余数问题

概念：两个整数相除或能整除（又称余数为零）；或不能整除，则余数不为零。用公示表示有以下两种情况：

a = b×q + r a÷b= q 余r （0≤r＜b）

a称为被除数,b称为除数，q称商，r称余数（0≤r＜b）。本节课我们主要讨论r≠0的情况。

例题1：一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

分析：由被除数-余数=除数×商得之除数×商=310-27=273

由273=3×7×13 除数可能是3×7=21,3×13=39，7×13=91，这些两位数都能整出273.

但是考虑到余数应小于除数，所以适合的两位数为39、91

习题1：有一个整数，用它去除70、110、160所得到的三个余数之和。这个整数是多少？

例题2. 9437569与8057127的乘积被9除，余数是多少？这两个数的和被9除，余数是多少？

提示：a与b的和（或者积）除以c（c≠0）的余数，等于a、b分别除以c的余数之和（或余数之积），或这个和（或积）除以c的余数

解：9437569除以9余7，8057127除以9余3 （可用弃9法更为快捷）

7×3=21, 21除以9余3，所以9437569与8057127的乘积被9除，余数是3；

7+3=10, 10除以9余1，所以这两个数的和被9除，余数是1.

习题2. 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3余几？

注意：如果a除以3余a1，b除以3余b1，那么a×b除以3的所得余数就是a1×b1除以3的余数。（先说思考过程，把九个数字分几组）

例题3.一个数除以2余2，除以5余3，除以7余2，求符合此条件的最小数。

提示1：剩余定理

《孙子算经》中记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，气气数之剩二，问物几何？”

关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五数梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加。如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直到小于105为止。这样就可以得到满足条件的解。换算成数学公式，其解法如下：第一步，先求和：2×70+3×21＋2×15=233

第二步，求一个小于最小公倍数[3,5,7]=105并满足条件的正整数：233-105×k＜105 k取2

结果是23

提示2：不定方程去最小整数解：

3x-2=5y-3=7z-2

先拆分3x-2=7z-2 最小整数解[3,7]+2=23

在想如何满足第二个条件，即23+[3,7]×k（k≥0）之后满足“除以5余1”发现k=0时

得到小于最小公倍数[3,5,7]=105的最小正整数解, 即23是此题的所求解

提示3：想2+3×？之后能满足“5除余3”的条件?

2+3×2=8.

再想：8+[3,5] ×？之后能满足“7除余2”的条件？

8+[3,5] ×1=23 ∴符合条件的最小自然数是23

习题3. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。（使用给出的几种方法来做，选择认为比较简单的方法，可以把计算过程写在反面）

例题4：小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多了3，但余数相同，求该题的余数是多少？

提示：如果a、b除以c（c≠0）的余数相同，那么a、b的差能被c整除。

解：131-余数=商1×除数①113-余数=商2×除数②商1-商2=3 ③

①-②得（131-余数）-(113-余数)= 商1×除数-商2×除数

化简方程左右两边18=（商1-商2）×除数把③代入得到18=3×除数除数=6

113除以6余数商18余5 所以该题的余数是5

习题4. 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值？

例题5：有一串数9286…，从第三个数字开始，每个数字都是它前面的2个数字乘积的个位数字的。这串数的第1000个数字是几？前100个数字只和是多少？

提示：在日常生活中，有许多现象都是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象，此题就是运用周期性处理余数问题

