概率统计期末练习3参考答案
1.(4分)设P (A )=0.35, P (A ∪B )=0.80,那么(1)若A 与B 互不相容,则P (B )=0.45;(2)若A 与B 相互独立,则P (B )= 9/13 。
2. (3分)已知5.0)0(=Φ(其中)(x Φ是标准正态分布函数),ξ~N (1,4),且
1
2{}P a ξ≥=,则a = 1 。
分析:因为ξ~N (1,4),所以
1
012~(,)N ξ- 111
222a P ξ--???≥= ???
11
22
a -???Φ= ?
?? 102a -?= 1a ?= 注:也可以利用正态分布的对称性,直接画一个草图即可得到结论。
3.(4分)设随机变量ξ的概率密度为1
04
80,(),x x f x ?<=???其他
对ξ独立观察3次,记事件“ξ≤2”出现的次数为η,则=ηE 3/4,=ηD 9/16。 分析:分析:p{ξ≤2 }=2
2
2
20
0111()8164
f x dx xdx x -∞
====?
?
,所以 1~3,4B η??
???
,二项分布()~,X B n p 的数学期望与方差分别为
()p,E X n = 1()()D X np P =- 所以 =ηE 13344
?
= ,119314416D η??=??-= ???
4.(3分)若随机变量ξ在(0,5)上服从均匀分布,则方程4t 2+4ξt +ξ+2=0有实根的
概率是 0.6 。
5.(4分) 设总体2~(,)X N μσ,X 是样本容量为n 的样本均值,则随机变量
2
1n
i i X X ξσ=??-= ? ?
?
?
∑服从2
1()n χ-分布,=ξD )1(2-n 。 分析:因为2
~(,)X N μσ,所以由抽样分布定理知()()2
22
11~n S n χσ--
而
()()
()2
22
2
1111
1n
i
i n S n X X n σσ=--=
?
--∑2
1n i i X X
σ=??
-= ? ??
?
∑ 故 ()2
211~n
i i X X
n χσ=??-- ? ?
??
∑ ,再由)1(2
-n χ的性质知 ()121(),()E n D n ξξ=-=- 二.选择(每题3分,计9分)
1.设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( D )
(A )A 与B 不相容 (B )A 与B 相容 (C )P (AB )=P (A )P (B ) (D )P (B A -)=P (A )
分析:A 和B 互不相容时,有可能A 与B 不相容,如B A =,也可能A 与B 相容的,例如取B 真包含在A 中,此时A 与B 相容,所以(A )(B )都不正确; A 和B 互不相容时,一定有0()P AB =,但不一定有P (AB )=P (A )P (B ),故(C )也是错的。只有(D )是正确的。事实上
()()()()()P A B P A AB P A P AB P A -=-=-=
2.设随机变量ξ与η均服从正态分布ξ~N (μ,42),η~N (μ,52),而 }5{},4{21+≥=-≤=μημξP p P p ,则( A )。
(A )对任何实数μ,都有p 1=p 2 (B )对任何实数μ,都有p 1
p 2 分析:因为ξ~N (μ,42),η~N (μ,52), 所以
014~(,)N ξμ- , 015
~(,)N ημ
- 由14{}p P ξμ=≤-得1114()p P ξμ-??
=≤-=Φ-
??? 2515{}P p P ξμημ-??=≥+=≥ ???11115P ()ξμ-??
=-<=-Φ ???
再由标准正态分布的对称性可知1()Φ-11()=-Φ,对任何实数μ,都有p 1=p 2。
3.对于任意两个随机变量ξ和η,若ηξξηE E E ?=)(,则( D )。
(A )ηξξηD D D ?=)( (B )ηξηξD D D +=+)(
(C )ξ和η独立 (D )ξ和η不一定相互独立。 分析:回忆:当X 与Y 相互独立时,都有 (1)E (XY )=E (X )E (Y )
(2)22()()()D aX bY a D X b D Y +=+ (3)00(,),XY Cov X Y ρ==
但反之,上面之一成立并不能一定推出X 与Y 相互独立。
三(12分)、在电源电压不超过200伏,在200~240伏和超过240伏三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2。假设电源电压ξ服从正态分布N (220, 252),试求(已知()788.08.0=Φ,其中)(x Φ是标准正态分布函数):
(1)该电子元件损坏的概率α;
(2)该电子元件损坏时,电源电压在200~240伏的概率β。
解:引进事件:A 1={电压不超过200V },A 2={电压在200V ~240V },A 3={电压超过240V },B ={电子元件损坏。由于ξ~N (220, 252),因此
12202002202002525(){}P A P P ξξ--??
