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2010年中考数学压轴题100题精选(31-40题)含答案

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2010年中考数学压轴题100题精选（31-40题）

【031】已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3). 现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.

（1）填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、高BE 的长是 ▲ ；（2）探究下列问题：

①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；

②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值。

y A

C D

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【032】如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋

转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；

（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？

【033】已知抛物线2

2y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线1

y x a =

-分

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别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .

(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ，，，； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点

D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；

(3)在抛物线2

2y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.

【034】若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点.

（1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________；

第（2）题

备用图

（第24题）

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（2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++.

【035】如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．

(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

B ' 第（25）题

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(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

【036】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x

轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC

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交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为

，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【037】已知平行于x 轴的直线)0(≠=a a y 与函数x y =和函数x

y 1

=的图像分别交于点A 和点B ，又有定点P （2，0） .

（1）若0>a ，且tan ∠POB=

，求线段AB 的长；（2）在过A ，B 两点且顶点在直线x y =上的抛物线中，已知线段AB=3

，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；

26题图 x

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（3）已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到2

9x y 的图像，求点P 到直线AB 的距离。

【038】如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B ′C ′，此时声母OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．（1）四边形的形状是，

当α=90°时，

的值是．（2）①如图2,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时,求

的值;

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②如图3,当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时,求ΔOPB ′的面积．（3）在四边形OA B C 旋转过程中,当0

0180α<≤时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP=1

BQ ？若存在，请直接写出点P 的坐标；基不存在，请说明理由．

【039】如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上．

(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求

出点Q 的坐标；

(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)

和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．

① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？

若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

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【040】△ABC 与△C B A '''是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M 、N 分别是直角边AC 、BC 的中点。△ABC 位置固定，△C B A '''按如图叠放，使斜边B A ''在直线MN 上,顶点B '与点M 重合。等腰直角△C B A '''以1厘米/秒的速度沿直线MN 向右平移，直到点A '与点N 重合。设x 秒时，△C B A '''与△ABC 重叠部分面积为y 平方厘米。（1）当△C B A '''与△ABC 重叠部分面积为22

平方厘米时，求△C B A '''移动的时间；（2）求y 与x 的函数关系式；

（3）求△C B A '''与△ABC 重叠部分面积的最大值。

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2010年中考数学压轴题100题精选（31-40题）答案

【031】解：（1）5 , 24, 524

…………………………………3分（2）①由题意，得AP=t ，AQ=10－2t. ……………………………………1分

如图1,过点Q 作QG ⊥AD ，垂足为G ，由QG ∥BE 得

△AQG ∽△ABE,∴

BA QA

BE QG =, ∴QG=2548548t -

, …………………………1分 ∴

t QG AP S 5242524212+-=?=(25≤t ≤5). ∵6

)25(25242+--=t S (25≤t ≤5).

∴当t=25

时，S 最大值为6.…………………1分

② 要使△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ 为等腰三角形即可.

当t=4秒时，∵点P 的速度为每秒1个单位，∴AP=4.………………1分以下分两种情况讨论:

第一种情况：当点Q 在CB 上时, ∵PQ ≥BE>PA ，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P .

如图2,过点Q1作Q1M ⊥AP ，垂足为点M ，Q1M 交AC 于点F,则AM=1

2AP =.

由△AMF ∽△AOD ∽△CQ1F,得4

11===AO OD CQ F Q AM FM ,

23=

FM ,

∴

3311=

-=FM MQ F Q . ………………1分

∴CQ1=QF

34=225.则

11CQ AP t k t =??,

∴

11110CQ k AP ==

.……………………………1分第二种情况：当点Q 在BA 上时,存在两点Q2,Q3, 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.

①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.

则

1BQ CB AP

t k t +=

??,∴

232CB BQ k AP +==

.……1分 ②若PA=PQ3，如图4,过点P 作PN ⊥AB ，垂足为N ，

由△ANP ∽△AEB,得

AB AP

AE AN =. ∵AE=

-BE AB , ∴AN ＝2825.

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∴AQ3=2AN=5625, ∴BC+BQ3=10-

25194

2556= 则31BQ CB AP t k t +=??.∴

50973=

+=AP BQ CB k . ………………………1分

综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k 值为1011或23或5097.

