随机变量的数字特征(答案)
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第四章 随机变量的数字特征（一）
一、选择题：
1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ]
（A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数
2．设X 的概率密度为910()9
00
x
e
x f x x -?≥?=??
，则1
()9
E X -
= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞?? （B ）91
9x
x e dx +∞-∞
-?? （C ）1- （D ）1
3．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若2
3
ξη-=，则()E η= [ D ]
（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()2
33
E ξ- 二、填空题：
1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则()E X =
2．设X
为正态分布的随机变量，概率密度为2
(1)
8()x f x +-=，则2(21)E X -= 9
3．设随机变量X 的概率分布
，则2(3)E X X += 116/15
4．设随机变量X 的密度函数为||
1()()2
x f x e x -=
-∞<<+∞，则()E X = 0 三、计算题：
1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求()E X
解：X 的可能取值为3，4，5
3511(3)10P X C ===， 23353(4)10C P X C === 2
4356
(5)10
C P X C ===
133
()345 4.510105
E X =?
+?+?=
2．设随机变量X 的密度函数为2(1)01
()0
x x f x -≤≤?=?
?其它，求()E X
解：1
1
()2(1)3
E X x x dx =?-=
?
3．设随机变量2
~(,)X N μσ，求(||)E X μ- 解：
222
()22
|||
x y x x dx y y e
dy μσ
μ
μσ
---
∞
∞
-
-∞
-∞
--=
?
令
2
2
y ye
dy ∞
-
=
=
4．设随机变量X 的密度函数为0
()0
x
e x
f x x -?≥=?
Y e -= （2）2max{,2}Y X = （3）3min{,2}Y X =
解：（1）201
3
x x E Y e e dx +∞
--=?=
?
() （2）2
20
2
()2x
x E Y e dx xe dx +∞--=
+?
?
2
222232e
e e ---=-+=+
（3）2
30
2
()2x x E Y xe dx e dx +∞--=
+?
?
2
221321e e e ---=-+=-
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第四章 随机变量的数字特征（二）
一、选择题：
1．已知()1,()3E X D X =-=，则2
[3(2)]E X -= [ B ]
（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）36
2．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-
3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηλ
ηλ==
（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：
1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则 ()D X = 2．设随机变量X 的密度函数为||
1()()2
x f x e x -=
-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则
2
()
[()]D X E X = 1/3
4．设正态分布Y 2
(3)y
--，则()D X = 1/2
三、计算题：
1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为 , , .02，求：21Y X =-的期望与方差；
解：()10.320.530.2 1.9E X =?+?+?=
222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=?+?+?-=
()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==
2．设随机变量~(0,1)X N ，试求||E x 、||D X 、3
()E X 与4
()E X
解：
22
||||x E X x dx -
+∞
-∞
=
?
22
2x dx -
+∞
=?
= 2
20
|x -+∞==
222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=-
2222
()x E X dx -
+∞
-∞
=
?
22
x -
+∞
-∞
=-
?
2
22
2
]x x xe
e
dx --
+∞+∞-∞
-∞
=-? = 1
所以 2
||1D X =-
π
233
2
()x E X dx ∞
-
=
?
= 0
24
4
2
()x E X dx ∞
-
=
?
23
2
x ∞
-
=-
?
22
2
3x dx ∞
-
=?
= 3
3．设随机变量X 的分布密度为02()240ax
x f x bx c x <
=+≤
其它，已知3()2,(13)4E X P X =<<=，求：
（1）常数A ，B ，C 的值； （2）方差()D X ； （3）随机变量X
Y e =的期望与方差。 解：（1）2
4
2
2()()E X x axdx x bx c dx ==
?++?
?
323424022|||332
a b c x x x =
++8
56633a b c =++
得
856
6233
a b c ++= 3(13)4P X <<=
得 353
224
a b c ++= ()1f x dx +∞-∞
=?
得 2621a b c ++=
所以 解得11
,, 1.44
a b c =
=-=
2
42
2
20
211(2)()(2)()(2)(1)(2)44
D X x f x dx x x dx x x dx +∞
-∞
=
-=
-+--?
?
?
2
3
=
2
4220
2111
(3)()()(1)(1)444
x
x x E Y e f x dx xe dx x e dx e +∞
-∞
=
=
+-=-?
?
?
222222
1()()(())()[(1)]4
x D Y E Y E Y e f x dx e +∞
-∞
=-=
--? 222242
220211111142424244
()|[
()][()]x x x x e x e e e =-+---- 4222211
11164
()[()]e e =
--- 22
21(1)4
e e =
-
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第四章 随机变量的数字特征（三）
一、选择题：
1．对任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ?=)(，则 [
B ]
（A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）X 与Y 不相互独立
2．由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] （A ）X 与Y 不相关 （B ）(,)()()X Y F x y F x F y =? （C ）X 与Y 相互独立 （D ）相关系数1XY ρ=- 二、填空题：
1．设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 13 2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 27 三、计算题：
1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。 解：X 的分布律为:
X 1- 0 1 P Y 的分布律为:
X 1- 0 1 P
103750025103750E X =-?+?+?=()()...
