概率论
第一章 随机事件及其概率
1.6 假设一批100件商品中有4件不合格品．抽样验收时从中随机抽取4件，假如都为合格品，则接收这批产品，否则拒收，求这批产品被拒收的概率p ． 解 以ν
表示随意抽取的4件中不合格品的件数，
则
496
4
100
C {1}1{0}110.84720.1528C p P P =≥=-==-
≈-=νν．1.7 从0、1、2---11等11个数中随机取出三个，求下列事件的概率：A1={三个数最大的是5}；A2={三个数大于、等于和小于5的各一个}；A3={三个数两
个大于5，一个小于7}．
解 从11个数中随机取出三个，总共有311C 165=种不同取法，即总共有3
11
C 个基本事件，其中有利于
1A 的取法有25
C 10=种（三个数最大的是5，在小于5的5个数中随意取两个有2
5C 10=种不同取法）
； 有利于
2A 的取法有5×5=20种（在小于5
的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取一个，有5×5=25种不同取法）；
有利于
3A 的取法有5×2
5
C 70=种(在小于5的5个数中随意取一个，在大于5的5个数中随意取两个)．于是，最后得
111
102550()0.06()0.15()0.30165165165
P A P A P A =
===== ，，．1.8 考虑一元二次方程
02
=++C Bx x ,
其中B , C 分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的
点数．
(1) 求方程无实根的概率
α， (2) 求方程有两个
不同实根的概率
β．
解 显然，系数B 和C 各有1,2,3,4,5,6等6个可能值；将一枚色子接连掷两次，总共有36个基本事
件．考虑方程的判别式
C B 42-=?．事件
{无实根}和{有两个不同实根}，等价于事件
{0}?<和{0}?>．下表给出了事件
{0}?<和{0}?>所含基本事件的个数．
由对称性知
{0}?<和{0}?
>等价，因
此
αβ=．易见，方程无实根的概率α和有两
个不同实根的概率
β为
17
0.4736
αβ==≈．
． 1.15 已知概率
(),(),()P A p P B q P AB r ===．分别求下
解 由事件运算的性质，易见
()1()1P AB P AB r =-=-，
()()1P A B P A B r
+==-， ()1()1[]P A B P A B p q r +=-+=-+-，
()()1[]
P A B P A B p q r =+=-+-， ([])()()P A A B P A AB P A p +=+==．
1.18 假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一个球，结果是白球．求箱中原来是白球的概率
α．
解 引进事件：A={取出的是白球}，
1H ={箱中
原来是白球}，
2H ={箱中原来是红球}，则
12
,H H 构成完全事件组，并且
12()()0.5P H P H ==．由条件知 12(|)1(|)0.5P A H P A H ==，．
由贝叶斯公式，有
1111122()(|)2
(|)()(|)()(|)3
P H P A H P H A P H P A H P H P A H α==
=
+．1.21 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.30需进一步进行调试， 经调试以概率0.90可以出厂，以概率0.10定为不合格品不能出厂．现在该厂在生产条件稳定的情况下，新生
产了20台仪器．求最后20台仪器
(1) 都能出厂的概率
α；
(2) 至少两台不能出厂的概率
β．
解 这里认为仪器的质量状况是相互独立的．设
1H ={仪器需要调试}，2H ={仪器不需要调试}，
A ={仪器可以出厂}．由条件知
1212()0.30 ()0.70 (|)0.80(|)1P H P H P A H P A H ====， ，
，．
(1) 10台仪器都能出厂的概率
011221010
0()()(|)()(|) 0.300.800.700.940.940.5386P A P H P A H P H P A H ααα==+=?+===≈ ；
．
(2) 记
ν
——10台中不能出厂的台数，即10
次伯努利试验“成功(不能出厂)”的次数．由(1)知成功的概率为p =0.06．易见，10台中至少两台不能出厂的概率
109{2}1{0}{1}
10.94100.940.060.1175P P P βννν=≥=-=-==--??≈．
1.23 设
B A ,是任意二事件，证明：
(1) 若事件
A 和B
独立且
B A ?，则
()0P A =或()1P B =；
(2) 若事件
A 和
B 独立且不相容，则A 和B 中必有一个是0概率事件． 证明 (1) 由于
B A ?，可见
()()()()()()P AB P A P B P AB P A P A ===
，，
因此，若
()0P A ≠，则()1P B =；若
()0P B ≠，()0P A =．
(2) 对于事件
A 和
B ，由于它们相互独立而
且不相容，可见
()()()0P A P B P AB ==，
因此，概率()P A 和()P B 至少有一个等于0．
补充：
第二节 事件的关系和运算
1.
