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琴生不等式【学生版】

自招竞赛数学讲义

琴生不等式和幂平均不等式

知识定位

不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。

本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。

知识梳理

琴生不等式

1. 凸函数的定义：

设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数；反之，若有1212()()

()22

x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2

π上的tan y x =，R +

上的2y x =，3y x =等

常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +

上的ln y x =等

2. 琴生(Jensen)不等式

若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()

()n n x x x f x f x f x f n n

++???+++???+≤

上式等号在12...n x x x ===时取到

反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：

1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；

2）假设n k =时命题成立，即1212()()()(

)k k x x x f x f x f x f k k

++???+++???+≤

那么当1n k =+时，设121

k k x x x A k ++++???+=+，

1211

111(1)(1)(1)()()()22

k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++???++-+

++-==

11111()(1)()(1)()11[()()][]22k

i k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k

++=+++-+-≤+≤+∑

所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++???+++-

所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++???++，变形即得证。

3.加权平均琴生不等式：

若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，且

1,0n

i i λ

λ==>∑，

则1

(()()n n

i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑

4．曲线凸性的充分条件：设函数()f x 在开区间I 内具有二阶导数，（1）如果对任意x I ∈，''()0f x ≥，则曲线()y f x =在I 内是下凸的；（2）如果对任意x I ∈，''()0f x ≤，则()y f x =在I 内是上凸的。

幂平均不等式

若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1

11()()n

i i x

x n n

βα==≥∑∑．

（幂平均不等式的证明见当堂练习题）

推论：由幂平均不等式得333222333

a b c a b c

++++≥

例题精讲

【试题来源】2006复旦

【题目】设12,(0,

)2x x π

∈，且12x x ≠，下列不等式成立的有

（1）

1212tan tan tan 22x x x x ++> （2）1212tan tan tan 22x x x x

++< （3）1212sin sin sin 22x x x x ++> （4）1212

sin sin sin 22

x x x x ++<

【选项】（A ）（1）（3）（B ）（1）（4）（C ）（2）（3）（D ）（2）（4）

【试题来源】

【题目】

证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数

(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2

h x x π

=在[0，上是下凸函数

【试题来源】【题目】

用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：1212

n i n a a a a R a a a n

+++

+∈≥，则．

【试题来源】【题目】

证明幂平均不等式：若αβ>，且0,0αβ≠≠，0i x >，则1

()(

i i i x

x n

α==≥∑∑

【试题来源】【题目】

a b c +∈R ，，，且a + b + c = 3，求证：8181819a b c +++++≤．

【试题来源】【题目】

()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，，

1212()()[(

)]2

x x f x f x f +≥。求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[(

)]n n

n x x x f x f x f x f n

+≥。

【试题来源】【题目】

设0i x >(1,2,,)i n =???，

i x

==∑，

求证：

1212

121111

n n

x x x x x x x x x n ++???+++???+≥----

【试题来源】【题目】

已知,,0a b c >，1a b c ++=，求证：11113

a b c

a b c ---≤

【试题来源】【题目】

证明赫尔德（Holder ）不等式：,(1)i i a b i n ≤≤是2n 个正实数，,0,1αβαβ>+=，

则11221212()()n n n n a b a b a b a a a b b b αβαβαβαβ++???+≤++???+++???+

【试题来源】匈牙利奥林匹克数学竞赛【题目】

求椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>内接n 边形的最大面积

习题演练

【试题来源】02成都模拟【题目】

在ABC ?中，sinA sin sin B C ++的最大值为（）

【选项】 A

21 B 23 C 223 D 2

【试题来源】02成都模拟改编【题目】

在锐角ABC ?中，cosA cos cos B C ++的最大值为（）【选项】 A

21 B 23 C 223 D 2

【试题来源】【题目】

若12,,...,n a a a 是一组实数，且12...n a a a k +++=（k 为定值），试求22212...n a a a +++的最小值。

【试题来源】【题目】

设A B C 、、是ABC ?的三个内角，λ是非负常数，求

tan

tan tan tan tan tan 222222

B C C A A B

λλλ+++++的最大值。

【试题来源】【题目】

已知：120,(1,2,,)2,1i n x i n n x x x >=≥++

+=，，求证：12121

n x x x

n x x x n

≥

【试题来源】【题目】证明不等式3

()

a b c a b c abc a b c ++≤，其中，,,a b c 均为正数。

【试题来源】【题目】

求证:在凸四边形ABCD 中,有 1)

sin sin sin sin 22224A B C D ≤

sin

sin sin sin 222222A B C D

+++≤

【试题来源】【题目】

若23A B C π++=

则求证：1) 2sin sin 3sin 3

A B C ++≤ 2)

