广东省广州市天河区2021-2021学年八年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2021学年广东省广州市天河区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项

是符合题目要求的）

1．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（）

A．8cm，7cm，13cm B．6cm，6cm，12cm

C．5cm，5cm，2cm D．10cm，15cm，17cm

3．点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（）

A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）

4．使分式有意义的x的取值范围是（）

A．x＞﹣2B．x＜2C．x≠2D．x≠﹣2

5．下列运算中正确的是（）

A．B．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2

C．2a2?a3＝2a6D．（﹣a）10÷（﹣a）4＝a6

6．若一个多边形的内角和是1080°，则此多边形的边数是（）

A．十二B．十C．八D．十四

7．等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）

A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（）

A．5B．10C．12D．13

9．已知a＝2﹣2，b＝（π﹣2）0，c＝（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b

10．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则

下列结论，其中正确的是（）

①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．

A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．已知x m＝8，x n＝2，则x m﹣n＝．

12．若分式的值为0，则x＝．

13．如图，直线a∥b，∠1＝70°，∠2＝35°，则∠3的度数是．

14．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件，使△ABC≌△DCB，你添加的条件是．（注：只需写出一个条件即可）

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝．

16．若（x+p）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则p＝．

三、解答题（本大题共9题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（1）分解因式：3x3﹣27x

（2）

18．（10分）先化简，再求值：（﹣x﹣2y）（x﹣2y）+（2x3﹣4x2y）÷2x，其中x＝﹣2，y＝1．19．（10分）如图1，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．

（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；

（2）直接写出AA1的长度；

（3）如图2，A、C是直线MN同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使AD+DC最小．（保留作图痕迹）

20．（10分）如图，已知点E、F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，∠C＝∠D．

求证：AE＝BF．

21．（10分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．

22．（10分）某校为创建“书香校园”，购置了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购

买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量与购买文学类图书的数量相等．求科普类图书平均每本的价格．23．（12分）已知A＝﹣，B＝（x+2）（x+4）+1．

（1）化简A，并对B进行因式分解；

（2）当B＝0时，求A的值．

24．如图，等腰直角三角形ABD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，作△ABD关于直线BD对称的△CBD，已知点F为线段AB上一点，且AF＝m，连接CF，作∠FCE＝90°，CE交AD的延长线于点E．（1）求证：△BCF≌△DCE；

（2）若AE＝n，且mn＝3，求m2+n2的值．

25．△ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB＝∠ABC＝α，点D为BC边上任意一点，点E在AD延长线上，且BC＝BE．

（1）当α＝30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，求∠BEA的度数；

（2）如图2，若∠BAE＝2α，此时恰好DB＝DE，连接CE，求证：△ABE≌△CEB．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项

是符合题目要求的）

1．下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误．

故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．以下列各组线段长为边，不能组成三角形的是（）

A．8cm，7cm，13cm B．6cm，6cm，12cm

C．5cm，5cm，2cm D．10cm，15cm，17cm

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【解答】解：根据三角形的三边关系，得

A、8+7＞13，能组成三角形；

B、6+6＝12，不能组成三角形；

C、2+5＞5，能组成三角形；

D、10+15＞17，能组成三角形．

故选：B．

【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

3．点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（）

A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）

【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x 轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．

【解答】解：点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（3，2），

故选：A．

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．

4．使分式有意义的x的取值范围是（）

A．x＞﹣2B．x＜2C．x≠2D．x≠﹣2

【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵分式有意义，

∴x+2≠0，即x≠﹣2．

故选：D．

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．

5．下列运算中正确的是（）

A．B．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2

C．2a2?a3＝2a6D．（﹣a）10÷（﹣a）4＝a6

【分析】根据负整数指数幂，平方差公式，单项式乘法，同底数幂的除法分别求出每一部分的值，再选择即可．

【解答】解：A、结果是9，故本选项错误；

B、结果是b2﹣a2，故本选项错误；

C、结果是2a5，故本选项错误；

D、结果是a6，故本选项正确；

故选：D．

【点评】本题考查了负整数指数幂，平方差公式，单项式乘法，同底数幂的除法的应用，能正确运用法则进行计算是解此题的关键．

6．若一个多边形的内角和是1080°，则此多边形的边数是（）

A．十二B．十C．八D．十四

【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°，列方程可求解．

【解答】解：设此多边形边数是n，

则（n﹣2）?180°＝1080°，

解得n＝8．

故选：C．

【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

7．等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）

A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D．11cm或17cm

【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．

【解答】解：当7为腰时，周长＝7+7+3＝17；

当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；

故三角形的周长是17．

故选：B．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要进行分类讨论．

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（）

A．5B．10C．12D．13

【分析】根据CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，可得AE的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得答案．

