导数及导数应用专题练习题

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）

一、选择题

1. 设函数f （x ）存在导数且满足

，则曲线y=f （x ）在

点（2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2

2. 函数()1x

f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为

( )

A ．1y e x =-?+

B ．1y x =-+

C ．

y x

=- D ．

y e x

=-?

3. 曲线)0(1

)(3>-=x x

x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（）

A ．3

B ．3 C. 32 D ．6

4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π??????

，则点P 的横坐标的取值范围为（）

A ．[]0,1

B ．[]1,0-

C ．11,2??--???

?

D ．1,12??????

5. 已知23

()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++

++，则(0)f '=（ ）．

A ．n

B ．1n -

C ．(1)2

n n -D ．1

(1)2n n +

6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ．

B ．2

C ．3

D ．2

7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x

﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线12

y x =垂直

的切线，则实数m 的取值范围是（） A. 12

m ≤- B. 12

m >- C.

2m ≤

D. 2m >

10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数

y=f'（x ）的图象可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2

'()()

0xf x f x x

-<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D ． (－2,0)∪(0,2)

12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f ′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ） A ．

B ．π

C ．π

D ．

二、选择题

13. 若

c bx ax x f ++=24)(满足=-=)1(,2)1(//f f 则

14. 如图，直线l 是曲线y=f （x ）在点（4，f （4））处的切

线，则f （4）+f'（4）的值等于． 15. 已知f （x ）=xe

x

，g （x ）=﹣（x+1）2

+a ，若?x 1，x 2∈R ，使得

f （x 2）≤

g （x 1）成立，则实数a 的取值范围是

16. 若a ＞0，b ＞0，且函数f （x ）=4x

3

﹣ax 2

﹣2bx+2在x=1处有极值，

则ab 的最大值等于．

三、解答题

17. 已知函数1()2ln f x x x

=+.

（1）求函数

()

f x 的最小值；

（2）若1()2f x t x

≤-对任意的[1,]x e ∈恒成立，求实数t 的取值范围.

18.设()()3

2

0f x ax bx cx d a =+++≠.

（1）若()f x 是奇函数，且在1

3x =时，()f x 取到极小值－2，求()f x 的解析式; （2）若1a c d ===，且()f x 在 (0,+∞)上既有极大值，又有极小值，求实数b 的

取值范围.

19. 设函数2()[(31)32]e x

f x ax a x a =-+++.

（1）若曲线y = f (x )在点(2, f (2))处的切线斜率为0，求a ；

（2）若f (x )在x =1处取得极小值，求a 的取值范围.

20.已知向量(sin ,cos ),(cos ,cos )m b x a x n x x ==-，()f x m n a =?+，其中,,a b x R ∈.且满足

()2,(0)6

f f π'==(1)求,a b 的值；

(2)若关于x 的方程13

()log 0f x k -=在区间2[0,]3

π上总有实数解，求实数k 的取值范

围.

21.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m 与商品单价的降低值x （单位：元，0≤x ＜9）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件． （1）将一星期的商品销售利润y 表示成x 的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

22.已知函数3

1()ln 2

f x x ax x =--()

a R ∈.

（1）若

()

f x 在(1,2)上存在极值，求

(1)

f 的取值范围；

（2）当0x >时，()0

f x <恒成立，比较a

e 与232a e

+的大小.

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）参考答案

一、选择题 1--5.DCCCD 6--10.ACCCD 11-12.DD

二、填空题 13. －2 14、

15.a 16.9

三、解答题。

17.（1）函数的定义域为()0,+∞22

2121'()x f x x x

x

-=-=，()

f x 在

11

(0,)+22

∞上递减，在（，）上递增，所以当12x =时，

()

f x 取最小值且为1()22ln 22

f =-

（2）问题等价于：1ln t x x ≥+对[1,]x e ?∈恒成立，令1()ln g x x x =+，则2

1'()x g x x

-=， 因为[1,]x e ∈，所以'()0g x >，所以()g x 在[1,]e 上单调递增， 所以max 1()()1g x g e e

==+，所以11t e

≥+

18.解：（?）因为()

f x 是奇函数，所以

()()

f x f x -=-，即

()

32320ax bx cx d ax bx cx d a -+-+=----≠，

所以

0,0

b d ==，所以()()30f x ax cx a =+≠由()2

3f x ax c '=+，依题意，

111110,233327

3f a c f a c ????

