No 11-2 Julia集和Mandelbrot集
Julia 集和Mandelbrot 集
这个美丽的分形图形表现的就是2()0.75f z z =-时的Julia 集。考虑复数函数2()f z z c =+，不同的复数c 对应着不同的Julia 集。也就是说，每取一个不同的c 你都能得到一个不同的Julia 集分形图形，并且令人吃惊的是每一个分形图形都是那么美丽。下面的六幅图片是取不同的c 值得到的分形图形。你可能不相信这样一个简单的构造法则可以生成这么美丽的图形，这没什么，你可以改变上面程序代码中c 变量的值来亲自验证。
c = 0.45, -0.1428
c = 0.285, 0.01
c = 0.285, 0
c = -0.8, 0.156
c = -0.835, -0.2321
c = -0.70176, -0.3842
类似地，我们固定z0=0，那么对于不同的复数c，函数的迭代结果也不同。由于复数c对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示，对于某个复数c，函数2
=+从z0=0开始迭代是否会发散到无穷。我们同样用
f z z c
()
不同颜色来表示不同的发散速度，最后得出的就是Mandelbrot集分形图形：
前面说过，分形图形是可以无限递归下去的，它的复杂度不随尺度减小而消失。Mandelbrot集的神奇之处就在于，你可以对这个分形图形不断放大，不同的尺度下你所看到的景象可能完全不同。放大到一定时候，你可以看到更小规模的Mandelbrot集，这证明Mandelbrot集是自相似的。下面的15幅图演示了Mandelbrot集的一个放大过程，你可以在这个过程中看到不同样式的分形图形。
函数及程序
考虑函数f(z)=z^2-0.75。固定z0的值后，我们可以通过不断地迭代算出一系列的z值：z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2), ...。比如，当z0 = 1时，我们可以依次迭代出：
z1 = f(1.0) = 1.0^2 - 0.75 = 0.25
z2 = f(0.25) = 0.25^2 - 0.75 = -0.6875
z3 = f(-0.6875) = (-0.6875)^2 - 0.75 = -0.2773
z4 = f(-0.2773) = (-0.2773)^2 - 0.75 = -0.6731
z5 = f(-0.6731) = (-0.6731)^2 - 0.75 = -0.2970
...
可以看出，z值始终在某一范围内，并将最终收敛到某一个值上。
但当z0=2时，情况就不一样了。几次迭代后我们将立即发现z值最终会趋于无穷大：
z1 = f(2.0) = (2.0)^2 - 0.75 = 3.25
z2 = f(3.25) = (3.25)^2 - 0.75 = 9.8125
z3 = f(9.8125) = (9.8125)^2 - 0.75 = 95.535
z4 = f(95.535) = (95.535)^2 - 0.75 = 9126.2
z5 = f(9126.2) = (9126.2)^2 - 0.75 = 83287819.2
...
