蒙特卡罗法用于结构抗震可靠度分析
结构可靠度课程论文
蒙特卡罗法用于结构抗震可靠度分析
班级：土研12级1班
任课教师：赵东拂
学号：1108521312023
学生姓名：崔相东
日期：2012年11月10日
蒙特卡罗法用于结构抗震可靠度分析
崔相东
（北京建筑工程学院）
摘要：地震作用及结构的地震反应存在非常大的不确定性，因此要用传统的解析方法来求出土木工程结构在地震作用的可靠度的过程是十分复杂，甚至无法实现的，而蒙特卡罗法（Monte Carlo）作为一种基于随机实验的模拟方法却能很好的实现这一过程，它可以模拟各种地震作用引起的破坏形式及结构反应，并将承载能力的不确定性纳入随机实验过程之中，很好地解决了常规地震危险性分析中存在的各种问题。下面就将（Monte Carlo）的基本思想做一简单介绍，并结合算例对其计算方法进行阐述。
关键词：地震作用、地震反应的不确定性；蒙特卡罗法
Monte Carlo method for analysis of structural seismic
reliability
XiangDong cui
(Beijing university of civil engineering and architecture)
Abstract: there is extremely uncertainty in the earthquake function and the seismic reaction of structure, therefore, the process to find out reliability of civil engineering structure under seismic action via the traditional analytic method is very complex, and even be impossible, but the Monte Carlo method, as a kind of simulation method based on random experiment can fulfill the task, which can simulate various the failure form and structure response caused by earthquake effect, and evaluate the uncertainty of the bearing capacity into the experimental process, so solve all kinds of problems of the conventional seismic hazard analysis. The following content will introduce the basic thought of Monte Carlo method, combining with an example for its calculation methods.
Keywords: uncertainty in the earthquake function and performance; Monte Carlo method
引言：作为基础设施，工程结构不仅关系到国计民生，还会影响到一个国家的现代化进程，因此，保证结构在规定的使用期内能够承受各种作用，满足设计要求的各项使用功能，及具有不需过多维护而能保持其自身工作性能的能力是到至关重要的，即要保证结构的安全性、适用性和耐久性，这三个方面构成了工程结构可靠性的基本内容。为保证结构的可靠性，首先要研究建造结构所使用材料的各项力学性能，结构上各种作用的特性，结构的内力分析方具有明确的传力路径；精心施工，严格按照施工规程进行操作；正常使用，按设计要求使用结构并进行正常维护。然而，即便如此，也不能保证结构绝对的安全可靠，这是因为在结构的设计、建造和使用过程中，还存在着种种影响结构可靠性的不确定性，合理、正常的设计
、施工和使用只是保证结构具有一定可靠性的前提和基本条件[1]
。这些不确定性中最危险的因素就是地震作用，按Algermissen 等人编的美国地震危险图估算, 地面运动峰加速度变异系数达1.38。而其他荷载的变异系数, 不论是我国还是美国的统计都在0.07 至0.37之间。此外,地震作用下结构往往处于非线性非弹性阶段, 破坏机制极复杂, 结构反应及承载能力的
确定性比其它荷载作用时就更加突出[2]
。
综上所述，地震作用及结构的地震反应存在非常大的不确定性，因此要用传统的解析方法来求出土木工程结构在地震作用的可靠度的过程是十分复杂，甚至无法实现的，而蒙特卡罗法（Monte Carlo ）作为一种基于随机实验的模拟方法却能很好的实现这一过程，它可以模拟各种地震作用引起的破坏形式及结构反应，并将承载能力的不确定性纳入随机实验过程
之中，很好地解决了常规地震危险性分析中存在的各种问题[3]
。下面将就蒙特卡罗法（Monte Carlo ）的基本思想做一简单介绍，并结合简单算例对其计算方法进行阐述。