=≤=≤????
081080212(.)(.).=Φ-=-Φ=
2240220200220
2002402525
(){}(
)()P A P ξ--=≤≤=Φ-Φ 08080576(.)(.).=Φ-Φ-=
32401021205760212(){}....P A P ξ=>=--= 由题设知 P (B |A 1)=0.1, P (B |A 2)=0.001, P (B |A 3)=0.2。
(1)由全概率公式
3
1
()()(|)i i i P B P A P B A α===∑
0212010576000102120200642.......=?+?+?=
(2)由贝叶斯公式
22205760001000900642
()(|)..(|).().P A P B A P A B P B β?===≈
四(15分)、设随机变量(ξ,η)的联合概率密度00,(,),y xe x y
f x y -?<<=??
其它
(1)求ξ、η的边际概率密度并考察ξ与η独立性。 (2)求ηξζ+=的概率密度函数;(3)求ξηρ。
解: (1)000,()(,),.y x x
xe dy xe x f x f x y dy x ξ+∞--+∞-∞?=>?==?
?≤?
?? 2010200,()(,),.y y
y xe dx y e y f y f x y dx y η--+∞-∞
?=>?==??≤?
?? 由于(,)()()f x y f x f y ξη≠?,故ξ与η不独立。
(2)()(,)f z f x z x dx ζ+∞-∞=-?
显然仅当0x z x <<-,即02x z <<时,上述积分不等于零,故
2010200/()(),()(,),.z z x z
z z xe dx e e z f z f x z x dx z ζ----+∞-∞?=+->?=-=??≤??? (3)0
2()x E xf x dx x xe dx ξξ+∞
+∞
--∞==?=??;
2220
6()x E x f x dx x xe dx ξξ+∞
+∞
--∞
=
=
?=?
?
;
222()D E E ξξξ=-=。
同理,3=ηE ,=ηD 3;
8()(,)y x
E xyf x y dxdy dx xy xe dy ξη+∞+∞+∞
+∞--∞
-∞
=
=
?=??
?
?
。
故 8
232(,)()E E E ξηξηξη=-?=-?=C o v 。
于是,
ξη
ρ===
五(8分)、已知随机变量ξ只取-1,0,1,2四个值,相应的概率依次为
c2
1
,
c4
3
,c8
5
,
c
16
7
,确定常数c,并计算}0
|1
{≠
<ξ
ξ
P和ξ
E。
解:由于
c2
1
+
c4
3
+
5
8c
+
c
16
7
=1,因此
16
37
=
c。
101
10032
00
{,}{}
{|}.
{}{}
P P
P
P P
ξξξ
ξξ
ξξ
<≠=-
<≠===
≠≠
13571616
(1)012
248163737
Eξ
??
=-?+?+?+??=
?
??
六(8分)某单位设置一电话总机,共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线相互独立的,设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话,问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?(已知()90.0
)
282
.1(
,
8413
.0
)0.1(
,
788
.0
8.0=
Φ
=
Φ
=
Φ,其中)
(x
Φ是标准正态分布函数)
解:以ξ表示同时使用外线的分机数,则ξ~B(200,0.05)。设总机需设x根外线,则有{}%
90
≥
≤x
Pξ,
即
05
090
5095
.
P≤≥
由中心极限定理,有
090
.
Φ≥, 由题设所给数据得282
.1
5.9
10
≥
-
x
解得95
.
