2018年全国卷理科数学十年真题分类汇编 导数

导数

一．基础题组

1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝

在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A

2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线

对称，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B.

【解析】由.

3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1

－f (0)x ＋

x 2

． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥

x 2

＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1

－f (0)＋x .

所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1

，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x

－x ＋

x 2

. 2

x +

x

(1)y f x =

-1y =y x =()f x =21

x e

-2x

e

21

x e

+22

x e

+()

()()()212121,1,y x x y x e

f x e f x e --=?=-==12

12

12

由于f ′(x )＝e x

－1＋x ，

故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.

从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x

－(a ＋1)x ≥b .①

(ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x

－(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立．

(ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0.

所以f (x )≥

x 2

＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．②

因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2

－(a ＋1)2

ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2

－(a ＋1)2

ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))．

所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11

b x a -<

+12

12

e 1-12

e 1-12

=e 1a -e ()2h a ≤

e 2

1

2

=e 1a -12

e

2

b =

故f (x )≥

x 2

＋ax ＋b . 综合得，(a ＋1)b 的最大值为

. 4. 【2009全国卷Ⅰ，理22】

设函数=x 3+3bx 2

+3cx 有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈－1，0］，x 2∈1,2］.

（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ， c ）的区域；

(Ⅱ)证明：－10≤f(x 2)≤.

12

e 2

)(x

f 2

1

满足这些条件的点（b,c)的区域为图中阴影部分.

（Ⅱ）由题设知f′(x 2)=3x 22

+6bx 2+3c=0,故. 于是f(x 2)=x 2

2

+3bx 22

+3cx 2=. 由于x 2∈1,2］,而由（Ⅰ）知c≤0,故 -4+3c≤f(x 2)≤. 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0, 所以-10≤f(x 2)≤. 5. 【2008全国1，理19】（本小题满分12分） 已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

c x bx 2

121222--

=2322

321x c

x +-

c 2

3

21+-

2

1-

3

2

()1f x x ax x =+++a ∈R ()f x ()f x 2

133??-- ???

，

（2），且解得： 二．能力题组

1. 【2011全国新课标，理9】由曲线，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积

为( ) A ．

B ． 4

C ．

D ． 6

【答案】C 【解析】

2. 【2011全国，理8】曲线y ＝e －2x

＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三

角形的面积为( ) A.

B ．

C ．

D ．1 【答案】：A

【解析】：，故曲线在点（0,2

）处的切线方程为

2

31

3

--2

3a

>7

4

a

≥

y =103

16

3

13122

3

200|(2)|2x

x x y e

-=='=-=-21x y e -=+

，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。

3. 【2009全国卷Ⅰ，理9】已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】B

4. 【2008全国1，理7】设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A ．2

B ．

C ．

D ．

【答案】D.

【解析】由. 5. 【2014课标Ⅰ，理21】（12分）设函数，曲线在点

处的切线方程为

（I ）求

（II ）证明：

【答案】（I ）；（II ）详见解析.

22y x =-+0y =y x =1

3

1

1

x y x +=-(32)，

10ax y ++=a =1

2

12

-

2-()

32

1221

1,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+=

=+=-=--==----1

()ln x x

be f x ae x x -=+()y f x =(1,(1))f (1) 2.y e x =-+,;a b () 1.f x >1,2a b ==

三．拔高题组

1. 【2013课标全国Ⅰ，理21】(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2

＋ax ＋b ，g (x )＝e x

(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；

(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．

【解析】：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x

(cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.

(2)由(1)知，f (x )＝x 2

＋4x ＋2，g (x )＝2e x

(x ＋1)． 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2

－4x －2， 则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x

－1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.

①若1≤k ＜e 2

，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．

而F (x 1)＝2x 1＋2－－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2

，则F ′(x )＝2e 2

(x ＋2)(e x －e －2

)．

从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2

，则F (－2)＝－2k e －2

＋2＝－2e －2

(k －e 2

)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．

2

1x

综上，k 的取值范围是1，e 2

]．

2. 【2011全国新课标，理21】已知函数，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；

(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，，求k 的取值范围． 【解析】(1).

由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，故即解得

(ⅰ)设k ≤0.由知，当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得

；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得. 从而当x ＞0，且x ≠1时，， 即. ln ()1a x b

f x x x

=++ln ()1x k

f x x x

>

+-22

1

(

ln )

()(1)x a x b x f x x x +-'=

-+12(1)11(1)2f f =???'=-??1

122

b a b =??

?-=-??1

1a b =??=

?

222

(1)(1)()k x x h x x

+--'=2

1

()01h x x

?>-2

1

()01h x x

>-ln ()()01x k

f x x x

-+>-ln ()1x k

f x x x

>

+-

(ⅱ)设0＜k ＜1.由于当x ∈(1，

)时，(k －1)(x 2

＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )＞0.而h (1)＝0，故当x ∈(1，

)时，h (x )＞0，可得

，与题设矛盾． (ⅲ)设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得

.与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．

3. 【2011全国，理22】(1)设函数，证明：当x ＞0时，f (x )＞0； (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：.

由(1)知：当x ＞0时，， 因此. 在上式中，令，则，即. 所以

. 4. 【2010新课标，理21】（12分）(理)设函数f(x)＝e x

－1－x －ax 2

. (1)若a ＝0，求f(x)的单调区间；

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．

【解析】： (1)a ＝0时，f (x )＝e x

－1－x ，f ′(x )＝e x

－1.

11k

-11k -2

1

()01h x x <-2

1

()01h x x <-2()ln(1)2

x

f x x x '=-

+＋19291(

)10e

p <

<2ln(1)2

x

x x +>+2(1)ln(1)2x x

++>19x =

1019ln

>2919210

()>e 9

19291

()10e

p <<

当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，0)上单调减少，在(0，＋∞)上单调增加． (2)f ′(x )＝e x

－1－2ax .

由(1)知e x

≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立， 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ， 从而当1－2a ≥0， 即a ≤

时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0， 于是当x ≥0时，f (x )≥0.

由e x

＞1＋x (x ≠0)可得e －x

＞1－x (x ≠0)．从而当a ＞

时， f ′(x )＜e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，

故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0. 综合得a 的取值范围为(－∞，

]． 5. 【2008全国1，理22】（本小题满分12分）

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：．

1

2

1

2

1

2

()ln f x x x x =-{}n a 101a <<1()n n a f a +=()f x (01)，

11n n a a +<<1(1)b a ∈，11ln a b

k a b

-≥

1k a b +

>