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2010年考研水木艾迪数学强化班线代讲义向量

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法

考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)

收集自网络,不以任何盈利为目的。欢迎考研的同学,下载学习。 线性代数讲义 目录 第一讲基本概念 线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式 完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则 第三讲矩阵 乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组 线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩 第五讲方程组 解的性质解的情况的判别基础解系和通解 第六讲特征向量与特征值相似与对角化 特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现 附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化 第七讲二次型 二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵 附录二向量空间及其子空间 附录三两个线性方程组的解集的关系 附录四06,07年考题 第一讲基本概念 1.线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1, a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2, ………… a m1x1+a m2x2+…+a mn x n= b m, 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).

线性代数公式大全最全最完美

线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素,展开后有!n 项,可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关; ②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ; 3. 代数余子式和余子式的关系:(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1(1) n n D D -=-; 将D 顺时针或逆时针旋转90o ,所得行列式为2D ,则(1)2 2(1)n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D ,则3D D =; 将D 主副角线翻转后,所得行列式为4D ,则4D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -; ③、上、下三角行列式( = ◥◣):主对角元素的乘积; ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式: A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值; 6. 对于n 阶行列式A ,恒有:1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑,其中k S 为k 阶主子式; 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; ③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解; ④、利用秩,证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值; 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵: ?0A ≠(是非奇异矩阵); ?()r A n =(是满秩矩阵) ?A 的行(列)向量组线性无关; ?齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,Ax b =总有唯一解; ?A 与E 等价; ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;

最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数

最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点,成为联系众多知识内容的媒介。所以,向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看,对向量的考查力度在逐年加大,除了直接考查平面向量外,将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合,在知识交汇点处命题,既是当今高考的热点,又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识,既要注重回顾和梳理基础知识,又要注意平面向量与其他知识的综合运用,渗透用向量解决问题的思想方法,从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力,站在新的高度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量,具有“数”和“形”的特点,向量是数形结合的桥梁, 在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础,也是平面向量坐标表示的基础,它表明同一 平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式,引入坐标表示,可以把几何问题转化为代数 问题解决. 4. 要了解向量的工具作用,熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方 向量 向量的概念 向量的运算 向量的运用 向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件 数系的扩充与 复数的引入 复数的概念 复数的运算 数系的扩充

O A P Q B a b 第4题 法. 第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算,并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题:①若,则;②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件;③若,则;④的充要条件是 且;⑤若,,则。其中,正确命题材的序号是②③ 2. 化简得 3.在四边形ABCD 中,=a +2b ,=-4a -b ,=-5a -3b ,其中a 、b 不共线, 则四边形ABCD 为梯形 4.如图,设点P 、Q 是线段AB 的三等分点, 若=a ,=b ,则=, = (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F , 求证:. 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明:如图,连接EB 和EC , 由和可得, (1) 由和可得, (2) (1)+(2)得, (3) ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点,∴,, =a b =a b DC AB =,==a b b c =a c =a b =a b //a b //a b //b c //a c AC -BD +CD -AB 0AB BC CD OA OB OP 21 33+a b OQ 12 33 +a b 2AB DC EF +=EA AB EB +=EF FB EB +=EA AB EF FB +=+ED DC EC +=EF FC EC +=ED DC EF FC +=+2EA ED AB DC EF FB FC +++=++0EA ED +=0FB FC += D C E F A 例1

高中数学平面向量doc

专题讲座 高中数学“平面向量” 一、整体把握“平面向量”教学内容 (一)平面向量知识结构图 (二)重点难点分析

本专题内容包括:平面向量的概念、运算及应用. 课标要求: 平面向量(约12课时) (1)平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。(2)向量的线性运算 ①通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 ②通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义。 (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 (4)平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。 ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 (5)向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 依据课标要求,并结合前面的分析可知:新概念、新运算的定义,向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点,平面向量基本定理是坐标表示(几何代数化)的关键,也是本专题教学的难点。 二、“平面向量”教与学的策略 (一)在概念教学中,依据概念教学的方法,建构概念知识体系 本专题的教学中,向量、向量的运算等都是新定义的概念,如何让这些概念的出现自然轻松,还能让学生迅速把握住本质,达成理解?不妨遵循概念教学的方法。 比如说:“向量的概念”教学中,可从力、位移等实例引入,进行抽象概括,形成向量的概念。之后,提出“温度、功是不是向量?”这样的问题,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的两个要点:大小、方向进行拓展,按如下表格整理,将向量概念精致化。 概念辨析:

