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2011年广州市高三年级调研测试-数学(文科)试题

试卷类型：A

2011年广州市高三年级调研测试

数学（文科）

本试卷共4 页，共21 题，满分150 分。考试用时120 分钟。 2011.01 注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

参考公式：锥体的体积公式1

V Sh =

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 函数()g x =的定义域为

A ．{

3x x ≥-} B ．{3x x >-} C ．{

x x ≤-} D ．{3x x <-}

2．已知i 为虚数单位, 则复数z =i (1+i )在复平面内对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是

A ．

||||=a b B ． 2

?b a C ．//a b D ．()-⊥a b b

4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆22

430x y x +-+=相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为

A ．y =

B ．y

C ．y x =

D ．y =

图2

侧视图

俯视图

正视图

5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

6.如果执行图1的程序框图，若输入6,4n m ==，那么输出的p 等于

A ．720

B ．360

C ．240

D ．120

7.“2>x ”是“0232

>+-x x ”成立的图1

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 8.定义3x y x y ?=-, 则()h h h ??等于 A ．h - B ．0 C ．h D ．3

9. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的

体积为123

π+

，则正视图中x 的值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 10.若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移

个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数 sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为 A ．sin 214??

+ ??

?y x π B ．sin 212?

?=-+ ??

?y x π

C ．1sin 124??=+- ???y x π

D ．1

sin 12

2??=+- ???y x π

图3

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）

11．已知等比数列{}n a 的公比是2，33a =，则5a 的值是 .

12．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知2,3a b ==，

则

sin sin()

A C =+ .

13.设函数()()[)22,,1,

,1,.x x f x x x -?∈-∞?=?∈+∞?? 若()4f x >，则x 的取值范围是 .

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ， BC 是直径，MN 与⊙O 相切, 切点为A ，MAB ∠35?

则D ∠= .

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l 的参数方程为：2,

14x t y t =??=+?

（t 为参

数），圆C 的极坐标方程为ρθ=，则直线l 与圆C 的位置关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2

θ∈．

（1）求θsin 和θcos 的值；（2）若3sin(), 052

θωω-=<<，求cos ω的值．

17.（本小题满分12分）

某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：

（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；

（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为

，求x 、y 的值.

18.（本小题满分14分）

如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，

PAD △是等边三角形，已知24BD AD ==，2AB DC ==

（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥A PCD -的体积．

19.（本小题满分14分）图4

已知椭圆(22

2:13

x y E a a +

=>的离心率12e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．（1）求椭圆E 的方程；

（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ?的面积的最大值.

20．（本小题满分14分）

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *

).各项为正数的数列}{n b 中，对于一切n ∈N *

有

k ==

且1231,2,3b b b ===.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.

21.（本小题满分14分）已知函数()(a

f x x a x

∈R ), ()ln g x x =. （1）求函数()()()F x f x g x =+的单调区间；

（2）若关于x 的方程

()

()22g x f x e x

=-(e 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求a 的值.

2011年广州市高三调研测试

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，

满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．12 12．

13.()(),22,-∞-+∞ 14．125? 15．相交

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

(本小题主要考查平面向量, 同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)

（1）解：∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴

sin cos 21

θθ

=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 2

=+θθ, 0,

2πθ?

∈ ??

解得sin θθ=

=, ∴5

5cos ,552sin ==

θθ. …… 6分（2）解:∵02

ω<<

，2

0π

θ<

<，∴2

θω-

<-<

∵3

sin(), 5

θω-=

∴

cos()5

θω-==

. …… 8分

∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- …… 10分

…… 12分 17．（本小题满分12分）

(本小题主要考查分层抽样、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)

(1) 解: 用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本, 设抽取学历为本科的人数为m ， ∴

30505

=, 解得3m =. …… 2分 ∴ 抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S 1、S 2 ；B 1、B 2、B 3 .

从中任取2人的所有基本事件共10个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1),(S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2), (B 1, B 2), (B 2, B 3), (B 1, B 3).

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个: (S 1, B 1),(S 1, B 2),(S 1, B 3),(S 2, B 1), (S 2, B 2), (S 2, B 3), (S 1, S 2). …… 4分 ∴ 从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为7

. …… 6分 (2)解: 依题意得：

10539

N =，解得78N =. …… 8分 ∴ 35～50岁中被抽取的人数为78481020--=. ∴

482010

805020x y

==++. …… 10分

解得40, 5x y ==.

∴40, 5x y ==. …… 12分 18.（本小题满分14分）

(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)

（1）证明：在ABD △中，由于2AD =，4BD =，AB =

∴2

AD BD AB +=. …… 2分 ∴ AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD

平面ABCD AD =，BD ?平面ABCD ，

∴BD ⊥平面PAD . …… 4分（2）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O .

又平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ． …… 6分

∵PAD △是边长为2的等边三角形， ∴PO =.

