第八章--相量图和相量法求解电路
第八章相量图和相量法求解电路
一、教学基本要求
1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的
概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。
5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。
二、教学重点与难点
1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；
(2). 正弦量的相量差和有效值的概念
(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式
(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量
形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：
本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数
相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式
代数形式A = a +j b
复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
图 8.1
根据图 8.1 得复数的三角形式：
两种表示法的关系：或
根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：
指数形式有时改写为极坐标形式：
注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算
(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若
则
即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
图 8.2
(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若
则
即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4
(3) 旋转因子：
由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。故把称为旋转因子。
当
当
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
3. 复数运算定理
定理1
式中K 为实常数。
定理2
定理3 若
则
例8-1计算复数
解：
本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。例8-2计算复数
解：
本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
§8.2 正弦量
1.正弦量
电路中按正弦规律变化的电压或电流统称为正弦量，以电流为例，其瞬时值表达式为（本书采用 cosine 函数）：
波形如图 8.5 所示。
图 8.5
注意：激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义：
（1）正弦电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。由于： 1）正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数；
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
（2）正弦信号是一种基本信号，任何复杂的周期信号可以分解为按正弦规律变化的分量。因此对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。
2. 正弦量的三要素
（1）I m—幅值(振幅、最大值)：反映正弦量变化过程中所能达到的最大幅度。
（2）ω—角频率：为相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。它与周期和频率的关系为：
rad/s
（3）y —初相角：反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
需要注意的是：
1）计时起点不同，初相位不同，图 8.6给出了同一个正弦量在不同计时起点下初相位的取值。
2）一般规定初相位取主值范围，即 |y|≤π 。
3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，如图8.7所示，则初相位
为负，如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。
4）对任一正弦量，初相可以任意指定，但同一电路中许多相关的正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。
图 8.6 图 8.7
3. 相位差
相位差是用来描述电路中两个同频正弦量之间相位关系的量。
设
则相位差为：
上式表明同频正弦量之间的相位差等于初相之差，通常相位差取主值范围，即：|φ|≤π
