三角函数错解一例剖析

三角函数问题错解一例剖析

□周双进

(两当县第一中学，甘肃，两当

742400) 例1．在ABC ?中，已知53

sin =A ，13

5cos =B ，求C cos 的值。 这道题目，是高中数学三角函数中的常见题型。笔者在教学中，发现学生对此问题的错解率特别高。

学生中常见的解答过程如下：

错解：在ABC ?中， 135cos =B ，∴B 为锐角，且13

12sin =B . 又53sin =A ，∴A 可能为锐角也可能为钝角。

(1)当A 为锐角时，54cos =A .

∴ B A B A B A B A C sin sin cos cos )cos()](cos[cos +-=+-=+-=π =65

1613125313554=?+?-. (2)当A 为钝角时，54

cos -=A .

∴ B A B A B A B A C sin sin cos cos )cos()](cos[cos +-=+-=+-=π =65

56131253135)54(=?+?--. 故所求C cos 的值6516或65

56。

似乎他们考虑的很全面，在已知三角形一个内角A 的正弦值sinA （其中sinA<1），求cosA 时，应该分A 为锐角和钝角两种情况进行讨论。但他们往往忽视三角形三个内角之间的内在联系，忽视三个角的三角函数值之间的数量关系。

不难分析，上例中A 不可能为钝角，只能是锐角，故正确结果应是 C cos =65

16. 其实，对于三角函数中类似问题，我们有如下结论：

结论1．在ABC ?中，若B A sin sin <，则A 必为锐角。

结论2．在ABC ?中，若1sin sin <

结论3．在ABC ?中，若B A sin sin =，则A 、B 均为锐角，且B A =。

进一步地，综合上述几个结论，我们有如下定理：

定理：在ABC ?中，B A sin sin ≤成立的充要条件是B A ≤。即

下面对以上几个结论进行证明。 结论1的证明：用反证法证明。

假设A 不是锐角，由于A 是ABC ?的一个内角，则A 为直角或钝角，且B 只能是锐角。即

ππ

<≤A 2,

.20,20π

π

π<<≤-<∴B A

由)sin(sin A A -=π和题设B A sin sin <，知

B A sin )sin(<-π.

根据函数x y sin =的单调性，有

B A <-π，即

π>+B A ，这与π<+B A 矛盾.

故A 必为锐角.

结论2的证明：

只需证明B 为锐角和B 为钝角的三角形存在即可。

根据结论1，知A 为锐角。

2)arcsin(sin )arcsin(sin π

<<=B A A ，

(1)若)arcsin(sin B B =，则B 为锐角。

显然，以锐角A 和锐角B 为内角的ABC ?是存在的。

(2)若)arcsin(sin B B -=π，则B 为钝角，且

.)]arcsin(sin )n [arcsin(si )]arcsin(sin [)arcsin(sin πππ<--=-+=+A B B A B A

因此，以锐角A 和钝角B 为内角的ABC ?也是存在的。

故在题设条件下，B 可能为锐角，也可能为钝角。

结论2也可以由作图直接验证而得。

其实，以上结论均可以用正弦定理来证明。

以下用正弦定理证明定理：在ABC ?中,B A sin sin ≤?B A ≤. 证明：在ABC ?中,由正弦定理

R C

c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ?外接圆的直径）知， A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=.

所以，在ABC ?中，

B A ≤?b a ≤?B R A R sin 2sin 2≤?B A sin sin ≤，即 B A sin sin ≤?B A ≤.

最后，我们再做一个类似题型的练习。

例2．在ABC ?中，已知135sin =

A ，53sin =

B ，则B A cos cos +的值是( )。 (A)65112；(B)65112或658；(C)65112或658-；(D)65112或658或658-。 解： 1sin sin <

∴ A 必为锐角，且13

12cos =A ，而B 则可能为锐角，也可能为钝角。

(1)当B 为锐角时，5

4cos =B .

