利用导数求函数的极值

若无某种大胆放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。
利用导数求函数的极值
1．欲做一个底为正方形
容积为108立方米的长方体开口容器
怎样做法所用材料最省？
解：设底边边长为
高为
所用材料为
且



令得

因为
所以为最小值．此时．
于是以6米为底边长
3米为高做长方体容器用料最省．

2．在曲线上求一点
使过该点的切线被坐标轴所截的长度最短．
解：设曲线上横坐标为的点为
过该点的切线斜率为

过该点的切线为

该切线在轴
轴上截距分别为
．
记切线被坐标轴所截长度为
则


等号成立
当且仅当
即时
．
因此所求点为或.
3、证明当时
证明不等式
证明： 设函数
因为在上连续可导
所以在上满足拉格朗日中值定理条件
有公式可得

其中
即

又由于
有
故有
两边同时取以为底的指数
有
即
所以当时
有不等式

成立．