如果上式中φ＞0 ，称 u 超前i，或i 滞u ，表明u 比i 先达到最大值；
如图 8.8（a）所示。
如φ＜0 ，称i 超前u ，或u 滞后i , 表明i 比u 先达到最大值。
如φ= ±p ，称i 与u 反相，如图 8.8（b）所示；
如φ=0 ，称i 与u 同相，如图 8.8（c）所示。
图 8.8 （a）（b）（c）
需要注意的是：
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
4. 正弦电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。周期电流、电压有效值的物理意义如图 8.9 所示，通过比较直流电流I 和交流电流i 在相同时间T 内流经同一电阻R 产生的热效应，即令：
从中获得周期电流和与之相等的直流电流I 之间的关系：
这个直流量I 称为周期量的有效值。有效值也称方均根值。
图 8.9
同样，可定义电压有效值：
设正弦电流
相应的有效值为：
因为
所以
即正弦电流的有效值与最大值满足关系：
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
若一交流电压有效值为U = 220V ，则其最大值为U m≈311V ；
需要注意的是：
（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值i、u ，最大值I M m、U m和有效值I、U 的符号。
例8-3已知正弦电流波形如图所示，ω＝ 103rad/s ，
（1）写出正弦i(t) 表达式；
（2）求正弦电流最大值发生的时间 t
1
例 8 — 3 图
解：根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有：
解得由于最大值发生在计时起点右侧故取
所以
当时电流取得最大值，即：
例8-4计算下列两正弦量的相位差。
解：（1）
转为主值范围：
说明i1滞后i2。
（2）先把i2变为余弦函数：
则
说明i1超前i2。
（3）因为两个正弦量的角频率，故不能比较相位差。
（4）
则
说明i1超前i2
本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
§8.3 相量法的基础
正弦稳态线性电路中，和各支路的电压和电流响应与激励源是同频率的正弦量，因此应用基尔霍夫定理分析正弦电路将遇到正弦量的相减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化。
1. 正弦量的相量表示
构造一个复函数
对A(t) 取实部得正弦电流：
上式表明对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数，即：
A(t) 还可以写成
称复常数为正弦量i(t)对应的相量，它包含了i(t)的两个要素I ,Y 。任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的相量，即：
注意：相量的模为正弦量的有效值，相量的幅角为正弦量的初相位。同样可
以建立正弦电压与相量的对应关系：
例如若已知正弦电流和电压分别为：
则对应的相量分别为：
若正弦电流的相量频率
则对应的正弦电流为：
2. 相量图
在复平面上用向量表示相量的图称为相量图。如已知相量
则对应的相量图如图 8.10 所示。辐角为零的相量称为参考相量。
图 8.10
3.相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
设
则
从上式得其相量关系为：
图 8.11
故同频正弦量相加减运算可以转变为对应相量的相加减运算，运算过程如图8.11 所示。
（2）正弦量的微分、积分运算
设
则
即对应的相量为
而
即对应的相量为
以上式子说明正弦量的微分是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量乘以，正弦量的积分也是一个同频正弦量，其相量等于原正弦量i 的相量除以。
例如图 8.12 所示 RLC 串联电路，由 KVL 得电路方程为
根据正弦量与相量的关系得以上微积分方程对应的相量方程为：
图 8.12
因此引入相量的优点是：
（1）把时域问题变为复数问题；
（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；
需要注意的是：
1）相量法实质上是一种变换，通过把正弦量转化为相量，而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数代数方程问题的分析；
2）相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
3）相量法用来分析正弦稳态电路。
例8-5计算两正弦电压之和，已知：
解：两正弦电压对应的相量为 :
相量之和为：
所以
本题也可借助相量图计算，如下图所示。
例 8 — 5 相量图
例8-6试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。
解：（1）错，瞬时式和相量混淆，正确写法为：
（2）错，瞬时式不能和相量相等，正确写法为：
（3）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（4）对
（5）错，感抗和容抗混淆，正确写法为：