13
≥
x
故总机需要14根外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
七. (10分) 设总体X~N (2
,σ
μ),其中μ已知,而2σ未知,(x1,x2,…,x n)为来自总体的样本值。试求2σ的矩估计量和极大似然估计量。
解矩估计
由于2
2
2)
(EX
EX
DX-
=
=σ,令∑
=
=
=
n
i
i
X
n
A
EX
1
2
2
2
1
即
2
2
)
(A
EX
DX=
+,又已知μ
=
EX。故2
σ的矩估计量为
∑
∑
=
=
∧
-
=
-
=
-
=
n
i
i
n
i
i
X
n
X
n
A
1
2
1
2
2
2
2
2)
(
1
1
μ
μ
μ
σ。
极大似然估计
μ已知时,似然函数为:?
?????--?=∑=-
n
i i
n
x L 122
2
2
2)(21exp )
2()(μσπσσ, 因此 ∑=--
-=n
i i
x
n L 122
22
)(21
)2ln(2)(ln μσπσσ,
令 0)(21
12)(ln 1
2422
2=-+
-=∑=n
i i
x
n d L d μσσσσ。
解得2
σ的极大似然估计为:∑=∧-=n
i i X n 1
22
)(1μσ。
八(8分)、某门课程考试成绩),(~2σμN X 。从其中任意抽出10份试卷的成绩为:
74,95,81,43,62,52,86,78,74,67
试求该课程平均成绩μ的置信区间。取置信度为95.01=-α。
(已知2281.2)10(,2622.2)9(,8125.1)10(,8331.1)9(025.0025.005.005.0====t t t t )
解:由题设得到
x =2.71)679574(10
1=+++ ,51.245)(9121012
=-=∑=i i x x s 。
又由置信度为1-α=1-0.05=0.95得临界值2622.2)9(025.0=t 。
故置信区间为
]41.82,99.59[]10
51
.2452622.22.71,1051.2452622.22.71[=+-。
九(12分)、设某厂生产的灯泡寿命(单位:h )X 服从正态分布),(2σμN ,μ0=1000为μ 的标准值,2σ为未知参数,随机抽取其中16只,测得样本均值x =946,样本方差s 2=1202。
试在显著性水平α=0.05下,考察下列问题:
(1)这批灯泡的寿命与1000是否有显著差异(即检验H 0:μ =1000,H 1:μ ≠1000)?
(2)这批灯泡是否合格(即检验0H ':μ ≥1000,1H ':μ <1000)? 解:(1)待验假设H 0:μ =1000,H 1:μ ≠1000
由于题设方差2σ未知,故检验用统计量为 )1(~/2
--=n t n
S X T μ 由α =0.0513.2)15(025.02/==?t t α
又由946=x 、s 2=1202,可算得统计量观测值t 为
8.116
/1201000
946/220-=-=-=n s x t μ 因13.2)15(8.1||025.0=<=t t ,故考虑接受H 0,从而认为这批灯泡的平均寿命与标准值的差异不显著。
(2)待验假设为0H ':μ ≥1000,1H ':μ <1000。 因为2σ未知,故仍选用统计量 )1(~/2
0--=
n t n
S X T μ。
由α =0.0575.1)15()1(05.0==-?t n t α,而统计量观测值亦同(1),即8.1-=t , 因75.1)15(8.105.0-=-<-=t t ,故拒绝H 0,即可以认为这批灯泡不合格。
诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2009— 2010学年第 一学期期末考试试卷 《 概率统计A 》 开课单位: 计算分院 ;考试形式: 闭卷; 考试时间:2010年 1 月24日; 所需时间: 120 分钟 题序 一 二 三 总 分 得分 评卷人 一. 选择题 (本大题共__10__题,每题2分共__20 分) 1、已知()0.87.0)(,8.0)(===B A P B P A P ,,则下列结论正确的是(B ) )(A 事件B A 和互斥 )(B 事件B A 和相互独立 )(C )()()(B P A P B A P += )(D B A ? 2、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数,为使)()()(21x bF x aF X F -=为某一随机变量的分布函数,在下列各组数值中应取( A ) )(A 5/2,5/3-==b a )(B 3/2,3/2==b a )(C 2/3,2/-1==b a )(D 2/3,2/1-==b a 3、设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,随着σ的增大,概率() σμ<-X P 满足 ( C ) )(A 单调增大 )(B 单调减少 )(C 保持不变 )(D 增减不定 4、设),(Y X 的联合概率密度函数为?? ???≤+=其他, 01 ,1),(2 2y x y x f π,则X 和Y 为 ( C )的随机变量 )(A 独立且同分布 )(B 独立但不同分布 )(C 不独立但同分布 )(D 不独立 且不同分布 得分 年级:_____________ 专业:_____________________ 班级:_________________ 学号:_______________ 姓名:__________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线… …………………………………………………… 年级:_____________ 专业:_____________________ 班级:_________________ 学号:_______________ 姓名________________ …………………………………………………………..装………………….订…………………..线………………………………………………………
填空题(每小题4分,共32分). 1.设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2.设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题(每小题4分,共32分). 1.设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2.设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3.设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4.若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5.设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6.设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________.
