高等数学--练习题
习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0).
解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限；
点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.
2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？ 答: 在xOy 面上的点，z =0;
在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.
3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？ 答：x 轴上的点，y =z =0;
y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.
4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.
解：（1）s =
=
(2) s ==
(3) s =
=
(4) s ==5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.
故 02
s =
x s =
=
y s =
=
5z s =
=.
6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则
2
2
2
2
2
2
(4)1(7)35(2)z z -++-=++--
解得
149z =
即所求点为M （0，0，14
9）.
7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
证明：因为|AB |=|AC |=7.且有
|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1
图7-1
9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v - 解：
232(2)3(3)
2243935117u v -=-+--+-=-++-+=-+a b c a b c a b c a b c
a b c
10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，
试以AB = c ，BC =
a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A .
解：
1115D A BA BD =-=-- c a
2225D A B A B D =-=-- c a
3335D A B A B D =-=-- c a
444.
5D A BA BD =-=-- c a
11. 设向量O M
的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则
1
P r j cos 604 2.
2u O M O M =?=?=
12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
的起点A 的坐标.
解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则
{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----
解得x =-2, y =3, z =0
故A 的坐标为A (-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：
（1） 12P P 在各坐标轴上的投影； （2） 12P P
的模；
（3） 12P P 的方向余弦； （4） 12P P
方向的单位向量.
解：（1）12Pr j 3,x x a P P ==
12Pr j 1,
y y a P P ==
12Pr j 2.z z a P P ==-
(2)
12P P =
=
(3)
12
cos x
a P P α==
12
cos y
a P P β==
12
cos z a P P γ==
(4) 12012
P P P P ===+-e j .
14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.
解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
||==R
cos cos cos αβγ=
=
=
15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .
解：||=
=
a
||==
b
||3=
=c
, , 3. a b c ===a b c e
16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .
17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .
解：因αβγ==,故2
3cos 1 α=
,
cos 33αα==-（舍去）
则
{cos ,cos ,cos })
3
3
3
3
r αβγ===
++e i j k .
18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M M M =
，
求向径O M
的坐标.
解：设向径O M
={x , y , z }
12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z M M x y z =--+=----
因为，123M M M M =
所以，114
23(3)153(2) 433(5)3
x x x y y y z z z ?=?-=-??
??
-=--?=-
????
+=-?=???
故O M ={111
,,3
4
4-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是
236
,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222
||(12)49PA x y z =++-=
得222
9524x y z z ++=-+
126570cos 6, 749
z z γ=
=
?==
又122190cos 2, 7
49
x x α=
=?==
123285cos 3, 7
49
y y β=
=
?==
故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （
190285570
,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角
2π
3?=
，且3,4a b ==，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ).
解：（1）a ·b =
2π1cos ||||cos
34346
3
2
???=??=-
??=-a b
(2) (32)(2)3624-?+=?+?-?-?a b a b a a a b b a b b
2
2
23||44||
334(6)416
61.
=+?-=?+?--?=-a a b b
21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算： （1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2
||-a b 解：（1）46(2)(3)4238?=?+-?-+?=a b
(2) (23)()2233-?+=?+?-?-?a b a b a a a b a b b b
2
2
2
2
2
2
2
2
2||3||
2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113
=-?-=?+-+--+-+=?--?=-a a b b
(3) 2
2
2
||()()2||2||-=-?-=?-?+?=-?+a b a b a b a a a b b b a a b b
36238499=-?+=
22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在
向量CD
上的投影.
解：AB
={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}
Pr j C D A B C D
A B C D ?=
4.
7==- 23. 设重量为100kg 1M 2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m ）.
解：取重力方向为z 轴负方向， 依题意有
f ={0,0, -100×9.8}
s = 12M M
={-2, 3,-6}
故W = f ·s ={0, 0,-980}·{-2, 3,-6}=5880 (J)
24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角.
