当前位置：文档库 › 概率统计公式大全汇总

概率统计公式大全汇总

第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
（3）一些常见排列（4）随机试验和随机事件
（5）基本事件、样本空间和事件
（6）事件的关系与运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
1 / 33

A、B 同时发生：A ? B，或者 AB。A ? B=?，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称
事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
? -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的
事件。互斥未必对立。 ②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率： i ?1
?A ? ?A
i i ?1
?
?
i
A? B ? A? B ， A? B ? A? B
（7）概率的公理化定义
设 ? 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A 2 ，…有
?? ? ? P? ? ? Ai ? ? ? ? P( Ai ) ? i ?1 ? i ?1
常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件 A 的概率。 1° ? ? ? ?1 ,? 2 ?? n ?， 2° P(? 1 ) ? P(? 2 ) ? ? P(? n ) ?
1 。 n
（8）古典概型
设任一事件 A ，它是由 ?1 , ? 2 ?? m 组成的，则有
P(A)= ?(?1 ) ? (? 2 ) ? ? ? (? m )? = P(?1 ) ? P(? 2 ) ? ? ? P(? m )
?
m A所包含的基本事件数 ? n 基本事件总数
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
P( A) ?
（10）加法公式（11）减法公式
L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L (?)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B ? A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)
2 / 33

定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称（12）条件概率 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) ?
P ( AB) 为事件 A 发生条件下，事件 P ( A)
P ( AB) 。 P ( A)
（13）乘法公式
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Ω /B)=1 ? P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) ? P( A) P( B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1 A2 … An ) ? P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) …… P( An | A1 A2 … An ? 1) 。
①两个事件的独立性设事件 A 、 B 满足 P( AB) ? P( A) P( B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) ? 0 ，则有
P( B | A) ?
（14）独立性
P( AB) P( A) P( B) ? ? P( B) P( A) P( A)
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。必然事件 ? 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。 ? 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件 B1, B 2,?, Bn 满足 1° B1, B 2,?, Bn 两两互不相容， P( Bi ) ? 0(i ? 1,2,?, n) ，
（15）全概公式
2° 则有
A ? ? Bi
i ?1
n
，
P( A) ? P( B1) P( A | B1) ? P( B2) P( A | B2) ? ? ? P( Bn) P( A | Bn) 。
设事件 B1 ， B 2 ，…， Bn 及 A 满足 1° B1 ， B 2 ，…， Bn 两两互不相容， P( Bi) >0， i ? 1，2，…， n ， 2° 则（16）贝叶斯公式
n
A ? ? Bi
i ?1
， P( A) ? 0 ，
P( Bi / A) ?
P( Bi ) P( A / Bi )
? P( B ) P( A / B )
j ?1 j j
n
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。（ i ? 1 ， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。 P( Bi / A) ，（ i ? 1 ， 2 ，…， P( Bi ) ， n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
3 / 33

（17）伯努利概型
我们作了 n 次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； ? n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为 1 ? p ? q ，用 Pn(k ) 表示 n 重伯努利试验中 A 出现 k (0 ? k ? n) 次的概率，
Pn (k ) ? C n p k q n ? k
k
， k ? 0,1,2,?, n 。
第二章
（1）离散型随机变量的分布律
随机变量及其分布
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X x1, x 2,?, xk ,? | P( X ? xk ) p1, p 2,?, pk ,? 。
显然分布律应满足下列条件：（1） pk ? 0 ， k ? 1,2,? ，（2） k ?1 （2）连续型随机变量的分布密度
?p
?
k
?1
。
设 F ( x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f ( x) ，对任意实数 x ，有
F ( x) ? ? f ( x)dx
??
x
，
则称 X 为连续型随机变量。 f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°
f ( x) ? 0 。
?
??
??
f ( x)dx ? 1
。
（3）离散与连续型随机变量的关系
P( X ? x) ? P( x ? X ? x ? dx) ? f ( x)dx
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X ? xk ) ? pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
4 / 33