解：按要求继续往下写，寻找循环周期：9286884286884…，除去一个数字9.“286884”六个数字一循环。

100-1=99 99÷6=16……3 第一百个数字是6

前一百个数字之和：9+(2+8+6+8+8+4)×16+2+8+6=601

习题5：某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几

练习题

1. 已知一个两位数除1477，余数是49.那么满足那样条件的所有两位数都有哪些？（**）

2. 已知

13的余数是几？（****）

3. 三个连续的自然数，从大到小依次是7,11,13的倍数，求这三个数的和最小是多少？（***）

4. 在1-400的整数中，被3, 5,7 除都余2得数共有多少个？（**）

5. 在大于1999的自然数中，被66除后，商与余数相等的数共有多少个？（**）

6. 678除以一个自然数的商是13，而且除数减去余数的差等于8。那么除数是多少？余数是多少？（**）

7. 一个三位数除以54后，商是a，余数是b。那么a+b的最大值是多少？（*）

8. 一个整数除300,262,205得到相同的余数，那么这个整数是多少？

9. 甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或者丙数除以甲数，都是商5余1，乙数是多少？（**）

10. 在1988,1955,2000,2001,2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组，这样的数有哪些种？(**)

11. 22003与20032的和除以7的余数是___________。（***）

12.八个盒子，各盒内装有奶糖数分别为9、17、24、28、30、31、33、44块。家取走一盒，其余各盒被乙丙丁三人取走。已知乙、丙取到的糖的的块数相同且为丁的2倍，问甲取走的一盒中有多少块奶糖？

第六章计算机的运算方法(含答案)

第六章运算方法 1 下列数中最小的数为——。 A．(101001)2 B (52)8 C （2B）16 2．下列数中最大的数为。 A．(10010101)2 B．(227)d C．(96)16 3．设寄存器位数为8位，机器数采用补码形式(含1位符号位)，对应于十进制数（-27），寄存器内容为一——。 A．27H B．9BH C．E5K 4．对真值0表示形式唯一的机器数是——o A．原码B．补码和移码 C 反码 D 以上都不对 5． 6 在整数定点机中，下述正确的说法是 A．原码和反码不能表示—1，补码可以表示—1 B．三种机器数均可表示—1 c．三种机器数均可表示—1，且三种机器数的表示范围相同 7在小数定点机中，下述说法正确的是——。 A．只有补码能表示—1 B．只有原码不能表示—1 c．三种机器数均不能表示—1 8．某机字长8位．采用形式(其中1位为符号位)则机器数所能表示的范围 A．一127—127 D．一128，十128 C 一128一十127 9、用n+1位字长表示定点数(其中1位为符号位)，它所能表示的整数范围是 能表示的小数范围是。

A、阶码取4位(台阶符1位)，尾数取12位(合数符1位) B．阶码取5位(台阶符1位)，尾数取11位(合数符1位) c．阶码取8位(含阶符1位)，尾数取8位(合数符1位)

70在下述有关不恢复余数法何时需恢复余数的说法中，——是正确的A最后一次余数为正时，要恢复 B．最后一次余数为负时，要恢复 C．最后一次余数为。时，要恢复 D．任何时候都不恢复余数 71．在定点机中执行算术运其时会产生溢出，其原因是——。 A．主存容量不够B．运算结果无法表示 c．操作数地址过大D．以上都对 72．在浮点机中，下列说法是正确的。 A．尾数的第一数位为1时，即为规格化形式 B、尾数的第一数值与数符不同时，即为规格化形2

余数与同余问题

余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数 这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数 是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这 个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的 和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余

余数与同余解析

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系： 被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质： 性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。 性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。 解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。 所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。 一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？ 这道题可采取经典的余数处理方法------凑。 这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。 在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

数论之同余问题

数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理 （加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），知识点 拨： 三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c

的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23 ,16除以5的余数分别是3和1，所以 23+16=39 除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23 ,19除以5的余数分别是3和4，故 23+19=42 除以5的余数等于3+4=7 除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23 X16除以5的余数等于3 X仁3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以 23 X19除以5的余数等于3 X4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a耳)(mod m )，左 边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质， 我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同， 则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a斗)(mod m )，那么一定 有 a — b = mk,k 是整数，即m|(a —b) 例如：20和8被自然数3除有相同的余数2。则 20-8 一定能被2整除

小学奥数五年级同余问题知识分享

小学奥数五年级同余 问题

同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2 2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知 20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多 少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

