当前位置：文档库 › 常用微分公式

常用微分公式

(1)dx dx =nx n -1

，n ∈N 。 (2)d x dx n

x n N n n =∈-11

1,。

(3)dc

dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x

另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 1

1-x ③ (c )/=0

证明：

(2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，

则f /(a )=a x →lim f (x )-f (a )

x -a

=a x →lim a x a x n n

--=a x →lim ]

)(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n

a a x x a x a

x =1)

(1-n n a n =1n (n a -1)=1n (1

1-a )

(4)设a 为任意实数，f (x )=sin x

f (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a =

x a

x a x -+-2cos 2sin

2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim (

x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。

(1)(3)(5)自证

(1)f (x )与g (x )为可微分的函数。?f (x )+g (x )为可微分的函数。

且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d

dx (g (x ))成立。

另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x )

证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点

h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+)

()()()(

=a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a ) =f /(a )+g /(a )

例：求=+)(35x x dx d

？

推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dx

x df dx x df dx x df n )()

()(21+???++

(2)设f (x )为可微分的函数。?cf (x )为可微分的函数。

且d dx (cf (x ))=c df (x )dx ，特别c = -1时，d dx (-f (x ))=-df (x )dx 。

(3)d dx f x g x df x dx dg x dx (()())()()

-=-，另一种表示：(f (x )-g (x ))/=f /(x )-g /(x )

(4) d dx (c 1f 1(x )+c 2f 2(x )+...+c n f n (x ))= c 1d dx (f 1(x ))+c 2d dx (f 2(x ))+...+c n d

dx (f n (x ))

例如：(1)d

dx (a n x n +a n -1x n -1+...+a 1x +a 0) (2)(3x 5-2x 3+45x )/ =？

(5)f (x )，g (x )为可微分的函数。?f (x )g (x )为可微分的函数。

且 d dx (f (x )?g (x ))= d dx (f (x ))?g (x )+f (x )? d

dx (g (x )) 另一种表示：(f (x )?g (x ))/=f /(x )?g (x )+f (x )?g /(x ) 证明：

例如：试求

x x x x (()())?223321+--+=

下面我们要推导例2的一般情形：

(a)d dx f x f x f x (()()())123++=df x dx f x f x f x df x dx f x f x f x df x dx 123123123()()()()()()()()()

(b)d dx f f f df dx f f f f df

n n n ()121212???=???+???+???(逐次轮流微分) (c)如果f f f f n 12==???=，则可得d dx f x n f x df x dx

n n ((())(())()

=-1

例如：试求()x x 2523++的导数。

[例題1] 证明dx dx

rx r Q r

r =∈-+1,。 (6)若f (x )，g (x )在x =a 可微分，且g a ()≠0，

则d dx f x g x f a g a f a g a g a x a (()())|()()()()(())

//==-2

。因此可得：(()())()()()()

(())///f x g x f x g x f x g x g x =-2

若f (x )=1，则(1g (x ))/= )())

((1/

2x g x g ?- 例如：试求x x x 2211

-++的导函数。

例如：求(1

x 2+x +1)/=？

例如：设r 为负有理数，证明dx dx

rx r

r =-1。

结论：若设r 为有理数，则dx dx

rx r

r =-1。 [例題2] 求下列各函数的导函数：

(1) (x 2+2x )(x 2+3x +2) (2) (x -2)3(x 2-1) (3)(x 2+x +1)(4x 3+x -4)(x +3)

(3)3x 3+2x +1 (4)(x +1)2

(x -1)3

Ans ：(1)4x 3+15x 2+16x +4 (2)(x -2)2(5x 2-4x -3)

(3)(2x +1)(4x 3+x -4)(x +3)+(x 2+x +1)(12x 2+1)(x +3)+ (x 2+x +1)(4x 3+x -4)

(4)-3(3x 2+2)(x 3+2x +1)2 (5)-(x +1)(x +5)