（4）分布函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x ) ? P( X ? x )
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a ? X ? b) ? F (b) ? F (a)
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°
0 ? F ( x) ? 1,
? ? ? x ? ?? ；
F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 ? x2 时，有 F ( x1) ? F ( x2) ；
F ( ?? ) ? lim F ( x) ? 0 ，
x ? ??
F (?? ) ? lim F ( x) ? 1 ；
x ? ??
F ( x ? 0) ? F ( x) ，即 F ( x) 是右连续的； P( X ? x) ? F ( x) ? F ( x ? 0) 。
xk ? x
x
对于离散型随机变量， F ( x) ?
?p
k
；
对于连续型随机变量， F ( x) ? （5）八大分布 0-1 分布二项分布
??
? f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,?, n 。
k k n?k P( X ? k ) ? Pn(k ) ? Cn p q
，
其
中
q ? 1 ? p,0 ? p ? 1, k ? 0,1,2,?, n ，
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
k 1?k 当 n ? 1 时， P( X ? k ) ? p q ， k ? 0.1 ，这就是（0-1）分
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
5 / 33

泊松分布
设随机变量 X 的分布律为
P( X ? k ) ?
?k
k!
e ?? ， ? ? 0 ， k ? 0,1,2? ，
则称随机变量 X 服从参数为 ? 的泊松分布，记为 X ~ ? (? ) 或者 P( ? )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ ，n→∞）。超几何分布
k n?k k ? 0,1,2?, l CM ? CN ?M P( X ? k ) ? , n l ? min(M , n) CN
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布
P( X ? k ) ? q k ?1 p, k ? 1,2,3,?，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f ( x) 在[a，b] 上为常数
均匀分布
1 ，即 b?a
a≤x≤b 其他，
? 1 , ? f ( x) ? ? b ? a ? ?0,
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。分布函数为 0， xb。
F ( x) ? ? f ( x)dx ?
??
x
x?a , b?a
1，
当 a≤x1P( x1 ? X ? x 2 ) ?
x 2 ? x1 。 b?a
6 / 33

指数分布
?e ??x ,
f ( x) ?
0,
x ? 0,
x ? 0,
其中 ? ? 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布。 X 的分布函数为
1 ? e ??x ,
F ( x) ?
0,
x ? 0,
x<0。
记住积分公式：
??
?x
0
n
e ? x dx ? n!
7 / 33

正态分布
设随机变量 X 的密度函数为
? 1 f ( x) ? e 2? ? ( x?? )2 2? 2
，
? ? ? x ? ?? ，
? ? 0 为常数， ? 其中 ? 、则称随机变量 X 服从参数为 ? 、
的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 X ~ N (? ,? ) 。
2
f ( x) 具有如下性质：
1°
f ( x) 的图形是关于 x ? ? 对称的；
2° 当 x ? ? 时， f ( ? ) ?
2
1 2? ?
为最大值；
若 X ~ N (? ,? ) ，则 X 的分布函数为
x ? (t ??)2 2? 2
F(x) ?
1 ???e 2??
dt
。。
参数 ? ? 0 、 ? ? 1 时的正态分布称为标准正态分布，记为
X ~ N (0,1) ，其密度函数记为 x2 1 ?2 ? ( x) ? e 2? ， ? ? ? x ? ?? ，
分布函数为
? ( x) ?
1 2?
??
?e
x
?
t2 2
dt 。
? ( x ) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ (-x)＝1-Φ (x)且 Φ (0)＝如果 X ~ N (? , ? ) ，则
2
~ N (0,1) 。 ? ?x ??? ?x ??? P( x1 ? X ? x2 ) ? ?? 2 ? ? ?? 1 ?。 ? ? ? ? ? ? （6）分位下分位表： P( X ? ?? )＝? ；数上分位表： P( X ? ?? )＝? 。
1 。 2 X ??
8 / 33