余数同余技巧

在公务员考试的数量关系模块中，余数相关问题是考查的传统重点，也是令很多考生犯难的一种题型。针对常见的几类题目给予分析，帮助考生轻松解决余数同余问题。 按照常考的题型，余数问题可以分为以下几类： 一、代入排除类型 【例1】(江西2009)学生在操场上列队做操，只知人数在90-110之间。如果排成3排则不多不少;排成5排则少2人;排成7排则少4人;则学生人数是多少?( ) A.102 B.98 C.104 D.108 【解析】像这样的题目直接代入选项，看看哪个符合题目所给的条件，哪个就是正确的答案，毫无疑问，选项108满足条件，选择D。 二、余数关系式和恒等式的应用 余数的关系式和恒等式比较简单，因为这一部分的知识点在小学时候就已经学过了，余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数(0≤余数<除数)，但是在这里需要强调两点： 1、余数是有范围的(0≤余数<除数)，这需要引起大家足够的重视，因为这是某些题目的突破口。 2、由关系式转变的余数基本恒等式也需要掌握：被除数=除数×商+余数。 【例2】两个整数相除，商是5，余数是11，被除数、除数、商及余数的和是99，求被除数是多少? A.12 B.41 C.67 D.71 【解析】余数是11，因此，根据余数的范围(0≤余数<除数)，我们能够确定除数>11。除数为整数，所以除数≥12，根据余数的基本恒等式：被除数=除数×商+余数≥12×商+余数=12×5+11=71，因此被除数最小为71，答案选择D选项。 【例3】有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，这四个自然数的和是? A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【解析】利用余数基本恒等式：被除数=除数×商+余数，有A=B×5+5= (B+1)×5。由于A、B均是自然数，于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、B、C、D的和不超过400，所以A只能等于210，从而可以求出B=41、C=34、D=29，得到A+B+C+D=314，选C。 像上面这两个题目，就是活用这两个知识点来解题的，所以在对这类问题的练习过程中，一定要牢牢地把握这两点。 三、同余问题

小学奥数之 同余问题(含详细解析)

1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数 同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。 2、重要性质及推论： （1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （） 能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b ) 3、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数． ⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； 知识点拨 教学目标 5-5-3.同余问题

⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）； ⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数 节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数． 例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答 【解析】(法1) 39336 -=，51-3=48，1473144 -=，(36,144)12 =，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912 -=，(12,108)12 -=，14739108 =，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12 【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。 【答案】61 【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答 【解析】由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543345)336 -÷=． 【答案】6

整除问题及余数与同余问题

整除问题及余数与同余问题 姓名得分 一、整除问题基础训练题 1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？ 2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？ 3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？ 4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？ 5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？ 6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？

7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？ 8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？ 9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？ 10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？ 11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？ 12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？

13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？ 14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？ 15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？ 16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。 17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？ 18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？

小学奥数五年级同余问题

同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与22003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知20082008200820082008a =L 144424443 个，问：a 除以13所得的余数是多少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

数独排除法

什么是排除？ 根据数独规则，如果某格内出现了一个数字，与该格同行、同列同宫的位置不能再出现相同的数字。这种排斥同行、同列、同宫其它格内出现相同数字的思路就是排除。见下图： 图中出现的已知数6，可以排除掉同行、同列和同宫中其他格子内填6的可能，即打叉的格子不能再填6了，否则和数独的规则矛盾了。 排除思路如何在数独中具体应用呢？ 我们要借助排除思路找到某个区域（行、列、宫）内只有一格填入某数，这就是排除法。 排除法主要分为：1宫内排除法、2行列排除法、3区块排除法。 宫内排除法：针对某宫进行排除，找到只有一个位置可以填某数。 见下图： 观察数字1，对三宫和四宫进行排除，得到这两个宫内都只有度爪位置可以填1。 解释：这两宫内必须出现1，而其他位置都被排除了，所以可以肯定得到度爪位置一定是1。