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3)
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
一、填空题 1.已知()0.8,()0.5,P A P A B ==且事件A 与B 相互独立,则()P B = 0.375 . 2.若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为 18 .012.012.008.01 11 1 b a X Y --,且X 与Y 相互 独立,则=a 0.2 ;=b 0.3 . 3.已知随机变量~(0,2)X U ,则2()[()] D X E X = 13 . 4.已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞平均数是7300,均方差是700。设X 表示每毫升白细胞数,利用切比雪夫不等式估计{52009400}P X <<89 ≥ . 5.设123,,X X X 是总体X 的样本,11231?()4X aX X μ =++,21231?()6 bX X X μ=++是总体均值的两个无偏估计,则a = 2 ,b = 4 . 二、单项选择题 1.甲、乙、丙三人独立地译一密码,他们每人译出密码的概率分别是0.5,0.6,0.7,则密码被译出的概率为 ( A ) A. 0.94 B. 0.92 C. 0.95 D. 0.90 2.某人打靶的命中率为0.8,现独立射击5次,则5次中有2次命中的概率为( D ) A. 20.8 B. 230.80.2? C. 22 0.85 ? D. 22350.80.2C ?? 3.设随机变量Y X 和独立同分布,则),,(~2σμN X ( B ) A. )2,2(~22σμN X B. )5,(~22σμN Y X - C. )3,3(~22σμN Y X + D. )5,3(~22σμN Y X - 4.对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =?,则( B ). A. ()()()D XY D X D Y =? B.()()()D X Y D X D Y +=+ C.X 和Y 独立 D.X 和Y 不独立 5.设 ()2~,X N μσ,其中μ已知,2σ未知,123 ,,X X X 为其样本, 下列各项不是 统计量的是( A ).
概率统计试卷 A 一、填空题(共5 小题,每题 3 分,共计15分) 1、设P(A) =a , P(B) = , P(A B ) = ,若事件A 与B 互不相容,则 a = . 2、设在一次试验中,事件A 发生的概率为p ,现进行n 次重复试验,则事件A 至少发生一次的概率为 . 3、已知P(A ) = , P(B) = , P(AB ) = ,则P(|B A B )= . 4、设随机变量X 的分布函数为 0,0,()sin ,0, 21.2x F x A x x x ππ?? ? =≤≤?? ? >??则A = . 5、设随机变量X ~(1)π,则P{ 2 ()X E X =}= . 二、选择题(共5 小题,每题3 分,共计15分) 1、设P(A|B) = P(B|A)=14, 2()3P A = , 则( )一定成立. (A) A 与B 独立,且 2 ()5P A B = . (B) A 与B 独立,且()()P A P B =. (C) A 与B 不独立,且 7 ()12P A B = . (D) A 与B 不独立, 且(|)(|)P A B P A B =. 2、下列函数中,( )可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) 3sin ,,()20x x f x ππ?≤≤?=???其它. (B) 3sin ,,()20x x g x ππ? -≤≤? =? ??其它. (C) 3s ,,()20co x x x ππ??≤≤?=???其它. (D) 31s ,,()20co x x h x ππ? -≤≤? =? ??其它. 3、设X 为一随机变量,若D(10X ) =10,则D(X ) = ( ). (A) 1 10. (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量X 服从正态分布2 (1,2)N ,12100,,X X X 是来自X 的样本,X 为样本均值,已知~(0,1)Y aX b N =+,则有( ). (A) 11,55a b == . (B) 5,5a b ==.