(x -1)4

[例題3] 请利用(sin x )/=cos x ，(cos x )/=-sin x 的结果证明：

(tan x )/=sec 2x ，(sec x )/=sec x ?tan x

(練習1.) 试求下列的导函数：

(1)x 3-6x 2+7x -11 (2)(x 3+3x )2(2x +1) (3) (x +1)(2x 2+2)(3x 2+x +1) (4)(2x 3+x +1)5 Ans ：(1)3x 2-12x +7 (2)2(x 3+3x )(3x 2+3)(2x +1)+2(x 3+3x )

(3) (2x 2+2)(3x 2+x +1)+(x +1)?(4x )?(3x 2+x +1)+ (x +1)(2x 2+2)?(6x +1) (4) 5(2x 3+x +1)4?(6x 2+1) (練習2.) 求下列各函数的导函数。

(1)f (x )=x 3+x +12x 2+x +3 (2)f (x )= 3x x 2+3x +1 (3)f (x )= 14x 3+3x 2+2x +1 (4)f (x )=1

x 3+2x +1

Ans ：(1)2x 4+2x 3+7x 2-4x +2(2x 2+x +3)2

(2)-3x 2+3

(x 2+3x +1)2

(3) -1(4x 3+3x 2+2x +1)2?(12x 2

+6x +2) (4)-3x 2-2(x 3+2x +1)2 (練習3.) 证明

d dx x x (cot )csc =-2，d

x x x (csc )csc cot =-

(1)合成函数：

(a)设f x x x g y y (),()=++=231，则g f x x x (())=++231。

x x x x x f g

?→?++?→?++22311，()()g f x x x =++231 所以()()g f x 为x 的函数。 (b)g f f g ≠

(2)连锁法则：既然()()g f x 为x 的函数，我们就可以讨论

g f x ()()? = 例：设f x x g x y (),()=+=232，则()()(())()g f x g f x x ==+232

利用d dx f x n f x df x dx n n ((())(())()

=-1，可得

d dx x x x (())()2322322+=+?=d dy g y df x dx

y x ()|()=+?22 上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。

定理：(连锁法则 Chain Rule)

若f (x ),g (y )都是可微分的函数，则合成函数()()g f x 亦可微分，

而且d dx g f x dg y dy df x dx g f x g f x f x y f x (()())()|()

()()(())()()/// =?==或。

[例題4] 求=++/32)1(x x ？

一般情形：n N ∈，f (x )可微分，求/))((n x f =?

[例題5] 求f (x )=sin 2x 的导函数。Ans ：2sin x ?cos x

[例題6] 求下列函数的导函数：

(1)f x x ()tan =3 (2)x x f 5csc )(=

(3)f x x ()tan =-12

Ans ：(1)3tan 2

x ?sec 2

x (2)-5csc5x ?cot5x (3)

211sec x

x x --?-

(練習4.) 设n 为正整数而f (x )为可微分的函数，试用连锁律去计算(f (x ))n 的导函数。

Ans ：n (f (x ))n -1?f /(x )

(練習5.) 求d dx (524)53(+-+x x x =？Ans ：15 54)53(2

4-+-+x x x ?(4x 3+6x -1)

(練習6.) [

]

()

x x 22

1++= Ans ：

3)12(2++?+x x x

(練習7.) 求下列各小题y /

(1)y x x =sin (2)y x =cos 3 (3)y x =+521cos()

(4)y x x =sin cos4 (5)y x =+12sin

Ans ：(1)sin cos x x x + (2)-32cos sin x x (3)-+1021sin()x

(4)cos cos sin sin x x x x 444- (5)sin cos sin x x

(練習8.) 计算下列各小题：

(1)(x ?2x -1 )/=？ Ans ：

3x -1

2x -1

(2) d dx (2x +13x -5)=？ Ans ：6x -232?3x -5?(3x -5)

(3)求f (x )=x 2+13x +1的导函数。 Ans ：f /(x ) = x -3

(3x +1)2?x 2+1

(練習9.) 设可微函数f (x )满足f (x -1

x +1)=x ，则f /(0)=？ Ans ：2

[例題7] 试求=???