经过计算，我们可以得到如下结论：当z0属于[-1.5, 1.5]时，z值始终不会超出某个范围；而当z0小于-1.5或大于1.5后，z值最终将趋于无穷。
现在，我们把这个函数扩展到整个复数范围。对于复数z0=x+iy，取不同的x值和y值，函数迭代的结果不一样：对于有些z0，函数值约束在某一范围内；而对于另一些z0，函数值则发散到无穷。由于复数对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示，对于哪些z0函数值最终趋于无穷，对于哪些z0函数值最终不会趋于无穷。我们用深灰色表示不会使函数值趋于无穷的z0；对于其它的z0，我们用不同的颜色来区别不同的发散速度。由于当某个时候|z|>2时，函数值一定发散，因此这里定义发散速度为：使|z|大于2的迭代次数越少，则发散速度越快。这个图形可以编程画出。和上次一样，我用Pascal语言，因为我不会C的图形操作。
{$ASSERTIONS+}
uses graph;
type
complex=record
re:real;
im:real;
end;
operator * (a:complex; b:complex) c:complex; begin
c.re := a.re*b.re - a.im*b.im;
c.im := a.im*b.re + a.re*b.im;
end;
operator + (a:complex; b:complex) c:complex; begin
c.re := a.re + b.re;
c.im := a.im + b.im;
end;
var
z,c:complex;
gd,gm,i,j,k:integer;
begin
gd:=D8bit;
gm:=m640x480;
InitGraph(gd,gm,'');
Assert(graphResult=grOk);
c.re:=-0.75;
c.im:=0;
for i:=-300 to 300 do
for j:=-200 to 200 do
begin
z.re:=i/200;
z.im:=j/200;
for k:=0 to 200 do
begin
if sqrt(z.re*z.re + z.im*z.im) >2 then break
else z:=(z*z)+c;
end;
PutPixel(i+300,j+200,k)
end;
readln;
CloseGraph;
分形(一种别样的数学美丽)
分形（一种别样的数学美丽） 从海螺和螺旋星云到人类的肺脏结构，我们身边充满各种各样的混沌图案。分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。 分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。 1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋 罗马花椰菜 这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。 2.世界最大盐沼——天空之镜
盐沼
坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案 过去一个世纪，上图里的旧金山海湾盐沼一直被用来进行工业盐生产。下图显示的是位于玻利维亚南部的世界最大盐沼——天空之镜(Salar de Uyuni)。坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案，这是典型的分形。 3.菊石缝线 菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型
大约6500万年前灭绝的菊石 在大约6500万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。美国著名古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德依据不同时期的菊石缝线的复杂性得出结论说，进化并没驱使它们变得更加复杂，我们人类显然是“一个例外”，是宇宙里独一无二的。菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型，很显然，自然界经常会出现这种图案，例如罗马花椰菜。 4.山脉 山脉 山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。这些因素共同作用的产物，是一个分形。上图显示的是喜马拉雅山脉，它
数学实验分形实例
数学实验报告 学院： 班级： 学号： 姓名： 完成日期：
实验二分形 （一）练习题1 一．实验目的 1．了解分形几何的基本情况； 2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法； 3．了解matlab软件中简单的程序结构。 二. 问题描述 对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。 三．实验过程 仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S. 源代码如下： function snow(R,k) p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0]; S=0; n=3; A=exp(1i*pi/3); for s=1:k