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关,则立即联想到用行列式按 行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换,即AB=BA,则立即联想到用逆矩阵的定 义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f(A)=0,要证aA+bE可逆,则先分解出 因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1,a2,…,as线性无关,先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0,则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0,则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵,则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数 主讲:尤承业 第一讲基本概念 线性代数的主要的基本内容:线性方程组矩阵向量行列式等一.线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解;如果两条直线是重合的则有无穷多个解;如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

考研线性代数知识点全面总结资料

《线性代数》复习提纲 第一章、行列式 1.行列式的定义:用2n 个元素ij a 组成的记号称为n 阶行列式。 (1)它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和; (2)展开式共有n!项,其中符号正负各半; 2.行列式的计算 一阶|α|=α行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶(n ≥3)行列式的计算:降阶法 定理:n 阶行列式的值等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法:选取比较简单的一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为0,利用定理展开降阶。 特殊情况:上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积; ?行列式值为0的几种情况: Ⅰ 行列式某行(列)元素全为0; Ⅱ 行列式某行(列)的对应元素相同; Ⅲ 行列式某行(列)的元素对应成比例; Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。 3.概念:全排列、排列的逆序数、奇排列、偶排列、余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:一个排列中任意两个元素对换,改变排列的奇偶性。 奇排列变为标准排列的对换次数为基数,偶排列为偶数。 n 阶行列式也可定义:n q q q n a a a ?=∑21t 2 1 1-D )(,t 为n q q q ?21的逆序数 4.行列式性质: 1、行列式与其转置行列式相等。 2、互换行列式两行或两列,行列式变号。若有两行(列)相等或成比例,则为行列式0。 3、行列式某行(列)乘数k,等于k 乘此行列式。行列式某行(列)的公因子可提到外面。 4、行列式某行(列)的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和。 5、行列式某行(列)乘一个数加到另一行(列)上,行列式不变。 6、行列式等于他的任一行(列)的各元素与其对应代数余子式的乘积之和。(按行、列展开法则) 7、行列式某一行(列)与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和为0. 5.克拉默法则: :若线性方程组的系数行列式0D ≠,则方程有且仅有唯一解D D D D x D D n =?== n 2211x ,x ,,。

高中数学竞赛标准讲义:第八章:平面向量

第八章 平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0,使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理,若平面内的向量a, b 不共线,则对同一平面内任意向是c ,存在唯一一对实数x, y ,使得c=xa+yb ,其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底,任取一个向量c ,由定理3可知存在唯一一组实数x, y ,使得c=xi+yi ,则(x, y )叫做c 坐标。 定义 4 向量的数量积,若非零向量a, b 的夹角为θ,则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影(注:投影可能为负值)。 定理4 平面向量的坐标运算:若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), 1.a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2), 2.λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c , 3.a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=2222212 12 121y x y x y y x x +?++(a, b ≠0), 4. a//b ?x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ?x1x2+y 1y 2=0. 定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1,p 2的一点,则存在唯一实数λ,使21PP P P λ=,λ叫P 分21P P 所成的比,若O 为平面内任意一点,则λ λ++=121OP OP 。由此可得若P 1,P ,P 2的坐标分别为(x 1, y 1), (x, y), (x 2, y 2),则..1121212121y y y y x x x x y y y x x x --=--=??? ????++=++=λλλλλ 定义6 设F 是坐标平面内的一个图形,将F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向,平移|a|=22k h +个单位得到图形'F ,这一过程叫做平移。设p(x, y)是F 上任意一点,平移到'F 上对应的点为)','('y x p ,则???+=+=k y y h x x ''称为平移公式。 定理5 对于任意向量a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2), |a ·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a ·b|2=))((22222121y x y x ++-(x 1x 2+y 1y 2)2=(x 1y 2-x 2y 1)2≥0,又 |a ·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a ·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对n 维向量,a=(x 1, x 2,…,x n ),b=(y 1, y 2, …, y n ),同 样有|a ·b|≤|a|·|b|,化简即为柯西不等式:≥++++++))((2222122221n n y y y x x x ΛΛ (x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n )2≥0,又|a ·b|≥0, |a|·|b|≥0,

