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燕尾定理与蝴蝶三角形直线型知识点

第二讲燕尾定理与蝴蝶定理

基础知识

之前我们学了一些直线型的皮毛，今天，让我们系统的学习直线型吧！下面是同学们在做题时常用的几条定理或结论。一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理：（1）同高三角形面积的比等于底的比；如右图中：

S △ABD : S △ACD = BD : CD

推论1：平行线间同底的三角形面积相等。如图：

S △ABC = S △ADB = S △AEB （因为它们同底等高）

推论2：长方形中以一条边为底，顶点在对边的三角形的面积是此长方形面积的一半。如图： S △ABC = S △BEC = S △BFC = S △BDC =

S ABDC （因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除2）

推论3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。如图：

BOC AOD S S ??=（蝴蝶三角形）

（因为ADC BDC S S ??=，这两个三角形同时减去DOC S ?就得到了BOC AOD S S ??=）

A D B

C E

推论4：鸟头定理——如右图所示则有：

ADE ABC S AD AE

S AB AC

???=

证明：连结BE ，则有：

ADE ABE S AD S AB ??=，ABE ABC S AE

S AC

??=

两个式子相乘得到：

A D E A

B E

A B E A B C

S S AD AE

S S AB AC

即：ADE ABC S AD AE

S AB AC

???=

推论5：燕尾定理：如右两图所示，均有：

ABE ACE S BD

S CD

??=

（因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于BD

）

二、正方形面积等于对角线的平方除以2.如图： S ABDC =

12S AEFC =12

AC 2

（很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因

为大正方形有4个直角三角形，而小的只有2个）

三、平行线分线段成比例：

“金字塔”和“沙漏”，

如右两图所示：

如果AB 与CD 平行，那么：

CD AB

OD OB OC OA == OA OB

AC BD

= 2

AOB COD S OA OB AB S OC OD CD ????????

=== ? ? ???????

推论：配合沙漏型的规律，只要知道了梯形被对角线分成的四个三角形中两个不同的三角形的面积，就可以知道每一个三角形的面积，进而知道总面积。如图：

四、交叉相乘：

如右图所示，对任意凸四边形ABCD 有：

CO D AO B BO C AO D S S S S ?????=?（交叉相乘）

证明：如图，过点B ，D 作AC 的高BE ，DF 则有：1

2AOD S DF AO ?=

? 1

2BOC S BE OC ?=?

2COD S DF OC ?=?

AOB S BE AO ?=?

D A B

S 3

S 2

S 1所以：111

224AOD BOC S S DF AO BE OC DF AO BE OC ???=

???=??? 111

224

AOB COD

S S BE AO DF OC DF AO BE OC ???=???=??? 所以：CO D AO B BO C AO D S S S S ?????=?

例1 三角形ABC 的面积为36平方厘米，D 上分别为BC 、AC 边上的三等分点(如图)。则三角形ADE 的面积为__________平方厘米。

解：因为DC=2BD 所以

ADC ABC S DC S BC ??== 因为AE=2EC 所以

ADE ADC S AE S AC ??== 所以三角形ADE 的面积为22

361633

=平方厘米。

例2 如图中A 、B 两点分别是长方形长和宽的中点，那么阴影部

分的面积是长方形面积的___________(填几分之几)。(3

)

解：如右图我们把BC 连结起来，就可知道S 3是长方形面积一半的一半 S 2是长方形面积一半的一半的一半

所以阴影部分的面积就是长方形面积的113488

例3 如图，△ABC 中，CD =3AD ，EC =3BE ，那△ABO 的面积占△ABC 面积的________分之_________；

D O

C A

解：

我们先连结

OC ，然后就会发现两个燕尾（下图第2

图，第3图）：

然后我们根据燕尾定理可知

1213S S =，1313S S =，所以112311

1337

S S S S ==++++ 所以△ABO 的面积占△ABC 面积的

同一类型的题（如右图所示），我们整理一下会发现：

1AOB ABC S EC DC

S EA BD

++ 例4

如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？

解：我们添加2条辅助线：观察下图可以看到S 2 =S 3 =S 4 =S 5 =S 6 =S 7

根据“沙漏定理”我们知道

214511

()24

S S S ==+

而12+3+4+511

=32

S S S S S ++阴六边形然后可以算出118

==33

S S 阴，

做这道题需要同学们对六边形的各条边的长短很了解才行。

S 7

S 5

S 6

S 4

S 3

S 2

S 1

蝴蝶定理和燕尾定理

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +．等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【巩固】(2006年智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米． 35 25O A B C D 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的2 3 ，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比． (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且3 5 ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ A B C D O 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是2 9cm ，问三角形AOD 的面积是多少？ A B C D O 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF

六年级奥数——蝴蝶模型燕尾定理练习题教案

蝴蝶模型和燕尾定理练习题 1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. D E F C B A D E F C B A D E F C B A 【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1 152 ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC = =△△，BD DC =1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以1 7.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1 103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，而21 1032 CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5． 2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于． X Q P A B C X Q P A B C 4 4 11 X Q P C B A 【解析】方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S = ，11 26 BPQ BCQ ABC S S S == ．由蝴蝶定理知，21 :::4:136 ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S === ，所以44122 6 2.455255 ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?= ．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=△

蝴蝶定理的证明及推广

一蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ?? ， AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1] 证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 F M E A N B 1M E A N B F ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

济南版2.1昆虫的生殖与发育教案

第一节昆虫的生殖和发育教学目标： 1、举例说出昆虫的生殖发育过程及特点。 2、通过参观家蚕的发育，概述变态发育的过程。 3、说出昆虫与人类生产、生活的关系，关注生物科技的发展。教学准备：课前布置学生搜寻昆虫的痕迹（比如蝉蜕、死掉的蝉、毛毛虫、蝴蝶、蝗虫、螳螂等），组织学生观察家蚕发育标本，有条件可组织学生实地参观家蚕的养殖过程。教学过程：引导学生认识自己搜集的昆虫的共同点（身体分三部分，有三对足，有两对翅）引导学生确定昆虫的分类地位（无脊椎动物——节肢动物门——昆虫纲）一、昆虫的生殖先让学生说出自己见过的昆虫生殖的现象（比如产卵，蜻蜓点水等）。让学生在已有情景的基础上认识昆虫的卵生是一种有性生殖方式。并进而比较有性生殖与无性生殖的不同。二、昆虫的发育 1、先让学生说出自己观察的某一种昆虫的一生，家中养蚕的同学可以作同学们的小老师。比较毛毛虫和蝴蝶有那些相同点（小组讨论后发言。）根据学生所说，教师予以评价。并导出变态发育的概念。 2、让学生观察课本4 3、46两页的彩图，认识变态发育有不同的过程，分别经过那些过程。由学生面前的蝉蜕引导学生了解蝉的发育是经过三个阶段，蝉蜕说明昆虫的蜕皮现象。蜕皮是昆虫发育的重要特征之一。最后得出完全变态发育和不完全变态发育的概念。 3、重点讲解蝗虫的不完全变态发育过程蝗虫的一生经历受精卵、若虫、成虫三个阶段。解释若虫的特点（生殖器官没有发育，没有成熟的翅，称为跳蝻，经5次蜕皮后发育为成虫。由此引出龄的概念：由受精卵到第一次蜕皮为一龄，经5次蜕皮后为6龄幼虫）随堂练P39第15题可以接着做，起到及时巩固作用。三、生物防治蝗虫成虫具有群集、迁飞的特点，危害禾本科植物，易形成蝗灾，（多媒体放映蝗灾的录象）让学生讨论蝗灾的危害，并借机启发防治蝗灾的方法（1、植树造林，因为蝗虫产卵喜欢在干燥裸露的土块上。2、多种大豆、果树和其他林木，减少蝗虫的食物来源。3、保护青蛙、保护鸟类4、喷洒专门防治蝗虫的微生物等）地球是所有生物共同的家园，只有以生物防治为主，才能维护生态平衡，保护地球环境。板书设计：昆虫的生殖：有性生殖（卵生）昆虫的发育：变态发育不完全变态发育完全变态发育 2.1

小学奥数之几何蝴蝶定理问题完整版

小学奥数之几何蝴蝶定理问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

C F E A D B C B E F D A 几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？ 1 2 AD AB = ，例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且 13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形 EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知