j=0; for i=1:n q1=p(i,:); q2=p(i+1,:); d=(q2-q1)/3; j=j+1;r(j,:)=q1; j=j+1;r(j,:)=q1+d; j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; end n=4*n; clear p p=[r;q2]; end figure q(:,1)=real(p(:,1)); q(:,2)=imag(p(:,1)); plot(q(:,1),q(:,2)) fill(q(:,1),q(:,2),'b') for i=0:k S=S+(3.^(0.5-i))*0.25*(R.^2); end
S axis equal 按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S =0.5774 图形如下: >>snow(1,2) S =0.6255 图形如下: >>snow(1,3) S =0.6415 图形如下:
分形综述论文
1/f 分形噪声理论及其在信号处理中的应用研究综述 杨冬云1,2王司1,3 (1.黑龙江工程学院 电子工程系, 黑龙江 哈尔滨150050； 2.哈尔滨工业大学 信息工程系, 黑龙江 哈尔滨150001； 3.哈尔滨工业大学 控制科学与工程系, 黑龙江 哈尔滨150001) 摘要：从1/f 分形噪声模型、分析方法、分形估计、1/f 分形噪声产生的根源以及在信号处理中的应用等方面，对1/f 分形噪声理论和应用研究状况进行了综述，介绍了有关的基本概念、理论和方法。 关键词：1/f 噪声；分形噪声；分形布朗运动；信号处理 1/f Fractal Noise Theory and It ’s Application to Signal Processing YANG Dong-yun 1,2, W ANG Si 1,3 (1. Department of Electronic Engineering, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150050, China; 2. Department of Information Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 3. Department of Control Science and Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China) Abstract: This paper describes the studies of 1/f fractal noise theory and it ’s application with respect to 1/f noise model, analysis method, fractal estimation, 1/f fractal noise generating mechanism and it ’s application to signal processing. It presents the basic concepts, theories and analysis methods involved in 1/f fractal noise. Keywords: 1/f Noise; Fractal Noise; Fractional Brownian Motions; Signal Processing 0 引言 f /1分形噪声(也称f /1噪声)是分形噪声中较重要的一类噪声。 它是根据其功率谱密度)(f S 或)(ωS 曲线的形状而定义的一种随机过程，其功率谱密度与γf 或γ ω成反比，其中20<<γ。它首先是由Johmson [1]在电子管中发现的，当时被看作是一种超低频噪声。后来，在实践中发现，它不仅作为一种噪声存在于电子管、晶体管等电子器件和装置中，而且作为一种随机波动形式（或随机过程）广泛存在于音乐、气象、交通、水文和经济等领域中，因此，它成为信息处理领域中研究的一个重点内容。它具有不同于高斯白噪声和马尔可夫过程的统计特性，已经成为一种广泛应用的随机过程模型。其主要特性是长期（长程）相
分形图形与分形的产生
分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是
基于分形维数的图像质量客观评价方法研究
第14卷 第4期2009年4月 中国图象图形学报Journa l o f I m age and G raphics V o.l 14,N o .4 A pr .,2009 基于分形维数的图像质量客观评价方法研究 庞 全 王振华 耿丽硕 范影乐 (杭州电子科技大学生物医学工程与仪器研究所,杭州 310018) 摘 要 建立图像质量客观评价模型对于图像编码、增强、重建以及分析等领域具有重要的现实意义。鉴于传统的图像质量评价方法的评价结果与主观感知存在较大的误差等缺陷,为此从分形角度考虑,并兼顾人眼视觉特性,首先提取了分形维数作为图像质量的评价指标;然后从非线性角度来表征引起人眼视觉敏感变化的图像亮度以及纹理信息,并将能准确反映图像质量变化的空隙度参数作为有效补偿;最后采用线性回归分析直接对图像进行建模,并将分形维数差值和空隙度差值两分量表示在统一的模型中。实验证明,相对于传统的PSNR 和SSI M 评价指标而言,该评价模型不仅对于不同类型的失真、相同失真类型的不同失真级别的图像能够准确进行评估,而且与主观评价值(M OS)具有更好的关联性,即与人眼视觉感受具有较高的吻合性,同时能够实现对图像质量进行全面、科学的评价。 