设A,B,C 是三个随机事件,用事件A,B,C 的运算关系表示下列事件：
⑴ A,B,C 三个都发生；⑵ A 发生而B,C 都不发生；⑶ A,B 都发生, C 不发生；
⑷ A,B,C 恰有一个发生；⑸ A,B,C 恰有两个发生；⑹ A,B,C 至少有一个发生； ⑺ A,B,C 都不发生.
解：（1）
ABC （2）ABC （3）
ABC （4）ABC ABC ABC ++
(5)
ABC ABC ABC
++ (6)
A B C ++ (7) ABC
第三节 事件的概率 1.
()04.P A =,
()03
.P B =,
()06.P A B +=,
求
解
：
由
()()()()
P A B P A P B P AB +=+-知，
()()()()
P AB P A P B P A B =+-+
0.40.30.6
=+-=0.1 ()1()10.10.9
P AB P AB =-=-=()()1()10.60.4
P AB P A B P A B =+=-+=-=()()()0.40.10.3
P AB P A P AB =-=-=
解
：
由
()()()P A B P A P AB -=-，得
()()()P A B P A P AB -=-
()()()0.70.30.4
P AB P A P A B =--=-=，
()1()10.40.6P AB P AB =-=-=
3. 已知
()09.P A =,()08.P B =,
试证()07.P AB ≥.
解
：
由
()()()()
P A B P A P B P AB +=+-知，
()()()(
)
P AB P A P B P A B =+-+
解：由条件
()()0P AB P BC ==，知
()0P ABC =，
1111500044488=
++---+= 5. 设A ,B 是两事件,且()06.P A =,()07.P B =,问
⑴ 在什么条件下,()P AB 取到最大值,最大值
是多少？
⑵ 在什么条件下,()P AB 取到最小值,最小值
是多少？ 解
：
由
()()()()
P A B P A P B P AB +=+-知
，
(
)
P A B =+
又
因
为
()
(P A P A
B ≤+，
()()
P B P A B ≤+，
所
以
(){
}m
a x (),()
P A P B P
A B ≤+，
所以
0.7()P A B ≤+≤，
所以0.3()0
P A B ≤≤.
第四节 条件概率及与其有关的三个基本公式 1．设有对某种疾病的一种化验，患该病的人中有
90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈
阳性反应，设人群中有1%的人患这种疾病，若某病人做这种化验呈阳性反应，则他患有这种疾病的概率是多少？
解：设
{}
A =某疾病患者，
{}
A =非某疾病患者，
{}B =检查结果为阳性.依条件
得,
B A A ?+=Ω，且
()
P A =
()0.99P A =,
(|)0.9
P B A =(|)0.05P B A =
所
以
()(
)()()()()()
B P P A A
A
P B P B B P A P P A A
=
=+
第五节
事件的独立性和独立试验
1．设有
n 个元件分别依串联、并联两种情形组成
系统I 和II ,已知每个元件正常工作的概率为
p ，分别求系统I 、II 的可靠性（系统正常工
作的概率）
解：
{}
A I =系统正常工作，
{}B II =系统正常工作，
{}B II =系统不正常工作
{}1,2,,
i C i n == 每个元件正常工作，，且()i P C p =，
{}
i C =每个元件都不正常工作，
()1i P C p =-
由条件知，每个元件正常是相互独立的，故
1212()()()()()n
n n P A P C C C P C P C P C p
=== ，
()1i P C p
=-，
1212()()()()()(1)n
n n P B P C C C P C P C P C p ===-
()1()1(1)n P B P B p =-=--
2. 设有六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件通达的概率为
p ，求这个装置
通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.
解:
设
{}i A i =第条线路通达，
1,2,3,
i =
{}A =代表这个装置通达,
{}i A i =第条线路不通达，
1,2,3,
i =
{}A =代表这个装置不通达，
由
条
件
知
，
2
()i P A p
=，
2()1i P A p =-，
1()1()1(P A P A P A A =-=-
第二章 随机变量及其分布
2.8 口袋中有7个白球，3个黑球，每次从中任取一球且不再放回．
(1) 求4次抽球出现黑球次数
X
的概率分布；
(2) 抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y
的
概率分布． 解 (1) 随机变量
X
有4个可能值0,1,2,3，若以W
和B 分别表示白球和黑球，则试验“4次抽球”相当于“含7个W 和3个B ”的总体的4次不放回抽样，
其基本事件总数为
410C 210=，其中有利于
{}X k =
(0,1,2,3)
k =的基本事件个数为：
437C C k k -，因此
4
37
4
10
C C {}(0,1,2,3)
C k k P X k k -===，
或
01230123~35
1056371131210
210
210210621030X ???? ? ?= ? ? ? ?????．
(2) 随机变量
Y 显然有1,2,3,4等4个可能
值；以
W k 和
B k
分别表示第
(1,2,3k k =次抽到白球和黑球，则“不放回抽球直到首次出现白球为止”相当于“自含7个白球3个黑球的总体的4次不放回抽样”，其基本事件
总数
4
10
P 10987120=???=．易见
784
3728
{1}{2}10120
109120
P Y P Y ?======?，
，
32773217
1{3}{4}109812010987120
P Y P Y ?????==
====?????， ．
1
234~84
2871120
120
120120Y ?? ? ? ???