∴ 65112541312cos cos =+=+B A . (2)当B 为钝角时，5

4cos -=B .

∴ 658541312cos cos =-=+B A . 故应选（B ）。

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度， 所得的部分图象如右图所示，则?的值为（ ） A ．6 π B ．3 π C ．12 π D ．23 π 2．已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ，为了得到()sin 2g x x =的图象，则 只需将()f x 的图象（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向右平移6 π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3 π 个长度单位 3．若113sin cos αα +=sin cos αα=（ ） A ．13- B ．13 C ．13-或1 D ．13或-1 4．2014cos()3 π的值为（ ） A ．12 B ． 3 2 C ．12- D ．32 - 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -．2 1k - C 2 1k -．2 1k k -- 6．若sin a = -45 ，a 是第三象限的角，则sin()4 a π +=（ ） （A ）-7210 （B ） 7210 （C ）2 - 10 （D ） 210

7 ．若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα，且)2 ,4(ππα∈，则α2tan 的值为（ ） A ．3 4- B ．4 3- C ．4 3 D ．3 4 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是 （ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C ．)(x f 的最大值为2 D ．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数2（ωφ），φ＜2 π的图象，那么 A.ω=11 10，φ=6 π B.ω=10 11，φ6π C.ω=2，φ=6 π D.ω =2，φ6 π 10．要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象，只需要将函数sin 4y x =的 图象（ ） A ．向左平移3 π个单位 B ．向右平移3 π 个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12 π个单位 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象

初三锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围 】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． 第1题图 ①斜边)(sin = A ＝______， 斜边)(sin = B ＝______； ②斜边 ) (cos =A ＝______， 斜边 ) (cos =B ＝______； ③的邻边A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠= ＝______． 例2. 锐角三角函数求值： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ． 典型例题： 类型一：直角三角形求值

1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．

三角函数综合应用解题方法总结(超级经典)

精锐教育学科教师辅导教案

例3：求函数y=f(x)=cos 2 2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x- 23)2-4 5, ∴当cos2x=1,即x= k π,(k ∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= k π+ 2 π ,( k ∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角?，化为y=22b a +sin （x+?）,利用函数()1sin ≤+?x 即可求解。Y=asin 2 x+bsinxcosx+mcos 2 x+n 型亦可以化为此类。 例4：已知函数()R x x x x y ∈+?+= 1cos sin 2 3cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。 [分析] 此类问题为x c x x b x a y 2 2 cos cos sin sin +?+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为 x b x a y cos sin +=型求解。 解： ().4 7,6,2262,4562sin 21452sin 23 2cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+??? ??+=+???? ??+=++=+?++?=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ 5. 利用数形结合 例5： 求函数y x x = +s in c o s 2的最值。 解：原函数可变形为y x x = ---s i n c o s () .0 2 这可看作点Ax xB (c o s s i n )() ，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 2 2 1+=上的动点。由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质，y y m a x m i n .= =-333 3 ， 6、换元法 例6：若0

人教中考数学锐角三角函数-经典压轴题附详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再

最新九年级《三角函数》知识点、经典例题

九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2 22c b a =+ 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 斜边的对边A A ∠= sin c a A =sin 1sin 0<A (∠A 为锐角) B A cot tan = B A tan cot = A A cot 1 tan = (倒数) 1cot tan =?A A 余切 的对边 的邻边A A A ∠∠= cot a b A =cot 0cot >A (∠A 为锐角) 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° αsin 0 2 1 2 2 2 3 1 αcos 1 2 3 2 2 2 1 0 αtan 0 3 3 1 3 - αcot - 3 1 3 3 0 6、正弦、余弦的增减性： ) 90cot(tan A A -?=)90tan(cot A A -?= B A cot tan = B A tan cot = )90cos(sin A A -?=) 90sin(cos A A -?= B A cos sin =B A sin cos =A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 斜边 A C B b a c A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A

求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)

