概率论课本答案1(龙版)

第一章（证明题略） 练习1-1

1. (1) )}6,6)...(3,1)(2,1(),1,1{(1=λ (2)

}|{212x x x x ≤≤=λ

1x :当日最低价

2x :当日最高价

(3) },3,2,1,0{3=λ (4) },3,2,1{3 =λ 2.(1)

{}4213

,4231,4132,4123,3241,3214,3142,3124,2431,2413,2341,2314,1432,1423,1342,1324=Ω（2）}1423

,1432,1342,1324{=A (3) }4132,4123,3142,3124,1432,1423,1342,1324{=B (4)

B B A =+,A AB =,

{}4213

,4231,4132,4123,3241,3214,3142,3124,2431,2413,2341,2314=A 3.(1) {}HHH THH HTH HHT THT TTH HTT TTT ,,,,,,,=Ω

(2) },,{THH HTH HHT A =

(3) {}HHH THH HTH HHT THT TTH HTT B ,,,,,,=

(4)

B B A =+,A AB =,?=-B A ,{}TTT B =

4. }6,5,4,3,2,1{=λ

},5,3,1{=A },4,3,2,1{=B },4,2{=C }5,4,3,2,1{=+B A

}5{=-B A

},4,2{=+A B }3,1{=AB ?=AC

}6,4,3,2,1{=+B A

5. (5) ABC BC A C B A C AB C B A C B A C B A ++++++ (8)

ABC BC A C B A C AB +++ (10) B A C B B A ++ (11)

C B A ++

6. （1）、（3）、（5）互不相容 （2）、（6）对立 （4）、（7）相容

7. （1）i i A 5

1

== i i B 5

1

=，均表示至少一次中

（2） i i i

i B A 52

5

2

==?，i i A 5

2

=表示第二次至第五次至少一次中；

i

i B 5

2

=表示至少两次中。

（3）相容，i i A 21

=表示前两次至少一次中；i i A 5

3

=表示后三

次至少一次中。

（4）互不相容，i i B 2

1

=表示中一次或两次；i i B 5

3

=表示中三

次或四次或五次。

（5）对立，i i B 2

=表示不超过两次中；i i B 5

3

=表示超过两次

中。

（6）354321B A A A A A ?，3B 表示恰好中三次。

（7）51B A ?，1A 表示第一次没中；5B 表示五次没全中。 （8）i i A 5

1==

5B ，i i A 5

1

=表示至少有一次不中；5B 表示五次

没全中。 练习1-2 1.（1）7%

（2）15%+10%+5%=30% （3）%57%25%181=-- 2.（1）913.0087.01=- （2）913.00102.00768.01=--

4. ①2

5.0)()()()(=-=-=-AB P A P AB A P B A P 又4.0)(=A P 15.0)(=∴AB P

②)()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 15.025.04.0-+= 5.0=

③)()(AB B P A B P -=- )()(AB P B P -= 15.025.0-=

1.0=

④)(1)()(B A P B A P B A P -== 5.01-= 5.0=

5. )(1)(C B A P C B A P -=++

而

6.04.01)(1)(=-=-=A P A P

又)()(B A B A P A P +=

)()(B A P B A P +=

4.0)()()(=-=∴B A P A P B A P 又

C B A C B A B A +=

)()()(C B A P C B A P B A P +=∴ 3.01.04.0)(=-=∴C B A P 7.0)(=++∴C B A P 6.（1）88.0)(1)(11=-=A P A P (2) 06.013.007.012.0)(13.0)()()()(21212121=-+==-+=+A A P A A P A P A P A A P 故

(3) 03

.014.005.012.0)(14.0)()()()(31313131=-+==-+=+A A P A A P A P A P A A P 故

(4)

05

.001.006.0)(06.0)()(32132132121=-==+=A A A P A A A A A A P A A P 故

(5) 01

.001.002.0)()(02.010.005.007.0)(10

.0)()()()(321321321323213232=-=+==-+==-+=+A A A P A A A A A A P A A P A A P A P A P A A P 故故 02

.001.003.0)(03.0)()(32132132131=-==+=A A A P A A A A A A P A A P 故又

至少出现两个问题的概

率

为

：

09

.001.001.002.005.0)(321321321321=+++=+++A A A A A A A A A A A A P

(6)99.001.01)(1321=-=-A A A P

练习1-3

3. A=“其中恰有K 件” ①n

N

k n N N K N C

C C A P --=

∴11

)(

② B=“其中有次品”

=B “一件次品也没有”

n N

n N N C C B P B P 11)(1)(--=-=∴

③C=“其中至少有两件次品” =C “只有一件次品，或没有”

n

N

n N N N n N

n N N C C C C C C P C P 1

11

111)(1)(----

-

=-=∴

4．①: A=“男生比女生先到校”

24

30

24301

!24!30!6!24)(C P A P ==?=

②B=“李明比王先到学校”

2

1)(=

B P 5.

C ＝“至少两人生日同一天”

=C “每个人生各不同”

n

n C P C P 365)

1365(3643651)(1)(+-??-

=-=

6. ①A=“第2站停车”

=A “不停车”

25)9

8

(1)(1)(-=-=∴A P A P

②B=“第i 和第J 站至少有一站停车

=B “第

i 站到J 站都不停”

)(1)(B P B P -=∴

25)9

7(1-=

③=i A “第i 站有人下车（停车）” =j A “第

j 站有人

下车”

)(1)(1)(j i j i j i A A P A A A A P ?-=?-=?

)]()()([1j i j i A A P A P A P -+-= )()()(1j i j i A A P A P A P +--=

2525)9

7

(2)98(1+?-=

④D=“在第i 站有3人下车”

2233

25)9

8()91()(??=C D P

（贝努里试验）

7.（1）A ＝“前两个邮筒没有信”

414

22)(2

=?=

A P （2）

B ＝“第一个邮筒恰有一封信”

83

4

3)(21

2=?=C B P

8. A ＝“前i 次中恰好有取到k ”个黑球

)!

()!

(!)(b a i b a i C C A P k i b k a +-+??=

- i

b

a k i

b k a C C C +-=

9.

=3A “第三把钥匙可以开门”

=2A “第二把钥匙可

以开门”

①

)()(3213213213213A A A A A A A A A A A A P A P +++=

)()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P +++=

83

94106839610484951068293104??+??+??+??=

72014412024++=

720288= 104= ② =3A “第三把钥匙才可以开门”

6

17201208495106)(3==??=

A P

③ C=“最多试3把就可以开门”

849510694106104)(??+?+=

C P

6

5= 10. 贝努里试验

A ＝“其中三次是正面”

103

1073310)2

1()21()21()(?=??=C C A P

11.A ＝“恰有一红球，一白球，一黑球”

41

)(3

10

1

21315=??=C C C C A P

12.

!

1348

!132223)(12=????=C A P

13. 几何概型

A ＝“等待时间不超过3分钟” ?→?X 到达汽车站的

时间

}10{+≤≤=Ωt x t x }107{+≤≤+=t x t x A

10

3)()()(=Ω=

∴S A S A P 14. A ＝“需要等待空出码头的概率”

?→?x 第

1条船到达时刻

?→?y 第2条船到达时刻

240),{(≤≤=Ωx y x

}24

0≤≤y 20),{(≤-≤=y x y x A

}1

0≤-≤x y

222224

)

2322(21

24)()()(+-=Ω=∴S A S A P 练习1-4

1. A ＝“第一次取出的是黑球”

B ＝“第二次取出的是黑球” （1）

1

1

)1()()

1()()()(-+-=+-+?+-?==b a a b

a a

b a b a a a A P AB P A B P

（2）111

1111)()()(-+-=

-+?

++-+-?+-+-?

+==b a a b a a b a b b a a b a a b a a b a a B P AB P B A P （3）A ＝“取出的两个球，有一个是黑球” B=“两个都是黑球” )12()1(-+?=?+?+-=b a a a b b a a a n A

)1(-?=a a n B

1

21)]12([)1()(-+-=

-+-==

b a a b a a a a n n A B P A B

2. （1）)

()()(A P AB P A B P =

A ?

B A AB ＝∴

1A P A P A P AB P A B P ＝）

（）（＝）

（）

（）＝（∴ （2））

（）（＝）

（）＝（A P AB P A P )](P[A A B P 212121AB B B B +++

φ=21B B )

()()(21A P AB P AB P +∴=

)

()()()(21A P AB P A P AB P +

=

)()(21A B P A B P +=

3. (1) }){(）（女，女），（男，女）（女，男男，男=λ

A=“已知一个是女孩，”＝

}{（女，女）（男，女）（女，男）

C ＝“两上都是女孩”＝ }{（女，女）

3

1

A C P ）＝

（ （2）

2

1A P 12）＝

（A

=i A “第

i 个是女孩”

4. A=“点数为4”

3

1

6652)(=??=

A P 5. A ＝“甲抽难签” B=“乙抽难签” C=“丙抽难签” ① 10

4

)(=

A P ②

)()()(A B P A P B A P ?=

94106?= 90

24= 15

4=

③ )()()()(AB C P A B PC A P ABC P ??= 8293104??=

72024= 6.

（

1

）由

8

.0)()()()(=-+=+EF P F P E P F E P ,得

2.08.06.04.0)(=-+=EF P

5

.04.02

.0)()()(33.06

.02

.0)()()(======

E P E

F P E F P F P EF P F E P

(2)由2.05.04.0)(4.0)

()

()(=?===

EF P F P EF P F E

P 得 67

.03

.02

.0)()((6

.02.05.03.0)()())(====-+=-+=+E P EF P E F P EF P F P E P F E P ）（ 8. A=“试验成功，取到红球”

=0B “从第二个盒子中取到红球” =1B “从第三个盒子中取到红球”

)()(10AB AB P A P +=

)()(10AB P AB P +=

)()()()(1100B A P B P B A P B P ?+?=

10

810310721?+?=

10059= 59.0=

9. A=“废品”

=1B “甲箱废品”

=2B “乙箱废品”

（1）)()(21AB AB P A P +=

)()()()(2211B A P B P B A P B P ?+?=

05.050

2006.0503?+?=

056.0=

（2）120201003005.0240006.03000)(?+??+?=A P

5400120180+= 18

1= 10. =i B “第二次取球中有

i 个新球” i=0.1,2,3 =j A “第一次取球中有

j 个新球” j=0,1,2,3

(1)

)()(322212022A B A B A B A B P B P +++=

)()()()()()(222121020A B P A P A B P A P A B P A P ?+?+?= )()(323A B P A P ?+

3

12

33

9)(C C C A P j

j j -= 3,2,1,0=j ①

3

12

1

3292)(C

C C A B P j

j j +-=

3,2,1,0=j ②

分别对应代入该式中，可得：

455.0)(2=B P

（2）)

()

()()

()()(212122121B P A B P A P B P B A P B A P ?=

=

将①，②代入该式，可得：

14.0)(21=B A P

11、 A ＝“确实患有艾滋病” B ＝“检测结果呈阳性” 由题知：95.0)(=A B P 01.0)(=A B P

001.0)(=A P

①

)

()()()()()()()

()(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ?+??=

= 01.0999.095.0001.095

.0001.0?+??=

087.0= ② C=“高感染群体确实患有艾滋病”

01.0)(=C P

)()()()()()()()

()(C B P C P C B P C P C B P C P B P BC P B C P ?+??==

01.099.095.001.095

.001.0?+??=

49.0= 12. 解：不能说明“袭击者确为白人的概率”为0.8

设 A ＝“被袭击者正确识别袭击者种族”

=A “错误识别袭击者种族”

B ＝“袭击者为白人” =B “袭击者为非白人”

根据已知条件，有 8.0)(=A P

2.0)(=A P

)()(A B BA P B P +=

)()(B A P AB P +=

)()()()(A B P A P A B P A P ?+?= )(2.0)(8.0A B P A B P ?+?=

因

)(A B P

与 )(A B P 未给出，因而不能断定

8.0)(=B P

练习1-5

2. 解：2

1)()()(===C P B P A P

4

1)()()(=

==AC P BC P AB P C B A ,,∴两两独立，

又8

1)()()(4

1)(=≠=C P B P A P ABC P C B A ,,∴不相互独立，只是两两独立。

3. ①

0)(=A P Ω??B 有 )()(0)(B P A P AB P == B A ,∴独立

②1)(=A P Ω??B 有 0)(=A P 独立

）

（）（）（AB P AB P B P )B (?-=A P ）（）－（＝B A P B P

）（）（）－（＝B P A P B P

））

（－）（（＝A 1B P P ）（）（＝A P B P ? 4.

0)(＞A P

且 0)(＞B P 且 A ，B 互不相容

则 A ，B 不可能相互独立 因为0)()(==φAB P 但因为

0)(＞A P 0)(＞B P

)()(0)(B P A P AB P ≠=∴ 不独立∴

5. C B A ，，相互独立，证明 C B A ，，亦相互独立

证：）（）（）＝（）且（）（）（）＝（B P A P AB P C P B P A P ABC P ）（）（）＝（），（）（）＝（C P A P AC P C P B P BC P

）（）（）（B A P B P A P 1+--=

)(A P B P A P 1B P ）（）（）（+--= ]B P 1][A P 1[）（）（--=

)()(B P A P =

同理可证 )()()(C P A P C A P = )()()(C P B P C B P =

下证

)()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---= )()()()()()()(1C P A P B P A P C P B P A P ++---=

)()()()()(C P B P A P C P B P -+ )(1)][(1)][(1[C P B P A P ---=

)()()(C P B P A P =

C B A ,,∴相互独立 6. 证略，可用数学归纳法

7. A ＝“第一道工序出品” B ＝“第二道工序出废品” C ＝“第三道工序出废品”

)(1)(C B A P C B A P -=++

)()()(1C P B P A P ??-= 8.095.09.01??-=

316.0= 8. A=“雷达失灵” B=“计算机失灵” )()()(B P A P B A P ?= （因为独立） 7.09.0?= 63.0=

9. B ＝“击落” A ，B ，C 分别代表三收炮弹 i A i =发炮弹击中敌机

3,2,1=i

)()()()(1C B A P C B A P C B A P A P ++=

3.07.07.03.07.07.07.07.03.0??+??+??= 441.0=

)()()()(2C B A P BC A P C AB P A P ++=

7.03.03.07.03.03.07.03.03.0??+??+??=

189.0=

27.0)()(3==ABC P A P

2.0)(1=A B P 6.0)(2=A B P 1)(3=A B P

1027.06.0189.02.0441.0)(?+?+?=∴B P

228

.0=

)

()

()(22B P B A P B A P =

)

()

()(22B P A B P A P ?=

2286.06.0189.0?=

496.0=

10.

系统工作

工作元件==B i A i ,由题意知：元件不工作的概率为

0.1，且各元件工作独立。 （1）

{}

{}9981.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01()()(1)(1)

(1)()(432142132142132143214321=???+??-??-=-+-=+-=+-=++=A A A A P A A A P A A A P A A A A A A P A A A A P A A A A P B P (2)

902.09981

.09

.0)()()()()(111====

B P A P B P B A P B A P

注：习题中证明题可略。 习题

一 1.

（1

）

199

2)(119

19120110=

??=C C C C A P

(2)

1910

2)(119

1

10120110=

??=C C C C B P

2. （1）A 的位置：n ，B 的位置：n-1 )

1()1(2!)!2(2)1(1

1

112---=

-=?---=--n n r n n n C C n n r n P r n （2）1

11

)1(11

1

1-==-n C C C C P n n n

3. 甲、乙两盒被取到的概率均为,2

1当发现一盒空

时，已取2N-k 次不空，及1次空，共2N-k+1次，故

k

N N k N k N N k N C C P ----=?=2212212212)

()()(2 4.

设

：

种，故

的取法有从而最大号码为种取法共即表示取得的号码不超过种取法

共即表示取得的号码不超过k k k m k m m m m m m m A m m m A )1()1(),1(,1),(,1----≤-≤- k

k

k n m m P )1(--=

5. 几何概型

题。

41)(3)4(,),

3(,,,)2(,,,)

1(,,,,2

12

22122

1

2122121213212212121321321321=?-=<<--<-<->+-->+>+=++l

l P x x x x l x x x x x x x x x l x x x x x l x x x x x x l l l

图得

从而根据几何概型，作同理，有：于是：即于是：即满足：设三段为： 6.

2

12

12111211(,1(,1q q p

q P q q p P p q q -=-=

-中）乙胜中）甲胜甲（先）中：设命中： 7. 设

90

29255311573110331)()()()()()()()1(25

20

)(,158)(,107)(,31)()()(,

2,1:3,2,1:3132121111312111321=?+?+?=++===

=======B A P B P B A P B P B A P B P A P P B A P B A P B A P B P B P B P j j A i i B j i 则次抽到的表为男生，第区考生的表，第6120

)()()(9

2

242025531148157319710331)(90

61

2520311583110731)(2520

242025524192520)(158148157147158)(,1079710396107)()2(90

6192

22121212322212=

====

??+??+??==

?+?+?==

?+?==?+?==?+?=

A P A A P A A P q A A P A P

B A P B A P B A P

8.

(1)

008

.0)2.06.02.02.02.02.06.02.06.02.02.06.0(3

1

=???+???+????=P (2)

6

.0008

.06

.02.02.06.03

1=????=

P