． 解 以X 表示随意抽取的一页上印刷错误的个数，
以
)4,3,2,1(=k X k 表示随意抽取的第
k 页
上印刷错误的个数，由条件知X
和
)4,3,2,1(=k X k 服从同一泊松分布，
未知分布参数
λ决定于条件：
2
{1}{2}e
e 2!
P X P X λ
λλλ--====
，．
于是
λ=2．由于随机变量)
4,3,2,1(=k X k 显然相互独立，因此
422
22{=4}=e =e 0.0902
43
P X --≈ ！
2.14 设随机变量
X
服从区间
25[，]上的均匀分
布，求对
X
进行3次独立观测中，至少有2次的
观测值大于3的概率α．
解 设
Y
3次独立试验事件
{3}A X =>出
现的次数，则Y 服从参数为(3,)p 的二项分布，
其中23p =．因此
2
(){2}{3}3(1)P B P Y P Y p p ===+==-+
α
2.17 设随机变量
X
服从正态分布
(3,4)N ，
且满足
{}{}P X C P X C <=≥和
{}2{}P X C P X C <=≥
，分别求常数C
解 （1）由
{}X C <与{}X C ≥为对立
事件，又
{}{}P X C P X C <=≥得
1{}2P X C <=所以C=3 (2)
由
题
意
可
知
23
{}=32
C P X C Φ-<=
（）
所以反查表可得 3.88C ≈
2.22 设随机变量
X
服从
[1,2]-上的均匀分
布，求随机变量
Y 的分布律，其中
10 00 10X Y X X -<==>??
???，若，，若，
，若．
解 由于X 服从
[1,2]-上的均匀分布，知随机
变量Y 的概率分布为
1
{1}{0}{10}{0}{0}03
2
{1}{0}{02}3
1~1233P Y P X P X P Y P X P Y P X P X Y =-=<=-≤<=======>=<≤=?? ? ? ???
，，；
-1．
补充：
第二节 离散随机变量
1. 从学校乘公交车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 ，
设
{}A =至多遇到一次红灯，则
54
()(0)(1)64
P A P X P X ==+==
2.设每分钟通过交叉路口的汽车流量
X
服从泊松
分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰好有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。
解：A={在一分钟内至少有两辆车通过}，A ={在
一分钟内至多有一辆车通过} 由
条
件
知
，
(
),
!
k e P X
K
k
k λ
λ-=== ，且
(0)(1)P X P X ===，
即
0!
1!
e
e
λ
λ
λλ
--=
，求出，
1
λ=
故：
1(0)P X e -==，1(1)P X e -==，
1(A)(0)(1)2P P X P X e -==+==
1()1(A)12P A P e -=-=-
3.计算机硬件公司制造某种特殊型号的芯片，次品率
达
0.1%，各芯片成为次品相对独立，求在1000
只产品中至少有2只次品的概率。以X 记产品中
的次品数。 解
：
设
{10002}
A =在只产品中至少有只次品，
{1000}
A =在只产品中至多有1只次品，
B={生产的产品是次品}
，
B ={生产的产品不是次品}
由
条
件
知
，
()0.0
P B =，)0.999B =P(，)0.999P B =(
10001
999
1000
1000()(0)(1)(10.001)0.001(10.001)P A P X P X C
C ==+==-+-
1000999
(10.001)(10.001)=-+-
1000
999
()1[(10.001)(10.001)]
P A =--+-
第三章 随机向量及其概率分布
3.6设随机变量
X 和Y
的联合密度为
(1) 试求
X 的概率密度)(1x f ；
(2) 试求事件“
X
大于
Y
”的概率
{}P X Y >；
解 (1) 易见，当)1,0(?x 时)(1x f =0；对
于
10< 222102 166 ()(,)d d (2) 727 6(2)01()7 0 xy f x f x y y x y x x x x x f x +∞ -∞??==+=+ ????+< ． (2) 事件“ X 大于Y ”的概率 112300066515{}(,)d d d d d 727456x x y xy P X Y f x y x y x x y x x >??>= =+=?= ?? ??? ??? ． ． 3.11 设随机变量 X 和Y 的联合密度为 22e 00(,) 0 0 0x y x y f x y x y --?>>=? ≤≤?或，若，， ，若． 求随机变量 X 和 Y 的联合分布函数和概率 {1,1}P X Y >>． 解 设 (,){,}F x y P X x Y y =≤≤是 X 和Y 的联合分布函数． 当0≤x 或0≤y 时 0),(=y x F ；设00>>y x ，，则 220 (,)2e e d d (1e )(1e ) x y u x y F x y u ----==--? ? v v ． 于是 {} 221 1,1(1e )(1e )0(,) 0 0 {1,1}(,)d d 2e x y x x y x F x y x P X Y f x y x y --+∞ ->>?-->=? ≤?>>= =???，若， ，若均匀分布，求 X 和 Y 的概率密度 )()(21y f x f 和． 解 设 G 是x y =和2x y =所围区域， 其面积 G S 为 2 20 16 d 3 G S x x == ?（4-）， 因此 X 和Y 的联合概率密度为 3 (,)(,)16 0(,)x y G f x y x y G ?∈?=????，若， ，若． (1) X 的密度 对于 (02)x ∈，， 242133 ()d 1616x f x y x ==?(4-)； 于是 2 13(4)()16 x x f x ?-≤ ，若０2．0，其他． (2) Y 的密度 对于04y ≤<， 20 3()d 16f y x == 于是 24() y f y ≤<=?? ．0，其他． 补充： 第一节 二元随机向量及其分布 1.设二维随机变量 (,)X Y 的联合分布函数为： (,)(arctan )(arctan ) F x y A B x C y =++， 求 常 数 ,,. A B C ,, x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 解: 由条件知， (,)1F +∞+∞=， (,)0F x -∞=,(,)0F y -∞=,即： ()()122(arctan )()0 2()(arctan )02A B C A B x C A B C y ππππ?