2014年广州市高三年级调研测试数学试题(文科)

7 8 99

4 4 6 4 7 3

试卷类型：A

广州市2014届高三年级调研测试

数 学（文 科） 2014．1

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

锥体体积公式1

3

V Sh =

，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1

．函数y =

A ．(),4-∞

B ．(],4-∞

C ．()4,+∞

D ．[)4,+∞ 2．命题“若12

A ．若12

≥x ，则11-≤≥x x ，或 B ．若11<<-x ，则12

x x ，或，则12

>x D ．若11-≤≥x x ，或，则12

≥x

3．如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为 A ． 85，84 B ． 84，85 C ． 86，84

D ． 84，86

4．设1i z =-（i 是虚数单位），则复数2

2i z

+的虚部是

A ．i -

B ．1-

C ．i

D ．1

图1

5．若集合,A B 满足{}|3A x x =∈

是 A ．{0,1,2} B ． {1,2} C ． {1}- D ．?

6．若实数x ，y 满足不等式组220,

10,220,x y x y x y +-≥??

--≤??-+≥?

则x y +的最大值为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 7．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是

A ．15

B ．105

C ．120

D ．720

8．某几何体的三视图（如图3所示）均为边长为2的等腰直角三角 形，则该几何体的表面积是 A

．4+ B

． C

．4+ D

．8+

9．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

10

．函数()sin f x x =+[)0,+∞内

A ．没有零点

B ．有且仅有1个零点

C ．有且仅有2个零点

D ．有且仅有3个零点

二．填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11．若向量()1,2=m ，(),1x =n 满足⊥m n ，则||=n __________． 12．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =?，则4a = ．

13．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足

90>∠AMB 的概率为_______．

图3

正视图 侧视图

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．

若OC =1OM =，则MN 的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θ

θ

=-+??=?（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．

三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c

，且cos 23

A C +=

． （1）求cos B 的值；

（2）若3a =

，b =c 的值．

17．（本小题满分12分）

某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们 的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组

[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组 [40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图

如图5所示．下表是年龄的频率分布表．

（1）求正整数a ，b ，N 的值；

（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分

别是多少？

（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

A

B

C

O

M N

图4

图5

18．（本小题满分14分）

如图6，在三棱锥P ABC -中，PA AC ⊥，PC BC ⊥，

M 为PB 的中点，D 为AB 的中点，且△AMB 为正三角形．

（1）求证：⊥BC 平面PAC ；

（2）若4BC =，10PB =，求点B 到平面DCM 的距离．

19．（本小题共14分）

设数列{}n a 满足32121

2222

n n a a a a n -+

+++= ，*

n ∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()

111n

n n n a b a a +=

--，求数列{}n b 的前n 项n S ．

20．（本小题满分14分）

在圆42

2

=+y x 上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D ．当点P 在圆上运动时，动点

M 满足2=，动点M 形成的轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C 的方程；

（2）已知点()0,1E ，若B A ,是曲线C 上的两个动点，且满足EB EA ⊥，求?的取值范围． 21．（本小题满分14分）

已知函数()()2

ln 2f x x ax a x =-+-．

（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 在区间2

[,]a a 上的最大值．