行列排除法：针对某行或某列进行排除，找到该行或该列只有一个位置可以填某数。 Ps：在数独中行和列其实是一样的，只是转换个角度的问题，所以行列通常合并到一起讨论。 见下图：例1 观察数字7，对绿框所在的行进行排除，得到只有度爪的位置可以填入7。 解释：每行都必须出现一个7，除了度爪的位置其他格子都被排除不能填入7了，所以度爪位置一定填入7。 见下图：例2 观察数字5，对绿框所在的列进行排除，得到该列只有度爪位置可以填入5。 解释：每列必须出现一个5，除了度爪的位置其他格都被排除不能填入5了，所以度爪的位置一定填入5。

区块排除法：利用排除形成区块，再利用该区块作为排除其他位置的条件进行推理填数。 （运用区块时，一定要注意区块的方向，如果横向的两格形成区块，这个区块只对横行里其他格有排除效果，而对这两格分别所在的列内其他格没有任何影响。虽然这个常识，但确实碰到过有些人在这里出现问题。） 见下图：例1 已知数1对六宫进行排除，得到六宫内有两格都可以填入1的情况。但无论蓝色的1在上边的格内还是下边的格内，都可以对该列其他格进行排除，最终得到九宫只有度爪位置可以填入1。 六宫的这两个含1的区域就叫区块，我们这里把它看成一个整体。虽然区块里1的位置是不确定的，但可以作为间接条件对其他宫进行排除。

余数问题

数论模块 数论题的特点就就是简洁明了,信息量瞧起来往往比较少,所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手,因此,做数论题时很重要的一点就就是寻找突破口,走对方向。另外,数论模块的另一个特点就就是:知识点非常多。但相比组合而言,数论至少显得更“有法可依”,考场上一定要敢去思考数论题,“战略上藐视,战术上重视”,战略上要相信,考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴, 而考前我们能做的,就就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。 我就不详细讲每一个知识点(确实非常之多,关键在于平常积累),在这里,我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。 还就是那个我在课堂上讲过很多遍的例子:任意找一个数,我们都可以 从三个角度去分析它, 例如154: (1)我们可以说它就是一百五十四,在这里,1就是百位上的数字,它代表1个100,5代表5个10,4代表4个1,这可以说就是位值原理的角度; (2)154＝2×7×11,分解质因数; (3)154除以5余4,除以9余1,我们可以研究它除以任意一个数所得的商与余数; 以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容,同时也就是我们分析数论问题的三种方式,三个突破口。下面我来详细讲讲每一个角度。 一、位值原理与整除。 其实所有数字的整除特性都就是利用位值原理推导出来的,从这个也反 映出了学习数论的一个策略:找到知识点的源头,知道它们就是怎么来的,这样就不用背那么多知识点了。 言归正传,什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显,就不用多说了,举个最简单的例子:55□39能被11整除,请问□就是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。考得比较多的,比如这样的题目:“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍就是数A,这个三位数A就是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的,可以考虑用位值原理。利用位值原理对题目进行“翻译”——也就就是把文字翻译成数学语言(数学式子),再结合其她的知识点去“加工”,一步步地解答它。 这就就是我常常对学生说的:不要对着题目干想,一定要动笔,尝试“翻译”题目。借用薛威阳老师的理念,就就是“把思路放在纸上”。 二、分解质因数。 这也就是约数、倍数、质数、合数、平方数的核心。所以涉及到约倍质合及平方数的问题就可以从分解质因数的角度去研究研究,题目中如果有具体数字,不妨对其进行质因数分解,从它的因子中寻找解题思路。如果题目中没有给定具体数字,而就是让您求这个数,那么也可以从题目中给的信息去探索这个数含有的质因子及其个数。这部分内容的知识点最多,同学们务必熟练掌握,否则一切都就是空谈。 三、余数。 常考的余数问题基本可以分成四类:带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”,解题时关键要分清楚它到底就是想考您什么,这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题: 1、带余除法。

