高等数学讲义长期班(汪诚义)第八章138162

心之所向，所向披靡

第八章 无穷级数（数学一和数学三）

引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如：

ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n

历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1

)1(1111

则[]S =+-+--Λ11111

,1S S =- ,12=S 2

1=

S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？

3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概

念和性质需要作详细的讨论。

§ 8.1 常数项级数

（甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念

无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞

=n n n

u u u u u

3211

称

为数项级数（简称级数）。

∑===n

k k n u S 1

123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，

{}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。

S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞

=∞

=∞

→1

1

)(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若

n n S ∞

→lim 若不存在，则称级数∑∞

=1

n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。

（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。）

2． 基本性质 （1） 如果

∑∑∑∑∑∞=∞

=∞=∞

=∞=++1

1

1

1

1

)(,n n n n n n n n

n

n n

v b u a ，bv au

，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和

（2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。

（3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不

变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数

∑∞

=1

n n u 收敛的必要条件是

0lim =∞

→n n u

（注：引言中提到的级数

∑∞

=+-1

1

,)

1(n n 具有∞→n lim ()不存在1

1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满

足，

∑∞

=1

n ()

1

1+-n 发散。调和级数

∑

∞

=1

n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞

=1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞

→n lim 0=n u ，而

∑

∞

=1

n n u 收敛性尚不能确定。）

3．两类重要的级数

（1）等比级数（几何级数）

∑∞

=0

n n

ar ()0≠a

当1

∑∞

=0

n n ar r

a

-=

1收敛

当1≥r 时，

∑∞

=0

n n

ar

发散

（2）p 一级数

∑∞

=1

1n p n 当p>1时，∑∞

=11n p n 收敛， 当p ≤1时∑∞

=11

n p n

发散

（注：p>1时，∑∞=11

n p n 的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞

=1n 6122

π=n

）

二、正项级数敛散性的判别法

()Λ,3,2,10=≥n u n 若则∑∞

=1

n n u 称为正项级数，这时(){}n n n S n S S 所以Λ,3,2,11=≥+是单调增

加数列，它是否收敛就只取决于n S 是否有上界，因此

∑

∞

=1

n n n S u ?收敛有上界，这是正项级数

比较判别法的基础，从而也是正项级数其它判别法的基础。

1. 比较判别法

如果皆成立时当设，u ，cv N n c n n 0,0>≥≥>∑∞=1

n n v 收敛，则∑∞=1

n n u 收敛；如果∑∞

=1

n n u 发散，

则

∑∞

=1

n n

v

发散。

2. 比较判别法的极限形式

设),3,2,1(,0,0Λ=≥≥n v u n n 若∞

→n lim

A v u n

n

= 1) 当0

∑∞

=1n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

同时收敛或同时发散。

2) 当A=0时，若

∑∞

=1

n n

v

收敛，则

∑∞

=1

n n

u

收敛。

3) 当A=+∞时，若

∑∞

=1

n n

u

收敛，则

∑∞

=1

n n

v

收敛。

3．比值判别法（达朗倍尔） 设n u >0，而∞

→n lim

ρ=+n

n u u 1

1） 当ρ<1时，则

∑∞

=1

n n

u

收敛

2） 当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则

∑∞

=1

n n

u

发散

3） 当ρ=1时，此判别法无效（注：如果∞

→n lim

n

n u u 1

+不存在时，此判别法也无法用） 4．根值判别法（柯西）（数学三不考） 设n u ≥0，而∞

→n lim

ρ=n n u

1） 当ρ<1时，则

∑∞

=1

n n

u

收敛

2） 当ρ>1时(包括ρ=+∞)，则∑∞

=1

n n

u

发散

3） 当ρ=1时，此判别法无效

事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论，应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在ρ=1情形下都无能为力。数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说不作要求。

三、交错级数及其莱布尼兹判别法 1．交错级数概念 若n u >0,

∑

∞

=1

n n n u 1)1(+-称为交错级数。

2．莱布尼兹判别法 设交错级数

∑

∞

=1

n n n u 1)1(+-满足：

1）≤+1n u n u ),3,2,1(Λ=n 2) ∞

→n lim n u =0 ，则

∑

∞

=1

n n n u 1

)