关键词 质量评价 分形维数 空隙度 结构相似法 峰值信噪比 中图法分类号:TN919 81 文献标识码:A 文章编号:1006-8961(2009)04-0657-06 A Criteri on of Objecti vely A ssessi ng I mage Quality Based on Fractal D i m ension PANG Quan,WANG Zhen -hua ,GENG L-i suo ,FAN Y i n g -l e (B io m e d ical Eng i neeri ng &Instrum e n t Instit u te ,H angzh ou D ianzi Un i versit y,H angzhou 310018) Abstrac t It i s v ery urg ent to buil d an eva l uati on cr iterion i n i m age co m pressi on ,enhance m en t ,restoration and ana l ys i s fi e l ds In t h i s paper ,frac tal d i m ension i s utilized to be an i m age qualit y assess m en t i ndex and descr i be i m ag e l u m i nance and tex ture characteristi cs from non -li near aspects L acuna rity changes can a l so descr i be i m age qua lit y T herefo re fracta l d i m ensi on d iffe rence and l acunar it y d ifference are i ntegrated i nto one sing le m athe m atics m odel by li nea r regress i on analysis Exper i m ent res u lts show that aga i nst trad iti ona lm ode l such as PSNR,SSI M and so on ,the propo sed approach can not only assess different disto rti on types ,same dist o rti on type w ith different dist o rti on leve rs accu rate ly ,but also has stronge r co rre l a ti on w it h MO S ,mo re agree m ent w ith t he pe rcept ua l o f hu m an bei ngs ,and can assess i m age qua lit y accura tely and effecti ve l y K eywords qua lit y assess m ent ,fracta l d i m ension ,l acunarity ,SSI M ,PSNR 基金项目:国家自然科学基金项目(60872090);浙江省重大科技专项(2008C01015-2);浙江省新苗人才计划项目(2008R40G2040120)收稿日期:2007-08-06;改回日期:2007-11-13 第一作者简介:庞 全(1951~ ),男。教授,博士生导师。1986年于西安交通大学获控制科学与工程专业硕士学位。主要研究方向为图像处理、模式识别。E-m ai:l pangquan@hdu edu cn 1 引 言 当前,图像压缩技术在多媒体和计算机网络等需求的推动下被广泛应用于广播电视、视频会议和数据传真等方面,但由于大数据量、高压缩比的要求 使图像编码过程不可避免地丢弃一定数量的图像信 息,从而导致恢复图像的失真。此外,图像存储、传输等过程同样可导致图像降质。因此,进行图像质量评价方法的研究,对于图像编码算法的选择以及图像系统性能的评定具有重要的现实意义[1] ,已成 为近期图像处理领域新的研究热点。
分形图程序
（1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中 [A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3;
ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by]; %把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中 %每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标 function w=sub_koch2(A,B) a11=A(1);b11=B(1); a12=A(2);b12=B(2); a21=A(2);b21=B(2); a22=A(3);b22=B(3); a31=A(3);b31=B(3); a32=A(4);b32=B(4); a41=A(4);b41=B(4); a42=A(5);b42=B(5); w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];
各种有趣的分形
各种有趣得分形 我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。 但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么？”这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西。可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问 图中得风景图片又就是说明分形得另 一很好得例子。这张美丽得图片就是利 用分形技术生成得。在生成自然真实得 景物中,分形具有独特得优势,因为分形 可以很好地构建自然景物得模型、 这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发 现,它得每个枝杈都在外形上与整体相 同,仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈得 枝杈也与整体相同,只就是变得更加小 了。 Siｅrpinski三角形具有严格得自相似 特性