（7）函数分布
离散型
已知 X 的分布列为
x1, x 2, ?, xn, ? X ， P( X ? xi ) p1, p 2, ?, pn, ? Y ? g ( X ) 的分布列（ y i ? g ( xi ) 互不相等）如下： g ( x1), g ( x 2), ?, g ( xn), ? Y ， P(Y ? y i ) p1, p 2, ?, pn, ? 若有某些 g ( xi ) 相等，则应将对应的 pi 相加作为 g ( xi ) 的概率。
连续型先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝P(g(X)≤ y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
第三章
（1）联合分布离散型
二维随机变量及其分布
如果二维随机向量 ? （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 ? 为离散型随机量。设 ? =（X，Y）的所有可能取值为 ( xi , y j )(i, j ? 1,2, ?) ，且事件{ ? = ( xi , y j ) }的概率为 pij,,称
P{( X , Y ) ? ( xi , y j )} ? pij (i, j ? 1,2, ?)
为 ? =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y X x1 x2
y1 p11 p21
y2 p12 p22
… … …
yj p1j p2j
… … …
?
xi
?
pi1
?
…
?
?
…
pij
?
?
?
?
?
这里 pij 具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）
??
i j
pij ? 1.
9 / 33

连续型
对于二维随机向量 ? ? (X ,Y ) ，如果存在非负函数
f ( x, y)(?? ? x ? ??,?? ? y ? ??) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|aP{( X , Y ) ? D} ? ?? f ( x, y)dxdy,
D
则称 ? 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 ? =（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)≥0; （2）（2）二维随机变量的本质（3）联合分布函数
? ?
?? ??
?? ??
f ( x, y)dxdy ? 1.
? ( X ? x, Y ? y) ? ? ( X ? x ? Y ? y)
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F ( x, y) ? P{X ? x, Y ? y}
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
{(?1 , ? 2 ) | ?? ? X (?1 ) ? x,?? ? Y (? 2 ) ? y} 的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：（1） 0 ? F ( x, y) ? 1; （2）F（x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1 时，有 F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1 时，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即
F ( x, y) ? F ( x ? 0, y), F ( x, y) ? F ( x, y ? 0);
（4） F (??,??) ? F (??, y) ? F ( x,??) ? 0, F (??,??) ? 1. （5）对于 x1 ? x2，y1 ? y 2，
F ( x2，y 2 ) ? F ( x2，y1 ) ? F ( x1，y 2 ) ? F ( x1，y1 ) ? 0 .
（4）离散型与连续型的关系
P( X ? x，Y ? y) ? P( x ? X ? x ? dx，y ? Y ? y ? dy) ? f ( x，y)dxdy
10 / 33

（5）边缘分布
离散型
X 的边缘分布为
Pi? ? P( X ? xi ) ? ? pij (i, j ? 1,2, ?) ；
j
Y 的边缘分布为
P? j ? P(Y ? y j ) ? ? pij (i, j ? 1,2, ?) 。
i
连续型
X 的边缘分布密度为
f X ( x) ? ? f Y ( y) ? ?
（6）条件分布离散型
??
??
f ( x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
?? ??
f ( x, y)dx.
在已知 X=xi 的条件下，Y 取值的条件分布为
P(Y ? y j | X ? xi ) ?
pij pi ?
；
在已知 Y=yj 的条件下，X 取值的条件分布为
P( X ? x i | Y ? y j ) ?
连续型
pij p? j
,
在已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
f ( x | y) ?
f ( x, y) ； f Y ( y)
在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
f ( y | x) ?
（7）独立性一般型离散型
f ( x, y) f X ( x)
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
pij ? pi? p? j
有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形
连续型
二维正态分布
f ( x, y ) ?
1 2?? 1 ? 2 1 ? ? 2
?
e
? ? x ? ? ? 2 2 ? ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? 1 1? 1 2 2 ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 (1? ? 2 ) ? 2 ? ?? 1 ?
? ? ? ?
2?
? ? ?
,
? ＝0
随机变量的函数若 X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn 相互独立， h,g 为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和 g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若 X 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。 11 / 33

