人教A版高中数学《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案

2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》导学案

【学习目标】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a

|；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa

=0. 2．运算定律

结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λ

b

.

3. 向量共线定理

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .

新授课阶段

一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22e .

探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为

基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得

yj xi a += (1)

1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ),(y x a = (2)

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .

特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

三、平面向量的坐标运算

（1）若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，

b a -),(2121y y x x --=.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=，即

b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=.

（2）若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=.

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB =OB -OA =( x 2，y 2) -(x 1，y 1)= (x 2- x 1，y 2- y 1).

（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即

),(y x a λλλ=.

例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.

例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

解：

例4 已知三个力1F (3，4)，2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.

解：

例5 已知a =(2,1), b =(－3,4),求 a ＋b ，a －b

，3a ＋4b 的坐标.

解：

例6 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）（3，4），求顶点D 的坐标。

解：

例7 经过点(2,3)M -的直线分别交x 轴、y 轴于点,A B ，且||3||AB AM =，求点,A B 的坐标.

解：

例8 已知三点(2,3),(5,4),(7,10)A B C ，若AM AB AC λ=-，试求实数λ的取值范围，使M 落在第四象限.

解：

例9 已知向量(8,2),(3,3),(6,12),(6,4)a b c p ====，问是否存在实数,,x y z 同时满足两个条件：(1);(2)1p xa yb zc x y z =++++=？如果存在，求出,,x y z 的值；如果不存在，请说明理由.

解：

课堂小结

（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 作业 见同步练习 拓展提升

1.设,1e 2e

是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ） A. 1e ，2e B. 1e +2e ，2e C. 1e ，22e D.1e ，1e +2e

2. 设,1e 2e

是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ）

A. 1e +2e 和1e -2e

B. 31e -22e 和41e -62e

C. 1e

+22e 和21e +2e D. 1e +2e 和2e

3. 已知,1e 2e 不共线，a =1λ1e +2e ，b =4 1e +22e ，并且a ，b

共线，则下列各式

正确的是（ ）

A. 1λ=1，

B. 1λ=2，

C. 1λ=3，

D. 1λ=4

4.设AB =a +5b ，BC =-2a +8b ，CD =3a -3b

，那么下列各组的点中三点一定共线

的是（ ）

A. A ，B ，C

B. A ，C ，D

C. A ，B ，D

D. Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列说法中，正确的是（ ）

①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量。

Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③ Ｄ①②③

６．已知,1e 2e

是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ） ①1λ1e +2λ2e

（1λ，2λ为实数）可以表示该平面内所有向量；②若有实数1λ，2λ使

1λ1e +2λ2

e

＝0 ，则1λ＝2λ＝０。 Ａ．① Ｂ．② Ｃ．①② Ｄ．以上都不对

７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB ＝a

，AC ＝b ，则AM ＝（ ）

Ａ．21（ a － b ） Ｂ． －2

1

（ a － b ）

Ｃ．－21（ a ＋b ） Ｄ．2

1

（ a ＋b ）

８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六边形，AB ＝a

，AE ＝b ，则BC ＝（ ） Ａ．21（ a － b ） Ｂ． －21

（ a － b ）

Ｃ．a ＋21b Ｄ．2

1

（ a ＋b ）

９．如果３1e +４2e ＝a ，２1e +３2e ＝b ，其中a ，b

为已知向量，则1e ＝ ，2e

＝ 。

１０．已知,1e 2e 是同一平面内两个不共线的向量，且AB ＝２1e +ｋ2e ，CB ＝1e

+３2e ，CD ＝２1e

－2e

，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 。

１１．当ｋ为何值时，向量a

＝４1e +２2e ，b ＝ｋ1e ＋2e 共线，其中1e 、2e 是同一

平面内两个不共线的向量。

１２．已知：1e 、2e 是不共线的向量，当ｋ为何值时，向量a

＝ｋ1e +2e 与b ＝1e ＋

ｋ2e

共线？

参考答案 例3

解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2，2)

当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6，0) 例4

解：由题设1F +2F +3F =0,得：(3，4)+ (2，-5)+(x ，y)=(0，0) 即：320,450,x y ++=??

-+=? ∴5,

1.x y =-??=?

∴3F (-5，1)

例5

解：a ＋b

＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， a －b

＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，

3a

＋4b ＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).

点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解。 例6

解：设点D 的坐标为（x,y ）,

即 3- x=1,4-y=2. 解得 x=2,y=2.

所以顶点D 的坐标为（2，2）. 另解：由平行四边形法则可得

(1,3)(2,1)(1,2),(3,4)(,)(3,4),,

AB DC x y x y AB DC =---==-=--=且(1,2)(3,4).

x y ∴=--(2(1),13)(3(1),43)(3,1),

BD BA BC =+=----+---=-(1,3)(3,1)(2,2).

OD OB BD =+=-+-=

例7

解：由题设知，,,A B M 三点共线，且||3||AB AM =，设(,0),(0,)A x B y ， ①点M 在,A B 之间，则有3AB AM =， ∴(,)3(2,3)x y x -=--. 解之得：3,3x y =-=， 点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-.

②点M 不在,A B 之间，则有3AB AM =-，同理，可求得点,A B 的坐标分别为3

(,0)2

-，

(0,9)-.

综上，点,A B 的坐标分别为(3,0),(0,3)-或3(,0)2

-，(0,9)-. 例8.

解：设点(,)M x y ，由题设得(2,3)(3,)(5,7)(35,7)x y λλλλ--=-=--， ∴33,4x y λλ=-=-， 要使M 落在第四象限，则330,40x y λλ=->=-<， 解之得14λ<<. 例9

解：假设满足条件的实数,,x y z 存在，则有8366,23124,1,x y z x y z x y z ++=??++=??++=?解之得：1,21,31.6x y z ?=??

?

=??

?

=??

∴满足条件的实数111

,,236

x y z ===. 拓展提升

1.C

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.79

23,44

a b a b +-－ 10.－8 11.②③⑤ 12.k=2