大学物理授课教案第十二章机械振动(可编辑修改word版)

第四篇振动与波动

第十二章机械振动

§12-1 简谐振动

1、弹簧振子运动

如图所取坐标，原点 O 在m 平衡位置。现将 m 略向右移到 A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性

力作用下，物体向左运动，当通过位置 O 时，作用

在m 上弹性力等于 0，但是由于惯性作用，m 将继续向

O 左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，

而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左

运动，使 m 速率减小，直至物体静止于 B（瞬时静

止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。

这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。图12-1

2、简谐振动运动方程

由上分析知，m 位移为 x（相对平衡点 O）时，它受到弹性力为（胡克定律）：

(12-1)

式中：当x > 0 即位移沿+x 时，F 沿-x，即F<0当x < 0 即位移沿-x 时，F 沿+x，即F>0 k 为弹簧的倔强系数，“—”号表示力 F 与位移 x（相对 O 点）反向。

定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，m 加速度为

a =

F

m d 2x =-

kx

m

d 2x k

（m 为物体质量）

a =

∵dt 2∴dt 2+x = 0 m

∵k 、m 均大于 0，∴可令可有：k

=2

m

F =-kx

d 2x

+2

dt 2

x = 0

(12-2) 式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为

x =A sin(t+')

或?

='-

?

(12-3)

(12-4)

?

? 2 ?

式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。

3、谐振动的速度和加速度

?物体位移：x=A cos(t+)

?dx

?V =

?速度：dt

=-A sin(t +)

(12-5) ?

? a =

??加速度：

可知：?

?

?

d 2x

dt 2

=-2A cos(t +)=-2x

(12-6) x -t 、V -t 、a -t 曲线如下

图 12-2

图 12-3

x=A cos(t+)

max

a =2A

V

max

=A

说明：（1）

F = -kx 是谐振动的动力学特征； （2）

a = -2 x 是谐振动的运动学特征； （3） 做谐振动的物体通常称为谐振子。

§12-2 谐振动的振幅 角频率 位相

上节我们得出了谐振动的运动方程 x = A cos (t +)，现在来说明式中各量意义。 1、振幅

做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做 A 。 A 反映了振动的强弱。

2、角频率（圆频率）

为了定义角频率。首先定义周期和频率。

物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用T 表示； 在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用v 表示。

v = 1 由上可知： T T = 1

或

v ∵

T 为周期，∴ x = A cos (t +) = A cos [(t + T ) +] ∵从t 时刻经过 1 个周期时，物体又首次回到原来t 时刻状态，∴T = 2（余弦函数周期为2）

= 2 = 2v ? T

可见：表示在2秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率）

=

∵

T = 2 = 2 m ? k ? ? ? v = = ? 2 对于给定的弹簧振子， m 、k 都是一定的，所以T 、v 完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。 3、位相

在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当 A 、

k m 1 k 2 m

∴

?

? 给定后，物体的位置和速度取决于(t +)， (

t +

)称为位相（或周相、相位）。由

上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。是t = 0 时的位相，称为初相。 4、 A 、的确定

对于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出 A 、。

初始条件： t = 0 时?

? ? ?

x = x 0 v = v 0

由 x 、v 表达式有

?

x = A cos ? ? v 0 ?

= -A sin 即

x 0 = A cos ?

? ? v 0 ? ?

- ? = A sin ?

? ?

?

?

tg = -

即

x 0

（12-6）

值所在象限： 1）

x 0 > 0 ， v 0 < 0 ：在第Ⅰ象限 2）

x 0 < 0 ， v 0 < 0 ：在第Ⅱ象限 3）

x 0 < 0 ， v 0 > 0 ：在第Ⅲ象限 4）

x 0 > 0 ， v 0 > 0 ：在第Ⅳ象限 5、两个谐振动物体在同一时刻位相差

（12-7）

设物体 1 和 2 的谐振动方程为 图 12-4

x 1 = A 1 cos (1t +1 ) x 2 = A 2 cos (2t +

2

)

任意t 时刻二者位相差为 ?= [(2t + 2 ) - (1t +1 )] = (2 - 1 )t + (2 -1 )

> 0 ：2 的位相比 1 超前 = 0 ：2、1 同位相 < 0 ：2 的位相比 1 落后

= arctg - v

x 0

2

x +

2 v

2 A =

k m x + 2 v 2 0

2

x 2 + 0 v 2

0 2 0.102

+ (- 0.20)2

22

? ? 例 12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知k = 1.60N / m ， m = 0.40kg ，试

求下列情况下m 的振动方程。

（1） 将m 从平衡位置向右移到 x = 0.10m 处由静止释放；

（2） 将m 从平衡位置向右移到 x = 0.10m 处并给以m 向左的速率为0.20m / s 。

解：（1）

m 的运动方程为 x = A cos (t +)

=

= 由题意知：

= 2 / s 初始条件： t = 0 时， x 0 = 0.10m ， v 0 = 0

A = = 可得：

= 0.10m 图 12-5

= arctg - v

0 x 0

= arctg 0

∵

x 0 > 0 ， v 0 = 0 ，∴= 0 ? x = 0.10cos (2t )m

2） 初始条件： t = 0 时， x 0 = 0.10m ， v 0 = -0.20m / s

A = = = 0.1 2m

= arctg - v 0 = arctg ?- - 0.20 ?