Koｈn雪花具有严格得自相似特性 分维及分形得定义 分维概念得提出 对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得、曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念、分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵、整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得。特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。 维数与测量有密切关系、如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l2得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l３去测这块面
数学实验之分形图的绘制
钦州学院数学与计算机科学学院 数学实验报告 专业 : 数学与应用数学班级姓名：学号： 实验完成日期 :2010 年 11 月 1 日，第 10 周，星期一 成绩等级（五级分制）评阅教师评阅日期年月日数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。[实验题目及内容] 实验题目：分形图形的绘制 实验内容：利用二叉树的画法对生成元带参数进行迭代绘制分形图。 [问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 分形图是由一个简单的枝杈不断向周围延伸增加枝干而成，由简单元素生成整体，其中包含有旋转、带参数深层迭代等步骤，对生成元的张开角度和线段长度也有所控制才能绘制出多彩的图形，所以就要设计几个能控制生成图的角度的圆，随时改动分形图的伸张。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。） 整个分形图就由几个简单的枝杈进行带参数深层迭代而成，所以先做一个作为整棵树的树主干，做线段AB，以一个B端点作为旋转中心，做两个能控制角度旋转的圆，以圆上所选的角度做适当旋转将线段AB及端点A向上旋转得到两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的三分之二，三条线段就组成一个树杈，再继续做另外两个圆选好角度将由线段AB旋转得到的两条线段再向上旋转得到另两条线段，将得到的线段进行缩放到原来的一半。新建参数n=1,对AB两点和参数n进行深度迭代，使得旋转得到的线段的起始点对应
线段AB的起始点，改变n值，即可得到一棵参天大树，即分形图完成。 [实验结果]（通过数学表达式、列表或图形图像的方式显示实验结果。） [结果分析及结论]（对实验结果进行定量分析、合理性分析或误差分析；对所讨论的问题重新认识或提出相关类似问题的拓延；给出自己的意见和合理建议。） 得出的分形图伸张程度和倾斜程度都可以由原先做出的角度控制，改变圆上的角度的大小就可以改变树的弯曲倾斜程度，改变三层基层线段的粗细和颜色可以让分形图更形象，分形图的迭代情况有参数n控制，改变n值增加迭代次数，让树的枝丫伸展使得分形图更多彩。也可以改变生成元的构成，可以在基层增加枝干，进行深层迭代后得出不同形象的分形图。 [求解方法或解题步骤]（针对所建模型或解题思路，给出具体的求解方法或解题步骤。对通过编程解决的问题，画出流程图，给出细节部分的算法，给出相关软件的代码；其他方法解决的，给出详细的解题步骤。）
计算机图形学 分形图的生成936
实验六分形图的生成 班级08信计二学号52 姓名刘丽杰分数 一、实验目的和要求： 1、掌握分形基本原理，熟悉分形的计算机模拟算法。 2、学习调试程序及分析运行结果。 3、上机操作迭代函数系统算法。 二、实验内容： 1、编程实现分形的贝塞尔算法，并输出图形。 2、编程实现一棵树，先按某一方向画一条直线段，然后在此线段上找到一系列节点，在每一节点处向左右偏转60度各画一条分支。节点位置和节点处所画分支的长度的比值各按0.618分割。 三、程序执行和运行结果： 1、贝塞尔程序： #include
各种有趣的分形
各种有趣的分形 我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。 但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让 图中的风景图片又是说明分形的另一 很好的例子。这张美丽的图片是利用分 形技术生成的。在生成自然真实的景物 中，分形具有独特的优势，因为分形可 以很好地构建自然景物的模型。 这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发 现，它的每个枝杈都在外形上和整体相 同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的 枝杈也和整体相同，只是变得更加小 了。 Sierpinski三角形具有严格的自相似特 性
Kohn雪花具有严格的自相似特性 分维及分形的定义 分维概念的提出 对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称
1分形图基本图形以及源程序