? ??+/

41x x ？ (練習10.) 试求4

13+x x 的导函数。 Ans ：453)

13(41

+x x

(練習11.) 求f (x )=122

++x x 的导函数。 Ans ：f /

(x )=

122122

2+?++++x x x x x

(練習12.) ()

f x x x ()=

+21

，求f /

(3)=？ 32

274?

(練習13.) 设y =(x +1+x 2)10，试求dy dx =？ Ans ：101+x

2?(x +1+x 2)10

[例題8] 求斜率为2，而与曲线y =f (x )=13x 3-12x 2+1

3 相切之直线方程式。

Ans ：4x -2y +3=0，2x -y -3=0

(練習14.) 求过曲线y =f (x )=1

3x 3+x 2-2的点，而斜率最小的切线方程式。

Ans ：y +4

3=(-1)(x +1)

(練習15.) 求通过y =x 3-3x 2-4x -1上x =1处之切线与法线方程式。

Ans ：7x +y =0，x -7y -50=0

(練習16.) 函数f (x )=x 2-1

x 2+x +1的图形上以(0,-1)为切点的切线斜率为。Ans ：1

[例題9] 设拋物线y =ax 2+bx +c 与直线7x -y -8=0相切于点(2,6)，而与直线x -y +1=0相切，

求a,b,c 之值。 Ans ：a =3,b =-5,c =4 (85 日大自然)

[例題10] 直角坐标上，给定一曲线Γ：y =x 3-3x 2，自点P(2,-5)向Γ所作的切线方程式。

Ans ：3x +y -1=0，15x -4y -50=0

(練習17.) 过原点且与曲线y =x 3-3x 2-1相切之直线方程式。Ans ：y =-3x ，y =15

4x 。 (練習18.) 设拋物线y =ax 2+bx +c 过点(1,1)，且与直线x -y =3相切于(2,-1)。求a,b,c 之值

Ans ：a =3，b =-11，c =9 [例題11] 设a,b,c 为实数，已知二曲线y =x 2+ax+b 与y =-x 3+c 在点A(1,-2)处相切，L 为两曲线在

A 点的公切线，试求(1)a,b,c (2)求L 的方程式。 Ans ：(1)a =-5，b =2，c =-1 (2)3x +y -1=0

(練習19.) 拋物线Γ：y =p (x )的对称轴平行于y 轴，且Γ与x 轴交于点(2,0)，并在x =1时与函数y =x 4+1

的图形相切，试求p (x )=？ Ans ：p (x )=-6x 2+16x -8 (練習20.) 求y =x 3-3x ，y =x 3-3x +32两曲线的公切线方程式。Ans ：9x -y +16=0

1. (1)3

21453??

? ??+-=x x y ，求dy dx =? (2)f x x x ()=-+11，求f /(12)=？(3)f (x )=x 3(x 3+5x )10，求f /

(x ) Ans ：(1) ()()

()

dy dx x x x x =--+++3351240341

24 (2)-439 (3) ()()

x x x x 3

95353365++ 2. 求下列各函数的导函数：(1)f x x ()()=+2

1 (2)f x x x ()()=++22521 (3)f x x x ()()()=++2114

Ans ：(1)f x x x '

()()=?+1013223(2)f x x x x '

()()()=-++10212426

(3)f x x x x x '