（8）二维均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
? 1 ?S ? D f ( x, y ) ? ? ?0, ? ?
( x, y ) ? D 其他
其中 SD 为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）～ U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1
D1 O
图 3.1 1
x
y
1 D2
O
1
2 x
图 3.2
y d c O a
图 3.3
D3
b
x
12 / 33

（9）二维正态分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为
f ( x, y ) ?
1 2?? 1 ? 2 1 ? ?
2
?
e
? ? x ? ? ? 2 2 ? ( x ? ? )( y ? ? ) ? y ? ? ? 2 ? 1? 1 2 ? 2? ? ?? ? ?? ?1 ? ? 1? 2 ?2 ? 2 (1? ? 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1
,
其中 ?1 , ? 2,? 1 ? 0, ? 2 ? 0, | ? |? 1是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，
2 2 记为（X，Y）～N（ ?1 , ? 2,? 1 ,? 2 , ? ).
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
2 2 即 X～N（ ?1 , ? 1 ),Y ~ N (? 2,? 2 ). 2 2 但是若 X～N（ ?1 , ? 1 ),Y ~ N (? 2,? 2 ) ，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数分布
Z=X+Y
根据定义计算： FZ ( z) ? P(Z ? z ) ? P( X ? Y ? z)
??
对于连续型，fZ(z)＝
??
? f ( x, z ? x)dx
2 2 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ?1 ? ? 2 , ? 1 ）。 ??2
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
? ? ? Ci ? i ， ? 2 ? ? Ci2? i2
i i
Z=max,min( X1,X2,…Xn)
若 X1, X 2 ? X n 相互独立，其分布函数分别为
Fx1 ( x)，Fx2 ( x) ? Fxn ( x) ，则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布
函数为：
Fmax ( x) ? Fx1 ( x) ? Fx2 ( x)?Fxn ( x)
Fmin ( x) ? 1 ? [1 ? Fx1 ( x)] ? [1 ? Fx2 ( x)]?[1 ? Fxn ( x)]
13 / 33

? 2 分布
设 n 个随机变量 X 1 , X 2 , ?, X n 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
W ? ? X i2
i ?1
n
的分布密度为
n u ?1 ? ? 1 2 u e 2 ? n ? n ? f (u ) ? ? 2 2 ?? ? ? ? ? 2? ? 0 , ?
u ? 0, u ? 0.
我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 ? 2 分布，记为 W～ ? 2 (n) ，其中
? n ? ? ? ?1 ?? ? ? ? x 2 e ? x dx. ?2? 0
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
n
? 2 分布满足可加性：设
Yi ? ? 2 (ni ),
则
Z ? ? Yi ~ ? 2 (n1 ? n2 ? ? ? nk ).
i ?1
k
t 分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且
X ~ N (0,1),Y ~ ? 2 (n),
可以证明函数
T?
的概率密度为
X Y /n
? n ? 1? ?? ? t2 ? 2 ? ? ?1 ? f (t ) ? n ?n?? n? ?? ? ? ? 2?
? ? ? ?
?
n ?1 2
(?? ? t ? ??).
我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T～t(n)。
t1?? (n) ? ?t? (n)
14 / 33