北师大版数学三年级上册教案有余数的除法

北师大版数学三年级上册教案有余数的除法 计算是帮助人们解决问题的工具，也是小学生学习数学需要掌握的基础知识和基本技能。随着时代的飞速发展，课堂教学中，假设我们把计算教学的目标仅局限于计算本身，计算课堂教学仅仅停留在培养计算能力，提高计算技能的层面，那显然是不够的。新课程理念下，教材特别注重让学生在现实情景中理解计算的意义和作用，培养学生解决数学问题的能力。在义务标准试验教材三年级上册的教学内容中，有接近二分之一的内容是计算教学〔全册60课时，计算内容占27课时〕。面对这么多的计算课时，我们怎么上？ 案例呈现： 教学内容：义务教育课程标准试验教科书三年级上册第4单元?有余数的除法? 走进文本： 教材给我们提供了这样情景图： 从编写意图看，教材提供班级开联欢会，布置会场需要摆花的现实生活题材，旨在通过例1的图片，从没有剩余的摆花活动中提出一个用除法计算的问题，抽象出除法算式并理解除法的意义，再通过摆花盆的操作活动，抽象出整除的除法竖式意义及写法，使学生体会到在除法竖式每一步的实际意义。再通过例2的图片，从有剩余的摆花活动中类推出有余数除法竖式的写法。

了解学生： 三年级的学生对除法竖式知道多少了？为了使了解的情况 更具有代表性，课前分别从两班找来优、良、中学生各两名进行初步了解。 1、你会算吗？155＝〔〕 『全部答对』 2、你能用竖式计算吗？ 『一名优生能写出除法竖式，其余11名均不能。经了解，会写的学生看姐姐写过。』 3、出示竖式 告诉学生这就是155的除法竖式。 『全部学生均能指出竖式中被除数、除数和商，但对被除数15下面的15表示不理解。』 4、摆一摆：提供15根小棒，要求5根一组，问你能摆几组？『期望通过操作活动帮助学生理解商和除数的乘积部分。但操作后，仍有学生对用被除数－除数和商的乘积不甚理解。他们认为要分的数是被除数15，分完的也是15，数字的相同，部分学生对从被除数15中再减去15 存在着理解困难。』据此可以初步得出结论：绝大部分学生对于除法竖式的写法所知甚少，除法竖式中被除数下面的部分，即商和除数的乘积是学生理解上的难点。 自我思考：

小学奥数精讲：余数与同余问题

小学奥数精讲：余数与同余问题 一、问题引入 我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇数两类，即能被 2 整除（除以 2 余 0）的数为偶数，丌被 2 整除（除以 2 余 1）的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我们以除以 3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余 0、余 1、余 2；如果我们以除以 4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余 0、余 1、余 2、余3；以除以 n 为标准，就可以将自然数划分为 n 类。那么除以 n 余数相同的一类数有何共同的性质呢？除以n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主，丌必死记。着重掌握除以 3、4、8、9、16 的余数求法即可。 ①求除以 2 的余数：奇数余 1，偶数余 0； ②求除以 3 的余数：等于该数的各位数字之和除以 3 的余数； ③求除以 4 的余数：等于该数末两位组成的数除以 4 的余数； ④求除以 5 的余数：等于该数个位数除以 5 的余数； ⑤求除以 6 的余数：该数的各个数字之和除以 3 得余数 a，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以6 的余数为a，若该余数不 原数一奇一偶，则原数除以 6 的余数为 a+3； ⑥求除以 7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 除以 7 的余数，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程； ⑦求除以 8 的余数：等于该数的末三位除以 8 的余数； ⑧求除以 9 的余数：等于该数的各位数字之和除以 9 的余数；

