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华南农业大学2013-2014(1)高等代数1期末考试试卷(A卷)

华南农业大学2013-2014(1)高等代数1期末考试试卷(A卷)

2013学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)

一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1. 下列关于多项式理论的说法中正确的是( ).

A. 零多项式整除任意多项式

B. 零多项式不整除零多项式

C. 零多项式只能整除零多项式

D. 零多项式的次数为零

2. 设有n 维向量组(I ):r ααα,,,21 和(II ):)(,,,21r m m >ααα ,则( ).

A. 向量组(I )线性无关时,向量组(II )线性无关

B. 向量组(I )线性无关时,向量组(II )线性相关

C. 向量组(I )线性相关时,向量组(II )线性相关

D. 向量组(I )线性相关时,向量组(II )线性无关

3. 设A 为n m ?矩阵,齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是( ).

A. A 的列向量线性相关

B. A 的列向量线性无关

C. A 的行向量线性相关

D. A 的行向量线性无关 4. 设,A B 为n 级方阵,0A ≠,且0AB =,则有( ).

A. 0A =或0B =

B. 0BA =

C. 222()A B A B -=-

D. 0B = 5. 设A 和B 都是n 级实对称矩阵, 通过非退化线性替换能将实二次型

12(,,,)T n f x x x X AX =L 化为实二次型12(,,

,)T n g y y y Y BY =的充分必要

条件是( ).

A. A 与B 具有相同的秩

B. A 与B 具有相同的符号差

C. A 与B 具有相同的正惯性指数

D. A 与B 具有相同的负惯性指数, 并且A 与B 具有相同的符号差

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)

1. 设四级行列式D 的第四列元素分别为1,0,2,3,且它们对应的余子式分别为

2,3,1,2-,则D =__________.

2. 设向量组123(,1,1),(0,2,3),(1,0,1)k ααα===线性相关,则=k __________.

3. 设A 为n 级方阵, 且满足2240A A E +-=, 这里E 表示n 级单位矩阵, 那么

1A -= .

4. 已知矩阵方程100021(1,2,3)011X ?? ?

= ? ???

, 则X =_________________.

5. 若()222,,2332f x y z x y z yz λ=+++是正定二次型,则λ的取值范围 是_________________.

三、判别题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) (请在你认为正确的小题对应的括号内打“√”,否则打“?”) 1.( )有理数域为最小的数域.

2.( )设,A B 是两个n 级方阵,则A B B A -=--.

3.( )若两个向量组等价,则它们所包含的向量的个数相同.

4.( )若矩阵A 的所有1r +级子式全为零,则A 的秩为r .

5.( )合同变换不改变实矩阵的对称性和正定性. 四、解答题(本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分)

1. 设43232()421659,()254,f x x x x x g x x x x =--++=--+ 求()(),()f x g x .

2. 计算行列式

1

1

1

11111

11111

1

1

1

x x x x ---+---+--.

华南农业大学2013-2014(1)高等代数1期末考试试卷(A卷)

3. 求向量组

1234(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2),(4,3,1,1)αααα=-=-=-=- 的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.

4. 讨论k 取何值时,线性方程组 12312321231,21,x x kx x x x x kx x k

?++=-?

-+=-??-++=?

(1) 有唯一解;(2) 无解; (3) 有无穷多个解,并求出此方程组的通解.

5. 作非退化线性替换X CY =化实二次型

22

1231223(,,)4f x x x x x x x =-+

为规范形.

五、证明题(本大题共 4 小题,共 25 分) 1. (本小题7分)证明:n 维向量组12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n

维向量β都可由12,,,n ααα线性表出.

2. (本小题6分)设A 是n 级方阵且0A =,证明:存在一个非零矩阵B 使得

AB O =.

3. (本小题6分)设A 是n 级方阵且0A ≠,B 是n m ?矩阵,证明: ()()R AB R B =.

4. (本小题6分)设1

1

22,A

O B O A B O A O B ????

== ? ?????

. 证明:如果1A 与1B 合同,2A 与2B 合同,则A 与B 合同.