F 分布
设X ~
? 2 (n1 ),Y ~ ? 2 (n2 ) ，且 X 与 Y 独立，可以证明
F?
X / n1 的概率密度函数为 Y / n2
? ? n1 ? n 2 ? ? ? ?? n 2 ? ? ? ? ? 1 ? f ( y ) ? ? ? n1 ? ? n 2 ? ? ? n2 ? ?? ? ?? ? ? ?2? ? 2? ? ?
? ? ? y ?
n1 2
n1 ?1 2
? n1 ? ? ?1 ? n y ? ? 2 ? ?
?
n1 ? n2 2
,y?0
0, y ? 0
我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).
F1?? (n1 , n2 ) ?
1 F? (n2 , n1 )
第四章
（1）一维期望随机期望就是平均值变量的数字特征离散型
随机变量的数字特征
连续型设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，
??
设 X 是离散型随机变量，其分布律为 P( X ? x k ) ＝ pk ， k=1,2,…,n，
E( X ) ?
E ( X ) ? ? xk pk
k ?1
n
??
? xf ( x)dx
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)
n
E (Y ) ? ? g ( x k ) p k
k ?1
??
E(Y ) ?
??
? g ( x) f ( x)dx
??
方差 2 D(X)=E[X-E(X)] ，标准差
D( X ) ? ?[ xk ? E ( X )] pk
2 k
D( X ) ? ? [ x ? E ( X )]2 f ( x)dx
??
? ( X ) ? D( X ) ，
15 / 33

矩
①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=
k
①对于正整数 k，称随机变量 X 的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点矩，记为 vk,即 ν k=E(X )=
k
?x
i
k i
pi ,
?
??
??
x k f ( x)dx,
k=1,2, …. ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期
k=1,2, …. ②对于正整数 k，称随机变量 X 与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X
望为 X 的 k 阶中心矩，记为 ? k ，的 k 阶中心矩，记为 ? k ，即即
? k ? E ( X ? E ( X )) k
.
=
? k ? E ( X ? E ( X )) k
.
= ，
? (x
i
i
? E ( X )) pi
k
?
??
??
( x ? E ( X )) k f ( x)dx,
k=1,2, ….
2
k=1,2, …. 切比雪夫不等式设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=μ ，方差 D（X）=σ ，则对于任意正数ε ，有下列切比雪夫不等式
P( X ? ? ? ? ) ?
?2 ?2
P( X ? ? ? ? )
切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率
的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E (
? C X ) ? ? C E( X )
i ?1 i i i ?1 i i
n
n
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（3）方差的性质（1）（2）（3）（4）（5） D(C)=0；E(C)=C 2 D(aX)=a D(X)； E(aX)=aE(X) 2 D(aX+b)= a D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 2 2 D(X)=E(X )-E (X) D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。期望 0-1 分布 B(1, p ) 方差
（4）常见分布
p
p(1 ? p)
16 / 33

的期望和方差
二项分布 B(n, p) 泊松分布 P (? )
np
np(1 ? p)
?
1 p
nM N a?b 2
?
1? p p2 nM ? M ?? N ? n ? ?1 ? ?? ? N ? N ?? N ? 1 ?
(b ? a ) 2 12
1 ?2
几何分布 G ( p )
超几何分布 H (n, M , N )
均匀分布 U (a, b) 指数分布 e(? ) 正态分布 N (? , ? 2 )
1
?
?
n 0
?2
2n
? 2 分布
t 分布（5）期望二维随机变量的数字特征函数的期望
n
n (n>2) n?2
??
E ( X ) ? ? xi p i ?
i ?1
E( X ) ?
?? ??
? xf
X
( x)dx
E (Y ) ? ? y j p? j
j ?1
n
E (Y ) ?
??
? yf
Y
( y)dy
E[G( X , Y )] ＝
E[G( X , Y )] ＝
?? G( x , y
i i j
j
) pij
?? ??
－? －?
? ? G( x, y) f ( x, y)dxdy
?? ??
方差
D( X ) ? ? [ xi ? E ( X )] pi?
2 i
D( X ) ? ? [ x ? E ( X )]2 f X ( x)dx D(Y ) ? ? [ y ? E (Y )]2 f Y ( y)dy
?? ??
D(Y ) ? ?[ x j ? E(Y )]2 p? j
j
17 / 33