1(+-收敛，且0<∑∞

=1

n n n u 1)1(+-<1u

四、绝对收敛与条件收敛 1．定理 若

∑

∞

=1

n n u 收敛，则∑∞

=1

n n u 一定收敛；反之不然。

2．定义 若

∑

∞

=1n n u 收敛，则称∑∞

=1

n n u 为绝对收敛；

若

∑

∞

=1

n n u 收敛，而∑∞=1

n n u 发散，则称∑∞

=1

n n u 为条件收敛。

3．有关性质

1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。 2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即∑

∞

=1

n 21（n u +n u ）或∑∞

=1n 2

1（n u —n u ）一定是发散的。

4．一类重要的级数 设

∑

∞

=1

n ρ

n n 1

)1(+- 1） 当ρ>1时，

∑

∞

=1

n ρ

n

n 1

)1(+-是绝对收敛的 2） 当0<ρ≤1时，

∑

∞

=1

n ρ

n n 1

)1(+-是条件收敛的 3） 当ρ≤0时，

∑

∞

=1

n ρ

n n 1

)1(+-是发散的

（乙） 典型例题

一、主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性

例1． 判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。

1）

∑

∞

=1

n )

1()1(1

+++n n n n

2）

∑

∞

=1

n n

n 2

1

2- 1）解：

∑

∞

=1

n )

1()1(1

+++n n n n 的=

n S ∑

=n

k 1

)

1()1(1

+++k k k k

=

n S ∑

=n

k 1

()()

??

?

??

?-++-+2

2

1)1()

1(k k k k k k =

∑

=n

k 1

1

1

1)111(

+-=+-n k k Θ∞→n lim =n S 1

∴∑

∞

=1

n 1)

1()1(1

=+++n n n n ，收敛

2）解：=

n S n n 21

225232132-++++Λ

① 2

1=n S 1432212232252321+-+-++++n n

n n Λ ② ①-②得21=n S 13221

2)212121(221+--++++n n n Λ

=1112

3

223212)211(21++-+-=---+n n n n n

Θ∞

→n lim =n S 3

∴∑

∞

=1

n n

n 21

2-=3，收敛 例2

设数列{}

∑∞

=--1

1)(n n n

n ，a a

n ，na 证明收敛级数收敛∑∞

=0

n n a 收敛

证：由题意可知∞

→n lim 存在A na n =

∞

→n lim =n S ∞

→n lim

∑=-=-n

k k k

S a a

k 1

1)(存在

而=n S )()(3)(2)(1231201--++-+-+-n n a a n a a a a a a Λ

=∑-=-

1

n k k

n a

na

因此，

=∑-=1

0n k k

a

n n S na -

∞

→n lim

=∑-=1

n k k

a

∞

→n lim -n na ∞

→n lim =n S S A -

于是级数

∑∞

=0

n n

a

=S A -是收敛的

二、主要用判别法讨论级数的敛散性 例1． 设级数

∑

∞

=1

n )0(≥n n a a 收敛，则∑

∞

=1

n n

a n

收敛 解：

n a n

)1(2122n

a n a n n +≤=（几何平均值≤算术平均值） 已知

∑

∞

=1

n 收敛故收敛收敛)1

(2112

1

12n a ，n ，a n n n n +∑∑∞

=∞

= 再用比较判别法，可知

∑

∞

=1

n n

a n

收敛 例2． 正项数列{}n a 单调减少，且

∑

∞

=1

n n n

a )1(-发散，问∑∞

=1

n n

n a )1

1(

+是否收敛？并说明理由。 解：知根据莱布尼兹判别法可如果存在又单调减少,0lim ,0==∴≥∞

→a ，a a ，a n n n Θ

∑

∞

=1

n (1)0,n n a a -∴>收敛,与假设矛盾,这样，

n

n n n a a a a )1

1()11(,11111+≤+<+≤+ 由等比级数

∑

∞

=1

n n a )11(+收敛和比较判别法可知∑∞

=1

n n

n a )11(

+收敛。 例3． 设?

=4

tan π

xdx a n n

（1）求

∑

∞

=1

n n a a n n 2++的值。 （2）证明：对任意正常数,0>λ∑∞

=1

n λ

n a n

收敛。

证明：（1）n a a n n 2++n

1

=

?