分形图基本图形以及源程序 第一部分 本人新手，如有错误请指正。程序完成于2011/6/17晚间到2011/6/18。 很多变量名称采用的是同学的姓名拼音，为的是告诉大家这些都是可以随意命名的变量或函数名，一般大写字母开头的是系统定义的变量不可以随意更改。 一、(*雪花*) 源程序 lovelyduwangen[zhengguojie_List]:=Block[{weihuayan={},i,wuxiaonan=Length[zhe ngguojie],gengping=60Degree,sa=Sin[gengping],ca=Cos[gengping],c,d,e,T={{ca,-sa} ,{sa,ca}}}, For[i=1,i< wuxiaonan,i++,c=zhengguojie[[i]]*2/3+zhengguojie[[i+1]]/3; e=zhengguojie[[i]]/3+zhengguojie[[i+1]]*2/3; d=c+T.(e-c); weihuayan=Join[weihuayan,{zhengguojie[[i]],c,d,e,zhengguojie[[i+1]]}]]; weihuayan] dongquanfa={{0,0},{1/2,Sqrt[3]/2},{1,0},{0,0}}; Show[Graphics[Line[Nest[lovelyduwangen,dongquanfa,0]],AspectRatio→Sqrt[3]/2]] Show[Graphics[Line[Nest[lovelyduwangen,dongquanfa,5]],AspectRatio→Sqrt[3]/2]] 基本生成元
计算机图形学--分形图的生成
实验六分形图的生成 班级08信计二学号90 姓名张进分数 一、实验目的和要求： 1、掌握分形基本原理，熟悉分形的计算机模拟算法。 2、学习调试程序及分析运行结果。 For personal use only in study and research; not for commercial use 3、上机操作迭代函数系统算法。 二、实验内容： 1、编程实现分形的自相似法，并输出图形。 For personal use only in study and research; not for commercial use 2、编程实现一棵树，先按某一方向画一条直线段，然后在此线段上找到一系列节点，在每一节点处向左右偏转60度各画一条分支。节点位置和节点处所画分支的长度的比值各按0.618分割。 三、程序执行和运行结果： 1、自相似图形程序： #include
int graphdriver,graphmode,x,y,r; graphdriver=DETECT; initgraph(&graphdriver,&graphmode," "); setcolor(LIGHTMAGENTA); star1(160,160,80); getch(); star2(480,320,80); getch(); } void star1(int x,int y,int r) { if(r>0) { star1(x-r,y+r,r/2); star1(x+r,y+r,r/2); star1(x-r,y-r,r/2); star1(x+r,y-r,r/2); bar(x-r,y+r,x+r,y-r); } } void star2(int x, int y , int r) {
动力系统一些分形图像和matlab程序
研究生课程考核试卷 （适用于课程论文、提交报告） 科目：动力系统教师：舒永录 姓名：郑申海学号：20110602024 专业：计算数学类别：学术 上课时间：2012 年 3 月至2012 年 6 月 考生成绩： 卷面成绩平时成绩课程综合成绩 阅卷评语： 阅卷教师(签名) 重庆大学研究生院制
第一题Logistic 映射(15分) Figure1.6(P19) 绘图程序： ga=inline('a*x*(1-x)'); plot_N=100; iterate_max=200; result=[]; A=1:0.001:4; for a=A; x=0.5; for iterate=2:iterate_max x(iterate)=ga(a,x(iterate-1)); end result=[result;x((iterate_max-plot_N+1):iterate_max)]; end plot(A,result,'-') Figure1.7(P20) 注：这两个图是Figure1.6的局部放大图 第二题Henon映射初始条件（10分）
Figure2.3(P51) (a)(b) （a）、（b）对应的初始值分别是a=1.28、1.4 绘图程序： a=1.4;%a=1.28 b=-0.3; N=200; Iter=3; M=linspace(-2.5,2.5,500); M_f=[]; H=linspace(-2.5,2.5,500); H_f=[]; [X Y ]=meshgrid(M); plot(X,Y,'.k') hold on [Ii Jj]=size(X); R=zeros(Ii,Jj); for i=1:Ii for j=1:Jj xm=X(i,j); ym=Y(i,j); for n=1:N x=a-xm.*xm+b*ym; y=xm; xm=x; ym=y; end if xm Mandelbrot集和Julia集的分形图之matlab实现 基于逃逸时间算法 1. Mandelbrot集 function Mandelbrot(res,iter,xc,yc,xoom) %Mandelbrot % res是目标分辨率，iter是循环次数，（xc,yc）是图像中心，xoom是放大倍数 x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom; y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom; x=linspace(x0,x1,res); y=linspace(y0,y1,res); [xx,yy]=meshgrid(x,y); z=xx+yy*1i; C=z; N=zeros(res,res); %初始化N，最终根据N，对各点进行染色 tic %显示tic和toc间的程序运行时间 for k=1:iter z=z.