协方差
对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩 ? 11 为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 ? XY 或 cov(X , Y ) ，即
? XY ? ?11 ? E[( X ? E( X ))(Y ? E(Y ))].
与记号 ? XY 相对应， X 与 Y 的方差 D （X）与D （Y）也可分别记为 ? XX 与 ? YY 。相关系数对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）>0, D(Y)>0，则称
? XY
D( X ) D(Y )
为 X 与 Y 的相关系数，记作 ? XY （有时可简记为 ? ）。
P( X ? aY ? b) ? 1 | ? |≤1，当| ? |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：
完全相关 ?
?正相关，当? ? 1时(a ? 0)， ?负相关，当? ? ?1时(a ? 0)，
而当 ? ? 0 时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的： ① ? XY ? 0 ； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵
? ? XX ? ?? ? YX
? XY ? ? ? YY ? ?
混合矩
对于随机变量 X 与 Y，如果有 E( X k Y l ) 存在，则称之为 X 与 Y 的
k+l 阶混合原点矩，记为? kl ；k+l 阶混合中心矩记为：
u kl ? E[(X ? E( X ))k (Y ? E(Y ))l ].
（6）协方差的性质 (i) (ii) (iii) (iv) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
18 / 33

（7）（i）独立和不（ii）相关
若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ? XY ? 0 ；反之不真。
2 2 若（X，Y）～N（ ?1 , ? 2 , ? 1 ， ,? 2 ,?）
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。
第五章
（1）大数定律
大数定律和中心极限定理
X ??
切比雪夫大数定律
设随机变量 X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi）?1 n ? 1 n ? lim P? X ? E ( X ) ? ? ? ? i i ? ? 1. n ?? ? n n i ?1 ? i ?1 ?
特殊情形：若 X1，X2，…具有相同的数学期望 E（XI）=μ ，则上式成为
?1 n ? lim P? X i ?? ? ? ? ? ? ? ? 1. n ?? ? n i ?1 ?
伯努利大数定律设μ 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε ，有
?? ? lim P? ? p ??? ? ? ? 1. n ?? ? n ?
伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
?? ? lim P? ? p ??? ? ? ? 0. n ?? ? n ?
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设 X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且 E （Xn）=μ ，则对于任意的正数ε 有
?1 n ? lim P? X i ?? ? ? ? ? ? ? ? 1. n ?? ? n i ?1 ?
19 / 33

（2）中心极限定理
X ? N (? ,
?2
n
列维－林德伯格定理
相
设随机变量 X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有同的数学期望和方差：
)
E( X k ) ? ?, D( X k ) ? ? 2 ? 0(k ? 1,2, ?) ，则随机变量
Yn ?
?X
k ?1
n
k
? n?
n?
的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有
? n ? X k ? n? ? ? ? 1 ? ? lim Fn ( x) ? lim P ? k ?1 ? x? ? n ?? n ?? n? 2? ? ? ? ? ? ?
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗－拉普拉斯定理
?
x
??
e
?
t2 2
dt.
设随机变量 X n 为具有参数 n, p(02
（3）二项定理
t ? ? 1 x ?2 ? X n ? np ? ? lim P ? ? x? ? ? e dt. n ?? 2? ?? ? ? ? np(1 ? p) ? M ? p(n, k不变 ) ，则若当 N ? ?时, N
k n?k CM CN k k ?M ? Cn p (1 ? p) n?k n CN
( N ? ?).
超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当 n ? ?时, np ? ? ? 0 ，则
k k Cn p (1 ? p) n ?k ?
?k
k!
e ??
(n ? ?).
其中 k=0，1，2，…，n，…。二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章样本及抽样分布
（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
个体
20 / 33