（6）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或
§8.4 电路定律的相量形式
1. 电阻元件 VCR 的相量形式
设图8.13（a）中流过电阻的电流为
则电阻电压为：
其相量形式：
图8.13（a）
以上式子说明：
（1）电阻的电压相量和电流相量满足复数形式的欧姆定律：，图
8.13（b）为电阻的相量模型图。
图 8.13（ b ）
（2）电阻电压和电流的有效值也满足欧姆定律：U R = RI
（3）电阻的电压和电流同相位，即：ψu = ψi
电阻电压和电流的波形图及相量图如图8.14（a）和（b）所示。
图 8.14（a）（b）
电阻的瞬时功率为：
即瞬时功率以2ω 交变，且始终大于零，如图8.14（a）所示，表明电阻始终吸收功率。
2. 电感元件 VCR 的相量形式
设图 8.15（a）中流过电感的电流为
则
对应的相量形式分别为：
图 8.15 （ a ）（ b ）
以上式子说明：
（1）电感的电压相量和电流相量满足关系：，其中X L=ωL =2πfL ，称为感抗，单位为Ω(欧姆)，图8.16（b）为电感的相量模型图。
（2）电感电压和电流的有效值满足关系：，表示电感的电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积。
（3）电感电压超前电流相位，即：
电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
注意:
（1）感抗表示限制电流的能力；
（2）感抗和频率成正比如图8.16（c）所示，当
；电感电压和电流的波形图及相量图如图8.16（a）和（b）所示。
图 8.16 （a）（b）（c）电感的瞬时功率为：
即电感的瞬时功率以2ω 交变，有正有负，如图8.16（a）所示。电感在一个周期内吸收的平均功率为零。
3. 电容元件 VCR 的相量形式
图 8.17 （ a ）（ b ）
设图8.17（a）中电容的电压为：
则对应的相量形式分别为：
以上式子说明：
（1）电容的电压相量和电流相量满足关系：
其中X C =1/ωC ，称为容抗，单位为Ω(欧姆)，图8.17（b）为电容的相量模型图。
（2）电容电压和电流的有效值满足关系：，表示电容的电压有效值等于电流有效值与容抗的乘积。
（3）电容电压滞后电流相位，即：
电容电压和电流的波形图及相量图如图8.18（a）和（b）所示。
注意: 容抗和频率成反比如图8.18（c）所示，当
，说明电容有隔断直流的作用，而高频时电容相当于短路。
图 8.18 （ a ）（ b ）（ c ）
电容的瞬时功率为：
即电容的瞬时功率以2ω 交变，有正有负，如图8.18（a）所示。电感在
一个周期内吸收的平均功率为零。
4. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦稳态电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示。
对电路中任一结点，根据KCL有，由于
得 KCL 的相量形式为：
同理对电路中任一回路，根据 KVL 有，
对应的相量形式为：
上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足 KCL ；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足 KVL 。
例8-7图(a)所示电路中电流表的读数为：A
1=8A ，A
2
=6A ，试求：
（1）若，则电流表 A
的读数为多少？
（2）若为何参数，电流表 A
的读数最大？I0max = ？
（3）若为何参数，电流表 A
的读数最小？I0min = ？
（4）若为何参数，可以使电流表A
0=A
1
读数最小，此时表A
2
=？
例 8 — 7 图（a）(b)
解：（1）设元件两端的电压相量为参考相量，根据元件电压和电流相量的关系画相量图如图（b）所示，则：
（2）因为是电阻，所以当也是电阻时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之和，达到最大值：
（3）因为是电感元件，所以当是电容元件时，总电流的有效值为两个分支路电流有效值之差，达到最小值：
（4）是电感元件，所以当是电容元件时，满足
例8-8电路如图(a)所示，已知电源电压，求电源电流
i(t)
例 8 — 8 图（a）(b)
解：电压源电压的相量为：
计算得感抗和容抗值为：
电路的相量模型如图（b）所示。根据 KCL 和元件的 VCR 的相量表示式得：
所以
例8-9电路如图（a）所示，已知电流，求u s(t) 。
例 8 — 9 图（ a ） (b)
解：电流的相量为：
计算得容抗为：
电路的相量模型如图（b）所示。根据 KVL 和元件的 VCR 的相量表示式得：
例8-10电路如图（a）所示，已知电压，求电压
例 8 — 10 图（ a ） (b)
解：以电流为参考相量，相量图如图（b）所示，根据相量图得：
所以
例8-11图(a)所示电路I1=I2=5A，U＝50V，总电压与总电流同相位，求I、R、X C、X L。
例 8 — 11 图（a）（b）
解：，根据元件电压和电流之间的相量关系得：
所以
因为：
令上面等式两边实部等于实部，虚部等于虚部得：
也可以通过画图（b）所示的相量图计算。
例8-12图（a）所示电路为阻容移项装置，要求电容电压滞后电源电压 p/3 ，问R、C应如何选择。