++=?? ? +-=?? ?-+=?? 求出， 2 1 A π = ， 2 B C π == 2．设 X Y 和的联合概率密度函数为 2 6,0,x y x f ?≤≤=??（x,y ），其他 ，求 x 和y 的边缘密度函数。 解：设 (,)x f x y 为f （x,y ） 关于x 的边缘密度函数， (,)y f x y 为(,)f x y 为关于 y 的边 缘 密 度 函 数 ， 且 ， ()(,)X f x f x y d y +∞ -∞ =? ，()(,)Y f y f x y dx +∞ -∞ =? 当 01 x ≤≤时 ， 2 2 ()6 6 ()x X x f x d y x x ==-? ， 当 0,1x x <>时，()0X f x = 当 01 y ≤≤时 ， ( 6()Y y f d x y y =- 当0y <，1y >时，()0Y f y = 第四章 随机变量的数字特征 4.3 设随机变量X 的概率密度为 01()0kx x f x α?<<=??，若， ， 其他． 已知 0.75EX =，求未知常数k 与α 的 值． 解 由题设知 1 1 120 ()d d 0.7522k k EX xf x x kx x x αααα+∞++-∞ === ==++? ?， 另一方面，由于 1 1 10()d d 1k f x x kx x x ααα+∞+-∞ ==+? ?， 于是，得关于 k 与α的方程组 0.752 11k k αα?=??+? ?=?+? ，， 其解为 2,3k α==． 4.5 设随机变量 X 服从参数为2的泊松分布，求 (32)E X -． 解 熟知，参数为2的泊松分布的数学期望 2EX =，故 (32)323224E X EX -=-=?-=． 4.6 求 EX ，已知随机变量 X 具有概率密度为 01()2120x x f x x x <≤?? =-<≤??? ，若， ，若， ，其他． 解 由数学期望的定义，知 1 2 20 1 12 2323101 ()d (2) 11 133EX xf x x x dx x x x x x +∞ -∞==+-=+-=???． 4.7 设随机变量 X 具有概率密度如下， 2(1)12() 0 x x f x -< ，其他. 解 由随机变量函数的数学期望，知 2 11 1 ()d 2(1)d 2EZ zf x x x x x x +∞ -∞==-=? ? 4.11 设随机变量 123X X X ,,相互独立，且 1 X 服从区间(0,6)上的均匀分布，而 松分布，试求12323Y X X X =-+的方 差． 解 由 条 件 知 1 2 3, 4 ,3 D X D X D X ===，而由方 差的性质可得 123123(23)493449346DY D X X X DX DX DX =-+=++=+?+?=． 4.12 设随机变量 X Y 与相互独立，且 ~(12)~(01) X N Y N ，，，，试求随机变量 23Z X Y =-+的数学期望、方差 以及概率密度． 解 由 条 件 知 ， ~(1,2 )X N Y N ．从而由期 望和方差的性质得 2354 9EZ EX EY DZ DX DY =-+==+=，． 由于 Z 是X 和Y 的线性函数，且,X Y 是相 互独立的正态随机变量，故 Z 也为正态随机变量， 而正态分布完全决定于其期望和方差，因此 ~(5,9)Z N ，于是，Z 的概率密度为 2(5)29() ()z Z f z z --?= -∞<<+∞． 4.16 已知随机向量 (,)X Y 的概率密度 0101(,) 0 x y x y f x y +≤≤≤≤?=? ?，若， ，，若不然． 求 cov()XY EX EY DX DY EXY X Y ρ,,,,,,,． 解 (1) 求EX EY DX DY ,,,。 11101112222000 2 227 (,)d d d 125(,)d d d ()d d 2125711 ()1212 144 EX xf x y x y x EX x f x y x y x x x y y x x x DX EX EX +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞====+=+= ?? ???=-= -= ???????????；；． 由对称性，有 711 12 144EY DY ==，． (2) 求 cov()XY EXY X Y ρ,,,． 1 1 1 0011(,)d d d ()d d 2331771 cov(,)31211441114411XY x EXY xyf x y x y x x y x y y x x X Y EXY EX EY +∞ +∞ -∞-∞ ?? ==+=+= ???=-=-?=-=-=? ????ρ；； 第六章 数理统计的基本概念和抽样分布 6.4 假设总体X 服从参数为 λ的泊松分布, ，而 12(,,,)n X X X …是来自总体X 的简单随机 样本．求 12(,,,)n X X X …的概率函数． 解 总体 X 的概率函数为 ,e ( ;) ! 0 x x p x x x λ λλ-??=??? 若为自然数若不是自然数，，． 由于 12,,,n X X X …独立同服从参数为λ的 泊松分布，可见 12(,,,)n X X X …的概率函数 为 121 2 1 1 2 2 1 12(,,,){,,,} e ()(0,1,2,)!!! n n n n n n x x x i i i n p x x x P X x X x X x p x x x x x λλλλ-+++========∏ …；；………． 6.5 假设总 体 ) ,(~2σμN X ，而 12(,,,)n X X X …是来自总体X 的简单随 解 由于 12,,,n X X X …独立同分布，可见12(,,,)n X X X …的密度为 22 () 212i 1 21 (,,,)1 exp (2i x n n n n i i f x x x x μσσ--===?=-- ??∑ 其中12,,,n x x x -∞<<+∞…． 第七章 参数估计 2 20123 ~2(1)12X θ θθθθ? --?， 计值和最大似然估计值． 解 (1) θ的矩估计量 由样本值(3,1,3,0,3,1,2,3)， 得样本均值 1 (022134)28X =++?+?= 用X 估计数学期望EX ，可得关于未知参数θ 矩估计量 ?