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高考数列专项大题与答案

高考数列专项大题与答

案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考数列大题专项

1.（北京卷）设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且

为偶数21

为奇数

n n a n a a n +???=??+??, 记

211

4n n b a -=-

，n ＝＝l ，

2，3，…·．

（I ）求a 2，a 3；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（III ）求123lim()

n n b b b b →∞

+++

+．

2.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，

3n n

a S +=，n =1，2，3，……，求（I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；（II ）2462n

a a a a +++

+的值.

3．（福建卷）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.

（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{

b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的

大小，并说明理由.

4. （福建卷）已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n a 1

我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如

当a =1时，得到无穷数列：.

0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a

（Ⅰ）求当a 为何值时a 4=0；

（Ⅱ）设数列{b n }满足b 1=－1, b n+1=)

(11

+∈-N n b n ，求证a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }；

（Ⅲ）若)4(223

≥<

5. （湖北卷）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

（Ⅱ）设n

n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和T n .

6. （湖南卷）已知数列

))}1({log *

2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅱ）证明.

111112312<-++-+-+n

n a a a a a a

7. （江苏卷）设数列｛a n ｝的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+,

,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数.

(Ⅰ)求A 与B 的值;

(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列;

(Ⅲ)1m n >对任何正整数、都成立

8. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项

a ，前n 项和为n S ，且

0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的通项；（Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n

T 。

9. (全国卷Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和

)

,2,1( 0 =>n S n 。

（Ⅰ）求q 的取值范围；

（Ⅱ）设1

223

++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。

10. (全国卷II) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列．又

n b a =

，1,2,3,n =．

(Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列；

(Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于7

24，求数列{}n a 的首项1a 和公差d ．

答案

1.（北京卷）解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21

a +81；

（II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21

a 4=41a +316,

所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41

), 猜想：{b n }是公比为21

的等比数列·

证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21

b n , (n ∈N *)

所以{b n }是首项为a －41, 公比为21

的等比数列·

（III ）

11121

(1)12lim()lim

2()1141122n

n n n b b b b b a →∞

→∞

+===---.

2.（北京卷）解：（I ）由a 1=1，

113n n

a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116

()3327a S a a a ==++=

，

由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得14

3n n

a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n

∴ 数列{a n }的通项公式为

1114()2

33n n n a n -=??

=???≥；

（II ）由（I ）可知242,,,n a a a 是首项为31，公比为2

4()3项数为n 的等比数列，∴

2462n a a a a +++

+=2224

1()1343[()1]43731()3n n -?=--

3．（福建卷）解：（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即

.012,02

1=--∴≠q q a .

1-=∴或q

（Ⅱ）若.

2312)1(2,12n

n n n n S q n +=?-+==则

当

02)

2)(1(,21>+-=

=-≥-n n S b S n n n n 时故.n n b S >

若.

49)21(2)1(2,212n

n n n n S q n +-=--+=-=则

当

10)(1(,21---

==-≥-n n S b S n n n n 时

故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当

4. （福建卷）（I ）解法一：

1,11n n a a a a +==+

0.11

111.1111.1111,.}{.11

,1,1:)(.03

.32,11.21,11.1,01

1,0:.03

2.1223111

1211,11111112

231121

114222333

44342312=∴-==+

=∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-=

-==-=-=∴+==∴+

=-=∴=+∴==-=++=+

=++=+=+=+=+=∴+----++n n n n n n n

n n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当

故a 取数列{b n }中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a n }

5. （湖北卷）

解：（1）：当;2,1

11===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当

故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即

的等差数列. 设{b n }的通项公式为.

,4,,11=∴==q d b qd b q 则故

.42

}{,4121111---=?

-=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即

（II ）

4)12(422

411---=-==

n n n

n n n n b a c

]

4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121n n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴--

两式相减得

54)56[(91

]

54)56[(3

4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T

6. （湖南卷）（I ）解：设等差数列

)}

1({log 2-n a 的公差为d .

由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.

所以

)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即

.12+=n

n a （II ）证明因为n n

n n n a a a 21

1111=-=-++，所以n

n n a a a a a a 21

21212111132112

312++++=-++-+-+ .121121121

212

1<-=-?

-=n n

7. （江苏卷）

解：(Ⅰ)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =．

把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,

248A B A B +=-??

+=-?

解得，20A =-，8B =-．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即11582208n n n na S S n ++--=--，

①

又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-．

②

②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-，即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-．

③

又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．

④

④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=，

∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=，又215a a -=，

因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，

54,()n a n n *

=-∈N ．考虑 55(54)2520mn a mn mn =-=-．

21)11m n m n m n a a a a a a =++++2515()9

m n m n =-++．

∴251)15()291522910

mn a m n -+-?-=>．

即

51)mn a >

1．

8. (全国卷Ⅰ)

解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********

a a a a a a +++=+++ 可得

.)(220121*********

10a a a a a a q +++=+++? 因为

>n a ，所以 ,1210

10=q 解得

21=

q ，因而 .

,2,1,21

11 ===-n q a a n n n

（Ⅱ）因为}{n a 是首项

a 、公比

21=

q 的等比数列，故 .2,211211)

1(21n n n n n n n nS S -=-=--=

则数列}{n nS 的前n 项和

),22221()21(2n n n

n T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n

n n T 前两式相减，得 1

22)212121()21(2

12+++++-+++=n n n n

n T

2211)

211(214)1(++-

+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T

9. (全国卷Ⅰ)

解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得

当;0,1

1>==na S q n 时 1(1)11,0,0,(1,2,)

11n n

n a q q q S n q q --≠=>>=--当时即

上式等价于不等式组：),2,1(,01,

01 =???<-<-n q q n

①

或),2,1(,01,

01 =???>->-n q q n

②

解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1

（Ⅱ）由2132n a n b a a ++=-得.

)23

(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=

于是)123(2--=-q q S S T n n n ).

2)(21

(-+=q q S n

又∵n S >0且－10

当

12q -<<-

或2q >时0n n T S ->即n n T S >

当1

22q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <

当1

2q =-

或q =2时，0n n T S -=即n n T S =

10. (全国卷II)

(I)证明：∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列 ∴22lg a =1lg a +4lg a ，即2

214a a a =

又设等差数列{}n a

的公差为d ，则(1a －d )2=1a (1a －3d ) 这样21d a d =，从而d (d －1a )=0

∵d ≠0 ∴d =1a ≠0

∴122111

(21)22

n n n n n n a a d db a d =+-==

∴{}n b 是首项为1b =12d ，公比为1

2的等比数列。

(II)解。∵

1231117

(1)22424b b b d ++=

++=

∴d =3 ∴1a =d =3