。 243计算下列各式的余数： (1)81547×118÷7；(2)2758×3361÷9； (3)9642×2879×4787÷13；(4)2461×135×6047÷11；

第十八讲同余问题

第18次 同余问题 一、知识要点和基本方法 14和26这两个数虽然大小不同，但它们分别除以6所得的余数相同，我们把14和26叫做关于模6同余，记作14 ≡26（mod6）．同余最基本的性质是：几个同余式（模相同）相加、减、乘、乘方仍然同余．应用同余性质，可以很简便地求一些较大算式或数除以某个自然数的余数． 有一些数学问题，与数的大小关系不大，而主要与这个数除以某数的余数有关．例如，自然数的个位数字，实际上就是这个自然数除以10的余数．还有一些数学问题，是要解决一些周期性变化的数字问题，这里不—一列举．利用同余性质，可以巧妙地解决上述的这些问题． 二、例题精讲 例11991和1769除以某一个自然数n，余数分别为2和l，那么n最小是多少？ 解1991－2＝1989能被n整除，同理1769－1＝1768也能被这个数n整除．所以n是1989与1768的最大公约数的约数，且应大于2． 因为（1989，1768）＝13 × 17，所以n最小是13． 例2把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几？ 解把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，一位数写了1 ×9＝9（个）数码，两位数写了2 ×90＝180（个）数码，5位数写了（201－9＝180）÷3＝4（个），即写到了99＋4＝103，因此由1开始的自然数依次写下来的201位数是由1开始的103个连续自然数组成的．经过观察发现，不论从哪开始，每连续3个自然数的各位上数字的和能被3整除．因为一共是103个自然数，所以103 ÷3＝34……l，前102个自然数（3 ×34＝102）的各位上数字之和都能被3整除，而201位数的最后三位数是103，所以： 103 ÷ 3＝34……1，即这个201位数除以3余数是1． 例3除以3余l，除以5余已除以7余4的最小三位数是几？ 解因为除以3余l，除以5余2的最小数是22，而3和5的最小公倍数是15，所以符合条件的数可以是22，37，52，67，…．又因为67 ÷7＝9……4，所以67是符合题中三个条件的最小数，而3，5和7的最小公倍数是105，这样符合条件的数有67，172，277，…． 所以，符合条件的最小三位数是172． 例4有1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是多少？ 解因为9 999 ÷74＝135......9，即135 × 74＝9 990，这说明凡是9 990 (00) 形式的数均能被74整除，而1991个9可以分为若干段这种数（每一段中有3个9）．因为1991 ÷3＝663……2，余数为2，说明去掉这些663段后，还剩2个9．而99＋74＝1……25，所以由1991个9组成的多位数999…99除以74所得的余数是25． 例5一串数1、2、4、7、11、16、22、29…这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依次类

余数同余技巧

在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。针对常见的几类题目给予分析，帮助考生轻松解决余数同余问题。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点： 1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。 2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。 【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少? A.12 B.41 C.67 D.71 【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。 【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是? A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。 三、同余问题

小学奥数—同余问题

数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2

奥数五六年级知识点总结第五讲 余数与同余

第五讲余数与同余 一、问题引入 上一讲我们已经学习了如何判断一个数能否被另一个数整除（主要总结除数为20以内整数的情况），这一讲中我们将会在此基础上，继续探讨如果一个数不能被另一个数整除，那么余数是多少，这是本讲将要讨论的第一个问题——余数问题。 我们知道，自然数（0和所有正整数），按能否被2整除可以分为偶数和奇数两类，即能被2整除（除以2余0）的数为偶数，不被2整除（除以2余1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以3的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余0、余1、余2；如果我们以除以4的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余0、余1、余2、余3；以除以n为标准，就可以将自然数划分为n类。那么除以n余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n余数不同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主，不必死记。着重掌握除以3、4、8、9、16的余数求法即可。 ①求除以2的余数：奇数余1，偶数余0； ②求除以3的余数：等于该数的各位数字之和除以3的余数； ③求除以4的余数：等于该数末两位组成的数除以4的余数； ④求除以5的余数：等于该数个位数除以5的余数； ⑤求除以6的余数：该数的各个数字之和除以3得余数a，若该余数与原 数同奇同偶，则原数除以6的余数为a，若该余数与 原数一奇一偶，则原数除以6的余数为a+3； ⑥求除以7的余数：等于该数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差

除以7的余数，如果数字仍然太大不能直接观察出来， 就重复此过程； ⑦求除以8的余数：等于该数的末三位除以8的余数； ⑧求除以9的余数：等于该数的各位数字之和除以9的余数； ⑨求除以10的余数：等于该数的个位数； ⑩求除以11的余数：（a）等于该数的奇数位上的数字之和与偶数的数字 之和的差除以11的余数 （b）等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的 数之差除以11的余数，如果数字仍然太大不能直接 观察出来，就重复此过程； ?求除以13的余数：等于该数的末三位与末三位之前的数字组成的数之 差除以13的余数，如果数字仍然太大不能直接观察 出来，就重复此过程； ?求除以16的余数：等于该数的后四位除以16的余数; ?求除以17的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减 去个位数的5倍，所得到的数字除以17的余数， 如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过 程； ?求除以18的余数：该数的各个数字之和除以9得余数a，若该余数与原 数同奇同偶，则原数除以18的余数为a，若该余数 与原数一奇一偶，则原数除以18的余数为a+3； ?求除以19的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，加 上个位数的2倍，所得数字除以19的余数。如果 数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程； 2、同余与同余的性质： 两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。一般记为a≡b（mod m）。 同余有以下常用的性质：

第5讲 同余的概念和性质

第5讲同余的概念和性质 解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。 同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为： a≡b（modm）. 性质1：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。 ★性质2：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。 ★性质3：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。 性质4：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。 性质5：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。 例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？ 例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。 例3 求14389除以7的余数。 例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M （mod 9） 例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。 习题 1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b （mod1）成立，并说出它的含义。 2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少？ 3.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？ 4.求33335555＋55553333被7除的余数。 5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面？ 6. 数，被13除余多少？ 7.求1993100的个位数字.

[2020理数]第十一章 第一节 排列与组合

第十一章??? 计数原理、概率、随机变量及其分布列 第一节 排列与组合 [考纲要求] 1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． 2．理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题． 3．理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题． 突破点一 两个计数原理 [基本知识] 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝m ＋n 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同的方法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事共有N ＝m ×n 种不同的方法． 3．两个计数原理的比较

一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同．() (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事．() (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．() 答案：(1)×(2)√(3)√ 二、填空题 1．三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有________种． 答案：6 2．某电话局的电话号码为139××××××××,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为________． 答案：32 3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有________个． 答案：120 [全析考法] 考法一分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [例1](1)已知集合M＝{－3,－2,－1,0,1,2},P(a,b)(a,b∈M)表示平面上的点,则P可表示坐标平面上第二象限的点的个数为() A．6B．12