()()(8)()=+--+21101213226

3. 试求下列个函数的导函数：(1)f x x ()s i n =

(2)f x x x ()cos ()=-

(3)x x f 1

tan

)(= (4))1sin()(2-=x x f (5)f x x ()s i n ()=23 (6)f x x x ()t

an s ec =-22 (7)x x f 2

cos 1)(+= (8)f x x x

()s i n cos =2

Ans ：(1)x

2cos (2)x x cos 2sin -(3)-1221x x s ec (4))1cos(22-x x

(5))cos()sin(6332x x x (6)0 (7)x

cos 122sin +- (8)s i n s ec s i n x x x 2+

4. (1)设f x ax ()=-21，若f /(1)=2，则a =? (2)设f x x x ()=

+-21

，则f /(2) =? Ans ：(1)2 (2)-13510

5. 设y u =+34，u x x =+22，求

=? Ans ：62122x x x ()()++ 6. 求f x x ()()=-221在(1,0)的切线方程式与法线方程式。Ans ：y =0,x =1

7. 曲线y x x x =++2

在x = -1处之切线方程式。Ans ：2x +y +3=0

8. 设f (x )=x 3+ax 2+b ，a b R ,∈，若y =f (x )之图形通过点(1,4)且在此点的斜率为-3，则求a ,b 之值为何? Ans:a =-3,b =6

9. 若直线y=x 与曲线y =x 3-3x 2+ax 相切，试求a =? Ans ：a =1或134

10. 过点(,

)223-，且与曲线y x x =-1

3相切的直线有几条?其斜率分别为何? Ans ：(1)3 (2)0，3±2 3

微分积分公式全集

x 高中大学数学微分与积分公式（全集）（高中大学数学）二 _ 、重要公式（1） sin x lim 1 1 (2) lim 1 x 匸 e (3) lim : a(a o) 1 x 0 x x 0 n (4) lim n n 1 (5) limarctan x — (6) lim arc tan x — n x 2 x 2 (7) limarccot x x 0 (8) lim arccot x x (9) lim e x 0 x (10) lim e x x (11) lim x x 1 x 0 三、下列常用等价无穷小关系 (x 0) 四、导数的四则运算法则五、基本导数公式 ⑴c 0 ⑵x ⑷ cosx sinx （5） tan x (7) secx secx tan x ⑻ cscx cscx cotx 1 x (3) sin x cosx 2 sec x ⑹ cot x 2 csc x ⑼e x ⑽ a x a x lna 1 (11) In x n n 1 j a o x a 1x a n i m - m 1 b o x b ^x 1 b m a 。 b o （系数不为0的情况） lim x 0 n m

1 1 (12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx xln a 1 (15) arcta nx 2 1 x arccot x (17) 1 (18) 1 2 「 x 六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2) cu cu n (3) u ax b ax (4) k c n u (k) 七、基本初等函数的 n 阶导数公式 (1) (2) ax e ax e x n ln a sin ax n . a sin ax cos ax n a cos ax ax b n i n a n! n 1 ax b In ax n ax b 八、微分公式与微分运算法则 x 1dx (3) d sin x cosxdx cosx sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x csc 2 xdx

常用微分公式

(1)dx dx =nx n -1 ，n ∈N 。 (2)d x dx n x n N n n =∈-11 1,。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x 另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 1 1-x ③ (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，则f /(a )=a x →lim f (x )-f (a ) x -a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ] )(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n a -1)=1n (1 1-a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。?f (x )+g (x )为可微分的函数。且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+) ()()()( =a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求=+)(35x x dx d ？推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dx x df dx x df dx x df n )() ()(21+???++

常用微积分公式大全

常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用微积分公式基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

(完整word版)证明微积分基本公式

定义（定积分）设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：（1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ；（2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1（可积的必要条件）如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。引理（微分中值定理）设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：

导数基本常用公式及微分法则

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) x x e e =')( (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? （反函数）若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = （复合函数）设 )(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数dx du du dy dx dy ? =或)()(x u f y ?'?'='。

一元函数微分公式

【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：

(1)Ф’(t)在[α,β]上连续； (2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。 (2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。 (3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x换成右端的t；相应于第一换元积分法(凑微分法)就是把右端的t换成左端的x。几种常用的凑微分形式：（1）（2）（3）（4）（5）

常用微积分公式大全

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解：（为任意常数）例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：

