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最新暑假初二升初三数学衔接班预习教材(完整版)优秀名师资料

第一讲一元二次方程的解法（一）

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的定义：

只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知

数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）

2．一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3．一元二次方程的解法：

⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。 (2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；

② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；

⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，

不能随便约去（x ＋4）.

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

【例题巧解点拨】

（一）一元二次方程的定义：

例1：1、方程①13122

=-x x ②0522

2=+-y xy x ③0172=+x ④02

2=y 中一元二次方程是 .

A. ①和②；

B.②和③ ；

C. ③和④；

D. ①和③

2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3

C ．a ≠1且b ≠-1

D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0

3、若（m+1）(2)1

m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：

例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2

-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。（三）一元二次方程的解法:

例3:判断下列括号里的数哪个是方程的解。（1）)0,2,1(232

x x = (2))4,5,5(0252

-=-x

例4:若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，

求代数式）（c b a +-2008的值。

例5:解方程：

用直接开平方法解一元二次方程：

（1）0252

=-x （2） 900)12(16002=-x

（3）32=y （4）08)12(2

2=--x ）

用配方法解一元二次方程：

（1）（2012 荆州）0342

=+-x x （2）015122=-+x x

（3）161442=++x x （4）1622

=+x x

例6:（开放题）关于x 的方程132

-=+x bx ax 一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a 值。

【随堂练习】

A 组

一、填空题: 1.

在

4(1)(2)5x x -+=,

221

x y +=,25100x -=,2280x x +=，

0=,

213x x

=+,22=a ，223213x x x +=-，2

2)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个。

2.关于x 的方程是(m 2

–1)x 2

+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.

3.把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.

4．关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0, 则a 的值是___________.

5.223____(_____)x x x -+=-; 2226____2(_____)x x x -+=-

6. 一元二次方程2

0a x b x c ++=若有两根

1和－1,那么

a b c ++=________,a b c -+= 。

二、按要求解下列方程:

1.223)52(=-a （直接开平方法）

2.0362

=+-x x (配方法)

B 组

一、填空题:

1.当_____m =时, 关于x 的方程2

(80m m x mx -+=是一元二次方程. 2.如果关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程． 3.已知256y x x =-+,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.

4.220b c ++=时,则2

0ax bx c ++=的解为____________________.

5. 方程2

230x x --=的解是_______________________

二、用配方法解下列方程:

1.(1)(3)12x x -+= 2．01)32(2)32(2=++-+x x

3．01442

=--x x 4.04

)12()12(2

=++

+-a x a x

三、解答题。

1．（2012 昆明）已知a 是方程0120042

=+-x x 的一个根，试求1

2004

20032

-a a a 的值。

2．（学科内综合题）一元二次方程02

=++c bx ax 的一个根是1，且a,b 满足等式

122--+-=a a b ，求此一元二次方程。

家庭作业

校区：姓名：_________ 科目：数学第 1 次课作业等级：______

第一部分：

1．（2012教材1+1）下列方程，是一元二次方程的是（）

A. 08692

=--x x B. 065=+a C. 01742=+-y x D. 0862

=--x x

2.（2007，广州）方程8652

-=a a 化为一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A. 5,6,-8

B. 5，-6，-8

C. 5，-6,8

D. 6,5，-8

第二部分：

3.（2012，哈尔滨）若关于x 的方程

01212

2=-++-k x x k ）（的一个根是0，则 k= 。

4.(2011，山西)请你写出一个有一根为1的一元二次方程：。

5.（2009，丽水）用配方法解方程542

=-x x 时，方程的两边同加上，使得方程左边配成一个完全平方式。第三部分：

6.解下列方程：（1）22)6()2(x x -=-(直接开平方法) （2）（2012，义乌）2

220x x --=（用配方法）

（3）（2011，兰州）用配方法解次方程：x x 3122

7.（2012，潮州）当a 为何值时，关于x 的方程

036132

=-++ax x a ）（是一元一次方程？当a 为何值时，原方程是一元二次方程？

第二讲一元二次方程的解法（二）

【基础知识精讲】

一元二次方程的解法： ⑴ 直接开平方法： (2) 配方法： ⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．