+4

2)tan 1(tan π

dx x x n

n

1=?

40

tan tan π

x xd n )

1(1

+=

n n

∑

∞

=1

n n a a n n 2++=∑∞

=1n )

1(1+n n =1 （2）?=40tan π

xdx a n

n 1

20

1n

t

dt t =+?

+≤

1

1

1

n dt t n

λn a n

<1

1)1(1+<+λλn n n

∴>+,11λΘ∑

∞

=1

n 1

1+λn 收敛，由比较判别法可知

∑

∞

=1

n λ

n a n

收敛。 例4． 设有方程并证明证明方程有唯一正实根正整数其中,,01n n

x ，n nx x =-+

当α>1时，级数

∑

∞

=1

n αn x 收敛。

:()1n n f x x nx =+-证记 10()0n x f x nx n α-'>=+>当时,

[)()0,.n f x +∞故在上单调增加

(0)10,(1)0,n n f f n =-<=>而由连续函数的介值定理知 10n n x nx x +-=存在唯一正实根

100n

n n n x nx x +-=>由与知

11

0,n

n n x x n n

-<=<

110()n x n

α

αα><<故当时,

11

()n n

α∞

=∑而正项级数收敛,

所以当α>1时，级数

∑

∞

=1

n αn x 收敛。

§ 8.2 幂级数

（甲）内容要点

一、函数项级数及其收敛域与和函数（数学一） 1． 函数项级数的概念

设)(x u n ),3,2,1(Λ=n 皆定义在区间I 上，则∑

∞

=1

n )(x u n 称为区间I 上的函数项级数。

2． 收敛域

设I ∈0x ，如果常数项级数

∑

∞

=1n )(0x u n 收敛，则称0x 是函数项级数∑∞

=1

n )(x u n 的收敛点，如果

∑

∞

=1

n )(0x u n 发散，则称0x 是∑∞

=1

n )(x u n 的发散点。函数项级数∑∞

=1

n )(x u n 的所有收敛点构成的集

合就称为收敛域。所有发散点构成的集合你为发散域。

3． 和函数 在

∑

∞

=1

n )(x u n 的收敛域的每一点都有和，它与x 有关，因此=)(x S ∑∞

=1

n )(x u n ，∈x 收敛域

称)(x S 为函数项级数

∑

∞

=1

n )(x u n 的和函数，它的定义域就是函数项级数的收敛域。

二、幂级数及其收敛域 1． 幂级数概念

∑∞

=0

n n

a

n x x )(0-称为)(0x x -的幂级数，),2,1,0(Λ=n a n 称为幂级数的系数，是常数，当0

0=x

时，

∑∞

=0n n

a

n

x 称为x 的幂级数。一般讨论∑∞

=0

n n a n x 有关问题，作平移替换就可以得出有关

∑∞

=0

n n

a

n x x )(0-的有关结论。

2．幂级数的收敛域 幂级数

∑∞

=0

n n

a

n x 的收敛域分三种情形：

（1） 收敛域为),(+∞-∞，亦即

∑∞

=0

n n

a

n x 对每一个x 皆收敛，我们称它的收敛半径+∞=R

（2） 收敛域仅为原点，除原点外幂级数∑∞

=0

n n

a

n x 皆发散，我们称它的收敛半径0=R 。

（3） 收敛域为

(][)[]R

，R R R R R R R R 我们称它的收敛半径为中的一种或或或,,,),(----

)0(+∞<

所以求幂级数的收敛半径R 非常重要，（1）（2）两种情形的收敛域就确定的。而（3）的情形，还需讨论R ±两点上的敛散性。

11

lim

()(),(,n n n n a l l R l a l

+→∞

=+∞=+∞==+∞如果包括或包括则收敛半径若

0,0),R l R ===+∞则若则如果上述两极限不成立,那么就要用其它方法求收敛 .半径,后面有所讨论

三、幂级数的性质 1． 四则运算 设

∑∞

=0

n n

a

n

x ∑∞

=<=<=0

21),(;),(n n n R x x g x b R x x f

)

,min()

()()())(()