例 8—11 图（a）（ b ）
第八章__相量图和相量法求解电路
第八章相量图和相量法求解电路 一、教学基本要求 1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。 2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的 概念及表达形式。 3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。 4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。 5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系； (2). 正弦量的相量差和有效值的概念 (3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式 (4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量 形式。 2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别； 2. 元件电压相量和电流相量的关系。 三、本章与其它章节的联系： 本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数 相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。 1. 复数的四种表示形式 代数形式A = a +j b 复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。 图 8.1 为复数在复平面的表示。 图 8.1 根据图 8.1 得复数的三角形式： 两种表示法的关系：或 根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式： 指数形式有时改写为极坐标形式： 注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。 2. 复数的运算 (1) 加减运算——采用代数形式比较方便。 若 则 即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。 复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
电路原理(邱关源)习题答案相量法
第八章 相量法 求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。 所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC 元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的相量表示；（2）KCL,KVL 的相量表示；（3）RLC 元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。 8－1 将下列复数化为极坐标形式： （1）551j F --=；（2）342j F +-=；（3）40203j F +=； （4）104j F =；（5）35-=F ；（6）20.978.26j F +=。 解：（1）a j F =--=551θ∠ 25)5()5(22=-+-=a ο 13555arctan -=--=θ(因1F 在第三象限) 故1F 的极坐标形式为ο135251-∠=F （2）ο13.1435)43arctan(3)4(34222∠=-∠+-=+-=j F （2F 在第二 象限） （3）ο43.6372.44)2040arctan(40204020223∠=∠+=+=j F （4）ο9010104∠==j F （5）ο180335∠=-=F （6）ο19.7361.9)78.220.9arctan(20.978.220.978.2226∠=∠+=+=j F 注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即θθj ae a ja a F =∠=+=21,它们相互转换的关系为：
电路原理习题答案相量法
第八章相量法 求解电路的正弦稳态响应，在数学上是求非齐次微分方程的特解。引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算，从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算。 所谓相量法，就是电压、电流用相量表示，RLC元件用阻抗或导纳表示，画出电路的相量模型，利用KCL,KVL 和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此，应用相量法应熟练掌握：（1）正弦信号的 相量表示；（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算。这就是用相量分析电路的理论根据。 8－1 将下列复数化为极坐标形式： （1）F1 5 j5；（2）F2 4 j3；（3）F3 20 j40； （4）F4 j10；（5）F5 3；（6）F6 2.78 j9.20。 解：（1）F1 5 j5 a a （ 5）2（ 5）2 5 2 5 arctan 135 5 （因F1在第三象限） （2）F2 4 j3 （ 4）2 32 arctan（3 4） 5 143.13 （F2 在第二 象限） （3 ）F3 20 j 40 202 402arctan（40 20） 44.72 63.43 （4 ）F4 10j 10 90 （5）F5 3 3 180 （6）F6 2.78 j 9.20 2.78 29.20 2 arctan（9.20 2.78） 9.61 73.19 注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数 型表示，即 F a1 ja2 a a e j , 它们相互转换的关系为： 故F1 的极坐标形式 为F1 5 2 135