解: (a +3b )·(7a -5b ) =22
7||1615||0+?-=a a b b ① (a -4b )·(7a -2b ) = 2
2
7||308||0-?+=a a b b ②
由①及②可得：22
2
2
2
1()
1||||
2
||||
4???=
=
?
=
a b
a b a b a b a b
又
2
1||02?=
>a b b ，所以
1cos ||||
2θ?=
=
a b a b ,
故
1π
arccos
23θ==
. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z ) 0{1,1,1}M M x y z =---
因0M M n ⊥ ,故00M M n ?=
. 即2(x -1)+3(y -1)-4(z -1)=0
整理得：2x +3y -4z -1=0即为动点M 的轨迹方程.
26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且 a +b ={2,4, -2} a -b ={-6,10,14}
又(a +b )·(a -b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a +b )⊥(a -b ).
27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求： (1) a ×b ; (2) 2a ×7b ; (3) 7b ×2a ; (4) a ×a .
解：（1） 2113323751
22
11
1
--?=
+
+
=----a b i j k i j k
(2) 2714()429870?=?=--a b a b i j k
(3) 7214()14()429870?=?=-?=-++b a b a a b i j k (4) 0?=a a .
28. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：
(1) |(a ＋b )×(a －b )|； (2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.
（1）|()()|||2()|+?-=?-?+?-?=-?a b a b a a a b b a b b a b
π2||||sin
24
2=??=a b
(2) |(3)(2)||362||7()|+?-=?-?+?-?=?a b a b a a a b b a b b b a
π734sin
84
2
=???=
29. 求垂直于向量3i -4j -k 和2i -j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.
解：4113345551
11221----?=
+
+
=--+--a b i j k i j k
与?a b
平行的单位向量
)
||3
?=
=±
--+?a b e i j k a b
||sin ||||
26
θ?=
=
=
?a b a b .
30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为
13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k
因为12|||2610|?=++=l l i j k
12|| ||=
=l l 所以
1212||sin 1
||||
θ?=
=
=l l l l .
即为所求对角线间夹角的正弦.
31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证
明：1()
4M N M P A C B C ?=? .
证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为
3
1(1,1,
), (1,3,), (0,1,3)
2
2
M N P --
{2,2,2}M N =--
3{1,0,}
2M P =-
{4,4,4}AC =--
{2,0,3}BC =-
22222235233
1
1
22M N M P ----?=
++
=++--i j k i j k
44
4
444122080
3
3
2
2
AC BC ---?=
+
+
=++--i j k i j k
故 1()
4M N M P A C B C ?=? .
32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量.
解：设横轴向量为b =(x ,0,0) 则同时垂直于a ，b 的向量为
3442230
00
0x x
?=
+
+
a b i j k
=4x j －3x k
故同时垂直于a ，b 的单位向量为 1(43)
||
5
?=±
=±
-?a b e j k a b .
33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D . {0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-
则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为
111|||542|222S AB AD =?=+-=
i j k .
同理可求其他三个三角形的面积依次为1
2
故四面体的表面积
122S =
+
+
. 34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线. 证明：{1,3,4}AB = ,{2,6,8}AC =
显然2AC AB = 则22()0AB AC AB AB AB AB ?=?=?=
故A ，B ，C 三点共线.
35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行 故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)
故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.
36. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.
解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n
故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=0
37. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.
解：设平面在y 轴上的截距为b
则平面方程可定为1
22x
y z b
b
b
+
+
=
又(1,2,-1)在平面上，则有
1211
22b
b
b
-+
+
=
得b =2.
故所求平面方程为1
424x
y
z
+
+
=
38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知 11121212131
31
31
0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有11121
21
210
111121
x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.
39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x -1=0; (3) 2x -3y -6=0; (4) x – y =0; (5) 2x -3y +4z =0.
解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图
7-3)
图7-2 图7-3
(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图7-5）
(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图7-6）
.
图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x +y -z =0的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }
已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1} 由题知n ·n 1=0, n ·l =0
即0
0, .0A B C C A B A B C +-=??==-?
++=?