高中数学平面向量习题及答案

第二章 平面向量 一、选择题 1.在△ABC 中,AB =AC ,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,则( ). A .AB 与AC 共线 B .DE 与CB 共线 C .与相等 D .与相等 2.下列命题正确的是( ). A .向量与是两平行向量 B .若a ,b 都是单位向量,则a =b C .若=,则A ,B ,C , D 四点构成平行四边形 D .两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足=α OA +β OB ,其中 α,β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为( ). A .3x +2y -11=0 B .(x -1)2+(y -1)2=5 C .2x -y =0 D .x +2y -5=0 4.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ). A . 6 π B . 3 π C . 23 π D . 56 π 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A ,C ),则=( ). A .λ(+),λ∈(0,1) B .λ(+),λ∈(0,22 ) C .λ(-),λ∈(0,1) D .λ(-),λ∈(0, 2 2) 6.△ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则=( ). A .+ B .- C .+ D .+ 7.若平面向量a 与b 的夹角为60°,|b |=4,(a +2b )·(a -3b )=-72,则向量a 的模为( ). (第1题)

2020考研数学复习指导

2020考研数学复习指导 教材是同济五版线性代数,1-5章:行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。数三不考向量组的线性相关性中的向量空间,线性方程组跟空间解析几何结合的问题; 概率与数理统计的内容包括:1、概率论的基本概念2、随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律及中心极限定理6、样本及抽样分布7、参数估计,其中数三的同学不考参数估计中的区间估计。 3.对应考试的专业 数学一是报考理工科的学生考,考试内容包括高等数学,线性代数和概率论与数理统计,考试的内容是最多的。 数学二是报考农学的学生考,考试内容只有高等数学和线性代数,但是高等数学中删去的较多,是考试内容最少的 数学三是报考经济学的学生考,考试内容是高等数学,线性代数和概率统计。高数部分中,主要重视微积分的考察,概率统计中没有假设检验和置信区间。 4.难度上的区别 数学一最大,数学三最小。数学一的难度主要体现在内容多,给考生的复习加大了难度;而数学二由于内容较少,试题的灵活性也

相对较大。但总的来说,数一数二和数三区别不大,在都考的部分,要求是差不多的,考试中三张试卷中完全相同的试题也占到了很大比重。 二、数学该如何复习 1.首先就要明确高频的考题 高频的考题其实就是命题的重点,一般的情况下,这样的命题是要年年进行考查的。 ?微积分 (1)幂指函数这样的未定式的极限,是重点考查的内容。 (2)利用定积分的定义,像中值定理来进行极限的计算,这样的内容虽然它未必是高频的考题,但也要重视。 (3)一元函数的微分学,求导运算它是微积分的基础,也是考查的重点内容。在函数的求导问题当中,数一、数二由参数方程所确定的函数的导数,分段函数的可导性,都是高频的考题。 (4)幂指函数的求导、复合函数的求导,它也会偶尔进行考查。 (5)一元函数微分学的应用,每年是必考的内容,研究函数的性态,函数单调性、极值、最值和凹凸性,极值和最值的问题,就是绝对高频的考点,几乎年年都要进行考查。 (6)对于凹凸性这样的问题,也不能忽视。比如说利用单调性、凹凸性、极值和最值来证明不等式,要掌握这类问题的常规的解题模式和方法。 (7)一元函数积分学,高频内容就是积分上限函数。要重点掌握

考研数学1——线性代数

第一章 行列式(正方形) ............................................................................................................. 2 第二章 矩 阵(长方形、正方形) ...............................................................................................3 第三章 向量组(长方形、正方形) ..............................................................................................6 第四章 向量空间R N ...................................................................................................................... 7 第五章 齐次方程组和非齐次方程组(长方形、正方形) .............................................................. 8 第六章 关于秩的等式和不等式的总结 r(A) . (9) 第七章 特征值(正方形) 1 1 1 A ()||n n n i ij i i i i tr A a A ξλξλ λ====?? →==??→=∑∑∏ (9) 第八章 相 似(正方形) ?方阵相似特征值完全相同 .................................................... 10 第九章 二次型化标准型、规范型(正方形) ........................................................................... 11 第十章 正定(正方形)T D A D D =存在可逆矩阵,使 (12)