2 arctan 2 a 1 a 1 acos a 2 a sin 及实部 a 1和虚部 a 2的正负 8－2 将下列复数化为代数形式： （1） F 1 10 73 ；（2） F 2 15 112.6 ；（3） F 3 1.2 152 ； （4） F 4 10 90 ；（5） F 1 5 180 ；（6） F 1 10 135 。 解： （ 1） F 1 10 73 10 cos( 73 ) j10 sin( 73 ) 2.92 j 9.56 （2 ） F 2 15 112.6 15 cos112.6 15sin112.6 5.76 j13.85 （3） F 3 1.2 152 1.2cos152 1.2 sin 152 1.06 j 0.56 （4） F 4 10 90 j10 （5 ） F 1 5 180 5 （6） F 1 10 135 10 cos( 135 ) 10 sin( 135 ) 7.07 j 7.07 8－3 若 100 0 A 60 175 。求 A 和 。 解： 原式 =100 A cos 60 ja sin 60 175cos j175sin 根据复数相等 的 定义，应有实部和实部相等，即 Acos 60 100 175 cos A 2 100 A 20625 0 100 1002 4 2062 5 102.07 202.069 5 求i 1的周期 T 和频率 f 。 需要指出的，在转换过程中要注意 F 在复平面上所在的象限，它关系到 的取值 虚部和虚部相等 把以上两式相加，得 A sin 60 175 sin 解得 2 a 2
第8章 相量法总结
第八章 相量法 由于工业中电力系统的电压电流均采用正弦形式，且在电子线路中，往往各点电位与各处电流均为同频率的正弦量，同时非正弦形式的周期函数均可通过傅立叶变换分解为频率成整数倍的正弦函数的无穷级数，……因此，正弦交流电路的特殊分析方法具有十分重要的意义。 而相量法正是正弦交流电路主要分析方法，其意义与拉氏变换有类似之处。意于用相量代换电路中的电量，将电路方程的性质从微分方程变为代数方程，从而简便地求取以正弦函数作为输入函数的微分方程的特解。 ◆ 重点： 1． 正弦量的三要素及其表示方法 2． 基尔霍夫定律的向量形式 3． 电路元件的VCR 的相量表示 8.1 有关的数学知识复习 8.1.1 与电路分析相关的正弦函数的有关知识 一、正弦函数的表示形式（以电流为例） i ( t (rad ) 1．代数形式： )cos()(φ+ω=t I t i m 2．正弦函数的三要素 ◆ 变化的幅度——幅值（最大值）、有效值 幅值（最大值）——m I ，工程中所指的耐压值指最大值。 有效值——均方根值? = T dt i T I 02 1，与正弦量的相位及频率无关。工程中所指的 正弦电压电流大小均指有效值。 幅值（最大值）、有效值的关系（学生自行推导） I I m 2= ◆ 变化的快慢——周期、频率、角频率 周期T ——最小正周期T ：)()(t T f t f += 频率f ——周期函数每秒变化的次数 角频率ω——相角（φ+ωt ）随时间变化的速度 ω=φ+ωdt t d ) (
周期T 、频率f 、角频率ω之间的关系： f T 1= ，T f π =π=ω22 变化的计时起点——相位、初始相位、初始相角 正弦量的相位：φ+ωt 正弦量的初始相位：φ 相位超前（滞后）：)sin(a m t A a φ+ω=，)sin(b m t B b φ+ω=，b a φ>φ，即相位差 b a φ-φ=φ?时，称正弦量a 超前于b ，正弦 量b 就滞后于a ，； 同相：同频率的正弦量相位差为零时，称“同相”； 反相：同频率的正弦量相位差为180度时，称“反相”； 8.1.2 复数的有关知识 一、复数的表示形式 1．代数形式： jb a +=A 2．三角形式： ?+?=sin cos A A A j 。其中A 为复数A 的模（幅值），它恒大于零。 两种形式之间的变换：?=cos A a ，?=sin A b ，即 2 2b a +=A ， a b tg = ? 3．指数形式 利用欧拉公式：?+?=? sin cos j e j ，可以直接将复数的三角形式转化为指数形式： ?=j e A A 4．极坐标形式 当然也就可以很容易写为极坐标形式：?∠=A A 二、复数的运算 1．加、减法 设21ja a +=A ， 2 1jb b +=B ，则 )()()()(22112121a b j a b ja a jb b ±+±=+±+=±=A B C 直接用相量图的平行四边形法则或三角形法则求解复数的加减法：
相量法分析RLC串联电路