求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．

第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C

锐角三角函数专项复习经典例题

1、平面内，如图17，在□ABCD 中，10AB =，15AD =，4tan 3A =．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90?得到线段PQ ． （1）当10DPQ ∠=?时，求APB ∠的大小； （2）当tan :tan 3:2ABP A ∠=时，求点Q 与点B 间的距离（结果保留根号）； （3）若点Q 恰好落在□ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积（结果保留π）． 2、如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向，已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41） 3、如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） B A P C D Q 备用图17 A B C D P Q

4、如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度． 5、一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为米． 6、如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算?号楼的高度CD． 7、某学校教学楼（甲楼）的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31cm，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°． （1）求甲楼的高度及彩旗的长度；（精确到0.01m） （2）若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼（乙楼）楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲乙两楼之间的距离．（精确到0.01m） （cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

三角函数10道大题(带答案)

三角函数大题转练 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π π · （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[ππ-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0,4?? ∈ ? ? ? πα，若()2cos 2,2 f =αα求α的大小 ： 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.

5、 设函数2())sin 4 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； ； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2 g x g x π+=，且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相 邻两条对称轴之间的距离为2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2 πα∈，则()22 f α =，求α的值. ' 7、设426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? -???? 上为增函数，求 ω的最大 值.

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧 锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。 一、 化简或求值 例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。 （2）化简()()22 sin cos cos sin a b a b αααα++-。 分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=?；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得 tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝ tan cot αα-。由tan 2α=， 得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222 -=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝ 2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+??+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-??+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。 说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα?=等。 二、已知三角函数值，求角 例2 在△ABC 中，若2 cos sin 02A B ?-+= ??(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。 分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。

三角函数10道大题(带答案)1

三 角 函 数 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+ -. (Ⅰ)求 ()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++ =π π (Ⅰ)求函数)(x f 的最小正周期;（Ⅱ)求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π- 上的最大值和最小值． 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+ π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期; (II)设0,4?? ∈ ?? ? πα，若( )2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期;(2)求)(x f 的单调递减区间.

5、 设函数2())sin 4 f x x x π = ++. (I ）求函数()f x 的最小正周期； (II ）设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π + =,且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为３， 其图像相邻两条对 称轴之间的距离为 2 π， (1)求函数()f x 的解析式；(2)设(0,)2π α∈,则()22 f α =，求α的值. 7、设 426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω,其中.0>ω (Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? - ???? 上为增函数,求 ω的最大值．

初三锐角三角函数知识点总结典型例题练习

三角函数专项复习 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 对 边 C

7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 8、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做 坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东45°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。 :i h l =h l α

三角函数10道大题(带答案)

三角函数 令狐采学 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()3 2sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π π （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0, 4?? ∈ ?? ? πα，若()2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 5、设函数2())sin 24 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2 g x g x π+=，且当[0,]2 x π∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3，其图 像相邻两条对称轴之间的距离为2 π， （1）求函数()f x 的解析式；

（2）设(0, )2π α∈，则()22 f α =，求α的值. 7、设426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω-ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )=的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? -???? 上为增函数，求ω的最 大值. 8、函数 2 ()6cos 3(0)2 x f x x ωωω=+->在一个周期内的图象 如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为正三角形. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若0()f x =，且0102(,)33 x ∈-，求0(1)f x +的值. 9、已知 ,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边， cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c . 10、在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosA ＝2 3 ，sinB ． (Ⅰ)求tanC 的值；(Ⅱ)若a ?ABC 的面积． 答案 1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值. 【 精 讲 精 析 】 （ Ⅰ ） 因 为 ()4cos sin()16 f x x x π =+-14cos cos )12x x x =+-

任意角的三角函数典型例题精析

任意角的三角函数·典型例题精析 例1下列说法中，正确的是 [] A．第一象限的角是锐角 B．锐角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．0°到90°的角是第一象限的角 【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键． 【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)． (90°－α)分别是第几象限角？ 【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的 【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 的角． (2)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角． (3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．