(完整版)高中数学平面向量讲义

专题六 平面向量 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 (1)向量的基本概念: ①向量:既有大小又有方向的量 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行 ③单位向量:模为1个单位长度的向量 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 (2)向量的加法:设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r ①a a a 00;②向量加法满足交换律与结合律; AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”. (3)向量的减法: ① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量 ②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差, ③作图法:b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b 有共同起点) (4)实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ)a a ; (Ⅱ)当0 时,λa 的方向与a 的方向相同;当0 时,λ a 的方向与a 的方向相反;当0 时,0 a ,方向是任意的 (5)两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a (6)平面向量的基本定理:如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21, 使:2211e e a ,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【2】平面向量的坐标表示

最新线性代数冲刺讲义-邓泽华汇总

2011年线性代数冲刺讲义-邓泽华

2011导航领航考研冲刺班数学讲义 线性代数 邓泽华编

第二篇线性代数 一、填空题分析 填空题主要考查基础知识和运算能力,特别是运算的准确性。 1.(06-1-2-3)设矩阵?Skip Record If...?,矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式,2】 2.(06-4)设矩阵?Skip Record If...?,矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? . 【矩阵方程,?Skip Record If...?】 3.(04-1-2)设矩阵?Skip Record If...?,矩阵?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? . 【矩阵行列式,?Skip Record If...?】 4.(03-4)设?Skip Record If...?,?Skip Record If...?均为三阶矩阵,已知?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,则 ?Skip Record If...? .【矩阵方程,?Skip Record If...?】 5.(04-4)设?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?为 三阶可逆矩阵,则 ?Skip Record If...? .【矩阵运算,?Skip Record If...?】 6.(06-4)已知?Skip Record If...?为二维列向量,矩阵?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? .【矩阵行列式,?Skip Record If...?】 7.(03-2)设?Skip Record If...?为三维列向量,若?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...? . 【向量乘积,?Skip Record If...?】 8.(05-1-2-4)设?Skip Record If...?均为三维列向量,记矩阵 ?Skip Record If...?,?Skip Record If...?. 若行列式?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? .【矩阵行列式,?Skip Record If...?】 9.(03-3-4)设?Skip Record If...?维向量?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,其中?Skip Record If...?的逆矩阵为 ?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? .【矩阵运算,?Skip Record If...?】

高一 平面向量讲义

平面向量讲义 §2、1 平面向量得实际背景及基本概念 1.向量:既有________,又有________得量叫向量. 2.向量得几何表示:以A 为起点,B 为终点得向量记作________. 3.向量得有关概念: (1)零向量:长度为__________得向量叫做零向量,记作______. (2)单位向量:长度为______得向量叫做单位向量. (3)相等向量:__________且__________得向量叫做相等向量. (4)平行向量(共线向量):方向__________得________向量叫做平行向量,也叫共线向量. ①记法:向量a 平行于b ,记作________. ②规定:零向量与__________平行. 考点一 向量得有关概念 例1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. ①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →=DC → ,则A 、B 、C 、D 四点就是平行四边形得四个顶 点;③在平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC → ;④若向量a 与任一向量b 平行,则a =0;⑤若a =b ,b =c ,则a =c ;⑥若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c 、 变式训练1 判断下列命题就是否正确,并说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ; (2)若向量|a |=|b |,则a 与b 得长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意|a |=|b |,且a 与b 得方向相同,则a =b ; (4)向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. 考点二 向量得表示方法 例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →; (2)求|AD → |、 考点三 相等向量与共线向量 例3 如图所示,O 就是正六边形ABCDEF 得中心,且OA →=a ,OB →=b ,OC → =c 、 (1)与a 得模相等得向量有多少个? (2)与a 得长度相等,方向相反得向量有哪些? (3)与a 共线得向量有哪些? (4)请一一列出与a ,b ,c 相等得向量. §2、2 平面向量得线性运算 1.向量得加法法则 (1)三角形法则 如图所示,已知非零向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB →=a ,BC → =b ,则向量________叫做a 与b 得与(或与向量),记作__________,即a +b =AB →+BC → =________、上述求两个向量与得作图法则,叫做向量求与得三角形法则. 对于零向量与任一向量a 得与有a +0=________+______=______、 (2)平行四边形法则