【解答】解：∵CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，

∴AE＝13．

∵AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，

∴BE＝AE＝13，

故选：D．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

9．已知a＝2﹣2，b＝（π﹣2）0，c＝（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b

【分析】先根据零指数幂和负整数指数幂及乘方运算法则计算出a、b、c的值，再比较大小即可得．【解答】解：∵a＝2﹣2＝，b＝（π﹣2）0＝1，c＝（﹣1）3＝﹣1，

∴c＜a＜b，

故选：C．

【点评】本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握a﹣p＝（a≠0，p为正整数）及a0＝1（a≠0）．

10．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则

下列结论，其中正确的是（）

①△AFB≌△AEC；

②BF＝CE；

③∠BFC＝∠EAF；

④AB＝BC．

A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④

【分析】想办法证明△FAB≌△EAC（SAS），利用全等三角形的性质即可解决问题；

【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，

∴∠BAF＝∠CAE，

∵AF＝AE，AB＝AC，

∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，

∴BF＝EC，故②正确，

∴∠ABF＝∠ACE，

∵∠BDF＝∠ADC，

∴∠BFD＝∠DAC，

∴∠BFD＝∠EAF，故③正确，

无法判断AB＝BC，故④错误，

故选：A．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．已知x m＝8，x n＝2，则x m﹣n＝4．

【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可得解．

【解答】解：∵x m＝8，x n＝2，

∴x m﹣n＝x m÷x n＝8÷2＝4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了同底数幂的除法，是基础题，熟记性质并灵活运用是解题的关键．

12．若分式的值为0，则x＝3．

【分析】分式的值为0，分子等于0，且分母不等于0．

【解答】解：依题意得x﹣3＝0，

解得x＝3，

经检验，x＝3符合题意．

故答案是：3．

【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；

（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

13．如图，直线a∥b，∠1＝70°，∠2＝35°，则∠3的度数是35°．

【分析】根据平行线的性质得出∠4＝∠1＝70°，然后根据三角形外角的性质，即可求得∠3的度

数．

【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝70°，

∴∠4＝∠1＝70°，

∵∠2+∠3＝∠4，

∴∠3＝∠4﹣∠2＝70°﹣35°＝35°．

故答案为：35°．

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．14．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加一个条件，使△ABC≌△DCB，你添加的条件是∠A＝∠D．（注：只需写出一个条件即可）

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理解答即可．

【解答】解：添加的条件为：∠A＝∠D或AB＝DC或OB＝OC；

∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，

AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，

∵OB＝OC，

∴∠DBC＝∠ACB，

∵∠ABC＝∠DCB，

∴∠ABO＝∠DCO，

∵∠AOB＝∠DOC，∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠D+∠DCO+∠DOC＝180°，

∴∠A＝∠D，

∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，

∴能推出△ABC≌△DCB；

故答案为：∠A＝∠D

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形

的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝3．

【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，

∴CD＝DE＝1，

又∵直角△BDE中，∠B＝30°，

∴BD＝2DE＝2，

∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．

16．若（x+p）与（x+5）的乘积中不含x的一次项，则p＝﹣5．

【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn计算，再根据乘积中不含x的一次项，得出它的系数为0，即可求出p的值．

【解答】解：（x+p）（x+5）＝x2+5x+px+5p＝x2+（5+p）x+5p，

∵乘积中不含x的一次项，

∴5+p＝0，

解得p＝﹣5，

故答案为：﹣5．

【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．三、解答题（本大题共9题，共102分，解答要求写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（1）分解因式：3x3﹣27x

（2）

【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）原式＝3x（x2﹣9）＝3x（x+3）（x﹣3）；

（2）去分母得：2x＝3x﹣6，

解得：x＝6，

经检验x＝6是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，以及分解因式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（10分）先化简，再求值：（﹣x﹣2y）（x﹣2y）+（2x3﹣4x2y）÷2x，其中x＝﹣2，y＝1．【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x与y的值代入计算可得．

【解答】解：原式＝（﹣2y）2﹣x2+x2﹣2xy

＝4y2﹣x2+x2﹣2xy

＝4y2﹣2xy，

当x＝﹣2，y＝1时，

原式＝4×12﹣2×（﹣2）×1

＝4+4

＝8．

【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．

19．（10分）如图1，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．

（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；

（2）直接写出AA1的长度；

（3）如图2，A、C是直线MN同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使AD+DC最小．（保留作图痕迹）

【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用网格直接得出AA1的长度；

（3）利用轴对称求最短路线的方法得出点D位置．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）AA1的长度为：2×5＝10；

（3）如图所示：点D即为所求，此时AD+DC最小．

【点评】此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．20．（10分）如图，已知点E、F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，∠C＝∠D．