= arctg 1

x 0 ?

? 2 ? 0.10 ?

=

∵

x 0 > 0 ， v 0 < 0 ，∴ 4 x = 0.1 ? 2 c os 2t + ? ?

4 ? 可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。 例 12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平

衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角很小时小球做谐振动；

(2)求小球振动周期。

证：（1）设摆长为l ，小球质量为m ，某时刻小球悬线与铅直线夹角为，选悬线在平衡位置右侧时，角位移为正，由 转动定律：

M = J 有

(- ) =

2 d 2

mg sin l

ml dt 2

图 12-6

1.60 0.40

0.102 + 0 m

g l

A

d 2

+ g

sin = 0 即

dt 2 l ∵很小。∴sin ≈ 0

d 2+ g =

? dt 2 l 0

∵这是谐振动的微分方程（或与正比反向） ∴小球在做谐振动。 （2）

T = 2

=

2 = 2 l

g （注意做谐振动时条件，即很小）

§12-3 表示谐振动的旋转矢量方法

在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。

一、旋转矢量

自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A

，其模

为简谐振动的振幅 A ，并使 A

在图面内 绕 o 点逆时针转动，角速度大小为谐振动

角频率，矢量

称为旋转矢量。

二、简谐振动的旋转矢量表示法 图 12-7

（1） 旋转矢量 A 的矢端 M 在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动，振幅为 A

A （2） 旋转矢量 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在x 轴上作一次完全振动，

即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。

（3） t = 0 时刻，旋转矢量与 x 轴夹角为谐振动的初相， t 时刻旋转矢量与 x 轴夹角(t +

)为t 时刻谐振动的位相。

说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。 （2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在 x 轴上的投影

点在 x 轴上做谐振动。

旋转矢量与谐振动 x - t 曲线的对应关系（设

= 0 ）

? ? ?

?

图 12-8

三、旋转矢量法应用举例

例 12-3： 一物体沿x 轴作简谐振动，振幅为0.12m ，周期为2s 。t = 0 时，位移为

0.06m ，且向 x 轴正向运动。

（1） 求物体振动方程；

（2） 设t 1 时刻为物体第一次运动到 x = -0.06m 处，试求物体从t 1 时刻运动到平

衡位置所用最短时间。

解：（1）设物体谐振动方程为

x = A cos (t +)

由题意知 A = 0.12m

= 2 = 2 = S -1 T 2

= ?

〈方法一〉用数学公式求

x 0 = A cos

∵

A = 0.12m , x 0 = 0.06m cos = 1

∴

2 = ± ?

3 ∵ v 0 = -A sin > 0 = -

∴

3 x = 0.12cos t - ? ? ? 3 ?

〈方法二〉用旋转矢量法求

根据题意，有如左图所示结果 = -

∴

3

图 12-9

x = 0.12cos t - ? ? ?

3 ? m m

? ?

由上可见，〈方法二〉简单 （2）〈方法一〉用数学式子求?t (- 0.06) =

?

t

- ?

0.12cos 1 3 ? t < T = 2 t 1 - < 2 由题意有： ? ? （∵ 1 ∴ 3 ）

t - = 2 4 ? 1 3 3 或 3 v = - A sin ?

t - ? < 0

1

∵此时

1 ? ? 3 ? t - =

2 ∴

1

3 3 ? t 1 = 1s

设t 2 时刻物体从t 1 时刻运动后首次到达平衡位置，

0 = ? ?

0.12cos t 2 - 3 ?

有： ? ? t - = 3 t -

< 2

? 2 3 2 或 2 （∵t 2 < 2∴ 2

3 ）

v = - A sin ?t ∵

2 ? 2

- ?

> 0 3 ? t - = 3 2

∴

? t 2 3 2 = 11 s 6

?t = t - t = 11 - 1 = 5

s

2 1

6 6

〈方法二〉用旋转矢量法求?t

t 由题意知，有左图所示结果，M 1 为 1 时刻 A

t

末端位置，M 2 为 2 时刻 A 末端位置。从

t 1 - t

2 内 A 转角为

?= (t - t ) = ∠M OM = + = 5

2

?t = t 1 1

5 - t =

6 2

3 2 6

5 5 s

? 2 1 = ? = 6 6

显然〈方法二〉简单。

图 12-10

例 12-4：图为某质点做谐振动的 x - t 曲线。求振动方程。

解：设质点的振动方程为 x = A cos (t +)

由图知： ? ? A = 10cm

2 2 ?

= ? T

= = s -1 2

?

?

?

图 12-11

=-

3

用旋转矢量法（见上页图）可知， 2 （或 2 ）

x = 10cos t -

??

?

cm

2 ?

例 12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，A 为振幅，t = 0 时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。

图 12-12

§12-4 谐振动的能量

对于弹簧振子，系统的能量E =E k （物体动能）+

E

p （弹簧势能）

已知：?物体位移

?