所求平面方程变为Ax -Ay +D =0
又点（1，1，1）在平面上，所以有D =0 故平面方程为x -y =0.
41. 决定参数k 的值，使平面x +ky -2z =9适合下列条件：
（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x -3y +z =0成π
4的角. 解：（1） 因平面过点（5，-4，6） 故有 5-4k -2×6=9 得k =-4.
（2） 两平面的法向量分别为 n 1={1,k ,-2} n 2={2,-3,1}
且
1212πcos cos
||||
4
2θ?=
=
==
n n n n
解得
2k =±
42. 确定下列方程中的l 和m :
(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行; (2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1} 12232,18
6
1
3l m l m ?
==?=-
=--n n
(2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}
12315320 6.l l ⊥??-?+?=?=n n
43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x -y +z -1=0和2x +y +z +1=0的平面. 解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0 其法向量n ={A ,B ,C }
n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}
12203203A C A B C A B C C
B ?=-?⊥?-+=???
⊥?++=?=??
n n n n 又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0 故所求平面方程为
20
3
3
C C x y C z -
+
+=
即2x -y -3z =0
44. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.
12,⊥⊥n n n n 故12177331521
22
11
1
--=?=
+
+
=+---n n n i j k i j k
则2).
n =±
+-e i j k
45. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为
s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}
故直线的标准方程为：
1212
3
2x y z -+-=
=
- 或
3112
3
2x y z --+=
=
-
（2）直线方向向量可取为
s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}
故直线的标准方程为：
312
1
3x y z
-+==-- 或 1
32
13x y z -+==--
46. 求直线234035210x y z x y z +--=??
-++=?的标准式方程和参数方程.
解：所给直线的方向向量为
1231
12
23
719522335--=?=
+
+
=----s n n i j k i j k
另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17 于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:
71717
19x y z --==--
且直线的参数方程为：
771719x t
y t z t =??
=-??=-?
47. 求下列直线与平面的交点：
(1) 1
1126x y z
-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2)
2132
3
2
x y z +--=
=
, x +2y -2z +6=0.
解：（1）直线参数方程为1126x t y t z t
=+??
=--??=? 代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.
（2） 直线参数方程为221332x t y t z t
=-+??
=+??=+? 代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：
（1）533903210x y z x y z -+-=??-+-=?和 2223038180x y z x y z +-+=??++-=?；
（2）231
4123x y z ---==- 和 38
121y z x --?=?
--??=?
解：（1）两直线的方向向量分别为：
s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=5
333
2
1
i j k --={3,4, -1}
s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=2
2
1
381i j k -={10, -5,10} 由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2
从而两直线垂直，夹角为π
2.
(2) 直线231
4123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38
121y z x --?=?
--??=?的方程可变
为220
10y z x -+=??
-=?,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是
1212
cos 0.2064
785θθ?=
=
≈?'≈?s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程： （1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行；
（3）过点（-1，2，1），且与直线3121
3
x
y z --=
=
-平行.
解：（1）可取直线的方向向量为 s ={3，-1，2}
故过点（2，-3，4）的直线方程为
2343
1
2
x y z -+-==-
（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量
121
02{2,3,1}0
1
3
=?==--i
j k
s n n
故过点（0，2，4）的直线方程为
242
3
1
x y z --==
-
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
1212
1
3
x y z +--=
=
-.
50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：
（1）3
42
73x y z
++==
--和4x -2y -2z =3;
（2）3
27x
y
z
=
=-和3x -2y +7z =8;
（3）22
3
3
14x y z -+-=
=-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3} 平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以
(2)4(7)(2)3(2)0?=-?+-?-+?-=s n
于是直线与平面平行.
又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043?--?--?=-≠.故直线不在平面上.
(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.
(3) 直线在平面上，因为3111(4)10?+?+-?=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线
230
30x y z x y z -+-=??
+-+=?
的平面方程.
解：直线的方向向量为
1
2
12311
1
-=++-i j k
i j k ,
取平面法向量为{1，2，3}，
故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ?-+++-= 即x +2y +3z =0.