一 填空 1.设随机变量X 服从)1,1(-R ,则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 2. 设B A 、是两相互独立事件,4.0)(,8.0)(==A P B A P ,则._____)(=B P 3. .__________)3(,3)(,2)(=-==Y X D Y X Y D X D 独立,则、且 4. 已知._________)20(,533.0)20(4.06.0=-=t t 则 5. n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本,S 是样本标准差,则 ________)( 2 2 =σ nS D 6. 设._______}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式 7. 假设一批产品中一、二、三等品各占%10%20%70、、 ,从中随意取一种,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率是____________. 8、m X X X ,,,21 是取自),(211σμN 的样本,n Y Y Y ,,,21 是来自),(2 22σμN 的样本,且这两种样本独立,则___ ___ Y X -服从____________________. 9. 设____}3|{|,)(,)(2≤>-==σμσμX P X D X E 则由车比雪夫不等式得. 10、已知.__________)12(2)(=-=X D X D ,则 11、已知分布服从则变量)1(___________),1(~),,(~22--n t n Y N X χσμ 12设随机变量X 服从)1,1(-R ,则由切比雪夫不等式有{}≤≥1X P 。 13.已知1 1 1(),() ,()432 P A P B A P A B ===,则()P AB = , ()P A B = 。 14.若()0.5,()0.4,()0.3,P A P B P A B ==-=则()P A B = 。 15.若随机变量X 服从(1,3)R -,则(11)P X -<<= 。 16.已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E (XY )= 。 17.设随机变量,X Y 相互独立,且X 服从(2)P ,Y 服从(1,4)N ,则(23)D X Y -= 。
《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的 概率为__________. 答案: 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F =
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题(每小题4分,共20分) 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立,且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分,共40分) 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒,求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本,求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布,并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠,从长期实践知道,滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个,测得直径为(单位:毫米)14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
2010―2011―2概率统计试题及答案 一、选择题(每题3分,共30分) 1.已知4 1)()()(= ==C P B P A P ,161)()(==BC P AC P ,0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率______. 31) (A 83)(B 157)(C 5 2 )(D 2.设A 、B 、C 为3个事件.运算关系C B A 表示事件______. (A ) A 、B 、C 至少有一个发生 (B ) A 、B 、C 中不多于—个发生 (C ) A ,B ,C 不多于两个发生 (D ) A ,月,C 中至少有两个发生 3.设X 的分布律为),2,1(2}{ ===k k X P k λ,则=λ__________. 0)(>λA 的任意实数 3)(=λB 3 1 )(= λC 1)(=λD 4.设X 为一个连续型随机变量,其概率密度函数为)(x f ,则)(x f 必满足______. (A ) 1)(0≤≤x f (B ) 单调不减 (C ) 1)(=? ∞+∞ -dx x f (D ) 1)(lim =+∞ →x f x 5.对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著性水平α=0.05下接受 00:μμ=H ,那么在显著性水平 α=0.01下,下列结论正确的是______. (A ) 必接受0H (B )可能接受也可能拒绝0H (C ) 必拒绝0H (D )不接受,也不拒绝0H 6.设随机变量X 和Y 服从相同的正态分布)1,0(N ,以下结论成立的是______. (A ) 对任意正整数k ,有)()(k k Y E X E = (B ) Y X +服从正态分布)2,0(N (C ) 随机变量),(Y X 服从二维正态分布
任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷(A 卷) } 分 分 108
求:(1)常数k ,(2)P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解:(1)由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 (2)P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 (4)P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ,)4,0(~2N Y ,且X 与Y 相互独立,设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ,)(Z D ; (2) 求XZ ρ 解:(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f (1) 求X 的数学期望EX 和方差DX (2) 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解:(1)dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π,求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解:10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-
浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 ( A ) (2009 ~ 2010 第 一 学 期) 2010-1-14 任课教师 学院: 班级: 上课时间:星期 ____,_____节 学号: 姓名: 一、选择题(每题 2 分 , 共 10 分) 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 ( ) ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 ( ) 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 ( ) (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 ( ) (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 ( ) (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题(每空 3 分 , 共 30 分) 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ).