小学几何之蝴蝶定理大全精编版

小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2

定理4：相似三角形性质 1） H h C c B b A a = = = 2）S1∶S2 = a2 ∶A2 定理5：燕尾定理 S△ABG ∶S△AGC = S△BGE ∶S△GEC = BE∶EC S△BGA ∶S△BGC = S△AGF ∶S△GFC = AF∶FC S△AGC ∶S△BCG = S△ADG ∶S△DGB = AD∶DB 二、例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？

C F E A C B E F D A 例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积. 例4、例1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD 的面积是多少平

椭圆中的蝴蝶定理及其应用

2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质. 定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF 交直线AB于P，Q，则有. 证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的两个根，所以. 若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立. 若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0， q），, ,同理, 所以将代入(*)得,又得 , , 同理 , ，所以，即 .

注:2003年高考数学北京卷第18 （III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形. 定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有. 证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为(*)，设A（），B（），则切线MA的方程是，切线MB的方程是，得，所以.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上. 性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线. 证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得.

蝴蝶指标的重要内容

蝴蝶原理的可贵之处是其存在的客观性。这种客观存在的产物使我们的分析也变得更加客观。我们需要做的就是把这种切实存在的形态找出来，仅此而已。这也是蝴蝶原理优于很多技术分析的原因蝴蝶技术指标的注意事项 1.仅可作为分析行情的辅助工具，不可完全依照指标提示操作。通过投资者不断的学习，完全可以抛开指标束缚。 2.需要强调的是，蝴蝶形态分析市场不能单纯追求点位（高低点）上的菲薄纳奇回调比例，形态上的“和谐”也很重要。 3.技术指标仅作为形态提示，它能做到的是帮助投资者省掉大量时间从各图形中识别蝴蝶基本雏形，投资者必须加入人为分析。 4.C 点的选择可以左右对D 点的判断。 5.AB=CD 是最有效，也是精确最高的预测条件。 6.蝴蝶原理预测走势中，随着X 点的不同选择，蝴蝶形态可能发生变化，而对最终预测点产生分歧。 7.蝴蝶形态中，C 点针对AB 最深不能超过0.886 回调。超过即宣布形态失效。因此可将止损位放在AB 的1.000 回调之上。 8.形态回调位是硬性规定，这很好把握，关键是和谐度的把握。 9.MACD 的穿越0 轴以及云图翻转是确认C 点的最佳时机，也是较好的市场切入点：短线蝴蝶形态中，除Ichimoku 和MACD 作为参考，5 日均线也是很好的辅助指标。大多数情况下，短线蝴蝶形态，C 点一旦确立，CD 段行情往往阴线（阳线）不会跌破5 日均线。因此5 日

均线可以作为形态风险和失效的有效止损或减仓参考。（5 日均线仅作为短线蝴蝶形态辅助参考） 10.蝴蝶形态以及蝴蝶翻转应是连贯的走势，途中不应有过多的冗余盘整。即D 点确认后，走势立即产生回调.翻转规则：蝴蝶翻转必须是与蝴蝶形态连贯的走势。若中途出现过多盘整走势，势必加大预测风险，因此视为形态失效，即使走势最终形成翻转。 11.大多数情况下AB 段与CD 段运行时间周期（蜡烛根数）是不相同的，C 点确立后往往行情向D 点进发很快。 12.蝴蝶形态之间是可以随着行情的发展而发展,这符合事物是相互联系发展的这一哲学观点 13.C 点确立后，往往市场动能会非常足，很多时候没有等到AB 段与CD 段时间周期相等，价格就已经接近预测的回调位了。在C 点确立后的几根蜡烛迅速展开回调，则蝴蝶形态成立的可能性很大。反之，若C 点之后出现盘整走势，则蝴蝶形态成立的概率要低很多。 14.AB 和CD 时间周期和价位差的因素。预测目标建议取在时间周期和价差相对保守的位置。 15.蝴蝶形态中，很多时候各回调比例不会完全符合AB=CD 对照表那样完美无缺。小幅的回调比例破位或未到达规定比例可以忽略不计。具体问题应具体分析，不要过于模式化。蝴蝶形态的不和谐图形出现以下几点，可视为蝴蝶形态的“不和谐”，需要投资者谨慎操作。 1．A 点和C 点时间间隔过近、X 点和B 点时间间隔过近，可看作形态的“不和谐”。 2. AB 段或CD 段属于盘整行情时（仅极限位符合回调比例），可看作形态的“不和谐”。 3. X 点没有位于走势图中的相对高点或低点，可看作形态的“不和谐”。 4. XA、AB、BC、CD 各走势段出现长时间盘整或回调情况，可看作形态的“不和谐”。