一元二次方程的求根公式是a ac

b b x 242

-±-= (b 2－4ac≥0) 应用求根公式解一元二次方程时应注意：

①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③求出b 2－4ac 的值；

④若b 2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．

(4) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论

根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．

注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，

不能随便约去（x ＋4）

②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．

(5)换元法：

【例题巧解点拨】

（一）知识回顾

例1：对于关于x 的方程,)(2

n m x =+它的解的正确表达式是（） A.用直接开平方法，解得n x ±= B.当0≥n 时，n m x ±= C ．当0≥n 时，m n x -±= D.当0≥n 时，m n x -±= 例2 ：用配方法解方程：)0(02

≠=++a c bx ax （探索求根公式）

（二）用公式法解一元二次方程例3：用公式法解方程：

（1）0232

=--x x （2）52)2)(1(+=++x x x

练习：（1）0822=--x x （2）02722

=+-x x

（三）用因式分解法解一元二次方程例4：利用因式分解解方程：

（1）0232=+-x x (2) 01762

=+-x x

练习：(1) x x 32= (2) 0822

=--x x

例5：用适当的方法解下列方程：

（1）0442=++y y （2）)5(2)5(32x x -=-

（310)1)(2(=-+x x ）（4）0222

=--x x

【同步达纲练习】

A 组

一、按要求解下列方程:

643

5-2

=）（x （直接开平方法） 2. 0672

=+-x x (因式分解法)

3. 0362=+-x x (配方法)

4. 2

230x x +-= (求根公式法)

二、用适当的方法解下列各题:

5．(1)(3)12x x -+= 6．x x -=-6)2(2

7．2

(23)3(23)40x x +-+-= 8.0825702

=+-x x

三、填空题:

1. 方程:①2

30x -=, ②291210x x --=, ③2

121225x

x += ,

④2

2(51)3(51)x x -=-,较简便的解法_________。 A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法

B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法

C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法

D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法

2.(2009 云南) 一元二次方程0252

=-x x 的解是_____________________。

3．（2012东营）设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2

=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为。

4．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x 2

－6x+5=0的根,三角形的形状为_________。

5. 方程2

230x x --=的解是_________________________。

B 组

一、解下列各方程:

1.0)2(23222=-++-a b x b a x

2.0)12(22=+++-a a x a x

二、解答题:

1.当x 取何值时，代数式232

++-x x 的最大值，并求出这个最大值。

2.比较代数式8622

++x x 与x x 82

+的大小。

3. ,且x 为整数，求关于m 的方程0222

=-+m xm 的根。

家庭作业

校区：姓名：_________ 科目：数学第 2 次课作业等级：______

第一部分：

1．（2010，云南）一元二次方程2520x x -=的解是（）

A ．x 1 = 0 ，x 2 =

25 B .x 1 = 0 ，x 2 =52- C ．x 1 = 0 ，x 2 =52 D ．x 1= 0 ，x 2 =2

- 2. （2011，东营）若n （0n ≠）是关于x 的方程2

20x mx n ++=的根，则m +n 的值为（） A.1 B.2

C.-1

D.-2

第二部分：

3. (2012,南充)方程(3)(1)3x x x -+=-的解是。

4.（2012，青海）方程2

9180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为。

5. (2010,深圳)用配方法将代数式a 2+4a -5变形，结果正确的是。

第三部分：

6.解下列方程：（1）（2012，新疆）解方程：2(3)4(3)0x x x -+-=．(分别用公式法和因式分解法)

7. （2011，定西）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：2

a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．

第三讲一元二次方程根的判别式

【基础知识精讲】

1．一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: ac b 42

-=?

⑴ 当0>?时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当0=?时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当0

2．一元二次方程有实数根0≥??