<概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ;
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)?
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 计算器 入场 考生姓名: 学号: 专业: 班级: 1.某人射击时,中靶的概率为4 3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( ). (A) 43412?)( (B) 343)( (C) 41432?)( (D) 34 1)( 2.n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为( ). (A ) a ,2n b (B )a ,n b (C)a ,n b 2 (D )n a ,b 3.若100张奖券中有5张中奖,100个人分别抽取1张,则第100个人能中奖的概率为( ). (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ). (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5.已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E ( ).
备用数据:22 0.950.950.05(3) 2.3534,(3) 6.815,(3)0.352 t χχ=== 8413.0)1(=Φ ,7881.0)8.0(,9993.0)2.3(=Φ=Φ. 一、填空题(18分) 1、(4分)已知5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ,则)(AB P = , )(B A A P ?= . 2、(4分)设随机变量ξ服从二项分布),4(p B ,01p <<,已知)3()1(===ξξP P ,则 =p ,)2(=ξP = . 3、(6分)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,随机变量Y 服从二项分布(2,0.5)B ,且 (,)0.5cov X Y =,则(3)E X Y -= ,(3)D X Y -= ,利用切比雪夫不等 式可得() ≥≤+-223Y X P . 4、(4分)设126,,X X X 相互独立且服从相同的分布,且1X 服从正态分布)9,0(N ,记 ()()22 2 123456 T a X X b X X X cX =+++++,其中,,a b c 为常数,且0≠abc ,当 a = , b = , c = 时,T 服从自由度为 的2χ分布. 二、(12分)甲、乙两人各自独立作同种试验,已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6,0.8. (1) 求两人中只有一人试验成功的概率; (2) 在已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下,求甲成功但乙未成功的概率。 三、(12分)设随机变量)4,1(~N ξ,)9,0(~N η,且ξ与η的相关系数2 1-=ξηρ. 记3 2 η ξ + =Z .求(1))(Z E ,)(Z D ;(2)),(Cov Z ξ. 四、(12分)假设二维随机变量(,)X Y 服从矩形 }10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀 分布. 记01X Y U X Y ≤?=? >?若若, 0212X Y V X Y ≤?=?>?若若, (1)求),(V U 的联合概率函数; (2)求概率)1(22≤+V U P . 五、(12分)设随机变量21ξξ与相互独立, 它们均服从标准正态分布.记 211ξξη+=,212ξξη-=.可以证明:(1η,2η)服从二维正态分布. (1) 分别求1η和2η的密度函数; (2) 求),(21ηη的联合密度函数; (3) 求概率() 22,2221≤≤-≤≤-ηηP . 六、(10分)某生产线上组装一件产品的所需时间X 服从指数分布,10)(=X E (单位:分钟),假设组装各件产品所需时间相互独立.用中心极限定理求组装100件产品所需时间在18小时至22小时之间的概率的近似值 七、(10分)设某种新型塑料的抗压力X 服从正态分布2 (,)N μσ,现对4个试验件做压力试 验,得到试验数据(单位:10MPa),并由此算出 4 4 21 1 32,268i i i i x x ====∑∑,分别求μ和σ的置 信水平0.90的双侧置信区间. 八、(14分)设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本,X 服从区间]8,8[θ+上的均匀分布,其中0>θ. θ未知. (1)求θ的极大似然估计θ?;(2)求θ的极大似然估计θ?的密度函数; (3)问:θ的极大似然估计θ?是否为θ的无偏估计?如果是的话,给出证明;如果不是的话,将其修正为θ的一个无偏估计.