蝴蝶定理、燕尾定理——黄冈中学周刊

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +．等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

E D C B A E D C B A 如图，22S =，34S =，求梯形的面积． S 4 S 3 S 2 S 1 【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米． 35 25O A B C D 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的2 3 ，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比． O A B C D (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且3 5 ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ A B C D O 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是2 9cm ，问三角形AOD 的面积是多少？

小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？任意四边形、梯形与相似模型

B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3ABD BCD S S ??=， ∴1 3AH CG =， ∴1 3AOD DOC S S ??=， ∴1 3 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

2020届八年级下册人教版生物第七单元生物圈中生命的延续和发展水平测试(Word精编版,含答案)

第七单元水平测试 (时间：50分钟满分：100分) 一、单项选择题(本大题共30小题，每小题2分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的) 1. 张聪家的毛桃树上结有毛桃和黄桃两种不同的果实，这里采用的繁殖方式是( D ) A. 压条 B. 扦插 C. 种子繁殖 D. 嫁接 2. 下列例子属于无性生殖的是( D ) A. 桃树的开花结果 B. 试管婴儿的诞生 C. 培育转基因鼠 D. 克隆羊的诞生 3. 下列关于植物生殖的叙述，正确的是( C ) A. 通过无性生殖产生的后代，具有双亲的遗传特性 B. 扦插时茎段上方切口为斜向的，下方切口为水平的 C. 用嫁接的方法进行繁殖的果树所结果实，通常表现为接穗的性状 D. 利用组织培养技术繁殖无病毒烟草属于有性生殖 4. 蝗虫的发育过程与蝴蝶的发育过程相比，缺少的发育阶段是( C ) A. 受精卵 B. 幼虫 C. 蛹 D. 成虫 5. 下图为蝗虫和菜粉蝶的发育过程。下列关于二者发育过程的叙述中，错误的是( A ) A. 蝗虫的发育过程经过四个阶段 B. 蝗虫的发育过程为不完全变态 C. 菜粉蝶的发育过程为完全变态 D. 菜粉蝶的发育经过卵、幼虫、蛹和成虫四个阶段 6. 鸟类比两栖类结构复杂而高等，在繁殖方面表现为( C ) A. 体外受精、卵生、哺乳

B. 体内受精、胎生、哺乳 C. 体内受精、筑巢、育雏 D. 体外受精、孵卵、育雏 7. 下图是鸡卵的结构示意图。下列有关叙述及对应序号正确的一项是( C ) A. 卵细胞是由③④⑤组成的 B. 未受精的卵，④胚盘色浓而略大 C. 为胚胎发育提供营养物质的是③卵黄和⑤卵白 D. 含有遗传物质的结构是③卵黄 8. 杜鹃被称为“森林中的黑手党”，它们不筑巢、不孵卵、不育雏。有趣的是，它们依然能够繁殖后代。杜鹃的繁殖行为有( A ) A. 求偶、交配、产卵 B. 筑巢、交配、产卵 C. 求偶、产卵、孵卵 D. 产卵、孵卵、育雏 9. 人的精子、卵细胞、受精卵中染色体数目分别是( C ) A. 23条、23条、23条 B. 23对、23对、23对 C. 23条、23条、23对 D. 23对、23条、23对 10. 人类白化病是由隐性基因(a)控制的一种遗传病。分析下图的白化病遗传图解，1号个体的基因组成和11号个体患病的概率分别是( A ) A. Aa 、12 B. AA 、12 C. aa 、14 D. aa 、0