注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；

(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明ac b 42

-=?恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方

式+正数”的形式。

【例题巧解点拨】

例1：一元二次方程02

=++c bx ax 求根公式为_________________________( 注意条件). 2.方程012

=--kx x 的根的情况是（）

A ．方程有两个不相等的实数根 B.方程有两个相等的实数根

C.方程没有实数根

D.方程的根的情况与k 的取值有关

3.若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2

＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是（） A.－1 B.2 C.3 D.4

4.若关于x 的方程ax 2

+2(a-b)x+(b-a)=0有两个相等的实数根,则a:b 等于( )

A.-1或2

B.1或

12 C.-1

或1 D.-2或1 5.若关于y 的一元二次方程ky 2

-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( )

A.k>-74

B.k ≥-74 且k ≠0

C.k ≥-74

D.k>7

且k ≠0 例2：已知关于x 的方程0)2

1(4)12(2

=-++-k x k x 。

（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；

（2）当等腰三角形ABC 的边长a ＝4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两根时，

求△ABC 的周长。

【同步达纲练习】

A 组

一、选择(填空)题：

1.方程)34(342-=x x 中，△= ，根的情况是。

2.（2007，巴中）一元二次方程2

210x x --=的根的情况为（）

Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根

Ｃ．只有一个实数根

Ｄ．没有实数根

3.一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 只有一个实数根，则m 等于（） A. 6- B. 1 C. 6-或1 D. 2

4．下面对于二次三项式-x 2+4x-5的值的判断正确的是（） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．不小于0 D ．可能为0

5.一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个相等的实根数，则k?的值是．

6.若方程kx 2

–6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 .

7.若关于x 的一元二次方程02

=++c bx x 没有实数根，则符合条件的一组b ，c 的实数值可以是b= ，c= ．

8.当k 时，222(1)5x k x k -+++是完全平方式. 三、解答下列各题

9.不解方程，判定下列方程根的情况。

（1）05432

=+-x x （2）01)2(2

=++--x k x

10. 已知方程0142

=-+x ax ，则：

①当a 取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ ②当a 取什么值时，方程有两个相等的实数根？ ③当a 取什么值时，方程没有实数根？

11.求证：不论m 为何值，方程0)14(222=----m m x m x 总有两个不相等的实数根。

B 组

1.（2009,潍坊）关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值是( ） A.6 B.7 C.8 D.9

2.（2011 ,佳木斯）若关于x 的一元二次方程0122

=--x nx 无实数根，则一次函数

n x n y -+=)1(的图像不经过（）象限。

A .一

B .二

C .三

D .四

3.（2012, 荆门）关于x 的方程02)2(2=++-x a ax 只有一解（相同的解算一解），则 a 的值为（）

A .a =0

B .a=2

C .a=1

D .a=0或a=2

4.已知03232

=+-x x ，求1

++x x x 的值。

5.设方程0)2443()1(22

=++++++b ab a x a x 有实根，求b a ,的值。

6.已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程b (x 2-1)-2ax+c (x 2

+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.

7.如果a,b,c,d 都是不为0的实数，且满足等式0222

=++--+c b bcd abd d b d a ，

求证：ac b =2

8.阅读材料：为解方程04)1(5)1(222=+---x x ，我们可以将12

-x 看着一个整体，然

后设12

-x =y ，① 那么原方程可化为0452

=+-y y ，解得4,121==y y 。当y=1时，

112=-x ，∴22=x ，∴2±=x ；当y=4时，412=-x ，∴52=x ，∴5±=x ；

故原方程的解为5,5,2,24321-==-==

x x x x 。

解答问题：（1）上述解答过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了______________法达到解方程的目的，体现了转化思想；利用以上知识解方程062