,min(),

()()(210

000

210R R x x g x f x b a b a b a x b x a R R x x g x f x b a n n n k n k n n n

n n n

n n n n n

=-∞

=∞

=∞

=ΛΛ则

2. 分析性质 设幂级数

∑∞

=0

n n

a

n

x 的收敛半径R > 0，S(x ) =

∑∞

=0

n n

a

n x 为和函数，则有下列重要性质。

（1）且有逐项求导公式内可导在，R R x S ),()(-

=')(x S ∑∑∑∞=∞

=-∞=='='0

1

10

)()(n n n n n

n n n

n x na x a x a 求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出

公式为内有任意阶导数在，R R x S ),()(- ),3,2,1(,

)1()1()()

(ΛΛ=<+--=∑∞

=-k R x x a k n n n x S

k

n k n n k

（2）内有逐项积分公式在),()(R R x S -

∑?∑

?∞=∞

=++==00

01

1

)(n x

n n n n

n x

x n a dt t a dt t S 且这个幂级数的收敛半径也不变。

（3）若

∑∞

=0

n n

a

n x :)()(则有下列性质成立在，R R x x S -==

(i)

()

lim ()(lim ()())n

n n n x R

x R n n S x a R S x a R -+∞

∞

→→-====-∑∑成立成立

(ii) ))(1)((1)(0

01001?∑?∑-∞

=+∞

=+-+-=+=R

n n n R

n n n R n a

dx x S R n a dx x S 成立成立 (iii)

∑∞

=--=11

)(n n n

R R x x

na 不一定收敛在

11().

(())n n n na R S R S R ∞

--

+

=''=-∑也即不一定成立 0

()n n n a x x R R ∞

==-∑如果在发散,那么逐项求导后的级数

1

1

()n n

n na x

x R R ∞

-==-∑在一定发散,而逐项积分后的级数

1

().1n n

n a x

x R R n ∞

+==-+∑在有可能收敛

四、幂级数求和函数的基本方法 1．把已知函数的幂级数展开式（§ 8.3将讨论）反过来用。 下列基本公式应熟背：

01(1)

11n

n x

x x

∞

==

<-∑

0(2)!

n

x

n x e x n ∞

==<+∞∑

21

0(3)(1)sin ,(21)!n n

n x x x n +∞

=-=<+∞+∑

20

(4)(1)cos ,(2)!n

n

n x x x n ∞

=-=<+∞∑

1

(5)(1)ln(1),(11)1n n

n x x x n +∞

=-=+-<≤+∑

1

(1)(1)

(6)1(1),

11()!

n n n x x x n ααααα∞

=--++=+-<<∑

L 为实常数

2、用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数求和公式

3、用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程从而求出微分方程的解。

五、利用幂级数求和函数得出有关常数项级数的和 （乙）典型例题

例1 求下列幂级数的和函数。 （1）

∑∞

=+0

)12(n n n

x

（2）∑∞

=+-0

21)1(n n n n

x

解：（1）可求出收敛半径R=1, 收敛域为（-1，1）

()(21)2n

n

n n n n S x n x nx x ∞

∞∞

====+=+∑∑∑

1101

21x

n n x nt dt x ∞-='

??=+??-??

∑?

11122111n n x x x x x x x ∞=''

????

=+=+????---????∑ 22

211(1,1)(1)1(1)x x

x x x x +=

+=

∈----

（2）可以从求出和函数后，看出其收敛域

[]2

200

(1)2(1)()11n n

n n n n S x x x n n ∞

∞==+--==++∑∑

1(1)441n

n

n

n n n n x x x n ∞∞

∞

====+-++∑∑∑

120

4

()(1),()41,1n

n n n S x n x

S x x x x

∞

∞

===+==

<-∑∑令

30

1()41n

n S x x n ∞

==+∑

1

100

()(1)11x

x

n

n n n x

S t dt n t dt x x x

∞∞

+===+==<-∑∑??

