1.1.2 两角和与差的正弦公式
一、教学目标
⒈掌握两角和与差的正弦公式的推导过程;
⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力;
⒊发展学生的正、逆向思维能力,构建良好的思维品质。
二、教学重、难点
1. 教学重点:两角和与差的正弦公式的应用;
2. 教学难点:公式的的推导及逆用
三、教学设想:
(一)复习式导入:
大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;
()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢?
(二)探讨过程:
我们根据两角差的余弦公式可以得到:
cos()cos cos sin sin sin 222π
π
π
αααα-=+=
提示:我们可以利用上式实现正弦、余弦的互化,这对我们解决今天的问题有帮助吗?
让学生动手完成两角和与差正弦公式的推导.
()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ???????????????
sin cos cos sin αβαβ=+.
()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ
-=+-=-+-=-????
由此得到两角和与差的正弦公式: ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+
()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-
让学生观察并记忆两角和与差正弦公式,并思考与两角和与差的余弦公式的联系与区别。
(三)例题讲解
例1、利用和、差角正弦公式求sin 75,sin15的值.
解:分析:把75,15构造成两个特殊角的和、差.
12sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452=+=+=?+=
231sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302=-=-=?= 点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:()
sin15sin 6045=-,要学会灵活运用. 例2、已知34cos ,cos 55
αβ=
=,并且α和β都是锐角,求sin(),sin()αβαβ+-的值。 解:因为34cos ,cos 55
αβ==,并且α和β都是锐角,所以
4sin 5α==,3sin 5
β== 所以 ()4433sin sin cos cos sin 15555
αβαβαβ+=+=?+?= ()44337sin sin cos cos sin 555525αβαβαβ-=-=?-?= 点评:注意角α和β的象限,也就是三角函数值的符号问题.
例3、求sin105cos75cos105sin 75-的值。
解:分析:解此类题首先要学会观察,看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦公式中哪个相象.
1sin105cos75cos105sin 75sin(10575)sin 302-=-==
点评:考虑逆向思维。
(四)练习:
1.不查表计算下列各式的值:
(1)、sin 72cos 42cos72sin 42-;
(2)、cos 20cos70sin 20sin 70-; 2.教材P5面练习1.1.2
1、2、3、4题
(五)小结:
两角和与差的正弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程。在解题过程中注意角α和的象限,也就是符号问题,学会灵活运用. 考虑逆向思维。
(1)牢记公式
(2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系.
(3)在解题时逆向使用公式往往很重要。
(六)作业:
教材P8面习题1.1
1(1)、2、3、6