概率统计公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点（共3页）第一章第二、三章一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性（1）边缘分布：∑=j ij i p P ，? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X Λ与),,(21n Y Y Λ独立),,(11n X X f Λ?与),,(21n Y Y g Λ独立（3）随机变量函数的分布（离散型用列表法）一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- M 、N 的分布---------连续型用分布函数法第四章（1）期望定义：离散：∑=i i i p x X E )( 连续：???+∞∞-+∞ ∞-+∞∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 相关系数定义：) ()(),(Y D X D Y X COV XY = ρ

概率论与数理统计公式大全

第1章随机事件及其概率例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解 13 52 1339 1352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13 52 11 39 213)(C C C AB P ?=13 39 135211392131352 13 39135213521139 213)() ()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352 839 513)(C C C C P =13 52626213513)(C C C C BC P =8 39 6262131352 8395131352626 213513)() ()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P === 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率. 解设A 表示事件“活到20岁以上”，B 表示事件“活到25岁以上”，显然A B ?7.0)(=A P 56.0)(=B P 56 .0)()(==B P AB P 8.07 .056 .0)()()(=== A P A B P A B P

例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。4 ()()() k k k P B P A P B A == ∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， 00()0.1,()1 P A P B A ==1099 1110100 ()0.2,()0.900 C P A P B A C ===1098 2210100 ()0.4,()0.809 C P A P B A C ===1097 3310100 ()0.2,()0.727 C P A P B A C ===1096 4410100 ()0.1,()0.652 C P A P B A C ===814.0652 .01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈?+?+?+?+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是 0004 ()(|) 0.11(|)0.123 0.814 ()(| ) i i i P A P B A P A B P A P B A =??= = ≈?∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约为0.221、0.398、0.179、0.080。贝叶斯公式(Bayes) 1 ()() ()1,2,,()() k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A =?= =∑L 第二章随机变量及其分布 1离散型随机变量 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，（1）0≥k p ，（2）∑∞ ==1 1 k k p 2连续型随机变量概 ? ∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 ()=()F x f x '? =-=≤

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率（1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

概率统计公式大全汇总

概率论与数量统计-公式

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ： A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者，它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

《概率统计》公式符号汇总表及复习策略

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略（共4页）第一章均独立。与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )()()( (1)?=?= )() ()()( ) ()()()()( )3() (1)( ) ()( A B )()()( ) ()()()()( ) ()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性（1）边缘分布：如：∑=j ij i p P ，?+∞ ∞-=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(11n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立（3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法）一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- *??+∞∞-+∞ ∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法第四章（1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：? ??+∞∞-+∞∞-+∞ ∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-= i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--=

概率计算方法总结3

概率计算方法总结在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0

概率论公式总结

概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关 ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

概率统计公式大全

概率统计公式大全

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Φ，则表示A与B不可能同时发

概率和统计公式大全

第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是的子集。为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：如果同时有，，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。 A 、 B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示

概率论公式总结

概率公式整理 1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =?=??Ω =Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)()(AB A B A B A -==- 反演律： B A B A =? B A A B ?= n i i n i i A A 1 1 === n i i n i i A A 1 1 === 2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )() 1()()()()(211 111 1 n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++ - = ∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑ == n i i AB P A P 1 ) ()( ) ()(1 i n i i B A P B P ?= ∑ =Bayes 公式 ) (A B P k ) ()(A P AB P k = ∑== n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()() ()( 4．随机变量及其分布分布函数计算)()() ()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0, ) 1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0! ) 1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λ λ (3) Poisson 分布 ) (λP ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λ λ 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U ?? ? ??<<-=其他 ,0,1 )(b x a a b x f ??? ?? ??--=1, ,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE ???? ?>=-其他 , 00, )(x e x f x λλ ???≥-<=-0 , 10, 0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞ <<∞-= -- x e x f x 22 2)(21)(σ μσ π ? ∞ --- = x t t e x F d 21)(2 2 2)(σ μσ π *N (0,1) — 标准正态分布 +∞ <<∞-= - x e x x 2 2 21)(π ?