Θ 的方程；总体X 的数学期望为 2?????2(1)23(12)24EX x =-++-==-，θ θθθθ 于是，θ的矩估计值为１４． (2) θ的最大似然估计量 易见，在 12(,,,)n X X X … 中0,1,2和3各出现1，2， 1和4次，因此未知参数 θ似然函数和似然方程为 22242212()[2(1)](12)ln ()ln 6ln 2ln(1)4ln(12dln ()62861)12d 112112143 0 121431)12?L L C L =--=++-+---=--=--+==+--==，（（） （-，-（（）θθθθθθθθθθ θθθθθθθθθθθθθθθθ 其中 C 是常数，而似然方程的解 1 ?θ=≈10.88>2 显然不合题意。于是，参数 θ的最大似然估计值为 ?θ =≈0.28． 7.6 设总体 X 的密度函数为 其中 0θ>为未知参数, 12,,,n X X X …为 来自总体 X 的一个样本，求θ的矩估计量和最大 似然估计量. 解 (1) 矩估计量 总体 X 的数学期望为 11 1 ()d d EX xf x x x x θθ+∞ -∞=== = ? 将 EX 换成样本均值X ，得参数 θ的矩估计量 ?Θ ： 2 2 ?1X X X Θ=-（）． (2) θ的最大似然估计量 参数θ 的似然函 数 ?Θ 为 1 12 11 1 1 11222211()ln ()ln 1)ln 2ln ()ln 02ln 0ln ?ln 0ln n n n i i i i n i n i n n i i n n i i i L X n L X L n X X X n X n X θθθθ θθθθθθθθθΘ--===========+=+=? ==-?? ??-== ????? ??? ∏∑∑∑∑∑2， ， d ，d ，，，． 7.10 假设总体 X 的概率密度为 01 (;)112 0 x f x x θθθ< =-≤ ，其他， 其 中 θ 是未知参数 （ 10<<θ） ．12,,,n X X X …为来自总体 X 的简单随机样本，记N 为样本的n 个观测 值中小于1的个数． (1) 求 θ 的矩估计量；(2) 求 θ 的最大似然估计量． 解 (1) 求 θ 的矩估计量 总体 X 的数学期望为 1 2 1 3 (;)d d (1)d 2 EX xf x x x x x x θθθθ+∞ -∞ ==+-= -???． 用样本均值 X 估计 EX ，得θ 的矩估计量 ?Θ ： 33 ??22 X X ΘΘ= -=-，． 于是， ?Θ 就是θ的矩估计量． (2) 求 参数 θ 的似 然函数为，； ， 01)(ln )1ln()(ln )(ln )1();()(1 =---=--+=-== -=∏θ θθθθθθθθ θθN n N d L d N n N L X f L N n N n i i ?(1)N N n N n θθθΘ -=-=，． 于是， θ 的最大似然估计量是 ?N n Θ =． 1.1.1 确定性现象 在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象． 确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象． 例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；?? 确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识． 如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力??这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果． 对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点： (1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一； (2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的． 换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变． 1.1.2 随机现象 随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象． 例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；?? 随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上． 1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验 因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验： 从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法． 1.1.4 统计规律性(2)--其他实验 我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子． 1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1． 2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线． 1.1.5 统计规律性(3)--规律描述 从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科． 既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点： (1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的； (2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的． 一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小． 通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的． 《概率论与数理统计》小论文概率与理性的发展 哈尔滨工业大学 2014年12月 《概率论与数理统计》课程小论文 概率与理性的发展 摘要概率论是一门研究事件发生的数学规律的学科。他起源于生活中的实际问题的思考，较传统的几何学等起步较晚，在伯努利、泊松等数学家的努力下，形成了现如今较为完备的理论体系。