模拟试题 填空题(每空3分,共45 分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B| A) = 0.85,则P(A| B)= P( A U B)= 1 2、设事件A与B独立,A与B都不发生的概率为—,A发生且B不发生的概率与 B 9 发生且A不发生的概率相等,则A发生的概率为:_______________________ ; 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 I Ae x, X c 0 4、已知随机变量X的密度函数为:W(x) = {1/ 4, 0 < X V 2,则常数A= 0, x>2
分布函数F(x)= ,概率P{—0.5
2013年下学期概率统计模拟卷参考答案 1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件:A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为(空1) . 2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设B i ={第i 次取到黑球},i =1,2,3,4. 则1234()P B B B B =(空2) . 解 用乘法公式得到 )|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P = .32a r b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+= =3/70 3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927 . 则每次试验成 功的概率为(空3) .. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19,那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3 = -p , 故 p =3 1 . 4. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2 2 ()()2E X E Y ==, 则2 [()]E X Y +=(空4) . 解 2 2 2 [()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++ 42420.52 6.XY ρ=+=+??= 5. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||}P X E X -()≥3=(空5) . 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2() {()}D X P X E X εε -≥≤, 所以 2 {||}9 P X E X -()≥3≤ . 6. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 2 12()k X X -为2σ的无 偏估计. 则常数k =(空6) . 解 由于2 2 2 121122[()][(2)]E k X X kE X X X X -=-+ 22211222[()2()()]2k E X E X X E X k σσ=-+==, 所以k = 1 2 为2σ的无偏估计. 1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) P (A )=0或P (B )=0.. (D) 以上答案都不对.
理工大学试卷(历年试题) 考试科目: 概率统计B(48学时) 考试日期: 命题教师: 2013年概率统计试题 一、填空题(每小题4分,共40分) 1.设A,B,C 为三个事件,则A,B,C 中至少有两个发生可表示为 。 2.已知1()4p A = ,1(|)2p A B =,1 (|)3 p B A =,则()p A B ?= 。 3.设事件A,B 互不相容,且1()2p A =,1 ()3p B =,则()p AB = 。 4.进行独立重复实验,设每次成功的概率为p ,失败的概率为1p -,将实验进行到出现一次成功为止,以X 表示实验次数,则()p X k == 。 5.已知随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布,即(2)X P ,则 (0)p X == 。 6.已知随机变量(2,1)X N -,(2,1)Y N 且,X Y 相互独立,则2X Y -服从的分布 是 。 7.若随机变量X 满足()1,()2,E X D X =-=则2(31)E X -= 。 8.设12,X X 是来自于总体X 的样本,1121233X X μ= +,21211 22 X X μ=+为总体均值μ的无偏估计,则12,μμ中较有效的是 。 9.设12 ,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本,2σ已知,则 2 1 2 () n i i X X σ =-∑服从的分布是 , 2 1 2 ()n i i X μσ=-∑服从的分布是 。 10.设12,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本,2σ未知,则μ的1α-的置信区 间是为 。
一、 填空题(每小题4分,共40分) 1.AB BC AC 2. 13 3.12 4. ()p X k ==1(1)k p p -- 1,2, k = 5. 2e - 6.(6,5)N - 7. 8 8. 2μ 9. 22(1),()n n χχ- 10. 22(_ (1),(1))x n x n αα-- 二、(10分)某保险公司把被保险人分为三类:谨慎的、一般的、冒失的,统计资料表明,上述三种人在一年发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30。如果谨慎的占总的被保人数的20%,一般的占50%,冒失的占30%,(1)求某被保人在一年发生事故的概率;(2)若此人在一年发生事故,则他是谨慎的客户的概率是多少。 解. 设事件B 为 “被保险人在一年出了事故” 这一事件;事件123,,A A A 分别为“谨慎的、一般的、冒失的被保险人”,则根据全概率公式可得: 112233()(|)()(|)()(|)()P B p B A p A p B A p A p B A p A =++ 3分 =0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.3=0.175 5分 111112233(|)() (|)(|)()(|)()(|)() p B A p A P A B p B A p A p B A p A p B A p A = ++ 8分 = 0.050.2 0.05710.175 ?= 10分 三、(10分)已知连续型随机变量X 有分布函数: ()arctan , F x A B x x =+-∞<<∞,试求 (1)系数,A B ;,(2) 求概率密度()f x ;(3) X 在区间(,)a b 取值的概率。