*4.4.6相量法分析RLC 串联电路 正弦交流电用相量式表示后，正弦交流电路的分析和计算都可以用复数来进行，这时 直流电路中应用的分析方法和基本定律就可以全部应用到正弦交流电路之中,使解题更简 便、更快捷。 1．基尔霍夫定律阐明了电路中各电流、电压的约束关系，对任何电路都适用。在正弦交流电路中，所有的电流、电压都是同频率的正弦量，它们的瞬时值和对应的有效值相量关系 都遵从基尔霍夫定律。 基尔霍夫节点电流定律（KCL ）指出：在任一时刻，电路中任一节点上电流的代数和为 零，即 ∑=0 i 它对应的相量形式为 （4-52） ∑ =?0 I 上式即为KCL 的相量形式。它表明在正弦交流电路中，任一节点上各电流的相量的代数和等于零。 同理可得，KVL 应用于正弦交流电路在任何瞬时都成立，即 ∑=0 u 其对应的相量形式为 (4-53) 0=∑ ?U 上式即为KVL 的相量形式。它表明：在正弦交流电路中，沿任一回路的各部分电压相量的代数和等于零。 2．用相量法分析RLC 串联电路 上节我们已学习了RLC 串联电路的分析和计算方法，本节，我们在建立电路相量模型的基础上，介绍用相量法分析和计算RLC 串联电路。 RLC 串联电路和它的相量模型及等效电路如图4-62所示。 图4-62RLC 串联电路及其相量模型 设正弦交流电压u = U Sin(ωt +φi )，其对应的电压相量为 / φu 电路中正弦电流为i= ISin(ωt+φi )，其对应的电流相量为 /φi 由三种基本元件的欧姆定律相量形式可知，电流在电阻R 上产生一个与电流同相位的 正弦电压： U U =?22I I =?? ?=I R U R
大学电路基础：相量法题目
第八章（相量法）习题解答 一、选择题 1．在图8—1所示的正弦稳态电路中，电流表1A 、2A 、3A 的读数分别为3A 、10A 、 6A ，电流表A 的读数为 D 。 A ．19A ； B ．7A ； C ．13A ； D ．5A 2．在图8—2所示的正弦稳态电路中，电压表1V 、2V 、3V 的读数分别为3V 、10V 、 6V ，电压表V 的读数为 A 。 A ．5V ； B ．7V ； C ．19V ； D ．13V 3．在正弦电路中，纯电感元件上电压超前其电流0 90的相位关系 B 。 A ．永远正确； B ．在电压、电流为关联参考方向的前提下才成立； C ．与参考方向无关； D ．与频率有关 4．在图8—3所示电路中，L X R =，且501=U V ，402=U V ，则电路性质为 B 。 A ．感性的； B ．容性的； Ｃ．电阻性的； Ｄ．无法确定 5．在图8—4所示正弦电路中，设电源电压不变，在电感L 两端并一电容元件，则电流表读数 D 。 A ．增大； B ．减小； Ｃ．不变； Ｄ．无法确定 二、填空题 1．正弦量的三要素是 有效值，角频率，初相位。 2．在图8—5所示正弦稳态电路中，045/2-=I A 。 解：0045/2j j 1)j1 1j11(/01-=+=+?= I A
3．在图8—6所示的正弦稳态电路中，电流表的读数为2A ，u 的有效值为100V ，i 的 有效值为22A 。 解： 100502=?=U V ， 22) 50 100(22 2=+=I A 4．在图8—7所示正弦稳态电路中，电流表的读数为1A ，u 的有效值为50V ，i 的有 效值为 1A 。 解：取00/1=C I A ，则30j -=C U V ， 215 j 30j -=-=L I A ， I I I C L 121-=-=+= A ， 于是 1=I A ， 5030]1[402 2=+?=U V 5．在图8—8所示正弦稳态电路中，100=-==C L X X R Ω，且0 0/2=R I A ， 则 电压j200=U V 。 解： 0/2000==R R I R U V ， 2j j100 200j =-== C R C X U I A ， j 2)2(+=+=C R I I I A ， 0j20200j100j2)2(j =+?+=+=R L U I X U V 三、计算题 1．在图8—9所示电路中， 21U U U +=，则1R 、1L 、2R 、2L 应满足什么关系？ 解：若使21U U U +=，则1U 与2U 同相，而 1U =)j (11L R I ω+ ， 2 U =)j (22L R I ω+ 由此可得 2211j j R L R L ω=ω ， 即2 2 11R L R L = 2．在图8—10所示的正弦电路中，电流表1A 、2A 的读数分别为4A 、3A ，试求当元 件2分别为R 、L 、C 时，总电流i 的有效值是多少？ 解：当元件2为R 时 54322=+=I A ；
天津理工电路习题及答案 第八章 相量法
第八章 相量法 8.1 学习指导 8.1.1 学习要点 (1)正弦量及其三要素。 (2)相位差的概念。 (3)相量的概念及其性质。 (4)KCL 、KVL 的相量形式。 (5)R 、L 、C 元件VAR 的相量形式。 8.1.2内容概述 1．正弦量 1)正弦量的时域表达式(以i 为例)： )t cos(I i m ψω+= ① 2)正弦量的三要素、有效值的定义 (1)角频率、频率、周期(要素之一) 角频率：dt ) t (d ψωω+= ，即正弦量单位时间内变化的电角度， 单位：rad ／s(弧度/秒)。 频率：f —单位时间内正弦量变化的周波数，单位：Z H 周期：T —正弦波变化一次所需要的时间，即一个完整周波在时间轴 上的宽度，单位：s 、ms 、s μ ω、f 、T 之间的关系：f 2πω= T 1 f = 或 f 1T = (2)最大值、有效值(要素之二) 式①中：m I —最大值；I —有效值。 