高考数学《概率与统计》专项练习(解答题含答案)
《概率与统计》专项练习（解答题）
１.(2016全国Ⅰ卷,文19,1２分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有
一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件,每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了10０台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ)若n =19,求y 与x 的函数解析式；
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于０.5,求n 的最小值；
(Ⅲ）假设这1０0台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易
损零件，分别计算这１00台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买1９个还是20个易损零件？
解：(Ⅰ)当x ≤1９时,y =3800
当ｘ>1９时，y =３800+500(x -19)＝500x －5700
∴y 与ｘ的函数解析式为y ={3800， x ≤19
500x ?5700，x ＞19
(ｘ∈N )
(Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于１9的频率为０．7
∴n 的最小值为１9
(Ⅲ)①若同时购买１9个易损零件
则这1０0台机器中,有7０台的费用为3800,2０台的费用为4３00，10台的费用为480０
∴平均数为1
100
(3800×70＋4300×２0+4800×10）＝4000
②若同时购买20个易损零件
则这100台机器中，有９０台的费用为4000，10台的费用为450０
∴平均数为1
100（4０00×90＋４500×10０)=4０５0 ∵4000<405０
∴同时应购买19个易损零件
2.（2０1６全国Ⅱ卷,文1８，1２分)某险种的基本保费为a (单位：元），继续购买该险种的投保
频数
10162024
（Ⅱ)记Ｂ为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P （B )
的估计值;
（Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值. 解:（Ⅰ)若事件A 发生,则一年内出险次数小于２
则一年内险次数小于2的频率为P (A ）=60+50
200
=０.5５ ∴P (A )的估计值为0.5５
（Ⅱ）若事件B 发生，则一年内出险次数大于１且小于4
一年内出险次数大于1且小于４的频率为P (B )＝30+30
200＝0.3 ∴P (B )的估计值为0.3 (Ⅲ)续保人本年度的平均保费为
1
200
(0.８5a ×６０＋a ×50+1.２５ａ×３0+1.5a ×3０＋１．７5a ×２0＋2ａ×10）＝1.192５a
３．（２01６全国Ⅲ卷，文18，12分)下图是我国２008年至20１４年生活垃圾无害化处理量(单
位：亿吨）的折线图
（Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明;
(Ⅱ）建立y 关于ｔ的回归方程（系数精确到０.01),预测20１6年我国生活垃圾无害化处理
量. 附注:
参考数据:7
19.32i i y ==∑,7
1
40.17i i i t y ==∑,
∑=
-7
1
2)(i i
y y
＝0．５5，√7≈2.646．
参考公式:相关系数r ＝
∑∑∑===----n
i n
i i i
n
i i i
y y t t
y y t t
1
1
2
21
)()()
)((．
回归方程y ?＝a ?＋b
?t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
b
?=∑∑==---n
i i
n
i i i
t t
y y t t
1
2
1
)()
)((,a ?=y ?-b
?t 解:(Ⅰ）由折线图中数据得t =1
7（1+2＋３+4＋5＋6+7）＝4………………１分
由附注中参考数据得
∑=--7
1
))((i i i
y y t t
＝∑=71
i i i y t －∑=7
1
i i y t =４0.17－４×9.３2＝2.89
………………………………………………………………………２分
∑=-71
2
)(i i
t t
=2
72
62
42
42
32
22
1)4()4()4()4()4()4()4(-+-+-+-+-+-+-t t t t t t t ＝28………………………………………………………………3分
∑
=-7
1
2
)(i i y y ＝0．55………………………………………………4分
r ＝
∑∑∑===----n
i n
i i
i
n
i i i
y y
t t
y y t t
1
1
2
2
1
)
()
()
)((=
∑∑==-?
-n
i i
n
i i
y y
t t
1
2
1
2
)()(89
.2＝
55
.02889
.2?≈０.99
………………………………………………………………………5分 ∵y 与t 的相关关系r 近似为0．99,说明y 与t 的线性相关程度相当高 ∴可以用线性回归模型拟合ｙ与ｔ的关系…………………………6分
（Ⅱ）y ?=
7
7
1
∑=i i
y
＝
9.327
≈1.331………………………………………………7分
b
?＝∑∑==---n
i i
n
i i i
t t
y y t t
1
2
1
)()
)((=
2.8928
≈0．103…………………………………8分
a ?=y ?－b
?t ≈1．3３1-０.１03×4≈０.９2…………………………………9分 ∴y 关于t 的回归方程为y ?=0.9２+0.103t …………………………１0分 ２016年对应的t =9…………………………………………………11分 把ｔ＝9代入回归方程得y ?=０.92＋0.１0３×9＝1.8２
∴预测201６年我国生活垃圾无害化处理量将约1．82亿吨………12分
4.（２015全国Ⅰ卷，文１9,12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣
传费x (单位：千元）对年销售量y (单位：ｔ）和年利润z （单位:千元)的影响．对近８年的年宣传费x i 和年销售量y i （i ＝１，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
8
8
8
8
表中ｗi ＝√x i ，w ＝18∑i ＝1
w i .
(Ⅰ)根据散点图判断,y ＝a ＋b ｘ与y =c ＋d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费ｘ的回
归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x ，ｙ的关系为z ＝0.２y －ｘ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
(ⅰ)年宣传费x =４９时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ⅱ）年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(u 1，v 1),(ｕ2，v ２），…，(u n ,ｖn ),其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为β^
＝
∑i ＝1
n
(u i －u )(v i －v )∑i ＝1
n
(u i －u )2
，α^
＝v －β^
u ．
解:(Ⅰ）y ＝c ＋d √x 适宜作为y 关于ｘ的回归方程类型
………………………………………………………………………………………2分 (Ⅱ)令w ＝√x ，先建立y 关于ｗ的回归方程
由于d ^
＝
∑i ＝1
8
(w i －w)(y i －y)∑i ＝1
8
(w i －w)2
=
108.81.6
=68…………………３分
c ^
＝y －d ^w =563－68×6.8＝100．6…………………４分
∴ｙ关于ｗ的回归方程为y ^
=１0０.6＋６8w …………………5分 ∴y 关于ｘ的回归方程为y ^=10０.6+6８√x …………………6分 (Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ)知,当x =４９时
ｙ的预报值y ^
=100.6＋68√49＝57６.6…………………７分
z 的预报值z ^
＝5７6．6×0.２-４9=６６.3２…………………９分 （ⅱ)根据（Ⅱ)的结果知
ｚ的预报值z ^=０.2(1０0．6+6８√x ）-x =－x +１3．6√x ＋20.１2……10分 ∴当√x ＝13.6
2＝６.8，即x =４6．24时,z ^
取得最大值…………………11分 ∴年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大…………………12分
5.（2015全国Ⅱ卷，文18,12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ,B 两地区分别随机
调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分,得到Ａ地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．
B 地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，6０) [６0,７0） [70，8０) [80，90) ［90,1０0]
频 数 2 8 14 １0 6
(Ⅰ)作出Ｂ地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平
均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可);
(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到８9分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.
解：（Ⅰ）
…………4分
Ｂ地区的平均值高于A 地区的平均值…………5分
Ｂ地区比较集中，而Ａ地区比较分散…………6分
(Ⅱ)Ａ地区不满意的概率大…………7分
记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”
C B 表示事件:“Ｂ地区用户的满意度等级为不满意” …………9分 由直方图得P (C A )=(０.０１＋0.０2＋0.03)×10=0.6…………10分
Ｐ(C B )＝(0.0０５+０.02)×１0＝0.25 (1)
∴A 地区不满意的概率大…………12分
6．（201４全国Ⅰ卷，文18，12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一
项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标值分组 [75，85） [８5，9５) ［95,１05) [１0５,115)
［1１5，１
25)
频数 6 26 3８ ２2 8
(Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图;
(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅲ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于９5的产
品至少要占全部产品8０%”的规定?
解：(Ⅰ）
…………４分
(Ⅱ）平均数为x ＝8０×0．０6＋9０×０．26+100×0.38+110×0.２2＋120×0.0８=100
方差为S 2＝1
100［6×（8０-100)2＋26×（９０－100）2+3８×(100－100)2
+2２×(11０－100)2+8×（12０-１00）2]
=１04
∴平均数为100，方差为104…………8分
(Ⅲ）质量指标值不低于9５的比例为０.38＋0.２2+0.08=0.６８…………10分
∵0.68<0.８…………11分
∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的８０%”的规定…………12分
7.(2０14全国Ⅱ卷，文１9，12分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了50位市民．根
（Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率; (Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 解:（Ⅰ)甲的评分由小到大排序,排在第25,26位的是75,7５
∴样本中位数为75＋75
2＝75 ∴甲的中位数是75
乙的评分由小到大排序,排在第25,26位的是66，68 ∴样本中位数为
66＋682=6７
∴乙的中位数是67
(Ⅱ)甲的评分高于９0的概率为5
50
＝0.１
乙的评分高于90的概率为8
50
＝０.16
∴甲、乙的评分高于9０的概率分别为０.1,0.16 (Ⅲ）甲的中位数高于对乙的中位数
甲的标准差要小于对乙的标准差
甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大
8.(2013全国Ⅰ卷,文18,12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机
地选取20位患者服用A 药，２0位患者服用B 药，这4０位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下： 服用A 药的２0位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 ２.7 1.5 2.8 1.８ 2．2 2.3 3.2 3.5
2.5 ２．６ 1.2 2.7 1.5 2.９
3.0 3.1 2．3 2.4 服用Ｂ药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 １.7 1.9 ０.8 0.９ 2.4 1.2 2.6 1．3 1.4
1.6 ０．5 1．8 0.6 2．1 1．1 2．5 １．2
2.7 0.5
（Ⅰ)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解：(Ⅰ)设A 的平均数为x ，B 的平均数为y
x =1
20(0．6+1．2+1.2＋1．5＋１．5＋1.8＋２.２＋2.３+2.3＋2.４＋2.5＋2.6＋2.7+２.7+
２．8＋2．９+3．0+3.1＋3．2+3.５）＝２．３ y ＝1
20(0.５+0.5＋0.６＋0.8＋0.９+1.1+１.２＋1.2+1.３＋1.４＋1.6＋１．7+１.8+1．９
＋2.1＋2．4+2.5＋2.6＋2.7＋3.)=1.６ ∴x ＞y
∴A 药的疗效更好 (Ⅱ)茎叶图如下：
从茎叶图可以看出
A 的结果有7
10的叶集中在茎2，3上
--
B的结果有7
10
的叶集中在茎0，1上
∴A药的疗效更好
9．(2０13全国Ⅱ卷,文19,12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内,每售出１ｔ该产品获利润5０0元,未售出的产品，每1ｔ亏损300元．根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:ｔ，10０≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,Ｔ（单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（Ⅰ）将Ｔ表示为X的函数;
(Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57 00０元的概率．
解:(Ⅰ)当Ｘ∈[１0０,１30)时，T＝５00Ｘ-３00（130－Ｘ）=800X-３90０0
当X∈[1３０，150]时,T=５00×13０＝65000
∴T={800X－39000，100≤X＜130 65000，130≤X≤150
（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T不少于５7０0０元，当且仅当120≤Ｘ≤１50
由直方图知需求量X∈[１20,１50］的频率为0.7
∴下一个销售季度内的利润Ｔ不少于5７００0元的概率的估计值为0.7
10.(2０１２全国卷，文18，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然
后以每枝１０元的价格出售．如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润ｙ(单位：元)关于当天需求量ｎ(单位：枝,n∈N)的函数解析式；
(Ⅱ)花店记录了１00天玫瑰花的日需求量（单位:枝),整理得下表:
日需求量n１4 15 １6 1７18 19 20
频数10 2０1６１6 15 13 1０
（ⅰ）假设花店在这100天内每天购进１7枝玫瑰花,求这10０天的日利润(单位：元)的平均数;
（ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以１00天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．
解:(Ⅰ)当日需求量n≥17时，利润y＝８5
当日需求量n<17时，利润ｙ＝10n－85
所以ｙ关于n的函数解析式为y={10n－85，n＜17
85，n≥17
(n∈Ｎ)
(Ⅱ）（ⅰ）解法一:
由表格可得
有１0天的日利润为5×1４－5×３＝5５元
有20天的日利润为5×１５－5×2＝６５元
有１6天的日利润为5×１6-5×１＝75元
有16＋１5+1３＋10=54天的日利润为85元
∴这100天的日利润的平均数为1
100
(55×１0+65×20＋75×16＋8５×54)=７6．4
--
(ⅰ)解法二:
由（Ⅰ）y ＝{
10n －85，n ＜17
85，n ≥17
(n ∈N )得
当n =１4时,1０天的日利润为１0n －8５=1０×14－85＝55元 当n ＝１5时，20天的日利润为１0n －８5＝10×１5－85＝65元 当ｎ＝1６时，16天的日利润为1０ｎ－85=10×16-８5=75元 当n ≥１７时，54天的日利润为８５元
∴这100天的日利润的平均数为1
100(５5×10＋6５×２０+75×1６＋85×54)＝76．４ (ⅱ）利润不低于75元,当且仅当日需求量不少于16枝
∴当天的利润不少于75元的概率为P =0.16+0．１6＋０.１５＋0.１３+0.1＝０.７
11.(20１1全国卷，文19，１２分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明
质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验,各生产了1００件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
A 配方的频数分布表
指标值分组 [90，９4) [９４，9８) [98，102) [1０２,１06） ［10６,110］
频数 8 ２0 42 ２2 ８
B 配方的频数分布表
指标值分组 [9０，94） [94,98) [9８，102) ［102,1０6) ［1０6，110]
频数 4 12 42 ３2 10 （Ⅰ）分别估计用Ａ配方,Ｂ配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ)已知用B 配方生产的一件产品的利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
y ={－2，t ＜94
2，94≤t ＜1024，t ≥102
,估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用Ｂ配方生产的上述１00件产品平均一件的利润.
解：（Ⅰ）A 配方的优质品的频率为
22＋8100
＝０．3 ∴A 配方的优质品率为0.3
B 配方的优质品的频率为
32＋10100
=0.４2
∴Ｂ配方的优质品率为0．４2
（Ⅱ）用B 配方的利润大于０,当且仅当ｔ≥94
∵ｔ≥94的频率为0.9６
∴Ｂ配方的利润大于0的概率为0.９6 B 配方的利润为1
100×[4×(－２）＋54×2+42×４]＝2.68（元)