2018-2019学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题：最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要

紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）

A．M?N B．N?M C．M∩N={0}D．M∪N=N

2．复数z满足z?i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）

A．3 B．2C．2 D．

4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β

C．若α⊥β，m?α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α

5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）

A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx

6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A．8 B．C．4 D．

7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）

A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}

8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）

在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函

数”，则实数m的取值范围是（）

A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．

二、填空题

9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．

10．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=

11．命题p：“?x∈R，x2﹣x+1＞0”，则?p为．

12．已知，则cos2x=．

13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）

有下列几种描述：

①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；

④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．

14．若对任意x∈A，y∈B，（A?R，B?R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y

的广义“距离”；

（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；

（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；

（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．

今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：

①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．

能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．

三、解答题

15．已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．

16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．

17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．

18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式

（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x?f（x），其中e为自然对数的底数．

（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；

（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．

20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．

（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；

（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；

（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

2016-2017学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）

A．M?N B．N?M C．M∩N={0}D．M∪N=N

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．

【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，

故M∩N={0}，

故选：C．

2．复数z满足z?i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．

【解答】解：由z?i=3﹣i，得，

∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．

故选：C．

3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）

A．3 B．2C．2 D．

【考点】正弦定理．

【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．

【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，

由余弦定理可得，

a2=b2+c2﹣2bccosA，

即有4=b2+12﹣4×b，

解得b=2或4，

由b＜c，可得b=2．

故选：C．

4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β

C．若α⊥β，m?α，则m⊥β

D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．

【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．

【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；

B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；

C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；

D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m?α，所以m∥α．

故选D．

5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2

倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）

A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换步骤，进行解答即可．

【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=cos2x

将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y=cosx的图象

所以函数的解析式为y=cosx．

故选：D．

6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A．8 B．C．4 D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，利用体积公式可得结论．

【解答】解：由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则

该几何体的体积是=

故选D．