求证：AE＝BF．

【分析】欲证明AE＝BF，只要证明AF＝BE，只要证明△ADF≌△BCE（ASA）即可；

【解答】证明：在△ADF和△BCE中，

，

∴△ADF≌△BCE（ASA），

∴AF＝BE，

∴AE＝BF．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．

21．（10分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．

【分析】先根据三角形外角性质，得出∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，再根据三角形内角和定理，得出∠DAC+∠3+∠4＝180°，最后根据∠DAC+4∠1＝180°，以及∠BAC＝∠1+∠DAC＝69°，求得∠DAC的度数即可．

【解答】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，

而∠3＝∠1+∠2，

∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，

在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4＝180°，

∴∠DAC+4∠1＝180°，

∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝69°，

∴∠1+180°﹣4∠1＝69°，

解得∠1＝37°，

∴∠DAC＝69°﹣37°＝32°．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

22．（10分）某校为创建“书香校园”，购置了一批图书，已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量与购买文学类图书的数量相等．求科普类图书平均每本的价格．【分析】设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据数量＝总价÷单价结合用10000元购买科普类图书和用9000元购买文学类图书数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．

【解答】解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据题意得：＝，

解得：x＝50，

经检验，x＝50是所列分式方程的解，且符合题意．

答：科普类图书平均每本的价格为50元．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式是解题的关键．

23．（12分）已知A＝﹣，B＝（x+2）（x+4）+1．

（1）化简A，并对B进行因式分解；

（2）当B＝0时，求A的值．

【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则可化简A，再根据多项式乘多项式法则与合并同类项法则化简B，继而依据完全平方公式可分解B；

（2）由B＝0得出x的值，代入化简后的A的代数式计算可得．

【解答】解：（1）A＝﹣

＝

＝

＝，

B＝x2+4x+2x+8+1

＝x2+6x+9

＝（x+3）2；

（2）当B＝0时，（x+3）2＝0，

解得x＝﹣3，

则A＝

＝

＝﹣．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的能力．

24．如图，等腰直角三角形ABD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，作△ABD关于直线BD对称的△CBD，已知点F为线段AB上一点，且AF＝m，连接CF，作∠FCE＝90°，CE交AD的延长线于点E．（1）求证：△BCF≌△DCE；

（2）若AE＝n，且mn＝3，求m2+n2的值．

【分析】（1）首先证明四边形ABCD是正方形，再根据ASA证明△CDF≌△CBF即可；

（2）由△CDF≌△CBF，推出DE＝BF＝n﹣2＝2﹣m，可得m+n＝4，再利用完全平方公式即可解决问题；

【解答】（1）证明：∵△BCD与△BAD关于直线BD对称，

∴BA＝BC，DA＝DC，

∵∠A＝90°，AB＝AD＝2，

∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，

∴四边形ABCD是菱形，

∵∠A＝90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB＝∠ECF＝90°，

∴∠ECD＝∠FCB，

∵∠CDE＝∠CBF＝90°，CD＝CB，

∴△CDF≌△CBF（ASA）．

（2）解：∵△CDF≌△CBF，

∴DE＝BF＝n﹣2＝2﹣m，

∴m+n＝4，

∴m2+2mn+n2＝16，

∵mn＝3，

∴m2+n2＝10．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25．△ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB＝∠ABC＝α，点D为BC边上任意一点，点E在AD延长线上，且BC＝BE．

（1）当α＝30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，求∠BEA的度数；

（2）如图2，若∠BAE＝2α，此时恰好DB＝DE，连接CE，求证：△ABE≌△CEB．

【分析】（1）只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题；

（2）如图2中，延长CA到F，使得BF＝BC，则BF＝BE＝BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN ⊥AE于N，只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA＝∠F，由BF＝BC，推出∠F＝∠C＝α，

推出∠BEA＝α即可．

【解答】解：（1）①补全图1，如图所示．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AE⊥BC，

∴EB＝EC，∠ADB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠BAE＝60°

∵BC＝BE，

∴△BCE是等边三角形，∠DEB＝∠DEC，

∴∠BEA＝30°；

（2）延长CA到F，使得BF＝BC，则BF＝BE＝BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N，∵∠ACB＝∠ABC＝α，

∴∠FAB＝∠ABC+∠ACB＝2α，

∵∠BAE＝2α，

∴∠MAB＝∠NAB，

∴BM＝BN，

在Rt△BMF与Rt△BNE中，，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE（HL），

∴∠F＝∠AEB，

∵BF＝BC，

∴∠F＝∠ACB＝α，

∴∠AEB＝α，

∴∠ACB＝∠AEB，

∴A，B，E，E四点共圆，

∴∠BAE＝∠ECB，

在△ABE与△CEB中，，

∴ABE≌△CEB（AAS）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．