12

1

()()11(1)x S x x x x '∴==

<--

11301

1(1)()()441n n

n n n x xS x x n n -∞

∞

+==--==-+∑∑

4ln(1)

(11)x x =---≤<

11

(1)ln(1)

(11)n n

n t t t n -∞

=-=+-<≤∑这里用到公式

1232

144

()()()()ln(1)(1)1S x S x S x S x x x x x

=-+=

-----于是 2434

ln(1)

(1,1)0(1)x x x x x x

-=--∈-≠-且

00,(0)1,x S a ≠==从上面运算也看先要假设但

20043ln(1)lim ()lim 4(1)x x x x S x x x →→??

--=-??-?

?又 01

()1(3)4lim 1,()0.1

x x S x x →--=--==说明在处不但有定义而且是连续的这正 .是幂级数的和函数应具备的性质

21,0()434

ln(1)1,0

(1)x S x x x x x x x =??

=-?--<≠?-?

因此,且

12

()()(),(),(1),n x n n n n e

f x f x f x x e n f n

-'=+=例已知满足为正整数且求函数项级数

1

()n

n f

x ∞

=∑之和.

:解解一组微分方程可得通解 ()()

(1,2,3,)n

x

n n x f x e c n n

=+=L

(1),0(1,2,3,)n n e

f c n n

===L 由初始条件得

1

()(1,2,3,)n x n f x x e n n

==L 故

[)1111

()(),

1,1n

x n n n n n x f x e S x x x n

n

∞

∞∞

=====∈-∑

∑

∑从而令

(1,1)x ∈-而在内 111()1n n S x x x

∞

-='==

-∑ 0

1

()ln(1)1x

S x dt x t ==---?

故 1

()ln(1),

1,x n n f x e x x ∞

==--<∑于是

1

11

1

(1)(1)ln 2n

n n n f e e n ∞

∞

--==--==-∑

∑又

11,x -≤<因此,在时都有

1

()ln(1)x n

n f

x e x ∞

==--∑

468

3()(),:242462468

x x x x S x +++-∞<<+∞??????L 例设级数的和函数为求

(1)()S x 所满足的一阶微分方程 (2)()S x 的表达式 :(1)

(0)0S =解

357

()224246

x x x S x '=+++???L

246

()224246

x x x x =+++???L

2()2x x S x ??=+????

3

()()2

x S x xS x '-=得

3

(),(0)0.2x S x y xy y '-==因此, 是初值问题解

3

(2)

2

x y xy '-=为一阶线性非齐次方程,它的通解

3

2xdx xdx x y e e dx c -????=+????

?

22

2

12

x x

ce =-

-+

2

2

2(0)0,1,12x

x y c y e ===--+由初始条件求出故

2

2

2()12

x

x S x e =--+于是

20

(1)(1)4

2n n

n n n ∞

=--+∑例求的和 2020

(1)(1)11(1)()()222n n n

n

n n n n n n n ∞

∞∞===--+=--+-∑∑∑解

112

()12312

n n ∞

=-==+∑而

2222011()(1)()(1)()22x

n n n n n n S x n n x n n t dt ∞

∞--=='??

=--=--????∑∑?令

12211()()22n n n n n n n x x ∞

∞-=='"

????=-=-????????

∑∑

2231441,2,12(2)(2)2

12x x x x x x x "

??"????===-

<

收敛域

2

14

1(1)()(1)227n n x n n S ∞

==∴--==∑Q 在收敛域的内部

20

(1)(1)2422

232727n n

n n n ∞

=--+=+=∑则

§ 8.3将函数展开成幂级数

（甲）内容要点

一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念 1． 基本概念

()00000

()

f(x)x ()!

n n

n f x x x x x n δ∞

=-<-∑

设函数在点的某一领域内具有任意阶导数,则级数0().(:?()f x x f x 称为函数在处的泰勒级数注这里泰勒级数是否收敛是否收敛于都不知0),,0,x =道特别地当则级数

()0

(0)()!

n n

n f x f x n ∞

=∑

称为的麦克劳林级数 2.函数展成幂级数的条件

0(),f x x x R -<设在内有任意阶导数它的泰勒公式

()2

0000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L

(),n R x n 其中为阶余项它的拉格朗日型为

[]

(1)001

0()()()(01)(1)!

n n n f x x x R x x x n θθ+++-=

-<<+

()00000

()

()()lim ()0,!

