8.1.2 直线的点法式方程

(完整版)第五节平面及其方程教案

重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间： 1

2 课题： 第五节 平面及其方程 教学目的及要求： 介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。 教学重点： 1.平面方程的求法 2.两平面的夹角 教学难点： 平面的几种表示及其应用 教学步骤及内容 ： 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量 },,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M M 0n ，即 00M M ?=u u u u u u r n 代入坐标式，有： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A （1） 此即平面的点法式方程。 旁批栏：

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4 例1：求过三点1M （2，－1，4）、2M （－1，3，－2）和3M （0，2，3）的平面方程。 解：先找出这平面的法向量n ， k j i k j i n -+=----=?=9141 3 26433121M M M M 由点法式方程得平面方程为 0)4()1(9)2(14=--++-z y x 即： 015914=--+z y x 二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 旁批栏：

直线的点法式方程

二、直线的点法式方程 教学目的 1、了解直线的法向量概念 2、了解直线的点法式方程。 3、会简单地利用直线的法向量求直线方程。 教学重、难点 1、 直线的方向概念 2、 利用直线的方向求直线方程 教学计划 两课时 教学过程 1、 直线的法向量 如果非零向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量 2、直线法向量的求法 过直线外一点与直线垂直的直线有且仅有一条。举例说明 注意 直线的法向量不唯一 3、直线的点法式方程 已知直线l 过点P 0( x 0 , y 0)，一非零向量n =（A , B ）是它的法向量，求直线l 的方程。 设P （x , y ）是直线l 上的任意一点,则点P （x , y ）在直线l 上的充要条件是： 00=?n p p 又p p 0=（x-x 0，y-y 0），n =（A , B ） 所以 0),(),(00=B A ?--y x x x 整理，得直线l 的方程为 A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 此方程是由直线l 上一点P 0( x 0 , y 0)，直线l 的法向量n =（A , B ）确定的，所以，该方程叫做直线的点法式方程 如果B =0，则直线与x 轴垂直与y 轴平行，方程为x=x 0。 如果A =0，则直线与y 轴垂直与x 轴平行，方程为y=y 0。 4、 例题讲解 例1 已知直线l 过点P 0（3，1），且与两点P 1(-1,0),P 2(3,2)的连线垂直，求直线l 的方程. 解: 因为l p p ⊥21,所以, )2,4()02,13(21=-+=p p 为所求直线l 的一个法向量，即 n =（4, 2） 又因为直线过点（3，1），代入直线的点法式方程得 4（x -3）+2(y -1)=0