他与数理统计一起，在工程设计、自然科学、社会科学、军事等领域起着重要作用。而概率论提出后有很多人感感兴趣对其进行研究的原因之一是很多事件的主观上对概率的判 断与实际的理论概率有着很大的差异，于是有关概率的悖论有很多，也有很多与直觉相悖的概率问题，这也是概率的魅力之一。本文将从概率的发展、概率与感性的差异等方面出发对概率与感性和理性进行探讨。 关键词概率悖论直觉理性 一、概率的发展 概率论的初步发展起源于十七世纪中叶的法国。在那里出现了对赌博问题的研究，也正是对赌博问题的研究，推动了概率论的发展。最初的问题是从分赌金开始的。[1] 最初的问题大致是这样的：甲乙双方是竞技力量相当的对手，每人各拿出32枚金币，以争胜负。在竞争中，取胜一次，得一分。最先获得3分的人取得全部赎金64枚金币。可是，因某种缘故，竞争3次，赌博被迫终止。而此时，甲得2分，乙得1分，问赌金如何分配？很多问题的开端都是利益的纠纷，这也是一个例子，双方都会为自己的利益考虑而提出对这笔赌金的分法，而从直觉上看，很多理由似乎也是很有道理的。但是真相只有一个，到底理论上最公平的分法是怎样的？这个问题的当事人爱好赌博的德梅雷 向其好友著名的数学家帕斯卡请教，这个问题也受到了帕斯卡的关注。帕斯卡与其好友费尔马进行了三个月的书信往来讨论这个问题，最终得到了满意的答案：假设两赌徒中甲赢了两局，乙一局未赢，那么接下来可能出现的情况是：若甲再赢一局，得3分，将获全部赌金；若乙赢一局，出现2:1的局 现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院 目录 摘要........................................... 错误！未定义书签。第一章引言...................................... 错误！未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12) 对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如：保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识. 概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如：在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解. 《概率论》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 概率论是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是本科各专业的一门重要基础理论课。该课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握处理随机现象的基础理论和基本方法，训练学生严密的科学思维及分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课打下良好的基础。具体目标如下： 1 学生获得概率论与数理统计的基本知识和基本运算技能； 2 学生在运用数学方法分析和解决问题的能力方面得到进一步的培养和训练； 3 为学习有关专业课程和扩大数学知识提供必要的数学基础。 三、教学学时分配 《概率论》课程理论教学学时分配表 四、教学内容和教学要求 第一章概率论的基本概念（12学时） （一）教学要求 1．理解随机事件及样本空间的概念，掌握随机事件间的关系及运算。 2．了解概率的统计定义及公理化定义。掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算。 3．理解古典概率的定义，会计算古典概率。 4．理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。会用这些公式进行概率计算。 5．理解事件的独立性概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 （二）教学重点与难点 教学重点：掌握古典概型中某事件发生的概率计算方法、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式。 教学难点：全概率公式、贝叶斯公式及应用。 （三）教学内容 第一节随机试验、样本空间、随机事件（拟用MOOC） 1．确定性现象和随机现象的概念，随机试验的概念和特点。 2．样本空间、样本点、随机事件等概念。 3. 事件间的关系及运算。 第二节频率与概率（拟用MOOC） 1．频率的定义、基本性质及计算。 2．概率的公理化定义及概率的性质。 第三节古典概型（拟用MOOC） 1．等可能概型（古典概型）的定义，放回抽样和不放回抽样的概念。 2．等可能概型中事件概率的计算公式及其应用。 第四节条件概率（拟用MOOC） 1．条件概率的定义、性质及其计算。 2．乘法原理及其在计算概率中的应用。 3. 全概率公式和贝叶斯公式及其应用。 第五节独立性（拟用MOOC） 1．事件相互独立的定义、性质及在实际中的应用计算。 本章习题要点： 1. 求随机试验的样本空间。 2. 求古典概型中某事件发生的概率。 3. 利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式求概率。 4. 利用事件的独立性求概率。 第二章随机变量及其分布（8学时） （一）教学要求 1. 理解随机变量及其分布函数的概念，掌握分布函数的性质，计算与随机变量有关的概率。 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布及其应用。 3. 理解连续型随机变量及其概率密度概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用。 4. 掌握求离散型随机变量的函数的概率分布；掌握求连续型随机变量的函数的概率密度和分布函数。 （二）教学重点与难点 1、从一大批产品中任抽5件产品，事件A 表示“这5件产品中至少有1件废品”，事件B 表示“这5件产品都是合格品”，则事件AB 表示（C 、 不可能事件）。 2、已知P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=16 1 则事件A,B,C 至少有一个发生的概率为（C 、 8/5） 3、设在每次试验中，事件A 发生的概率为P(0 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 ? 