n n

n n n f x f x x x x x R R x x x R n ∞

→∞

==--<=-<∑

则的充要条件为

0().f x x 而且在处幂级数展开式是唯一的

0,0.x =特别地时得到函数展成麦克劳林级数的充分必要条件

二、函数展成幂级数的方法 1．套公式

000

()(),

n n n f x a x x x x R ∞

==--<∑

()0()(0,1,2,)!n n f x a n n =

=L

1,!x

n

n e x x n ∞

==<+∞∑

例

21

sin (1),

(21)!n n

n x x x n +∞

==-<+∞+∑

1

(1)(1)

(1)1,

1,()!

n n n x x x n α

αααα∞

=--++=+<∑

L 为实常数

2.逐项求导

20

:cos (sin )(1),

(2)!n

n

n x x x x n ∞

='==-<+∞∑例

12

01

11()(),1(1)1n

n n n x nx x x x ∞∞

-==''===<--∑∑

3.变量替换法

2

20011:,

!!

x t

n n

n n e e t x x n n ∞

∞=====<+∞∑∑例

2222

00

11()(1),111()n

n n n n x x x x x ∞∞

====-=-<+--∑∑

4.逐项积分法

001

:ln(1)()1x

x

n n x dt t dt t ∞

=+==-+∑??例

1

(1)(11)1n n n x x n +∞

=-=-<≤+∑

(1)ln 21n

n n ∞

=-=+∑由此可得

()2122

0001(1)arctan ()11121x x

n n n

n n x x dt t dt x t n +∞∞

==-==-=-≤≤++∑∑?? 0(1)arctan121

4n n n π

∞

=-==+∑由此可得

002

1cos 25.cos 22

()()(),,.()12(1)1.()arctan ,12212

:()2(1)14n

n x

x x x x x x f x x x n f x x ∞

=+=

---=++-'==--+∑Q 2其它方法 例 cos 把用变量替换法展开，代入化简即可上面都是把函数展成的幂级数麦克劳林级数如果要展成的幂级数泰勒级数一般经过适当处理后可利用麦克劳林级数的结果后面典型例题中再讨论乙典型例题

例将展成的幂级数并求的和

解]

20

20021

021

011

4(,)

22

(0)arctan14

()(0)()2(1)44

(1)411

2(,)

42122

(1)1,()21

2(1)411

()2(,

421

22

1

,

(2

n n n

n x x n n n n n n n n n n n n n n x x f f x f f t dt t dt

x x n f x x n f x x

x n x f π

π

π

π

∞=∞

=∞

+=∞

=∞

+=∈-==

'∴=+=

---=-∈-+-=+-∴=-∈-+=∑?∑?∑∑∑Q 收敛函数在处连续

将代入[]2100

1

1

2

21(1)41)2242121(1)()0,22142.()ln 1(1):ln ln 1(1)(1)

(02)

1

3.()13211111

:32122(1)3(1)

1121n n n n n n n

n n n f n f x x x x x x x n

f x x x x x x x x x x π

π∞

+=∞

=∞

-=??-=-???+?

?-==

+==-=+-=-<≤=

=++=-=-

+++++-+-=?∑∑∑又故得例求在处的泰勒级数

解例求在处的泰勒级数解1111113()1()

23

1

1(1)(1)(13)

23n n n n x x x x ∞

++-?

------??=----<

)

(!3)4(!2)4()4(122)4sin()4cos(2

2)

4sin(4cos )4cos(4sin )4(4

sin sin :4

sin )(.5)

!2)1(()1(!)1()1(!32!21)1()

1(!)1(!3)1(!2)1(11)

(!)1(:1)1

()(.43221

201

+∞<<-∞????????????+----

-+=??

????

-+-=-+-=??????-+==

==??

????+--++-+=--=??????+-++-+-+=--+∞<<-∞-=?==--=--∞

=-∑x x x x x x x x x x x x x f e

f x n n x e x e e dx d e x n x x x e x e e x n x e e e e x x e

e dx d x

f n x n x n n x x x ΛΛΛΛΛπππππππππππ

π解处的泰勒级数

在求例这里补充定义时函数值为这里补充定义解处的泰勒级数

在求例

§ 8.4傅里叶级数（数学一）

（甲）内容要点

一、三角函数系的正交性

[]也即有

皆为则任意两个元素的内积再定义内积

间看作实数域上的线性空上的三角函数系定义在,0)()(),(,sin ,cos ,,2sin ,2cos

,sin

,cos

,1)0(,?-=

>-l

l

dx

x g x f g f ，x l n x l n x l x l x l x l l l l Λ

Λπππππ

π

1cos 1sin 0(1,2,)l

l

l l

n n dx xdx n l l ππ--?=?==??L

高等数学讲义(一)

高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f

}9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f

大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续

历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = .

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；

高等数学讲义长期班(汪诚义)第八章138162

心之所向，所向披靡 第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ 第二种 1)11()11()11(1=-------ΛΛ 第三种 设S n =+-++-+-+ΛΛ1 )1(1111 则[]S =+-+--Λ11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数ΛΛ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，

{}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满 足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 当1

高等数学上册复习要点及解题技巧

高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令

高等数学A2复习要点

高等数学A2 第7章 向量代数与空间解析几何 1. 求向量的模。（课本9页，例7-7） 2. 求向量的单位向量。（课本9页，例7-7） 3. 求向量的方向角，方向余弦。（课本10页，例7-8） 4. 求向量a →在b → 方向上的投影。（课本17页，习题3） 5. 求向量的点积a b →→?，叉积a b →→?。（课本15页，例7-13） 6. 求空间平面的方程（点法式方程，一般式方程，截距式方程）。 （寻找法向量）（课本29页，例7-24，7-25） 7. 求空间直线的方程（点向式方程，参数式方程，一般式方程）。（寻找方向向量）（课本35页，例7-29、7-30） 第8章 多元函数微分学 1. 求多元函数的定义域。（课本44页，例8-3） 2. 求多元函数的极限。（课本46页，例8-6） 3. 求多元函数的偏导数。（课本51页，例8-11） 4. 求多元函数的全微分。（课本56页，例8-16） 5. 求多元复合函数的导数。（课本60页，公式8-13，例8-22） 6. 求多元隐函数的导数。（课本65页，公式8-23，例8-26） 7. 多元函数偏导数在几何上的应用。（课本67页，例8-27；8-28） 8. 求多元函数的极值。（课本71页，例8-30，课本74页，拉格 朗日乘子法）

第9章多元函数积分学 1. 二重积分的性质4. （课本79页，性质4） 2. 直角坐标系下二重积分的计算。（课本86页，例9-5） 3. 直角坐标系下二重积分交换积分次序。（课本87页，例9-6） 4. 极标系下二重积分的计算。（极标系下二重积分计算的转换公式，课本88页，公式9-5，例9-8） 第10章无穷级数 1. 常用级数等比级数（课本125页，例10-2），P级数（课本131页，例10-6）的收敛性。 2. 利用定义法（课本125页，例10-1）；逆否命题法（课本128页，例10-4），比较判别法（课本133页，例10-7），比值判别法（课本135页，例10-8）等判断级数的收敛性。 3.判断常数项级数收敛还是发散，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。（利用正项级数，交错级数判别法）（课本138页，例10-10） 4.求幂级数的收敛半径，收敛域。（课本143页，例10-11） 第11章微分方程 1. 理解微分方程、解、通解、特解的概念。（课本159页） 2. 会判断微分方程的阶。（课本160页，课后习题1） 3. 求解可分离变量的微分方程。（一阶）（课本161页，例11-4）

大一高数上复习重点

大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020

高数高数重点 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用：

洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质

2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有 可考虑用代换

高等数学讲义第八章

第八章 无穷级数 常数项级数 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数Λ Λ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 ΛΛ+++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u ++++L （Λ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和， {}),3,2,1(Λ=n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛， 而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数∑∞ =1n n u 收敛的必要条件是0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数∑∞ =+-1 1,)1(n n 具有∞ →n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条 件不满足，∑ ∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散 的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而∑∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a

(整理)高数复习重点

万变不离其宗！短短一个月后，就要考试了，面对复习不能手足无措，要有目的地复习。主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分五.定积分六定积分的应用浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2） （e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用： 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在

[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日

公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。

考研高数讲义 新高等数学上册辅导讲义——第三章上课资料

第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理

极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又)