103750025103750E Y =-?+?+?=()()...
110125100125110125E XY =--?+-??+-??()()().().(). 01101250110125++?-?++??().. = 0
0xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X 与Y 不相关。
110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=?()().. 所以X 与Y 不相互独立。
2．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，求：(),()D X Y D X Y +- 解：(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=??=
()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=， ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=
3．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-
解：()0,()4E X D X ==， 40
()22
E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ= 0)(=XY E ,
416
()()()433
D X Y D X D Y +=+=+
=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=
4．设X ，Y 相互独立，其密度函数分别为21
()0X x x f x ≤≤?=??0其它，(5)5
()0
5
y Y e y f y y --?>=?
≤?，求()E XY
解：31
10022
()2|33
x E X x xdx =?=
=? (5)555
()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞
---+∞
=
?=-+=?
2
()()()643
E XY E X E Y ==
?= 5．（1）设随机变量2
3041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。
求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。
（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X
Y
D X D Y =σ=σ，证明当2
22
X Y
a σ
=σ时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。 解：（1）222
69W a X aXY Y =++
2
2
2
2
2
2
6969()[]()()()E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y =++=++ 2
2
2
69[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2
424144a a =-+
2
2
46364327()[()]a a a =-+=-+
当3a =时，()E W 最小，最小值为108。
（2）要使随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立，则0()()()E WV E W E V -= 由于 222222
()()()()(())(())E WV E W E V E X a Y E X a E Y -=--- 2
()()D X a D Y =-
222
X Y a =σ-σ0=
所以 2
2
2
X Y
a σ=σ。
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第五章 大数定律与中心极限定理
一、选择题：
1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {
}n
n P p n
με→∞
-≥ [ A ]
（A ）0= （B ）1= （C ）0> （D ）不存在
2．设随机变量X ，若2
() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ] （A ）{11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥ （C ）{|1|1}0.9P X +≥≤ （D ）{|}1}0.1P X ≥≤
3．121000,,,X X X L 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 [ D ]
（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B
）1000
1
{}i
i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ （C ）
1000
1
~(1000,)i
i X
B p =∑ （D ）10001
{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑
二、填空题：
1．对于随机变量X ，仅知其1
()3,()25
E X D X ==
，则可知{|3|3}P X -<≥
2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}
6P X Y +≥≤
三、计算题：
1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ，均方差为0.1kg
，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少
解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==
5000
5000
1
1
(
)50000.52500,()50000.0150.i
i
i i E X D X ==
=?==?=∑
∑
5000
5000
1
2500(2510)110.92070.0793.
i
i i X
P X P =->=>
≈-Φ≈-=∑∑
2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在
(0.5,0.5)-上服从均匀分布。
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少 （2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于
解：（1）1500
1500
1
1
1
(0.5,0.5),(
)0,()1500125.12
i i i i X U E X D X ==-==?
=∑∑:
1500
1
(|
|15)2[12[1(1.34)]0.18.i
i P X
P =>=>
≈-Φ≈-Φ=∑
（2
）1
||
(|
|10)0.90n
i n
i i X P X P =<=<
≥∑
∑0.95?Φ≥. 根据Φ
1.645≥，故2
1012()443.4.1.645n ≤?≈
所以n 最多为443个数相加.
3．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。 （1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少 （2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少 解：（1）令1i X =为第i 个病人治愈成功，反之则0.i X = 令100
1
,(100,0.8),()80,()16.i
i Y X Y B E Y D Y ==
==∑:
5
(75)()0.8944.4P Y P >=>≈Φ=
（2）令1i X =为第i 个病人治愈成功，反之则0.i X =
令100
1
,(100,0.7),()70,()21.i
i Y X Y B E Y D Y ==
==∑:
(75)10.1379.P Y P >=>≈-Φ= 4．一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个
随机变量，它取1元、元、元各个值的概率分别为、、。某天售出300只蛋糕。 （1）求收入至少400元的概率；
（2）求售出价格为元的蛋糕多于60只的概率。 解：（1）设X i (i=1,2,3…,300)为蛋糕的价格，其分布律为:
11215
030205
X
P .....
10312021505129
123300i E X i =?+?+?==()......(,,,)L
2
103144022250512900489
123300().....(.).(,,,)i D X i =?+?+?-==L
记300
1
i
i X X
==
∑
400
()P X P ≥=≥
1
P =-<
13394(.)=-Φ
00003.=
记Y 为售出蛋糕的价格为元的数量，则30002Y B ~(,.) 60160P Y P Y >=-≤()() 1
P =-≤
1005=-Φ=().