微分积分公式大全

高等数学微分和积分数学公式（集锦）（精心总结）一、001011 01lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞ ?=??+++?=??? （系数不为0的情况）二、重要公式（1）0 sin lim 1x x x →= （2）()1 lim 1x x x e →+= （3 ）lim )1n a o →∞ >= （4 ）lim 1n →∞ = （5）lim arctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x +→= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x t a n x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()u v u v u v '''=+ 2 u u v u v v v '''-?? = ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x '= ⑿() 1log ln x a x a ' = ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=-

微积分基本公式

微积分公式 D x sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec 2 x cot x = -csc 2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x ? sin x dx = -cos x + C ? cos x dx = sin x + C ? tan x dx = ln |sec x | + C ? cot x dx = ln |sin x | + C ? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = π - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = π - cot -1 x sec -1(-x) = π - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 x D x sin -1 (a x )=221a x - cos -1 (a x )=221a x -- tan -1 (a x )=22a a x + cot -1 (a x )=22 a a x -+ sec -1 (a x )= 2 2 a x x a - csc -1 ( a x )=2 2 a x x a -- ? sin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C ? cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+C ? tan -1 x dx = x tan -1 x-?ln (1+x 2)+C ? cot -1 x dx = x cot -1 x+?ln (1+x 2)+C ? sec -1 x dx = x sec -1 x- ln |x+12-x |+C ? csc -1 x dx = x csc -1 x+ ln |x+12-x |+C sinh -1 (a x )= ln (x+22x a +) x ∈R cosh -1 (a x )=ln (x+22a x -) x ≧1 tanh -1 (a x )=a 21ln (x a x a -+) |x| <1 coth -1 (a x )=a 21ln (a x a x -+) |x| >1 sech -1 (a x )=ln(x 1-+2 2 1x x -)0≦x ≦1 csch -1 (a x )=ln(x 1+2 2 1x x +) |x| >0 D x sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech 2 x coth x = -csch 2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x ? sinh x dx = cosh x + C ? cosh x dx = sinh x + C ? tanh x dx = ln | cosh x |+ C ? coth x dx = ln | sinh x | + C ? sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C ? csch x dx = 2 ln |x x e e 211---+| + C d uv = u d v + v d u ? d uv = uv = ? u d v + ? v d u →? u d v = uv - ? v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θ

微积分常用公式

1.常用等价无穷小当时 2.常用极限 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 若Xn（n=1,2…）收敛,则算数平均值的序列也收敛，且 30. 若序列Xn(n=1,2…)收敛，且Xn>0,则

31. 若Xn>0(n=1,2…)且存在，则 32. 若整序变量,并且——至少是从某一项开始——在n增大时Yn亦增大，Yn+1>Yn，则 3.常用公式及不等式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 伯努利不等式 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 组合数公式排列数公式 19. 20. 21. 4.常用符号 1.记号n!!表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n，并且每两个数之间差 2. 例：

5.微分学基本公式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 6.不定积分表 1. 2. 3. 4. . 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16 17. 18. 19. 20. 21. 22.

22. 7.三角学公式 1.基本关系 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.两角和与差的三角函数公式 1. 2. 3. 4. 3.倍角公式 1. 2. 3. 4. 5. 6. 4.半角公式 1. 2. 3. 4. 5.和差化积公式 1. 2. 3. 4. 5.

常用微分公式

§1-3 微分公式 (甲)基本函数的微分公式 (1)dx n dx =nx n 1，n N 。 (2)。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/= sin x 另一种表示： (x n )/ =nx n 1 / )(n x =1 n 11-n x (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，则f /(a )=a x →lim f (x )f (a ) x a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ])(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n n a -1)=1n (1 1-n a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )f (a )x a = sin x sin a x a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )f (a )x a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (乙)导数的四则运算 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。f (x )+g (x )为可微分的函数。且 d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h / (a )=a x →lim h (x )h (a )x a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+)()()()( =a x →lim (f (x )f (a )x a + g (x )g (a )x a )=a x →lim (f (x )f (a )x a )+a x →lim (g (x )g (a ) x a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求 =+)(3 5x x dx d ？