52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ?-?-+-++?-+?+=
解得λ=-4.
故所求平面方程为
2x +15y +7z +7=0
53. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.
解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即
s =n ={1，2，-1} 所以垂线的参数方程为122x t y t z t
=-+??
=+??=-?
将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0
得
23t =-
于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点
522(,,)333-
54. 求点（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距离.
解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s=n={1，2，2}
所以垂线的参数方程为
1
22
12 x t y t z t
=+
?
?
=+?
?=+
?
将其代入平面方程得
1
3 t=
.
故垂足为
485
(,,)
333，且与点（1，2，1
）的距离为
1
d==
即为点到平面的距离.
55. 求点（3，-1，2）到直线
10
240
x y z
x y z
+-+=
?
?
-+-=
?的距离.
解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量
即
11133
211
==-=--
-
i j k
n s j k
故过已知点的平面方程为y+z=1.
联立方程组
10 240
1
x y z
x y z
y z
+-+=
?
?
-+-=?
?+=
?
解得
13 1,,.
22 x y z
==-=
即
13
(1,,)
22
-
为平面与直线的垂足
于是点到直线的距离为2
d==
56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.
解：球的半径为R==
设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14
即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.
57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.
解：设该动点为M(x,y,z)
3. =
化简得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0
即为动点的轨迹方程.
58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：
（1）
22
()()
22
a a
x y
-+=
; （2）
22
1
49
x y
-+=
;
（3）2
2
1
9
4
x
z
+
=; （4）2
0y z -=;
（5）2
2
0x y -=; （6）2
2
0x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.
图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.
图7-9 图7-10
（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.
图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形： （1）2
2
2
1
49y
z
x +
+
=; （2）22
369436x y z +-=; （3）
2
2
21
4
9
y
z
x -
-
=; （4）
2
2
2
11
4
9y
z
x +
-
=; （5）2
2
2
20x y z -+=; （6）
2
22
9
z
x y +-=.
解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.
图7-13 图7-14
(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.
图7-15 图7-16
(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y 轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-18.
图7-17 图7-18
60. 作出下列曲面所围成的立体的图形：
(1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a
(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示.
图7-19 图7-20
图7-21 图7-22
61. 求下列曲面和直线的交点：
(1)
222
1
81369
x y z
++=
与
342
364
x y z
--+
==
-;
(2)
222
1
1694
x y z
+-=
与
2
434
x y z+
==
-.
解：（1）直线的参数方程为
33
46
24
x t
y t
z t
=+
?
?
=-
?
?=-+
?
代入曲面方程解得t=0,t=1.
得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）.
(2) 直线的参数方程为
4
3
24
x t
y t
z t
=
?
?
=-
?
?=-+
?
代入曲面方程可解得t=1,
得交点坐标为（4，-3，2）.
62. 设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.
解：设（x，y，z）为圆上任一点，依题意有
229
5
x y
z
?+=
?
=±
?
即为所求圆的方程.
63. 建立曲线x2+y2=z, z=x+1在xOy平面上的投影方程.
解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为
x2+y2=x+1即
22
15
()
24
x y
-+=
.
故曲线在xOy平面上的投影方程为
22
15
()
24
x y
z
?
-+=
?
?
?=
?
64. 求曲线x2+y2+z2=a2, x2+y2=z2在xOy面上的投影曲线.
解：以曲线为准线，母线平行于z轴的柱面方程为
2
22
2a
x y +=
故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为2
2220a x y z ?+=
??
?
=?
65. 试考察曲面2
2
2
1
9254x
y
z
-
+
=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.
解：（1
）截线方程为22
1332x ?-
+=?????
=?
其形状为x =2平面上的双曲线.
（2）截线方程为22
19
40x z
y ?+=?
??
=?
为xOz 面上的一个椭圆.
(3)
截线方程为22
15y ?+=?
=? 为平面y =5上的一个椭圆. (4) 截线方程为22
09
252x y
z ?-=?