【032】解：（1）在△ABC 中，∵1=AC ，x AB =，x BC -=3． ∴

?>-+->+x

x x x 3131，解得21<

（2）①若AC 为斜边，则

2)3(1x x -+=，即0432

=+-x x ，无解．

②若AB 为斜边，则1)3(2

+-=x x ，解得

x ，满足21<

21)3(x x +=-，解得

34=x ，满足21<

35=

x 或34

=x ． 9分

（3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=

．

①若点D 在线段AB 上，则

h x h =--+-222)3(1．

∴22222112)3(h h x x h x -+--=--，即4312

-=-x h x ． ∴16249)1(222+-=-x x h x ，即162482

22-+-=x x h x ．

∴

462412222-+-==

x x h x S 21

)23(22+

--=x （423x <≤）． 11分

当

23=

x 时（满足423x <≤），2

S 取最大值21

，从而S 取最大值22． 13分

②若点D 在线段MA 上，则

h h x =----2221)3(．

（第24题-1）

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同理可得，

4624122

22-+-==

x x h x S

21)23(22+

--=x （413x <≤），

易知此时

S ．

综合①②得，△ABC 的最大面积为22

． 14分

【033】

（1）

()4

11133M a N a a ??-- ?

??，，，.……………4分（2）由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，N '∴4

133a a ??-- ??

?，，将N ′的坐标代入2

2y x x a =-+得21168

393a a a a

-=++，

a ∴=（不合题意，舍去），

4a =-

.……………2分

334N ?

?∴- ?

??，，∴点N 到y 轴的距离为3. 904A ??- ?

?，，N ' 334?? ?

??，，∴直线AN '的解析式为9

4y x =-，

第（2

）题

备用图

https://www.wendangku.net/doc/2b11259219.html, E 度教育网它与x 轴的交点为904D ??∴

???，，点D 到y 轴的距离为94.

1919918932222416ACN ACD ADCN S S S ∴=+=??+??=

△△四边形.……………2分

（3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，

∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4

3a a ??-

???，，代入抛物线的解析式，得：27168

393a a a a

-=-+

10a ∴=（不舍题意，舍去），

238a =-，12P ??∴- ???7，

8.……………2分当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分，

OA OC OP ON ∴==，．

P ∴

与N 关于原点对称，

4133P a a ??∴- ?

??，，将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168

393a a a a

=++，

a ∴=（不合题意，舍去），

2158a =-

，

5528P ??∴- ?

??，．……………2分 ∴存在这样的点11728P ??- ?

?，或25528P ??

- ???，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形．

【034】解：（1）

……………2分

（2）证明：在BB '上取点P ，使120BPC ∠=°，连结AP ，再在PB '上截取PE PC =，连结CE ．

第（25）题

B '

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120BPC ∠=°，60EPC ∴∠=°，PCE ∴△为正三角形， 60PC CE PCE CEB '∴=∠=∠，°，=120°，

ACB '△为正三角形，AC B '∴=C ACB '∠，=60°， PCA ACE ACE ECB '∴∠+∠=∠+∠=60°， PCA ECB '∴∠=∠′，ACP B '∴△≌△CE ． APC B '∴∠=∠120CE PA EB '==°，，

120APB APC BPC ∴∠=∠=∠=°，P ∴为ABC △的费马点，

BB '∴过ABC △的费马点P ，且BB '=EB '+PB PE PA PB PC +=++．………2分

【035】解：（1）Q （1，0）

1分

点P 运动速度每秒钟1个单位长度．

2分

（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．

在Rt △AFB

中，10AB = 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=?= ∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．

∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ．

∴AP AM MP

AB AF BF ==

． 10

68t A M M P ∴==． ∴

3455AM t PM t ==，． ∴34

10,55PN OM t ON PM t

==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）

∴

13473(10)(1)5251010S t t t t =?-+=+-（0≤t ≤10） 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

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∵

10a =-

<0 ∴当

47471036

2()10

t =-

时， △OPQ 的面积最大． 6分

此时P 的坐标为（9415，53

10）． 7分

（4）当

53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． 9分对一个加1分，不需写求解过程．

【036】解：（1）由已知，得(30)C ，

，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠°，

tan 2tan 21

2AE AD ADE BCD ∴=∠=?∠=?=．∴(01)E ，

．（1分）设过点E D C 、、的抛物线的解析式为

(0)y ax bx c a =++≠．将点E 的坐标代入，得1c =．[来源:学&将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得42129310.a b a b ++=??

++=?

，

（2分）

解这个方程组，得56136a b ?

=-???

?=??[来源:学#科#网]故抛物线的解析式为25131

66y x x =-++．

（3

分）

（2）2EF GO =成立．

（4分）

点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点

设DM 的解析式为

1(0)

y kx b k =+≠，

将点D M 、的坐标分别代入，得

1122612

5k b k b +=???+=??，解得1123k b ?