O P

C A

由（1）知，AD BD ⊥，在Rt ABD △中，斜边AB

边上的高为AD BD h AB ?=

. …… 8分 ∵AB DC ∥

，∴11222ACD S CD h =

?==△. …… 10分

∴11233A PCD P ACD ACD V V S PO --==

?=?=

△. …… 14分 19．（本小题满分14分）

(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

（1）解

：∵椭圆(22

2:13

x y E a a +

=>的离心率12e =, ∴

=. …… 2分

解得2a =.

∴ 椭圆E 的方程为22

143

x y +=． …… 4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．

由22

,1,43

x t x y =???+=?

? 得2

1234t y -=. ∴ 圆C

的半径为r =． …… 6分

∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，

∴

0t <<

0t <<．

∴

弦长||AB == ……8分

∴ABC ?

的面积1

S =? …… 9分

)

2127t =

)22

127

≤

=…… 12分

，即

t=.

∴ABC

…… 14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)

C t t

<<．

由22

x t

x y

得

123

∴圆C

的半径为

r=．…… 6分∴圆C的方程为

123

()

x t y

-+=．

∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t

=，∴

0t<<

t<<．

在圆C的方程

123

()

x t y

-+=中，令0

，得y=∴

弦长||

AB=…… 8分∴ABC

的面积

S=?…… 9分

127

)22

127

≤

=……12分

，即

t=.

∴ABC

的面积的最大值为

．…… 14分

20．（本小题满分14分）

(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

（1）解：∵1

n n

S a

=-，

当1

n=时,

111

a S a

==-, 解得

a=. ……1分当2

n≥时,

n n n

a S S

=-()()1

n n

a a

=---,

得

n n

a a

=, 即

=. …… 3分∴数列}

{

a是首项为

, 公比为

的等比数列.

∴

111

222

n n

=?=

. …… 4分∵对于一切n∈N*,

有

=①

当2

n≥时, 有

=，②

①-②

化简得:

(1)0

n n

n b nb b

--+=, ③

用1

n+替换③式中的n，得：

211

(1)0

n n

nb n b b

-++=, ④……6分

③－④整理得：

211

n n n n

b b b b

+++

-=-，

∴当2

n≥时, 数列{}

b为等差数列.

∵

3221

b b b b

-=-=,

∴数列{}

b为等差数列. …… 8分

∵ 121,2b b == ∴数列{}n b 的公差1d =.

∴()11n b n n =+-=. …… 10分 (2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,

∴231232222n n n

T =

++++, ⑤ ∴2211122222

n n n

T +=+++ , ⑥

⑤－⑥得：21111122222

n n n n

T +=+++- …… 12分

111221212n

n n +????-?? ???????=-- 12

n n ++=-.

∴2

222

n n n T +=-<. ……14分

21．（本小题满分14分）

(本小题主要考查函数、导数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1)解: 函数()()()ln a

F x f x g x x x x

=+=+

+的定义域为()0,+∞. ∴()'

211a F x x x =-+22

x x a

x +-=.

① 当140a ?=+≤, 即14

a ≤-

时, 得20x x a +-≥,则()'

0F x ≥. ∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. ……2分 ② 当140a ?=+>, 即14

a >-

时, 令()'

0,F x

= 得20x x

a +-=, 解得120,x x =

<=.

(ⅰ

) 若104a -

<≤, 则20x =≤.

∵()0,x ∈+∞, ∴()'0F x >,

∴函数()F x 在()0,+∞上单调递增. …… 4分

(ⅱ)若0a >,则x ?∈ ??

时, ()'0F x <;

x ?

∈+∞????

时, ()'0F x >,

∴函数()F x 在区间? ??上单调递减, 在区间?

+∞????

上单调递增. …… 6分综上所述, 当0a ≤时, 函数()F x 的单调递增区间为()0,+∞;

当0a >时, 函数()F x 的单调递减区间为? ??, 单调递增区间为?

+∞????

. …… 8分 (2) 解: 由

()()2

2g x f x e x

=-, 得2ln 2x a x e x x =+-, 化为2ln 2x

x ex a x =-+. 令()ln x h x x =

, 则()'

1ln x h x x -=. 令()'

0h x =, 得x e =.

当0x e <<时, ()'0h x >; 当x e >时, ()'

0h x <.

∴函数()h x 在区间()0,e 上单调递增, 在区间(),e +∞上单调递减. ∴当x e =时, 函数()h x 取得最大值, 其值为()1

h e e

. …… 10分而函数()()2

2m x x ex a x e a e =-+=-+-,

当x e =时, 函数()m x 取得最小值, 其值为()2

m e a e =-. …… 12分

∴ 当2

1a e e -=, 即2

1a e e =+时, 方程()()22g x f x e x

=-只有一个根. …… 14分