??
=?
为平面z =2上的两条直线.
66. 求单叶双曲面2
2
2
1
164
5
x
y
z
+
-
=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面，yOz 平面及xOz
平面上的投影曲线.
解：以
3
2x z +=
代入曲面方程得 x 2+20y 2-24x -116=0.
故交线在xOy 平面上的投影为
22202411600x y x z ?+--=?
=?
以x =2z -3代入曲面方程，得 20y 2+4z 2
-60z -35=0.
故交线在yOz 平面上的投影为 22204603500y z z x ?+--=?
=?
交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=??
=?
习题八
1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界： (1) {(x ,y )|x ≠0};
(2) {(x ,y )|1≤x 2+y 2<4}; (3) {(x ,y )|y (4) {(x ,y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2≤1}. 解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集, 聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2 ≤4}， 边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2 =4}. (3)开集、区域、无界集， 聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}， 边界：{(x ,y )| y =x 2}. (4)闭集、有界集，聚点集即是其本身， 边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x ,y )=x 2+y 2 -xy tan x y ,试求(,)f tx ty . 解： 22 2 (,)()()tan (,). tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty =+-?= 3. 已知(,,)w u v f u v w u w +=+,试求(,,).f x y x y xy +- 解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy +(xy )x +y +x -y =(x +y )xy +(xy )2x . 4. 求下列各函数的定义域： 2 (1)ln(21);z y x =-+ (2)z = + (3)ln(1)z x y = -- (4)u = (5)z = (6)ln() z y x =-+ (7)arccos u = 解：2 (1){(,)|210}.D x y y x =-+> (2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>-> 22222 (3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠ (4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2 (5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 2 2 (6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222 (7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥ 5. 求下列各极限： 10 (1)lim y x y →→ 2 2 00 1(2)lim ; x y x y →→+ 00 (3)lim x y xy →→ 00 (4)lim x y →→ 00 sin (5)lim ;x y xy x →→ 2 2 22 2 2 00 1cos()(6)lim . ()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0 ln 2. += (2)原式=+∞. (3)原式=00 1lim . 4 x y →→=- (4)原式= 00 lim 2. 11 x y xy →→=+- (5)原式= 00 sin lim 100. x y xy y xy →→?=?= (6)原式=2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 () 000 1 () 2 lim lim 0. ()e 2e x y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+ 6. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续： 3322 22 2 2 sin() ,0,(1)0,0;x y x y z x y x y ?++≠? =+??+=? 333 3 33 3 3 sin() ,0,(2)0,0; x y x y z x y x y ?++≠? =+??+=? (3) 22 2 2 222 2 2 ,0,(2)()0,0; x y x y z x y x y x y ?+≠? =+-??+=? 解：(1)由于33 333 3 33 2 2 2 2 3 3 3 3 sin()sin()sin()0() x y x y x y x y y x x y x y x y x y ++++≤ = ≤+? ++++ 又 00 lim ()0 x y y x →→+=，且 33 3 3 00 sin()sin lim lim 1 x u y x y u x y u →→→+==+, 故00 lim 0(0,0) x y z z →→==. 故函数在O (0,0)处连续. (2)00 sin lim lim 1(0,0)0 x u y u z z u →→→==≠= 故O (0,0)是z 的间断点. (3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则 22 2 2 00 lim lim 1 x x y x x x z x x →→=→?==?+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则 22 2 2 2 2 20 () lim lim lim ()44 x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===?-++ 故0 0lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续. 7. 指出下列函数在向外间断： (1) f (x ,y )=23 3 x y x y -+; (2) f (x ,y )=2 2 22y x y x +-; (3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2); (4)f (x ,y )=2 2 2e ,0,0, 0.x y x y y y -??