物体速度

x=A cos(t+)

v=-A sin(t+)

E =E +E =

1

mv2+

1

kx2

?k p 2 2

E = 1 kA 2 = 1

m 2 A 2

2 2

p = 1 ? m [-A sin (t +)]2 + 1 k [A cos (t +)]2

2 2 = 1 m 2 A 2 sin 2 (t +) + 1

kA 2 cos 2 (t +)

2 2 (m

2

= k )

= 1 kA 2

[sin 2 (t +) + cos 2 (t +)]

2 = 1 kA 2 2

（11-8）

说明：（1）虽然 E k 、 E p 均随时间变化，但总能量 E = E k + E p

且为常数。原因是系

统只有保守力作功，机械能要守恒。

（2） E k 与 E p 互相转化。当 x = 0 时， E p = 0 ， E k = E k max = E 。在 x = A 处， E k = 0 ， E p = E p max = E 。

E = 1 E

例 12-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 A 。试求 k

2 的位置。

解：设弹簧的倔强系数为k ，系统总能量为

E = E k + E p

= 1 kA 2 2

E = 1 E 在 k 2

p 时，有 E + E = 3 E = 3 ? 1

kx 2 k p

2 p 2 2

3 kx 2 = 1 kA 2 ?

4 2

x = ± 2 A

∴

3

例 12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数k = 25N / m ，物块m 1 = 0.6kg ，物块m 2 = 0.4kg ，

m 1 与m 2 间最大静摩擦系数为= 0.5 ， m 1 与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡

位置，然后任其自由振动，使m 2 在振动中不致从m 1 上滑落，问系统所能具有的

最大振动能量是多少。

解：系统的总能量为

E = 1 kA 2

2

E = E = 1

kA 2 k max

2 （此时 E p = 0 ）

m 2 不致从m 1 上滑落时，须有

m 2a ≤ m 2 g

图 12-13

2

?

极限情况 a max = g = A

2

A = g = g ? (m 1 + m 2

) 即 2 1 ?

k m + m ?2 1

( ) g 22

? E k max = k ? g 1 2 ? k 2 ? = ? 2 m 1 + m 2 k = 1 (0.6 + 2

0.4 )2 ? 9.82 ? 0.52 25 = 0.48J

§12-5 同方向同频率两谐振动合成

一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。

取振动所在直线为 x 轴，平衡位置为原点。振动方程为

? x 1 = A 1

cos (t +1 ) ? x = A cos (t + )

? 2 2 2

?

A 1 、 A 2 分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；1 、2 分别表示第一个振动和第二 个振动的初相。

是两振动的角频率。由于 x 1 、 x 2 表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合

成振动的位移 x 在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即

x = x 1 + x 2

为简单起见，用旋转矢量法求分振动。

图 12-14

图 12-15 如图所示， t = 0 时，两振动对应的旋转矢量为 A 、 A ，合矢量为 A = A

+ A

。∵ A 、

A

1

2

A A

1 2 1

2 以相同角速度 转动，∴转动过程中 1 与 2 间夹角不变，可知 A 大小不变，并且 A

tg =

A 1 sin 1 + A 2 sin

2

=

PM

A 1 cos 1 + A 2 cos 2 OP

( 3 ?10-1

)2 + 0.22

- 2 ?

?10-1

? 0.2cos

6

- = 2 1 2 1 2 t A

也以 转动。任意时刻 ，

矢端在 x 轴上的投影为：

x = x 1 + x 2 因此，合矢量 A 即为合振动对应的旋转矢量， A 为合振动振幅，为合振动初相。合振动方程为：

x = A cos (t +)（仍为谐振动） 由图中三角形OM 1M 2 知：

（12-9）

由图中三角形OMP 知：

讨论：（1）2 -1 = 2k

(k = 0,±1,±2,? ? ?)

时（称为位相相同）

? （12-10）

A = A 1 + A 2 （2）2 -1 = (2k + 1)

(k = 0,±1,±2,? ? ?) 时（称为位相相反） ? A = A 1 - A 2

例 12-8：有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为0.2m ，位相与第一振动

的位相差为 6 ，若第一振动的振幅为

振幅及第一、第二两振动位相差。

解：（1）

A 2 = ? ?10-1 m ，用振幅矢量法求第二振动的 A = A 2 + A 2 - 2 A A cos

=

2

1

1

6

= 0.1m

（2）∵ A 2 = A

2 + A 2

∴

图 12-16

例 11-9： 一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动， 他们的振动方程分别为

x = ? ?

?

2 ?

x = A cos t 2

A cos t + ? 3 x 3 = A cos t + 3? 1 ，

振动方程。

? ? ， ? ? ，试用振幅矢量方法求合 =

解：如左图，

3 （ A 1 、 A 2 、 A 3 、 A 构成一等腰梯形） A = 2 A cos

+ A = 2 A cos

+ A = 2 A

1

2

3

x = ? ?

2 A cos t + ?

? ?

3 ? 图 12-17

A = A + A + 2 A A cos ( 2 2

1 2 1 2

-) 2 1

3 3