燕尾定理与蝴蝶三角形例题

奥数图形练习（燕尾定理、蝴蝶定理）面积变换 1．如图，梯形ABCD 的面积为20. 点E 在BC 上，三角形ADE 的面积是三角形ABE 的面积的2倍. BE 的长为2，EC 的长为5，那么，三角形DEC 的面积为________________. 2．如图，E 是BC 上靠近C 的三等分点，且ED 是AD 的2倍。三角形ABC 的面积为36平方厘米。三角形BDE 的面积是_________平方厘米. 3．如图，在四边形ABCD 中，已知CD=3DF ，AE=6ED ，而且三角形BFC 的面积为6平方厘米，四边形 BEDF 的面积为7平方厘米。大四边形ABCD 的面积是_____________. 4．长方形ABCD 的面积是40平方厘米，E 、F 、G 、H 分别为AD 、AH 、DH 、BC 的中点，三角形EFG 的面积是___________平方厘米. A B E D F C H E

D E F 5．在下图中，三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍， EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是___________平方厘米. 6．下图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是____________公顷. 7．如图，将三角形ABC 的BA 边延长1倍到D ；CB 边延长2倍到E ，AC 边延长3倍到F ，如果三角形ABC 的面积等于1，那么三角形DEF 的面积是____________. 8．如图，已知15AE AC = ，14CD BC =，AB BF 6 1 =，那么=的面积三角形的面积三角形ABC DEF ______ __ .

蝴蝶定理的证明

图 5 蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=? FVO FMO 90∠=∠=? 得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ??，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○ 1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即 PC'CQ =。又 111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222 ∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠ 而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ???，故ME=MF 。证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有 FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC 1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ?=? 得 2 2 FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED ?=???=? ()()()()2 2 22 PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -= =-+-- 化简上式后得ME=MF 。 [2] 2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法 4 （Steven 给出）如图5，并令图 2 图 3 图 4

蝴蝶理论

gartley形态(蝴蝶形态)理论及其形成蝴蝶原理号称是波浪理论，周期理论之后又一经典理论，美中不足的是其操作要求较高，必须形态以及行情精度达到相应的标准，但是掌握该形态一旦出现，准确率也是相当惊人的，现将找到描述该理论的图片上传，以供学习技术分析的投资者参考借鉴。蝴蝶理论早在1935年有个叫h.m.gartley的人出了一本书，叫《股市利润》(“profits in the stock market”)，这是一本关于形态技术分析的书，其最为精华的部分在第222页讨论了一个最佳时间与价格的形态，

这个形态是非常的强大和有效，后来这个形态被命名为gartley222，这是以人的名字做为形态的名称。现在网上一般流行一本电子书名为：价值连城的精确短线交易技术—gartley“222”。这就是根据《股市利润》里面的内容整理的。之后scott m.carney在1999年出版了一本叫《和谐的交易》("the harmonic trader")的书，这还是一本形态分析和交易的书，carney在书的第3部分在讨论了gartley222后介绍和详细讨论了蝴蝶形态（butterfly ),蝴蝶形态分为牛市蝴蝶形态和熊市蝴蝶形态，蝴蝶形态的基础就是gartley222，丰富了gartley形态的内涵和内容。到现在为止，scott m.carney，已经出版了三本关于蝴蝶形态的书籍了，我只看过《和谐交易》这本，其中两本想必会更精彩，另两本书名好似为《harmonic trading of the financial markets: volume two》，《harmonic trading of the financial markets: volume one》。蝴蝶理论的基础与大众所知的波浪理论有着同样的理论基础：黄金分割率，也就是斐波纳奇数例。larry pesavento所写的《fibonacci ratios with pattern recognition》是一本关于黄金分割率介绍和应用的书。在后面我会给出黄金回调位与目标位的关系。蝴蝶理论与大众所熟悉的波浪理论有着同样的理论基础：黄金分割率，也就是斐波纳奇数。larry pesavento 编写的《fibonacci ratios with pattern recognition》是一本关于黄金分割率的介绍和应用的书，对理解蝴蝶理论有着很大的意义。

燕尾定理详细解析.题库教师版

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==. 【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在 BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于． F E D C B A 3332 1F E D C B A A B C D E F 【解析】方法一：连接CF ，例题精讲燕尾定理

根据燕尾定理， 12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以55 1212 DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到11 33ABD ABC S S ==△△， 1121 2233 ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111 22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5 12 ．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积 . 【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1 152 ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以1 7.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1 103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△，而21 1032 CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =， AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于． F E D C B A A B C D E F F E D C B A

小学奥数之几何蝴蝶定理问题

几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质

C B E F D A 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE= 1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.

燕尾定理与蝴蝶三角形 直线型知识点