概率论公式总结

概率论公式总结

概率密度函数 P(a X b) 怎样计算概率 b P(a X b) f (x)dx a 均匀分布 X~U(a,b) f(x) (a x b) 指数分布X~Exp () x 对连续型随机F(x) P(X x) f(t)dt变量分布函数与密度函数的重要关系： x F(x) P(X x) f (t)dt 二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度f(x，y)函数联合分F(x,y)布函数 f(x, y) 0 f(x,y)dxdy 1

联合密度与边缘密度 f x (x) f(x,y)dy f Y (y) f(x,y)dx 离散型随机变量的独立性 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j} 连续型随机变量的独立性 f(x, y) f x (x)f Y (y) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)二a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 E(X+Y)二E(X)+E(Y) ，X 、丫为任意随机变量常用公式 E(X) X k P k k 连续型随机变量，数学期望定义 E(X) x f(x)dx 随机变量g(X)的数学期望 E(g(X)) g(xQP k k

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点（共3页）第一章均独立。与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章一维随机变量及分布：X ， i P ， ) (x f X ， ) (x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ) ,(y x f ， ) ,(y x F *注意分布的非负性、规范性（1）边缘分布：∑=j ij i p P ，? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与或) ()()(y f x f y x f Y X =， ) ,,(11n X X 与),,(2 1 n Y Y 独立),,(1 1 n X X f ?与),,(2 1 n Y Y g 独立（3）随机变量函数的分布（离散型用列表法）一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、 {} Y X N ,m in =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法第四章

概率论公式总结

概率论公式总结集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 ),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

(完整版)概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论公式总结70877

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=

二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1)(=? +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()()(1)(b x a a b x f ≤≤-=

分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度 ) 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ()('x f x F =

相关文档

概率统计公式

概率统计公式大全

概率论公式汇总

概率论公式大全

概率论公式总结

概率论基本公式

相关文档

概率统计公式大全

概率论与数理统计公式定理全总结

概率公式总结

概率论的公式大全

概率统计公式

概率统计公式大全

概率论与数理统计公式大全

概率的基本公式大全

概率与统计公式总结

概率论的公式大全

概率论的公式大全

概率论与数理统计公式大全

概率计算公式

概率统计计算公式

概率论与数理统计公式整理(全)

概率论与数理统计公式整理(超全版)

概率统计公式大全(复习重点)汇总

概率统计公式、符号汇总表

概率统计公式大全

概率论与数理统计公式整理(完整版)

最新文档

幼儿园小班科学《小动物过冬》PPT课件教案

2021年春新青岛版(五四制)科学四年级下册 20.《露和霜》教学课件

自然教育课件

小学语文优质课火烧云教材分析及课件

(超详)高中语文知识点归纳汇总

高中语文基础知识点总结(5篇)

高中语文基础知识点总结(最新)

高中语文知识点整理总结

高中语文知识点归纳

高中语文基础知识点总结大全

超详细的高中语文知识点归纳

高考语文知识点总结高中

高中语文知识点总结归纳

高中语文知识点整理总结

高中语文知识点归纳

高中语文知识点归纳(大全)

高中语文知识点总结归纳(汇总8篇)

高中语文基础知识点整理

化工厂应急预案

化工消防应急预案(精选8篇)

概率统计公式大全汇总

概率统计公式、符号汇总表

概率论与数理统计公式大全

概率统计公式大全(复习重点)

概率论与数理统计公式定理全总结

概率统计公式大全汇总

最新统计概率知识点归纳总结大全

概率论与数量统计-公式

《概率统计》公式符号汇总表及复习策略

概率计算方法总结3

概率论公式总结

概率统计公式大全

概率和统计公式大全

概率论公式总结

概率论公式总结

《概率统计》公式、符号汇总表

概率论公式总结

(完整版)概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

概率论公式总结70877