有效值的定义：若i 为周期性电流函数(不一定是正弦量)，则i 有效值的定义式为 ? = T 2dt i T 1I 上式可写成：含义是：对同一电阻R ，在周期T 内，i 通过R 时产生的热量与恒定电流I 通过R 时产生的热量相等。 正弦量：I 2I m = 对电压等量有效值的定义式在形式上与电流i 的定义式相同。 (3)相位角、初相角(要素之三) 相位角： ψω+t ，单位：rad 或(o )(弧度或度)。 初相角：ψ，单位：rad 或(o )(弧度或度)。 注意：正弦量的一个周期对应的相位角为2πrad 或360o 3)相位差 相位差是正弦稳态电路中的一个重要概念，设两个正弦量分别为 )t cos(f f 1m 11ψω+= )t cos(f f 2m 22ψω+= 则1f 与2f 之间的相位差定义为 )t (112ψω?+=-)t (2ψω+=21ψψ- ② 设π?π≤≤-12则：
天津理工电路习题及答案第八章相量法
第八章 相量法 &1 学习指导 8.1.1学习要点 （1）正弦量及其三要 ⑵相位差的概念。 ⑶相量的概念及其 （4）KCL 、KVL 的相 ⑸R 、L 、C 元件VAR 的相量形式。 8.1.2内容概述 1 .正弦量 1） 正弦量 的时域 表达式（以i 为例）： i = I m cos@t +屮） 2） 正弦量 的三要 素、有 效值的定 义 （1）角频率、频率、周期（要素之一） dgt +屮） 角频率?.尬= ------------- ，即正弦 量单位时 间内变 化的电 角度, dt 单位：rad / s （弧度/秒）。 相位角： 矶+屮，单位：rad 或（0 ）（弧度或度）。 初相角：屮，单位：rad 或（0 ）（弧度或度 注意：正弦量的一个周期对应的相位角为 3）相位差 相位差是正弦稳态电路中的一个重要概念， f l = fim COSNt+屮 1 ） 频率 周期 f —单位时间 内正弦量 变化的 周波数，单位： T —正弦波变 化一次所 需要的 时间，即一个完 上的宽 度，单位：S 、 、T 之间的关系：? =2叮 f =丄 T ms 、 （2） 最大值、有效值（要素之二） 式①中：I m —最大值；I —有效值。 有效值的定义：若 i 为周期性电流函数 （不一定是正弦量 1 =￥1血 上式可写成：含义是：对同一电阻 过R 时产生的热量相等。 正弦量：i m =J 2i 对电压等量有效值的定义式在形式上与电流 （3） 相位角、初相角（要素之三） R ，在周期T 内, i 的定义式相同。 H Z 整周波在时间轴 ），则i 有效值的定义式 为 i 通过R 时产生的热量与恒定电流 I 通 性质。 量形式。 ） 。 2兀 rad 或 设两个正弦量分别为 f 2 = f2m COSPt+ 屮 2）
电路原理知识总结
电路原理总结 第一章基本元件和定律 1.电流的参考方向可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则i>0，反之i<0。 电压的参考方向也可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则u>0反之 u<0。 2．功率平衡 一个实际的电路中，电源发出的功率总是等于负载消耗的功率。 3．全电路欧姆定律：U=E-RI 4．负载大小的意义： 电路的电流越大，负载越大。 电路的电阻越大，负载越小。 5．电路的断路与短路 电路的断路处：I＝0，U≠0 电路的短路处：U＝0，I≠0 二．基尔霍夫定律1．几个概念： 支路：是电路的一个分支。 结点：三条（或三条以上）支路的联接点称为结点。 回路：由支路构成的闭合路径称为回路。网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。 2．基尔霍夫电流定律： （1）定义：任一时刻，流入一个结点的电流的代数和为零。 或者说：流入的电流等于流出的电流。（2）表达式：i进总和=0 或： i进=i出 （3）可以推广到一个闭合面。 3．基尔霍夫电压定律 （1）定义：经过任何一个闭合的路径，电压的升等于电压的降。 或者说：在一个闭合的回路中，电压的代数和为零。
或者说：在一个闭合的回路中，电阻上的电压降之和等于电源的电动势之和。 （2）表达式：1 或： 2 或： 3 （3）基尔霍夫电压定律可以推广到一个非闭合回路 三．电位的概念 （1）定义：某点的电位等于该点到电路参考点的电压。 （2）规定参考点的电位为零。称为接地。（3）电压用符号U表示,电位用符号V表示 （4）两点间的电压等于两点的电位的差。 （5）注意电源的简化画法。 四．理想电压源与理想电流源 1．理想电压源（1）不论负载电阻的大小，不论输出电流的大小，理想电压源的输出电压不变。理想电压源的输出功率可达无穷大。 （2）理想电压源不允许短路。 2．理想电流源 （1）不论负载电阻的大小，不论输出电压的大小，理想电流源的输出电流不变。理想电流源的输出功率可达无穷大。 （2）理想电流源不允许开路。 3．理想电压源与理想电流源的串并联（1）理想电压源与理想电流源串联时，电路中的电流等于电流源的电流，电流源起作用。 （2）理想电压源与理想电流源并联时，电源两端的电压等于电压源的电压，电压源起作用。 4．理想电源与电阻的串并联 （1）理想电压源与电阻并联，可将电阻去掉（断开），不影响对其它电路的分析。（2）理想电流源与电阻串联，可将电阻去掉（短路），不影响对其它电路的分析。