数独问题的求解_评价与生成算法的研究

数独问题的求解、评价与生成算法的研究 王　琼1,2,邹　晟3 (1.南京师范大学计算机科学与技术学院,江苏南京210097; 2.江苏省信息安全与保密工程研究中心,江苏南京210097; 3.南京师范大学中北学院,江苏南京210097) [摘要]　将数独问题分解为求解初盘、难度评价、生成有解初盘、生成有唯一解初盘等子问题.为求解初盘,提出了基于最小 候选数的搜索算法,并基于算法中的判定树,给出了难度指标的计算方法.生成有唯一解初盘的算法分为两步:首先生成有解初盘集合,再利用判定树进行筛选. [关键词]　数独,候选数,搜索算法,判定树 [中图分类号]TP311.12　[文献标识码]A [文章编号]167221292(2010)0120076204 Study on Soluti on ,Eva lua ti on and Genera ti on A lgor ith m of Sudoku Problem W ang Q i o ng 1,2,Zo u S heng 3 (1.School of Computer Science and Technol ogy,Nanjing Nor mal University,Nanjing 210097,China; 2.J iangsu Research Center on I nf or mati on Security and Confidential Engineering,Nanjing 210097,China; 3.Zhongbei School,Nanjing Nor mal University,Nanjing 210097,China ) Abstract:I n the paper,Sudoku p r oblem is divided int o s olving original layout,calculating difficulty indicat or,genera 2ting original layout of s olvable,generating original layout which has a unique s oluti on .To s olve original layout,search algorith m based on the m ini m u m candidate nu mber is p r oposed .Calculati on method of ga me difficulty is established with decisi on tree .Generating original layout which has a unique s oluti on is divided int o t w o step s:first,s olvable original layouts are generated,and then,desired layouts are selected by decisi on tree . Key words:Sudoku,candidate nu mber,search algorith m,decisi on tree 　收稿日期:2009212218. 通讯联系人:王　琼,副教授,研究方向:算法与程序设计.E 2mail:wangqi ong@njnu .edu .cn 1　问题的分析 “数独”游戏由数学家欧拉发明,目前在国内外非常流行.游戏在9×9的单元网格中进行,单元网格不仅被分为9行、9列,也被分为3×3个九宫格.单元网格中已存在若干数字,其余为空格.游戏规则要求玩家在每个空格中填入1～9之间的数字,使每个数字在每行、每列、每个九宫格仅出现一次. 为便于描述,本文首先确定以下名词: 初盘:游戏开始时的单元网格状态,其中包含若干数字和若干空格. 终盘:游戏成功结束时的单元网格状态,其中只包含数字,不包含空格. 布局:在从初盘求解终盘的过程中单元网格的状态. 死局:布局中存在空格,但在任何空格中填入任何数字,都与游戏规则冲突. 国内许多论文对数独游戏的教学意义做了深入讨论,但研究其求解算法的论文不多.一般着重于讨论 利用回溯法求解终盘的方法[1,2].也有文章结合2008年美国MC M 赛题,讨论不同难度级别的数独初盘的 生成问题[3] ,但其难度指标定义过于主观,讨论也不够细致.还有一些论文从遗传算法的角度来讨论初盘 求解的问题[4,5]. 本文认为数独问题可分为以下4个子问题: ①求解初盘:由初盘求解终盘.若存在多个解,应列出所有终盘. 第10卷第1期2010年3月　南京师范大学学报(工程技术版)JOURNAL OF NANJ I N G NOR MAL UN I V ERSI TY (ENGI N EER I N G AND TECHNOLOGY ED I TI O N )　Vol .10No .1Mar,2010

小学数学 同余问题.教师版

5-5-3.同余问题 教学目标 1.学习同余的性质 2.利用整除性质判别余数 知识点拨 同余定理 1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(mod m)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。 2、重要性质及推论： （1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． - （2）用式子表示为：如果有a≡b(mod m)，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 3、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N 与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数． ⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数； ⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数； ⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数； ⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； ⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）； ⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与 偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数． 例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答 【解析】(法1)39336 -=，(36,144)12 -=，51-3=48，1473144 =，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意