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

2014汤家凤线性代数辅导讲义

文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义 主讲:汤家凤 第一讲 行列式 一、基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数,若j i >,则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列,该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数,记为)(21n i i i τ,逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 =称为n 阶行列式,规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D 21212121) ()1(∑-= τ 。 定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 21 2222111211 = 中元素ij a 所在的i 行元 素和j 列元素去掉,剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式,称为元素ij a 的余子式,记为ij M ,称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。 二、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如n a a a 0 000021称为对角行列式,n n a a a a a a 2121000 00 0=。 2、上(下)三角行列式—称 nn n n a a a a a a 222112 11及 nn n n a a a a a a 2 1 22 21 110 0为上(下)三角行列式, nn nn n n a a a a a a a a a 221122211211 0=, nn nn n n a a a a a a a a a 22112 1222111 0=。

高中数学 向量 板块二 平面向量基本定理与坐标表示完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义:向量.板块二.平面向量基本定理与坐标表示. 学生版 题型一: 平面向量基本定理 【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底,则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A .1e 与—2e B .31e 与22e C .1e +2e 与1e —2e D .1e 与21e 【例2】 在ABC △中,AB =c ,AC =b .若点D 满足2BD DC =,则AD =( ) A .2 133+b c B .5233- c b C .2133 -b c D .1 233 + b c 【例3】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( ) A . A B CD - B . 11 22 AB CD - + C. 1 ()2 AB CD - D. ()AB CD -- 【例4】 在ABC △中,AB c =,AC b =.若点D 满足2BD DC =,则AD =( ) A .21 33 b c + B .52 33c b - C .21 33b c - D .12 33 b c + 【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ,设AB a =,AD b =,用向量a 和b 表示向 典例分析

量BD ,AO . 【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ,设对角线AC =a ,BD =b ,用a , b 表示BC ,AB . A C 【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4,BN 与CM 交于点P ,且 , AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP . 【例8】 如图,平行四边形ABCD 中,E F 、分别是BC DC 、的中点,G 为DE BF 、的交点, 若AB =a ,AD =b ,试以a ,b 为基底表示DE 、BF 、CG . F C B A 【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心,若OA a =,OE b =,试用向量a ,b 表示OB 、 B A C P N M

20高考数学平面向量的解题技巧

第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知: 1.这部分内容高考中所占分数一般在10分左右. 2.题目类型为一个选择或填空题,一个与其他知识综合的解答题. 3.考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主. 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一,高考每年都考,题型主要有选择题、填空题,也可以与其他知识相结合在解答题中出现,试题多以低、中档题为主. 透析高考试题,知命题热点为: 1.向量的概念,几何表示,向量的加法、减法,实数与向量的积. 2.平面向量的坐标运算,平面向量的数量积及其几何意义. 3.两非零向量平行、垂直的充要条件. 4.图形平移、线段的定比分点坐标公式. 5.由于向量具有“数”与“形”双重身份,加之向量的工具性作用,向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合,综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题,处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等. 6.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化,向量模的运算转化为向量的运算等;利用数形结合思想将几何问题代数化,通过代数运算解决几何问题.【例题解析】 1. 向量的概念,向量的基本运算 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何意义,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1(2007年北京卷理)已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力. 解: 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A . 例2.(2006年安徽卷)在ABCD Y 中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r ______.(用a b r r 、表示) 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12 AM a b =+u u u u r r r , 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3.(2006年广东卷)如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量 =CD ( ) (A )BA BC 2 1+- (B ) BA BC 2 1-- (C ) BA BC 2 1- (D )BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解:BA BC BD CB CD 2 1+-=+=,故选A. 例4. ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 (C )?? ?- ??31,3 22 (D )?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解:设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时

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