'=+==+=- ? ?????，解得27,9a c ==-.经检验符合题意,故所求

函数的解析式为()3

279f x x x =-．

（?）当1a c d ===时，

()()3221,321f x x bx x f x x bx '=+++=++.

()

f x 在(0,+8)上既有极大值，又有极小值，∴

()23210

f x x bx '=++=有两个不等正

根.

即24120203b b

??=->?

?->??

,

解得b <.

19.解：（?）因为2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++，所以2()[(1)1]e x f x ax a x '=-++.

2(2)(21)e f a '=-，由题设知

(2)0

f '=，即2(21)e 0a -=，解得12

a =.

（?）由（?）得2()[(1)1]e (1)(1)e x x f x ax a x ax x '=-++=--.若a >1，则当1(,1)x a

∈时，()0f x '<；

当(1,)x ∈+∞时，

()0

f x '>.所以

()

f x 在x =1处取得极小值.

若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，110ax x -≤-<，所以()0

f x '>.

所以1不是

()

f x 的极小值点.综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞.

20. (Ⅰ)由题意知，2()sin cos cos f x m n a b x x a x a =?+=-+(1cos 2)sin 22

2

a

b x x =-+ 由()26

f π=

得，8

a +

=，∵()sin 2cos 2f x a x b x '=+，

又(0)f '=，

∴b =∴2a =

(Ⅱ)由(Ⅰ)

得()1cos 22f x x x =-2sin(2)16

x π=-+∵203

x π??∈????

，，72666

x πππ-≤-≤，

∴12sin(2)26

x π-≤-≤，[]()03f x ∈，

. 又∵13

()log 0f x k -=有解，即3()log f x k =-有解，∴33log 0k -≤≤，解得1127

k ≤≤，所以实数k 的取值范围为1[,1]27

.

21【解答】解：（1）依题意，设m=kx 2

，由已知有5=k ?12

，从而k=5，

∴m=5x 2，∴y=（14﹣x ﹣5）（75+5x 2）=﹣5x 3+45x 2

﹣75x+675（0≤x ＜9）； （2）∵y ′=﹣15x 2

+90x ﹣75=﹣15（x ﹣1）（x ﹣5），由y ′＞0，得 1＜x ＜5， 由y ′＜0，得 0≤x ＜1或5＜x ＜9，可知函数y 在[0，1）上递减，在（1，5）递增，在（5，9）上递减，从而函数y 取得最大值的可能位置为x=0或是x=5， ∵y （0）=675，y （5）=800，∴当x=5时，y max =800，

答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大．

22.解：（1）∵213'()2f x a x x =--为(0,)+∞上的减函数，∴'(1)0

'(2)0

f f >???

∴1(1)(0,5)2f a =--∈. （2）当0x >时，()0

f x <恒成立，则31ln 02

x ax x --<，2ln 12

x a x x

>-对0x >恒成立.

设2

ln 1()2

x g x x x

=-(0)x >，3

2

1ln '()x x g x x --=

，

设3()1ln h x x x =--(0)x >，21'()30h x x x

=--<，∴()h x 在(0,)+∞上递减，

又(1)0h =，则当01x <<时，()0h x >，'()0g x >；当1x >时，()0h x <，'()0g x <. ∴max ()(1)g x g =12

=-，∴12

a >-，即a 的取值范围为1(,)2

-+∞.

设()

a p a e =a e =1()2

a >-，则'()a p a e =12

0a

e e

-

=->，

∴

()

p a 在1(,)

2

-+∞上递增，∴1()()2

p a p >-0==，∴a e >.