陈强，《计量经济学及Stata应用》，2014年。请勿上传或散发。 第2章 概率统计回顾 2.1 概率与条件概率 1．概率 什么是概率？天气预报明天70%概率下雨？ 含义：如果有100天的天气预报都报了70%的概率明天降雨，则大约有70天会下雨。 1 2 “概率”为在大量重复实验下，事件发生的频率趋向的某个稳定值。记事件“下雨”为A ，其发生的“概率”(probability)为P()A 。 2．条件概率 例 已知明天会出太阳，下雨的概率有多大？ 记事件“出太阳”为B ，则在出太阳条件下降雨的“条件概率”(conditional probability)为 P() P()P() A B A B B (2.1) 3 其中，“ ”表示事件的交集(intersection)，故P()A B 为“太阳雨”的概率，参见图2.1。 图2.1 条件概率示意图 4 例 股市崩盘的可能性为无条件概率；在已知经济已陷入严重衰退的情况下，股市崩盘的可能性为条件概率。 3．独立事件 如果条件概率等于无条件概率，即P()P()A B A ，即B 是否发生不影响A 的发生，则称A , B 为相互独立的随机事件。 5 此时，P() P()P() P() A B A B A B ≡= ，故 P()P()P()A B A B = (2.2) 也可将此式作为独立事件的定义。 4．全概率公式 如果事件组{}12,,,(2)n B B B n ≥ 两两互不相容； ()0(1,,)i P B i n >?= ； 且12n B B B 为必然事件 (即在12,,,n B B B 中必然 有某个i B 发生， “ ”表示事件的并集，union)， 第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1．;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2． 2 1 81，； 3．6.0； 4． 733.0，； 5． 8.0,7.0； 6． 87； 7． 85； 8. 996.01211010 12或A -； 9． 2778.0185 6 446==A ；10. p -1. 二、选择题 D ；C ；B ；A ；D ； C ；D ；C ；D ；B . 三、解答题 1.解：).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=） 相互独立， 又）B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解： 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”，事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”，事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”，则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解：设A i =“飞机被i 人击中”，i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式： )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ） )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”，2H =“飞机被乙击中”，3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的， 概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配 第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}； A={（正，反），（正，正）}； B={（正，正），（反，反）}； C={（正，反），（正，正），（反，正）}。 2.设31)(=A P ，2 1)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）AB =?，（2）B A ?，（3）81)(=AB P 解: （1）5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P （2）6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P （3）375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B ）问题变为在B 已发生的条件下，求H 再发生的概率。 习 题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大 号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33 (0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时 间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 概率论与赌徒谬论 祁洪宇 哈尔滨工业大学理学院1141140115 摘要：概率论起源于对赌博问题的研究。赌博中的问题、随机游戏,社会保险与社会实践的需要促进了概率论的发展,其理论方法在科学技术、工农业生产及国民经济各部门日益受到广泛的应用.。概率论自创立以来，已经从起初分析赌博中的问题发展成为现代数学的主流分支之一，概率论在赌博中的应用依然非常广泛，涉及日常生活中的掷硬币，掷筛子，博彩，然而人们对于概率论的错误理解也严重阻碍了人们对于随机事件的判断。典型的“热手效应”，“赌徒谬论”，“回归谬论”便是对概率论误区的描述。 关键词：赌博热手效应赌徒谬论 热手效应 人们总是试图在随机事件中寻找一些并不存在的“规律”。很经典的一个例子就是“热手效应（hot-hand phenomenon）”。这种现象最初在篮球比赛中发现：包括球迷和球员在内的所有人都错误地相信，如果一个球员能够投中一球，那么他接下来命中的概率就会增加；反之，如果他失误没投进球，接下来命中的概率也会受到影响而减小。人们相信在投篮时，存在这样一种所谓“手感”。然而统计学研究显示，每次投篮命中的概率其实并不受上一次投篮命中与否的影响。上一次投篮的结果与下一次命中的概率之间是不相关的。 就像受“热手效应”误导的球迷一样，也有受“赌徒谬误”左右的赌徒，赌徒预测结果也容易受到之前信息的影响，用直觉代替理性分析，产生所谓的“启发式心理”。 