三角函数微分公式

三角函数微分公式（转载） V重恒收录于2011-02-24 阅读数：公众公开原文来源 tags：三角函数微分我也要收藏基本函数函数英语简写关系正弦Sine sin 余弦Cosine cos 正切Tangent tan （或tg）余切Cotangent cot （或ctg、ctn）正割Secant sec 余割Cosecant csc （或cosec） [编辑] 少用函数

除六个基本函数，历史上还有下面六个函数： ?正矢 ?余矢 ?半正矢 ?半余矢 ?外正割 ?外余割 [编辑] 历史随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其它边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有尼西亚的喜帕恰斯（公元前180－125年）、埃及的托勒密（公元90－180年）、Aryabhata （公元476－550年），Varahamihira、婆罗摩笈多、花拉子密、Abū al-Wafā' al-Būzjānī、欧玛尔·海亚姆、婆什迦罗第二、Nasir al-Din al-Tusi、Ghiyath al-Kashi（14世纪）、Ulugh Beg（14世纪）、约翰·缪勒（1464）、Rheticus 和Rheticus 的学生Valentin Otho。

Madhava of Sangamagramma（约1400年）以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的《无穷微量解析入门》（Introductio in Analysin Infinitorum）（1748年）对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。 [编辑] 直角三角定义 [编辑] 直角三角形中 a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。 1. 一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sin A = 对边／斜边= a/h。 2. 一个锐角的余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cos A = 邻边／斜边= b/h。 3. 一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tan A = 对边／邻边= a/b。 [编辑] 直角坐标系中设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，是角的终边上一点，是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：

常用微分公式

§-3微分公式 (甲)基本函数的微分公式— ⑴d X =nx n ', n N 。(2)d X =IX nj *,n N UX dx n 另一种表示： (X n )/= nχn ' Qx)/=1 x n ' (C)/=0 证明： ⑵设a 为f(x)= n X 定义域中的任意点， / f(x) - f(a) 则 f (a)= Iim X -S a x —a l .坂-v a 「 √x —柘 = Iim = lim — … x-a X J a (l x-n a)[(n .x)n ' (n x)n ' n .a .... (n a)nj ] ⑷设a 为任意实数，f(x)=sinx f(x)-f(a) x-a ^ x - a X a 2sin ------ cos ------ sinx —sina 2 2 x-a x-a 计算f /(a)= x - a X a 2sιn cos — f(x)-f(a) 2 2 :Iim = Iim ( ---------- 2 ---------- 2—)=cosa 0 X r a x_a X x-a (L)(3)(5)自证 (L)f(x)与g(x)为可微分的函数。=f(χ)+g(χ)为可微分的函数且 dx(f(x)+g(x))= dx(f(x))+ dx(g(x))成立。另一种表示：(f(x)+g(x))/=f /(x)+g /(x) 证明：令h(x)=f(x)+g(x),设a 为h(x)定义域中的任一点 = lim f(X) +g(x)— f(a) —g(a) XT x - a g(x) -g(a) f(x) - f(a) g(x)-g(a). )=lim ( )+ Iim ( ) x —a χ)a x —a χ-a x —a 例：求—(x 5 3 xH ？ dx ~L-3-L~ dc ⑶U =0,其中C 为常数 (4)(s in x)∕=cosx (5)(cosx)/=_Si nx n(Va)n JL L LR =n (a ")=n (a / h(x)-h(a) h (a)= Iim χ-*a x —a ,f(x)—f(a) =Iim ( XT x_a =f /(a)+g /(a) 推论: dχ d (f L (x) + f 2(x) + ... + f n (x))= df L (x) . df 2(x) . . df n (x) dx dx dx

常用微分公式

微分积分公式全集

最新导数公式、微分公式和积分公式

常用微分公式

常用微积分公式大全

(完整word版)证明微积分基本公式

导数基本常用公式及微分法则

一元函数微分公式

常用微积分公式大全

微分积分公式大全

微积分基本公式

微积分常用公式

常用微分公式

三角函数微分公式

常用微分公式