则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。

驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ，

使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示）

大一上学期高数复习要点

大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！

李正元高等数学强化讲义

第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： ①掌握求极限的各种方法． 1 ()) n n x f x + =

②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法． ③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算． §1 极限的重要性质 1．不等式性质 设B y A x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ． 设B y A x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ． 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞ →lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使 得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞ →lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0． 对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，且A ＞B ，则存在δ＞ 0，使得当0 0 < x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设 B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，且存在δ＞0，使得 当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ． 2．有界或局部有界性性质 设A x n n =∞ →lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）． 设，A x f x x =→)(lim 0 则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得 当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论． §2 求极限的方法 更多考研公共课资料，关注微信公众号：kaoyanyun 1．极限的四则运算法则及其推广 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，则 ；B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0 ；AB x g x f x x =→)()(lim 0 ． )0()()(lim 0 ≠=→B B A x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0 x x f x x x x →→， 存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“0 ”，“ ∞ ∞ ”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00， ，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→) ()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设

高等数学(考前要点复习_下)

第五章 定积分的概念 教学目的与要求： 1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。 3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 5.1定积分概念 一． 定积分的定义 不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n 个小区间，记 },......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ???==-=?-λ在[i i x x ,1-] 上任意取一点 i ξ，作和式：)1.......( )(1 i n i i x f ?∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论 i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有 →?∑=i n i i x f 1 )(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称 积分，记做 ? b a dx x f )(即I=?b a dx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为 积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。 注 1． 定积分还可以用 δε-语言定义

2由此定义，以上二例的结果可以表示为A= ? b a dx x f )(和S=?2 1 )(T T dt t v 3有定义知道 ? b a dx x f )(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即 ? b a dx x f )(=?b a du u f )(=?b a dt t f )( 4定义中的 0→λ不能用∞→n 代替 5如果i n i i x f Lim ?∑=→1 )(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b] 上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？ 经典反例： ?? ?=中的无理点， 为，中的有理点， 为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。 以下给出两个充分条件。 定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。 6几何意义 当f(x) ≥0时，?b a dx x f )(表示曲边梯形的面积；当f(x)≤ 0时，?b a dx x f )(表示曲边 梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则? b a dx x f )(表示曲边梯形面积的 代数和。 [例1]计算 ? 1 dx e x 解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n 个等分，分点为

大一上学期 高数复习要点整理

高数解题技巧。高数（上册）期末复习要点 高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。（高等数学、考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势

高等数学辅导要点教案

高等数学辅导要点 ( 一 ) 、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数（复合过程、复合最终结果）和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系（证明极限不存在—两个子数列趋向不同！）。 7. 理解极限存在的夹逼准则（证明和式极限一方法），了解实数域的完备性 ( 确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西 (Cauchy) ，审敛原理、区间套定理、致密性定理 ) 。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限（代换规则）。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质 ( 介值定理，最大最小值定理 (零点定理与罗尔定理判断方程根的不同)) 。 ( 二 ) 、一元函数微分学 1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。 4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。

6. 理解罗尔 (Rolle) 定理和拉格朗日 (Lagrange) 定理，了解柯西 (Cauchy) 定理和泰勒 (Taylor) 定理。 7. 会用洛必达 (L'Hospital) 法则求不定式的极限。三个及时：及时用等价无穷小代换！及时剥离极限非零因子！及时整理！ 8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形 ( 包括水平和铅直渐进线 ) 。 ( 三 ) 、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，掌握牛顿 (Newton) 莱布尼兹(Leibniz) 公式。 4. 掌握定积分的换元法和分步积分法。三问题—1.定积分换元先换限；2.对称区 间奇偶函数积分；3.定积分变量代换等式证明。两公式：2 0sin;() a nT n a xdx f x dx π + ?? 5. 了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。 6. 了解函数及其主要性质。 7. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量 ( 如面积、体积、弧长、功、引力等 ) 的方法。 ( 四 ) 、常微分方程 1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念（通解==全部解？不！）。 2. 掌握变量可分离的方程、齐次方程、两个可化为！及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利 (Bernoulli) 方程，了解用变量代换求解方程的思想。 3. 会解全微分方程，能观察出最简单的积分因子。

考研高数精华知识点总结：极限的运算

考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的

辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。