27cos cos cos 64A B C ≤

【试题来源】【题目】

30P ABC PAB PBC PCA ?∠∠∠?若为内任一点，求证、、中至少有一个小于或等于；

【试题来源】2011湖北【题目】设(),1,2,

,k k a b k n =均为正数，证明：

（i ）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++，则12121n b b b n a a a ≤

（ii ）若121n b b b ++

+=，则1222212121

n b b b n n b b b b b b n

≤≤+++。

【试题来源】【题目】

已知3x ≥，求证：

（1）当01t <<时，有不等式(1)(2)(3)t

x x x x --<---；

（2）当1t >时，有不等式(1)(2)(3)t t t t

x x x x -->---。

【试题来源】【题目】

,01,1,2,...,i i a R x i n +

∈≤≤=且1

i i a ==∑求证：12

1121

11...n n

i a a a i i

n a x x x x =≤++∑

等号成立当且仅当12...n x x x ===

【试题来源】【题目】

设0i x π<<(1,2,,)i n =???，且12n x x x x n ++???+=，证明：1

sin sin n

i i i x x

x x =≤

∏

【试题来源】IMO 预选【题目】

已知,,0a b c >，且1ab bc ca ++=，求证：3331111

666b c a a b c abc

+++++≤

基本不等式中“1的妙用教师版PDF

基本不等式中“1 的妙用” 例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y +=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换. 【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13 x y ==时取等号. （3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即 2 y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x +++≥，当且仅当4x y y x =即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求 1213 x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223 x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值；【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数. 【答案】（1）整式变形成113x y +++=，

基本(均值不等式)不等式知识点基础练习

VIP 免费欢迎下载学生姓名：任课教师：试卷审查教师：测试科目：涉及章节：教师评语：不等是知识点 ★ 知识梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重难点突破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值二方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1，日期： 2012- 时间：

∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22，当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为。点拨：错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热点考点题型探析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值

上海昂立智立方数学高中高一(秋季班) 高数—10秋—08—基本不等式—翁军成-教师版

高一数学秋季班（教师版）教师日期学生课程编号08课型同步复习课题基本不等式教学目标 1.掌握基本不等式的概念； 2.掌握几个重要不等式； 3.掌握比较法，综合法，分析法证明不等式的基本思路； 4.掌握简单基本不等式的相关证明问题；教学重点 1.掌握不等式的使用条件； 2.掌握不等式的变形； 3.掌握多次使用不等式的方法；教学安排版块时长1知识梳理10 2例题解析60 3巩固训练40 4师生总结10 5课后练习60

一、基本不等式： 1.若,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 2.（1）“积定和最小”：ab b a 2≥+?如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值 2P ；（2）“和定积最大”：2 2? ? ? ??+≤b a ab ?如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S 。 3.若,a b R + ∈，22 22 a b a b ab ++≥≥ 加权平均》算术平均》几何平均二、均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号变式：2 2 2 ()22 a b a b ab ++≥ ≥ 推广：123,,,,n a a a a L 是n 个正数，则 12n a a a n +++L 称为这n 个正数的算术平均数，12n n a a a ???L 称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是： 1212n n n a a a a a a n ++???+≥??????，当且仅当12n a a a ===L 时等号成立。知识梳理基本不等式

5第五讲不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本

第一课时：不等式关系与不等式知识点一不等关系思考限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km /h ，用不等式如何表示？答案 v ≤40. 梳理试用不等式表示下列关系： (1)a 大于b a ＞b (2)a 小于ba b ?a －b >0；a ＝b ?a －b ＝0； a b ?b b ，b >c ?a >c (传递性)；第三节.不等关系与基本不等式基本不等式

(3)a >b ?a ＋c >b ＋c (可加性)； (4)a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0?ac >bd ； (7)a >b >0?a n >b n (n ∈N ＋)； (8)a >b >0n ∈N ＋)．类型一用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解提价后销售的总收入为? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式? ?? ?? 8－x －2.50.1×0.2x ≥20. 反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时： (1)要先读懂题，设出未知量； (2)抓关键词，找到不等关系； (3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm