初中数学最值问题 专题

中考数学最值问题

【例题1】(经典题)二次函数y=2(x ﹣3)2﹣4的最小值为

.

【例题2】(2018江西)如图,AB 就是⊙O 的弦,AB=5,点C 就是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45°

,若点M 、N 分别就是AB 、AC 的中点,则MN 长的最大值就是 .

【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,OC ＝3. (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标;

(2)过点A 作AM ⊥BC ,垂足为M ,求证:四边形ADBM 为正方形;

(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点,当△PBC 面积最大时,求P 点坐标及最大面积的值;

(4)若点Q 为线段OC 上的一动点,问AQ ＋

2

1QC 就是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由. 练 习 1、(2018河南)要使代数式x 32-有意义,则x 的( )

A 、最大值为32

B 、最小值为3

2 C 、最大值为2

3 D 、最大值为23 2、(2018四川绵阳)不等边三角形?ABC 的两边上的高分别为4与12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为________。

3、(2018齐齐哈尔)设a 、b 为实数,那么a ab b a b 22

2++--的最小值为_______。

-2-1

-13

2

1

321y

x

O

M D C B A

4、(2018云南)如图,MN 就是⊙O 的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B 为弧AN 的中点,点P 就是直径MN 上的一个动点,则PA+PB 的最小值为 .

5、(2018海南)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8、1元/斤,并且两次降价的百分率相同.

(1)求该种水果每次降价的百分率;

(2)从第一次降价的第1天算起,第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存与损耗费用的相关信息如表所示、已知该种水果的进价为4、1元/斤,设销售该水果第x (天)的利润为y (元),求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天)

1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15 售价(元/斤)

第1次降价后的价格 第2次降价后的价格

销量(斤)

80－3x 120－x 储存与损耗费用(元) 40＋3x 3x 2－64x ＋400 (3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127、5元,则第

15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？

6、(2018湖北荆州)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R 、P 与x 的关系式分别为

R x =+50030,P x =-1702。

(1)当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元;

(2)当日产量为多少时,可获得最大利润？最大利润就是多少？

7、(2018吉林)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别就是600元与1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？

8、(经典题)求x x x x 2211

-+++的最大值与最小值。 9、(经典题)求代数式x x 12

-的最大值与最小值。

10、(经典题)求函数y x x =--+-||||145的最大值。

11、 (2018山东济南)已知x 、y 为实数,且满足x y m ++=5,xy ym mx ++=3,求实数m 最大值与最小值。

12、(2019年黑龙江省大庆市)如图,在Rt △ABC 中,∠A ＝90°.AB ＝8cm ,AC ＝6cm ,若动点D 从B 出发,沿线段BA 运动到点A 为止(不考虑D 与B ,A 重合的情况),运动速度为2cm /s ,过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ,连接BE ,设动点D 运动的时间为x (s ),AE 的长为y (cm ).

(1)求y 关于x 的函数表达式,并写出自变量x 的取值范围;

(2)当x 为何值时,△BDE 的面积S 有最大值？最大值为多少？

13、(2019年宁夏)如图,在△ABC 中,∠A ＝90°,AB ＝3,AC ＝4,点M ,Q 分别就是边AB ,BC 上的动点(点M 不与A ,B 重合),且MQ ⊥BC ,过点M 作BC 的平行线MN ,交AC 于点N ,连接NQ ,设BQ 为x .

(1)试说明不论x 为何值时,总有△QBM ∽△ABC ;

(2)就是否存在一点Q ,使得四边形BMNQ 为平行四边形,试说明理由;

(3)当x 为何值时,四边形BMNQ 的面积最大,并求出最大值.

本题考查的就是相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质就是解题的关键.

14、 (2019广东深圳)如图所示,抛物线c bx ax y ++=2过点A(－1,0),点C(0,3),且OB=OC.

(1)求抛物线的解析式及其对称轴;

(2)点D,E 在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D 在点E 的上方,求四边形ACDE 的周长的最小值,

(3)点P 为抛物线上一点,连接CP,直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分,求点P 的坐标.

初中数学几何最值问题典型例题精修订

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初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例

二、典型题型

1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若 ∠AOB=45°，OP=PMN的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD． ∴△COD是等腰直角三角形． 则CD OC=6． 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．

最新初中数学常见8种最值问题

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。 一. 配方法 例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛） 可取得的最小值为_________。 解：原式 由此可知，当时，有最小值。 二. 设参数法 例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。则 的最大值为________。 解：设，易知 由，得 从而， 由此可知，是关于t的方程的两个实根。 于是，有 解得。故的最大值为2。 例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则 可取得的最小值为（） A. 3 B. C. D. 6 解：设，则

从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。 三. 选主元法 例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足 。则z的最大值是________。 解：由得。 代入消去y并整理成以为主元的二次方程 ，由x为实数，则判别式。 即， 整理得 解得。 所以，z的最大值是。 四. 夹逼法 例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足 。设，记为m的最小值，y为m的 最大值。则__________。 解：由得 解得

由是非负实数，得 从而，解得。 又， 故 于是， 因此， 五. 构造方程法 例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。 从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程的两个实数根，则 因为， 所以， 解得 所以k的最小值是 四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且 。若，则的最大值为_________。

初中数学最值问题典型例题(含解答分析)

中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l

例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

(完整)初中数学“最值问题”_集锦

“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，

在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？ 分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，

初中数学最值问题集锦 几何地定值与最值

几何的定值与最值 几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或 几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本 方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 (如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基 本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法； 3．数形结合法等． 注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这 是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数 形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】 【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以 AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ． 思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′， DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2 1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小， 本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值． 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特 殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等． 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度 数（ ） ⌒

初中数学最值问题典型例题

初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 轴 对 称 最 值 图形 l P B A N M l B A A P B l 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直 线，P为直线l上的一 个动点，求AP+BP的 最小值 A，B为定点，l为定直线， MN为直线l上的一条动线 段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动 点，求|AP-BP|的最大值转化 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N 重合，然后作其中一个定 点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定 直线l的对称点 折 叠 最 值 图形 B' N M C A B 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折， B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为． 【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长． ∵PC关于OA对称， ∴∠COP=2∠AOP，OC=OP 同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD ∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．

1二次函数的最值问题总结

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1． 当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 例2． 当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 例3． 当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 例4． 当1t x t ≤≤+时，求函数215 22 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值． 例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去. （1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式. （2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.

2013中考总结复习冲刺练：初中数学“最值问题” 集锦

2013中考总结复习冲刺练：“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’， 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP， 在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P 点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+P B最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB ∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R 的最大值即可． 解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有

初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结

几何最值问题大一统 追本溯源化繁为简 目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。纲举则目张，执本而末从。如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。 关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形。 AD一定，所以D是定点，C是直线 的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为 是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。

精选初中数学常见8种最值问题

初中数学最值问题常见的8种解题方法一. 配方法 例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛） 可取得的最小值为_________。 解：原式 由此可知，当时，有最小值。 二. 设参数法 例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。则的最大值为________。 解：设，易知 由，得

从而， 由此可知，是关于t的方程的两个实根。 于是，有 解得。故的最大值为2。 例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（） A. 3 B. C. D. 6 解：设，则 从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。

三. 选主元法 例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足 。则z的最大值是________。 解：由得。 代入消去y并整理成以为主元的二次方程 ，由x为实数，则判别式。即， 整理得 解得。 所以，z的最大值是。 四. 夹逼法

例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。设，记为m的最小值，y为m的最大值。则__________。 解：由得 解得 由是非负实数，得 从而，解得。 又， 故

于是， 因此， 五. 构造方程法 例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。 解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程 的两个实数根，则 因为， 所以， 解得

所以k的最小值是 四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且 。若，则的最大值为 _________。 解：由得，代入得。 而由和可知的整数。 所以，当时，取得最大值，为。 七. 借助几何图形法 例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数 的最小值是________。 解：显然，若，则。因而，当取最小值时，必然有。

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最

初中数学最值问题专题分类讲解全书

初中数学最值问题专题分类讲解全书 ●平面几何中的最值问题 ●几何的定值与最值 ●最短路线问题 ●对称问题 ●巧作―对称点‖妙解最值题 ●数学最值题的常用解法 ●求最值问题 ●有理数的一题多解

●平面几何中的最值问题 在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例． 在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’， 在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝AP，

在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？ 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可． 解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry， 所以 所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2， 上式只有当x=R时取等号，这时有 所以2y=R=x． 所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D， 这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出 最大面积，使得窗户透光最好？

中考数学中的最值问题解法

中考数学几何最值问题解法 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。 应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值 典型例题： 例1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【】 A1B C． 55 D． 5 2 例2.在锐角三角形ABC中，BC=2 4，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN 的最小值是▲ 。 例3.如图，圆柱底面半径为2cm，高为9cm π，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为▲ cm。

练习题： 1. 如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开 始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2.如图，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC=6cm ，点P 是母线BC 上一点，且PC= 23 BC ．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是【 】 A 、6 (4)π+㎝ B 、5cm C 、㎝ D 、7cm 3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 _ ▲ ． 二、应用垂线段最短的性质求最值：典型例题： 例1. （2012山东莱芜4分）在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是 ▲ ．

初中数学最值问题 专题

中考数学最值问题 【例题1】(经典题)二次函数y=2(x ﹣3)2﹣4的最小值为 . 【例题2】(2018江西)如图,AB 就是⊙O 的弦,AB=5,点C 就是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45° ,若点M 、N 分别就是AB 、AC 的中点,则MN 长的最大值就是 . 【例题3】(2019湖南张家界)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,OC ＝3. (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; (2)过点A 作AM ⊥BC ,垂足为M ,求证:四边形ADBM 为正方形; (3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点,当△PBC 面积最大时,求P 点坐标及最大面积的值; (4)若点Q 为线段OC 上的一动点,问AQ ＋ 2 1QC 就是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说明理由. 练 习 1、(2018河南)要使代数式x 32-有意义,则x 的( ) A 、最大值为32 B 、最小值为3 2 C 、最大值为2 3 D 、最大值为23 2、(2018四川绵阳)不等边三角形?ABC 的两边上的高分别为4与12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为________。 3、(2018齐齐哈尔)设a 、b 为实数,那么a ab b a b 22 2++--的最小值为_______。 -2-1 -13 2 1 321y x O M D C B A

4、(2018云南)如图,MN 就是⊙O 的直径,MN=4,∠AMN=40°,点B 为弧AN 的中点,点P 就是直径MN 上的一个动点,则PA+PB 的最小值为 . 5、(2018海南)某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8、1元/斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第1天算起,第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存与损耗费用的相关信息如表所示、已知该种水果的进价为4、1元/斤,设销售该水果第x (天)的利润为y (元),求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存与损耗费用(元) 40＋3x 3x 2－64x ＋400 (3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127、5元,则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 6、(2018湖北荆州)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x 只玩具熊猫的成本为R(元),售价每只为P(元),且R 、P 与x 的关系式分别为 R x =+50030,P x =-1702。 (1)当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润？最大利润就是多少？ 7、(2018吉林)某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别就是600元与1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？ 8、(经典题)求x x x x 2211 -+++的最大值与最小值。 9、(经典题)求代数式x x 12 -的最大值与最小值。 10、(经典题)求函数y x x =--+-||||145的最大值。

中考数学压轴题突破：几何最值问题大全

中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡 不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。 例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上

初中数学最值问题

最值问题 “最值”问题大都归于两类基本模型： Ⅰ、归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 一、利用函数模型求最值 例1、如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，设AB=x米，由于实际需要矩形的宽只能在4m和7m之间。设花圃面积为y平方米．求y与x之间的函数关系式和y的最值。 例2、如图（1），平行四边形ABCD中，AB=4,BC=3,∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，设BE=x，△DEF的面积为S当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？ 例3、如图所示，已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，且cos∠APB＝ 3 1 ，求△APB的面积的最大值？ 例4、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=30°，AB=DE=a。当两三角形沿着直线FC移动时，求图中阴影部分的面积的最大值。 A B C E F 1 / 4

2 / 4 A O x y D C B 三、归入“两点之间的连线中，线段最短” 思路：不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，例5、(1)如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B.26 C.3 D.6 (2)如图，AB 、CD 是半径为5的⊙O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA+PC 的最小值为___________． 例6、几何模型： 条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用： （1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则PB PE +的最小值是___________． （2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值___________． （3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值___________． 例7、如图，锐角△ABC 的边AB=42，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________． 例8、如图（1），直线23+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D 。 （1）求点D 的坐标； （2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标。若不存在，请说明理由。 A B A ' P l O A B P R Q 图3 O A B C 图2 A B E C P D 图1 P

初中数学经典最值问题提高题

初中数学的几何最值问题经典例题 1. （2016山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】 A ．21+ B ．5 C ．1455 5 D ．52 2.（2016湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值 是 。 3.（2016四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺 着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm 。 4. （2016四川眉山3分）在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中 线，则AD 的取值范围是 ． 5.（2016湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为 5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 6.（2016广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最小值是 ． 7.（2016浙江台州4分）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ， Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 A ． 1 B ．3 C ． 2 D ．3＋1 8.（2016四川广元3分） 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线 y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为【 】 A.（0，0） B.（2 1-，21-）

初中数学最值问题专题

中考数学最值问题 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2 ﹣4的最小值为 ． 【例题2】（2018江西）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ． 【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形； （3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋2 1 QC 是否存在最小值若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 练 习 1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义，则x 的（ ） A.最大值为 32 B.最小值为32 C.最大值为23 D.最大值为2 3 2.（2018四川绵阳）不等边三角形?ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。 -2 -1 -1321 3 21 y x O M D C B A

3.（2018齐齐哈尔）设a 、b 为实数，那么a ab b a b 22 2++--的最小值为_______。 4.（2018云南）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 ． 5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)，求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大 时间(天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15 售价(元/斤) 第1次降价后的 价格 第2次降价后的 价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用 (元) 40＋3x 3x 2 －64x ＋400 （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元 6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为 R x =+50030，P x =-1702。 （1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少 7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少