≠?? =? 解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续. (2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续. (3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续. (4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时. 1 2 00 lim (,)lim e x x y x x f x y x -→→=→==∞ . 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数： (1)z =x 2 y +2 x y ; (2)s = 22 u v uv +; (3)z =x ln ; (4)z =lntan x y ; (5)z =(1+xy ); (6)u =z xy ; (7)u =arctan(x -y )z ; (8)y z u x =. 高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是. 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____,=b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____,=b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x =。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 《高等数学（经济数学1）》课程习题 集 西南科技大学成人、网络教育学院版权所有 习题 【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。 一、单选题 1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（） A 、函数 B 、初等函数 C 、基本初等函数 D 、复合函数 2.设,0 ,0 ,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（） A 、2 x e y =B 、2 x e x =C 、2 x xe y =D 、x e y = 4.函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（） A 、],[3e e B 、]3,[e C 、[1，3] D 、],1[3e 5.函数x y x y z 2222-+=的间断点是（）A 、{} 02),(2=-x y y x B 、2 1 =x C 、0=x D 、2=y 6.不等式15<-x 的区间表示法是（）A 、(-4,6)B 、(4,6)C 、(5,6)D 、(-4,8) 7.求323 lim 3 x x x →-=-（）A 、３B 、２C 、５D 、－５ 8.求=++→43lim 20 x x x （） A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 9.若f(x)的定义域为[0，1]，则 )(2x f 的定义域为（） A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[０,1] D 、[-1,０] 10.求=+-→t e t t 1lim 2（）A 、21(1)e -+B 、211(1)2e +C 、)11(212+-e D 、11 (1)2e -+ 11.求0sin lim x x x ω→=（）A 、０B 、１C 、2ωD 、ω 12.求=-∞→x x x )1 1(lim （）A 、e 1B 、１C 、０D 、e 13.求=-+→x x x 11lim （）A 、１ B 、12C 、13D 、1 4 14.已知x x x f +-= 11)(，求)0(f ＝（）A 、１ B 、２C 、３D 、４ 15.求29)(x x f -=的定义域（）A 、[-1,1]B 、（-1,1）C 、[-3,3]D 、（-3,3） 16.求函数y =的定义域（）A 、[1,2]B 、（1,2）C 、[-1,2]D 、（-1,2） 17.判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（）A 、奇函数B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数 18.求13+=x y 的反函数（）A 、113y x = +B 、113y x =-C 、13 x y += D 、31 -=x y 19.求极限lim )x x →+∞的结果是（）A 、0B 、1 2 C 、∞ D 、不存在 20.极限01lim 23x x →+的结果是（）。A 、0B 、不存在C 、15D 、1 2 21.设x x y sin ?=，则y '=（） A 、)cos 2sin ( x x x x +B 、)sin 2cos (x x x x +C 、)cos 2sin (x x x x -D 、)sin 2cos (x x x x - 22.设4)52(+=x y ,则y '=（）A 、34(25)x +B 、3)52(8+x C 、44(25)x +D 、48(25)x + 23.设t e t y sin =则y ''=（）A 、2sin t e t --B 、2sin t e t -C 、2cos t e t -D 、t e t cos 2-- 24.=--→1 1lim 3 1x x x （）A 、1B 、2C 、3D 、4 25.设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K ,则)()1(x f n +=（）A 、)!1(+n B 、1n +C 、0D 、1 26.曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：（） A 、 2πB 、3πC 、4 πD 、5π 1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f . 9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续; 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 《高等数学(下册)》第八章练习题 一、填空题 1.________________ )sin(==dz xy z 则， 设 2.设),cos(2y x z =，则 =??)2 ,1(π x z 3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为 4.设xy e z =，则=dz 5.设 y z ln z x =，则 =?zx z 二、选择题 ) 2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+= 2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x ''、存在是),(y x f 在该点连续的( ). (a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。 