=-???=?，

． x

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∴DM 的解析式为1

2y x =-+．∴(03)F ，

，2EF =．（7分）过点D 作DK OC ⊥于点K ，则DA DK =．

90ADK FDG ∠=∠=°，

FDA GDK ∴∠=∠．又90FAD GKD ∠=∠=°，DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==．[来1GO ∴=．2EF GO ∴=．

（3）

点P 在AB 上，(1

0)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222

(3)2PC t =-+，2GC =． ①若PG PC =，则2222

(1)2(3)2t t -+=-+，

解得2t =．∴(22)P ，

，此时点Q 与点P 重合．∴(22)Q ，． ②若PG GC =，则22(1)22t 2-+=，解得 1t =，(1

2)P ∴，，此时GP x ⊥轴． GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73．∴713Q ?? ?

??，．

③若PC GC =，则2

(3)22t -+=，[来

解得3t =，(32)P ∴，

，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形．过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则QH GH =，设QH h =，

(1)Q h h ∴+，．

2513

(1)(1)166h h h

∴-++++=．

解得1272

5h h ==-，（舍去）．12755Q ??∴ ???，．（12

综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即(22)Q ，

或713Q ?? ???，或12755Q ??

???，． x

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【037】解：（1）设第一象限内的点B （m,n ），则tan ∠POB

91==

m n ，得m=9n ，又点B 在函数

x y 1

的图象上，得

m n 1=

，所以m=3（－3舍去），点B 为

)

31,3(，而AB ∥x 轴，所以点A （31，31），所以

313=

-=AB ；（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A （a , a ），B （a 1，a ），则AB=a 1－ a = 38

所以03832

=-+a a ，解得

-=a a 或 .

当a = －3时，点A （―3，―3），B （―31，―3），因为顶点在y = x 上，所以顶点为（－35，－35

），所以可设二次函数为

35)35(2-

+=x k y ，点A 代入，解得k= －43

,所以所求函数解析式为35

)35(432-

+-=x y .

同理，当a = 31时，所求函数解析式为

)35(432+

--=x y ；（3）设A （a , a ），B （a 1，a ），由条件可知抛物线的对称轴为a a x 21

= . 设所求二次函数解析式为：)

2)1

()(2(59++--=a a x x y .

点A （a , a ）代入，解得31=a ，136

a ，所以点P 到直线AB 的距离为3或

6。

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【038】解：（1）矩形（长方形）；4

7BP BQ =

．

（2）①

POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，COP A OB ''∴△∽△．

CP OC A B OA ∴

='''，即668CP =，92CP ∴=，7

2BP BC CP =-=． 4分

同理B CQ B C O '''

△∽△，

CQ B C C Q B C '∴

='''，即10668CQ -=

，

3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．

22BP BQ ∴

．

6分

②在OCP △和B A P ''△中，

90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠??

'∠=∠=??''=?

，°，，[来源:学科网ZXXK](AAS)OCP B A P ''

∴

△≌△． 7分 OP B P '∴=．设B P x '=，[来源:学科网]在Rt OCP △中， 2

(8)6x x -+=，解得

4x =

．8

分

12575

6244OPB S '∴=??=

△． 9分

（3）存在这样的点P 和点Q ，使

2BP BQ =

． 10分

点P

的坐标是19P ??- ?

?，2764P ??- ???，． 12分对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求．

过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==， 12POQ S PQ OC =

△，1

2POQ S OP QH =△，

PQ OP ∴=．设BP x =，

12BP BQ =

，2BQ x ∴=，

如图1，当点P 在点B 左侧时，

3OP PQ BQ BP x ==+=，

在Rt PCO △中，222

(8)6(3)x x ++=，[来源:学科网ZXXK]

解得

11x =，21x =（不符实际，舍去）．

9PC BC BP ∴=+=19P ??∴- ?

??． ②如图2，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．

在Rt PCO △中，222

(8)6x x -+=，解得

254x =

．PC BC BP ∴=-257

844=-=

，

2764P ??∴- ???，．综上可知，存在点19P ??-- ???，2764P ??- ???，，使12BP BQ =．

【039】(1) 将点A(-4，8)的坐标代入2

y ax =，解得

2a =

． ……1分

将点B(2，n)的坐标代入

12y x =，求得点B 的坐标为(2，2)，则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． ……1分直线AP 的解析式是5433y x =-+

．

……1分令y=0，得

45x =

．即所求点Q 的坐标是(45，0)． ……1分

(2)① 解法1：CQ=︱-2-45︱=14

5， ……1分

故将抛物线

12y x =向左平移145个单位时，A ′C+CB ′最短，此时抛物线的函数解析式为2

114

()25y x =+． ……1分

解法2：设将抛物线

12y x =向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标

为A ′′(-4-m ，-8)．

(第24题(1))