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泊松过程与泊松分布的基本知识

泊松过程与泊松分布的基本知识泊松过程是随机过程的一个经典模型,是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。也就是说,每次事件的发生是相互独立的。那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢?可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律,即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。而泊松过程呢,就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。

比较:泊松分布

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泊松过程的主要公式:

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其实没多少不一样对不对?不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率,这个t是可变的。泊松分布则是给定了时间。

泊松过程的关键在于,它的到达间隔序列Tn,即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。如果每次发生的间隔时间不服从指数分布,那么这个随机过程就会更一般化,我们成为是更新过程,这也是随机过程的推广。

泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程,齐次的意思很简单,就是说过程并不依赖于初始时刻,强度函数是一个常数,从上面的公式也看得出来。而非齐次则是变成了,这意味着什么呢?这以为着随着与时间的改变,强度是会改变的,改变服从强度函数,说了这

么久,强度究竟是个什么概念?强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率,或者说快慢,泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是,在一段时间内,发生的次数平均水平是次。

复合泊松过程:泊松过程我们已经知道,用描述一段时间累积发生的次数,但是如果每次发生带来的后果都是不一样的,我们怎么描述这个过程呢?比如,火车站到达的乘客是服从泊松过程的,但是每个乘客携带有不同重量的行李,我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢,这个过程就是复合泊松过程。复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算,因为简单泊松过程的期望很容易求。

更新过程:

上文已经说到,更新过程作为泊松过程的推广,更具有一般性,那么在讨论更新过程时,我们更多地讨来更新函数,更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)],怎么理解呢,就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。有一条定理:

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这个定理是可以证明的,Fn(t)是分布函数,就是说:在t时刻,更新函数值就是在这个时刻,n取遍所有值的分布之和。

那么是否可以这样理解,更新过程和泊松过程的区别就是更新间隔序列不同,那么如果已知了更新间隔序列的概率密度函数,就可以求解该过程的更新函数了,详细的推导就不写了。扔结论出来:对间隔序列概率密度函数做拉氏变换得到Lf(s),然后求

Lm(s)=Lf(s)/s(1-Lf(s)),再对Lm(s)进行逆变换,就得到了m(t),这就是更新函数。

拉普拉斯变换就是对原函数乘以e^(-st)再对t求积分,于是消去了t,单位变成了s,具体的物理意义就不在这里谈了,什么拉氏变换,傅里叶变换,Z变换,多得很,大家觉得很麻烦啊,就在实数域运算多简洁明了,但是有一点,进行变换一定不是为了问题复杂化,而是为了简化问题。列一些常用的拉氏变换表:

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另外,更新过程中还有一些定理:

基本更新定理:就是说时间趋于无穷时,更新速率收敛于1/平均更新时间。

关键更新定理,和blackwell定理差不多,大致也是讲的是和平均更新时间有关的一些东西,在数学上比较严谨,但是原理不难。

更新过程详细的还有交错更新过程,延迟更新过程,带酬更新过程等等。