=--x x

家庭作业

校区：姓名：_________ 科目：数学第 3 次课作业等级：______

第一部分：

1．（2007，成都）下列关于x 的一元二次方程中，有两个实数根的是（）

A ．042

=+x B . 01442

=+-x x

C ．032=++x x

D ．01-22

=+x x

2.（2012，荆门）关于x 的方程0222

=++-x a ax ）（只有一解（相同解算一解），则

a 的值为（）A ．a=0 B . a=2

C ．a=1

D ．a=0或a=2

3.（2009，成都）若关于x 的一元二次方程0122

=--x kx 有两个不相等的实数根，则

k 的取值范围是（） A ．1->k B . 01≠->k k 且

C ．1

D ．01≠

4.（2010，潍坊）关于x 的方程

06862

=+--x x a ）（有实数根，则整数a 的最大值是（） A ．6 B .7

C ．8

D ．9

5. （2011，东营）若n （0n ≠）是关于x 的方程2

20x mx n ++=的根，则m +n 的值为（） A.1 B.2 C.-1 D.-2

第二部分：

6. (2008,天津) 当m= 时，关于x 的方程24112022x m x m ++-+=()有两个相等的实数根。

7.（2012，北京）若关于x 的一元二次方程2

20x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是．第三部分：

8.（2012，潮州）当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02

=-+-m x x 有两个相等的实数根，此时的两个实数根是多少？

第四讲一元二次方程根与系数的关系

【基础知识精讲】

1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：

设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则a b x x -=+21，

a c

x x =?2

1 2．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，

则：0,0)1(21>>x x 时，有???

????

>=?>-=+002121a c x x a b x x 0,0)2(21<

???

?>=?<-=+002121a c x x a b x x

0,0)3(21<>x x 时，有021<=?a

x x

3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++=

【例题巧解点拨】

1．探索韦达定理

例1：一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两根21,x x 为_______________，求21x x +，21x x ?的值。

2．已知一个根，求另一个根.

例2：已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。

3．求根的代数式的值

例3：设x 1，x 2是方程x 2

-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) x 13

x 24+x 14x 23；

12)

2(x x x x +

4．求作新的二次方程

例4：1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.

2．已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一

元二次方程，使它的两个根分别是：a+1、b+1

5．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。

例5：1、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为9

，那么常数项应改

为。

2、α、β是关于x 的方程4x 2－4mx+m 2+4m=0的两个实根，并且满足

100

1)1)(1(=

---βα，求m 的值。

【同步达纲练习】

A 组

1、如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；

1x x + ；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。

4、关于x 的方程2x 2

+(m 2

–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.

5、若x 1 =23-是二次方程x 2

+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x 2 =

_____.

6、方程0322=+-m x x 的一个根为另一个根的2倍，则m= .

7、已知方程0)1(2=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = .

8、已知方程01532

=+-x x 的两个根分别是21212()x x x x -=，,则 .

9、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且4

3x 1x 121-=+，则m= 。

10、求作一个方程，使它的两根分别是方程x 2+3x －2=0两根的二倍。

11、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，求k 的值。

B 组

1、（2009 茂名）设21,x x 是关于x 的方程0142

=-+-k x x 的两个实数根，那么是否存在实数k ，使得2121x x x x +>?成立？请说明理由。

2、（2009 淄博）已知设21,x x 是关于x 的方程022

=+-a x x 的两个实数根，且

23221-=+x x ，

（1）求1x ，2x 及a 的值；（2）求21213

123x x x x ++-的值。

家庭作业

校区：姓名：_________ 科目：数学第 4 次课作业等级：______

第一部分：

1.（2010年四川省眉山）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-?的值为( )

A ．7-

B ．3-

C ．7

D ．3 2.（2012，济南）若12x x ，是一元二次方程2

560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（）

A ．1

B ．5

C ．5-

D ．6

3.（2012，烟台）设a b ，是方程2

20090x x +-=的两个实数根，则2

2a a b ++的值为（）

A ．2006

B ．2007

C ．2008

D ．2009 4.（2010，包头）关于x 的一元二次方程2

210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，

且22127x x +=，则212()x x -的值是（）C

A ．1

B ．12

C ．13

D ．25 第二部分：

5.(2010年安徽省芜湖市)已知x 1、x 2为方程x 2＋3x ＋1＝0的两实根，则x 12

＋8x 2＋20＝__________．

6.（2012，兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2

+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两

根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c

a .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2

+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12

x x 的值为．10

第三部分：

7.（2011，潍坊）已知12,x x 是方程220x x a -+=

的两个实数根，且1223x x +=

(1)求12,x x 及a 的值；

(2)求32111232x x x x -++的值．