赌徒谬误 赌徒谬误（Gambler's Fallacy）亦称为蒙地卡罗谬误，是一种错误的信念，以为随机序列中一个事件发生的机会率与之前发生的事件有关，即其发生的机会率会随着之前没有发生该事件的次数而上升。如重复抛一个公平硬币，而连续多次抛出反面朝上，赌徒可能错误地认为，下一次抛出正面的机会会较大。 《概率论与数理统计》论文题目：正态分布及其应用 学院：航天学院 专业：空间科学与技术 姓名：黄海京 学号：1131850108 正态分布及其应用 摘要：正态分布（normal distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布，以及确定医学参考值范围，药品规格，用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词：正态分布， 一、正态分布的由来 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution）。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。 （1）集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 （2）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （3）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 竭诚为您提供优质文档/双击可除 概率论学习心得总结 篇一：《概率论与数理统计》课程学习心得 《概率论与数理统计》课程学习心得 1004012033陈孝婕10计本3班 有人说：“数学来源于生活，应用于生活。数学是有信息的，信息是可以提取的，而信息又是为人们服务的。”那么概率肯定是其中最为重要的一部分。巴特勒主教说，对我们未来说，可能性就是我们生活最好的指南，而概率即可能。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信 号处理等有关方面。应用统计学方法的产生主要来源于实质性学科的研究活动中，例如，最小二乘法与正态分布理论源于天文观察误差分析，相关与回归分析源于生物学研究，主成分分析与因子分析源于教育学与心理学的研究，抽样调查方法源于政府统计调查资料的搜集等等。本研究方向在学习概率论、统计学、随机过程论等基本理论的基础上，致力于概率统计理论和方法同其它学科交叉领域的研究，以及统计学同计算机科学相结合而产生的数据挖掘的研究。此外,金融数学也是本专业的一个主要研究方向。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件 最大似然估计学习总结(概率论大作业) 最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要：最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词：最大似然估计；离散；连续；概率密度最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。 最大似然法是要解决这样一个问题：给定一组数据和一个参数待定的模型，如何确定模型的参数，使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲，就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？ 我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所 学习概率论与数理统计感想 作者：丁彦军学号：1130610816 班级：1306108 摘要：概率论与数理统计是一门与生活息息相关的学科，在生活中很多方面都有很广泛的应用，通过本学期对于这门课程的学习，我更加深刻的体会到了这一点。同时，了解一些概率论的发展历史和现状有助于我们更好的理解和学习这门课程的研究对象和方法，也有助于我们掌握这门课程的精髓。 关键词：概率论起源发展应用 通过这学期对概率论与数理统计这门课的学习，我认识到，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。 了解这些后，我对概率论和数理统计的起源和发展历史以及它目前的发展情况产生了浓厚的兴趣。英国数学家格雷舍(Galisber,1848一1928)曾经说过:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史,有助于我们加深对这门课程研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训,启迪我们更好地学习这门课程。 下面介绍概率论的起源和发展历史: 1.古典概率时期（十七世纪） 概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期,意大利著名物理学家伽俐略(GalileiGalileo,1564.2.18一1642.1.8)就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究,把误差作为一种随机现象,并估计了他们产生的概率。十七世纪末,瑞士数学家伯努利对惠更斯没有解决的问题给出了解答,并第一次用到了母函数概念。伯努利的成就主要是从理论上证明了大数定理。伯努利的另一重大贡献是研究了独立重复试验概型。由于这种概型研究的是只有两个可能结果的试验,并经多次重复的结果。因此具有很普遍的意义。至今,在许多概率论专著中仍把独立重复试验概型称为“伯努利概型”。 2.初等概率时期(十八世纪) 十八世纪,概率论发展很快,几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。法国杰出的数学家德莫哇佛尔(AbrahamDeMoiver,1667--1754)最早研究了随机变量服从正态分布的情形,发现了正态概率分布曲线。接着,他又发现,许多分布的极限正态分布,并证明了二项分布当 1的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理,以p=q= 2 后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。英国数学家辛普松(TnomasSimpson,1710一1761)所研究的问题中有一个对产品剔概率论
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