3、设)2ln(),(x y x y x f + =，则＝（）)1,1(-' x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65- 三、计算题 方程。处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1( 2 13 2 ???==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求 .,y z x z ???? 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。 4、设,2 22 z y x e u ++=而y x z sin 2=,求 x u ??. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。 6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = 一、单项选择题1.0 lim ()x x f x A →=，则必有（ ）.（A ）()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界. (C) ()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界. 2.函数???≥+<=0 )(x x a x e x f x ，要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1. 3.若()()F x f x '= ,则()dF x =?（ ）.（A ）()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C + 4.方程 4 10x x --=至少有一根的区间是（ ）.（A ） 10,2?? ???. （B ）1,12?? ??? . （C ）(2,3). （D ）(1,2). 二、填空题1. 设 ()f x 在0x x =处可导,则0 lim x x y →?= ． 2． 某需求曲线为1002000Q P =-+，则当10P =时的弹性为 ． 3． 曲线3267y x x =+-在0x =处的法线方程为 ．4． 2 sin 2x t d e dt dx ?＝ . 三、求下列极限（1）2211lim 21x x x x →---.（2）1lim(1)2x x x →∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x x x →+. 四、求下列导数和微分（1）已知3cos x y x =， 求dy . (2)求由方程l n2xy y e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx . 五、求下列积分（1） 2 21(sec )1x dx x ++? .（2 ）20 ? . （3） sin ?. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值. 七、 求由直线2y x =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积． 八、证明：当0x >时，(1)l n (1)x x x ++>. 九、某种商品的成本函数2 3()200030.010.0002c x x x x =+++（单位：元） ，求生产100件产品时的平均成本和边际成本. 一、 A ． B ． D ． D ． 二、（1）0． （2）-1． （3）0x =． （4）] 2 sin cos x e x ?． 三、求极限（1）解：原式=11(1)(1)12lim lim (21)(1)213 x x x x x x x x →→-++==+-+ （2）解：原式= 111 222220011lim[(1)][lim(1)]22x x x x e x x -----→→-=-= （3）解：这是未定型，由洛必达法则原式=00cos 22 lim lim2(1)cos 221 1 x x x x x x →→?=+=+ 四、求导数和微分（1）解：2 3l n3c os 3sin (c os )x x x x y x +'= ,2 3ln3cos 3sin (cos ) x x x x dy dx x += （2）解：方程两边对x 求导,()xy y e y xy ''=+, 1xy xy ye y xe '= - 五、积分1．原式=2 21sec xdx dx +??=tan arctan x x c ++ 2.原式 =2 20118(4)x --=-=? 高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 《高等数学（一）》题库及答案 一、求下列函数的定义域 （1）x y cos =； （2）)1ln(+=x y 。 （1）;11x y -= 二、用区间表示变量的变化范围： (1)6≤x ； (2)1)1(2≤-x (3）41≤+x ； 三、求下列极限 (1)x x x x 3)1(lim +∞→； (2)h x h x h 2 20)(lim -+→； (3）n n n 1lim 2+∞→ (4)211lim(2)x x x →∞-+; (5)x x x arctan lim ∞→; (6)x x x x sin 22cos 1lim 0-→ (7）;6)12)(2)(1(lim 3n n n n n +++∞→ (8）;2sin 5sin lim 0x x x → (9）1 45lim 1---→x x x x (10）)13(lim 3 n n +∞→； (11）55sin()lim sin x x x →∞； (12）0tan 3lim x x x →； 四、求下列函数的微分： （1）)4sin(+=wt A y （A 、w 是常数）； （2）)3cos(x e y x -=- 五、求下列函数的导数 (1）54323-+-=x x x y ； (2）x y 2sin =； (3)x y 2ln 1+=； (4);cos ln x y = (5)x x y ln = ; (6)x y 211+=; (7);)7(5+=x y (8)21x e y +=； (9)3.1x y =； (10))1ln(2x y +=； (11)4)52(+=x y ； (12）)ln(ln x y =； 六、求下列函数的二阶导数 （1）)1ln(x y +=； （2）x e x y 22=。 （3）x y sin =； 七、求下列不定积分 (1）x dx ?； (2）xdx 2cos ?； (3）x dx +?1； (4)xdx 3sin ; 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 华中师大学网络教育 《高等数学》练习测试题库 一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．高等数学(专科)复习试题和答案
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