故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)． 因此90°－α是第四象限的角． 解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限．将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内． 【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的． 例3已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间 [] 【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易． 【解法一】由正、余弦函数的性质， 【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当 应选(A)． 可排除(C)，(D)，得(A)． 【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习． 例 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值； 【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是 三两个象限，因此必须分两种情况讨论．

高三数学三角函数经典练习题及答案精析

1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ）

A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x =

于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．．

三角函数综合测试题(及答案)

三角函数综合测试题 一、选择题（每小题5分，共70分） 1． sin2100 = A ． 2 3 B ． - 2 3 C ． 2 1 D ． - 2 1 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=- ，则sin α= A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3. )12 sin 12 (cos ππ - )12sin 12(cos π π+＝ A ．－ 23 B ．－21 C ． 2 1 D ．23 4． 已知sinθ＝5 3 ，sin2θ＜0，则tanθ等于 A ．－4 3 B ．4 3 C ．－4 3或4 3 D ．5 4 5．将函数sin()3y x π =- 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） ，再将所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是 A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π =- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =- 6. ()2 tan cot cos x x x += A ．tan x B ． sin x C . c o s x D . cot x 7.函数y = x x sin sin -的值域是 A. { 0 } B. [ -2 , 2 ] C. [ 0 , 2 ] D.[ -2 , 0 ] 8.已知sin αcos 8 1 = α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为 A. 25 B. -25 C. ±25 D. 2 3 9. 2 (sin cos )1y x x =--是

A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 10．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 A ．)45,()2,4( πππ π B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)2 3,45(),4(π πππ 11．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为 x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 A ．ω＝2，θ＝2 π B ．ω＝21，θ＝ 2π C ．ω＝2 1，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π 12. 设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7 c π =，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 13．已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π =对称，则?可能是 A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 14． 函数f (x )＝ x x cos 2cos 1- A ．在??????20π ， 、??? ??ππ,2上递增，在??????23,ππ、??? ??ππ 2,23上递减 B ．在??????20π，、??? ??23ππ，上递增，在??? ??ππ,2、??? ??ππ 223， 上递减 C ．在?? ????ππ， 2、??? ?? ππ223，上递增，在?? ????20π，、??? ??23ππ， 上递减 D ．在????? ?23, ππ、??? ??ππ2,23上递增，在?? ????20π，、??? ??ππ,2上递减 二.填空题（每小题5分，共20分,） 15. 已知??? ? ?- ∈2, 2ππα，求使sin α=3 2 成立的α= 16．sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________ 17.函数y=Asin(ωx+?)(ω＞0,|?|＜ 2 π ,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

三角函数10道大题(带答案)

三角函数 1.已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-. （Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64 ππ -上的最大值和最小值. 2、已知函数.,1cos 2)3 2sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++ =π π （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4 ,4[π π-上的最大值和最小值. 3、已知函数()tan(2),4 f x x =+ π （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （II ）设0,4?? ∈ ?? ? πα，若( )2cos 2,2 f =α α求α的大小 4、已知函数x x x x x f sin 2sin )cos (sin )(-= . （1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 5、 设函数2()cos(2)sin 24 f x x x π = ++. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()() 2g x g x π + =，且当[0,]2 x π ∈时， 1 ()()2 g x f x = -，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.

6、函数()sin()16 f x A x π ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相邻两条对 称轴之间的距离为 2 π， （1）求函数()f x 的解析式； （2）设(0,)2π α∈，则()22 f α =，求α的值. 7、设 426 f (x )cos(x )sin x cos x π =ω- ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域 （Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ?? - ???? 上为增函数，求 ω的最大值. 8、函数2 ()6cos 3(0)2 x f x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示，A 为 图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为正三角形. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域； （Ⅱ）若0()5f x =，且0102 (,)33 x ∈-，求0(1)f x +的值. 9、已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A ； （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c . 10、在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝2 3 ，sin B C ． (Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a ?ABC 的面积．