(完整版)同余问题知识点讲解

数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就 可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打 包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打 包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d 本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.【余数的加法定理】 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.【余数的乘法定理】 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.【同余定理】 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、【弃九法原理】： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7

研究整除的一些性质及带余数除法

课题数除法 作者：甘翔 单位:江西科技师范学院数计学院数1班邮编：330200 指导老师：余志成 目录：1.介绍研究课题的背景、目的及方法 2.介绍整除的概念极其性质并研究判断一个数能否被另一个数整除的几种方法。 3.带余数除法的定义和关于其在其他方面的应用。 4.对以上的研究做总结。 内容摘要：整除是初等数论这一门科目的基础概念，许多方面的题目的解法涉及到了整除，所以弄清整除的概念极其基本的解题方法是十分必要的。而带余数除法则是所有除法的一般表达形式，也应知其在一些问题上的应用。在本论文中，主要是研究了迅速判断能被某一些特定数整除的数所需的一些性质，解整除的一些解法，还有带余数除法在其他问题中的一些应用。 关键词：整除带余数除法同余 Abstract：Is divisible by the number of primary subjects of the basic concepts of this door, and many aspects of the subject method involve the divisible, so understand the concept of divisible very basic solution method is necessary. In addition to rule with a remainder which is all the division's general expression, it should have known that a number of issues in the application. In this paper is to study the rapidly determine the number can be divisible by a number of specific requirements of some properties of solutions of a number divisible solution, there is division with remainder on other issues in

数独解题技巧简汇之1

数独解题技巧图解简汇 直观模式下的基础技巧 1、单元唯一法： 2、唯一余数法： 3、单元排除法： 4、区块排除法： 5、组合排除法： 6、矩形排除法：

7、数对占位排除法：

候选数模式下的解题技巧 1、显式唯一数法：如某格只包含一个候选数， 2、隐式唯一数法：如某格所含候选数字在该单元 即可将该数字填入该单元格。格只出现一次，则该格即可填入该数字。 3、区块删除法：先确定某区块一定包含某个数字，再以 此为已知条件对相关区其他单元格进行该数字删除。 4、显式数对法：利用一组显性数对，对所在区其他单元格内的与显性数对数字相同的候选数进行删除。 显性数对为格外删除。 5、隐式数对法：在同一区中只有两个单元格出现某两个候选数字，且该区其他单元格均不包含这两个候 选数，则可将该两格内的其他候选数进行删除。隐性数对为格内删除。

6、显式三数集法：利用一组显性数组对所在区其他单元格内的与显性数组数字相同的候选数进行删除。 该行既含359显式三数集也含17隐式数对，二者均可将4和6两格中359进行删除。7、隐式三数集法：在同一区中只有三个单元格出现某三个候选数字（每格至少包含其中的两个数字），且 该区其他单元格均不包含这三个候选数，则可将该三格内的其他候选数进行删除。 该H行既含589隐式三数集也含1234显式四数集，二者均可将H1、H3中134进行删除。 8、显式四数集法： 该行既含89隐式数对也含2356显式四数集，二者均可将D3、D7中356进行删除。 9、隐式四数集法： 该行既含2489隐式四数集也含17显式数对，二者均可将A4A6A7A8中17进行删除。 10、矩形对角线法：如果一个数字正好出现且只出现在某两行的相同的两列上，则这个数字就可以从这两列上其他的单元格的候选数中删除。或，如果一个数字正好出现且只出现在某两列的相同的两行上，则这个数字就可以从这两行上的其他单元格的候选数中删除。 在B G两行中，7都出现两次，且都位于第2列和在第1列和第7列上，数字9出现两次且只出 第7列上，故第2列中的A2，第7列中的C7，D7 现在行C和行G上，故行C上的[C4] 和[C5] 和E7的候选数7均可删除。以及行G上的[G2]和[G5]中的9将被删除。