^2+C; %对空间上每点都进行迭代 N(abs(z)>4)=k; %逃逸半径为4，诺某点逃逸，记录逃逸时间k,未逃逸则时间为0 z(abs(z)>4)=0; C(abs(z)>4)=0; end imshow(N,[]); toc end >>Mandelbrot(512,100,0,0,1) >>Mandelbrot(512,128,-1.478,0,300) 2.Julia集 function Julia(c,res,iter,xc,yc,xoom) %Julia集 %c为参数， res是目标分辨率，iter是循环次数，（xc,yc）是图像中心，xoom是放大倍数x0=xc-2/xoom;x1=xc+2/xoom; y0=yc-2/xoom;y1=yc+2/xoom; x=linspace(x0,x1,res); y=linspace(y0,y1,res); [xx,yy]=meshgrid(x,y); z=xx+yy*1i; N=zeros(res,res); C=c*ones(res,res); for k=1:iter z=z.^2+C; N(abs(z)>2)=k; C(abs(z)>2)=0; Mandelbrot 集的定义方法在复平面中，迭代表达式为 21k k Z Z C +=+ （1） 式中Z 和C 都是复数，由各自的实部和虚部组成。分离Z 和C 的实部和虚部，则： Z x yi =+ C p qi =+ 式中：x p 、为复数的实部；y q 、为复数的虚部；i 为虚常数，i =。第k 个点k Z ，即xy 平面上的点(,)k k x y ，从k Z 到1k Z +的迭代过程就是 221k k k x x x y p +==-+ （实部） 12k k k y y x y q +==+ （虚部） 令初始值Z0 = 0 ( 即Z0 = 0 + 0·i ) ，C ≠0 ( 其中 p 和q 在各步迭代中都保持为常数)。迭代计算中，把前一个Z 值的输出作为下一个Z 值的输入，代入 Zk ← Z2k + C 反复运算，得到一连串的复数。每做一次迭代，新的复数就离开前一个复数一段距离，就如同一个点在复平面上跳舞。由系统生成的M 集的图形见图1 函数：21k k Z Z C +=+其中Z x yi =+，C p qi =+（这里221k k k x x x y p +==-+ 12k k k y y x y q +==+ ） 对于k > 2 的广义Mandelbrot 集即高次幂Mandelbrot 集，其集图像更为丰富［10］。图2 示出3 阶M 集到10 阶M 集的图形。 1、函数变换： 1） 改变迭代式21k k Z Z C +=+中x 与y 的位置。把原来从k Z 到1k Z +的迭代过程式中的2k x 和2k y 改变位置，则转换成: 221k k k x x y x p +==-+ （实部） 分形实例的赏析 分形实例的赏析 分形最主要的性质是本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实在简单中蕴含着复杂。分形几何的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。世界是非线性的，分形无处不在，分形具有局部与整体的自相似性。复杂的分形图不能用传统的数学方法描述，但却能用简单的迭代法生成。可以应用迭代函数生成诸如植物、丛林、山川、云烟等复杂的自然景物。“分形艺术”是纯数学的产物，创作者不仅要有很深的数学功底，还要有熟练的编程技能。电子计算机图形推开了分形几何学的大门，当我们踏入这个新的几何世界时，扑面而来的分形图像琳琅满目、美不胜收，令人流连忘返。美，是分形给每一个观赏者带来的第一印象。(1)分形的标志——芒德勃罗集 芒德勃罗集(简称M集)是号称“分形几何之父”的芒德勃罗于1980年发现的。它被公认为迄今为止发现的最复杂的形状，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形。它是由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘“芽苞”突起连在一起构成的。由其局部放大图可看出，有的地方像日冕， 有的地方像燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果，它的每一个局部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境的图案(图7—1—3、图7—1—4)。它们像漩涡、海马、发芽的仙人掌、繁星、斑点乃至宇宙的闪电……因为不管你把它的局部放大多少倍，都能显示出更加复杂更令人赏心悦目的新的局部，这些局部既与整体不同，又有某种相似的地方，好像梦幻般的图案具有无穷无尽的细节和自相似性。而这种放大可以无限地进行下去，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在着无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷探究的欲望。难怪芒德勃罗自己称M集为“魔鬼的聚合物”。 图7—1—3 M集的局部放大 图7—1—4 M集的多局部放大 (2)走进朱利亚集Mandelbrot集和Julia集的分形图之matlab实现
分形图及其函数
分形实例的赏析