1、 蒙特卡罗法介绍
1.1 蒙特卡罗法基本思想
蒙特卡罗的基本思想可概括为：为求研究问题的概率解, 构造一个表示所研究问题概率解的数学模型(计算模型)，记为:
)
,,,(21n X X X Y μ=
依据计算模型中各随机变量X i 所服从的分布进行随机抽样，并按计算模型计算Y 的多个估计值，最终用频率统计法求出Y 的概率解。方法的核心是随机抽样，而随机抽样的关键在于产
生[0,1]区间上均匀分布的随机数。服从其它分布的随机数一般可通过该随机数变换得到[4]
。 1.2 蒙特卡罗法求解的基本过程
由基本思想可知，求解过程大致分为四步：
①分析并拟定给定问题中的随机变量，构造表示给定问题概率解的数学模型；
②对模型中的随机变量X 1, X 2,…,X n 各进行L 次随机抽样，获得L 组抽样值：X 1k , X 2k ,…，X nk (k=1,2, …,L)；
③把L 组抽样值代入计算模型，求出随机变量Y 的L 个估计值Y 1 , Y 2 ,… , Y L ； ④利用频率统计法，由Y 的估计值Y 1 , Y 2 ,… , Y L 求出描述Y 分布特征的分布曲线(概率解) 如
图1-1[4]
。
图1-1 随机变量Y 的分布曲线
1.3 随机数的概念
随机数是随机变量的观测值，由其构成的数据序列叫做随机数序列，它是一个无周期的数据序列。
蒙特卡罗法需要对变量进行数以千计、万计、甚至是百万计的抽样，这在实现过程中几乎是不可能的。因此考虑用计算机模仿实际抽样过程，形成一个有周期的抽样数据序列。称这种数据序列为“伪随机数”序列，其中的元素叫做“伪随机数”。
伪随机数显然不是真正意义下的随机数，即这种抽样值并非是随机变量的真实观测值。 尽管如此，只要对伪随机数序列进行一系列严格的统计检验，证明它可以满足统计的要求，则伪随机数就可以作为真随机数使用。 为了满足抽样问题的需要，在计算机上产生的伪随机数序列不仅要有足够长的周期，而且应当具有符合要求的概率统计性质。 从理论上讲，只要有一种连续分布的随机数，就可以采用数学变换的方法产生其它分布的随机数。[0,1]区间上均匀分布的随机变量的抽样值是最简单、最基本的一种连续分布的随机数，其它分布的随机数都可以借助它来产生，所以说：[0,1]均匀分布随机数技术是实
现随机抽样的最基本工具[4]
。 1.4 伪随机数的产生方法 1.4.1. 乘同余法
该方法产生伪随机数序列的递推同余式为：
??
?=≡+++M x r M x x n n n n /)(mod 111α
X n ,X n+1—第n 次和第n+1次产生的伪随机数；α-乘子系数；M- 模；r n+1- [0,1]区间上的
伪随机数。X n+1≡αX n (mod M)叫做以 M 为模的同余式，表示x n+1取值为：α与X n 的积除以M 的余数部分。
1.4.
2. 混合同余法
该方法产生伪随机数序列的递推同余式如下：
??
?=+≡+++M
x r M x x n n n n /)
(mod 111βα
混合同余法比乘同余法仅是增加了一个增量β,其它含义与乘同余法相同。
如：M =219 = 524288 ,α = 55 = 3125 时，X 0= 23 , 11 ,19 , 37;β= 3,7,11,17分4套配合使用，混合同余法可产生周期为524288伪随机数序列。
注:所获得的伪随机数是否能代表真正意义上的随机数,还需进行检验(检验方法略)。 1.5 随机变量的抽样
对随机变量的抽样，有经验分布函数抽样法、直接抽样法和变换抽样法等。在此仅介绍经验分布函数抽样法。
1.5.1 随机变量的经验分布函数
在概率论中，随机变量X 的分布函数是随机变量X 的取值不大于实数 x 的概率。通常记为： F(x)=P(X ≤x)
经验分布函数是由X 的 n 个观测值X 1, X 2,…,X n ,用统计方法得到的分布函数，记为Fn(x)。以
统计所得的Fn(x)代替F (x), 并记[4]
：
)
(1)()(x F x X P x AF n -=>=
1.5.2 随机变量经验分布函数的构造方法 频率统计法构造经验分布函数的条件及步骤:
(1)使用条件：
随机变量必须有观测值, 且个数足够多(如>30)。 (2)构造分布函数的步骤 ①确定频率统计区间数
要将n 个观测值所在的大区间划分为k 个小区间 ,一般n/k ≥3 ，且k 最好为奇数。 ② 计算区间端值
将(x min ,x max ) k 等分, 各小区间的k+1个端值为：
)
1,,2,1()1(m in
m ax m in +=--+
=k i i k
x x x x i
其中x min ,x max 是观测值的最大和最小值。 ③ 经验分布函数
记n i 为观测值落入区间(x i , x i+1)内的频数(个数),f i 为累加频率，则
∑===k
i
j j
i k i n n f )
,,2,1(1
其中n=n 1+n 2+…+n k
显然 f 1=1.0,f k =n k /n,f 1≥ f 2≥…f k 1.5.3 经验分布函数的抽样
将坐标原点设为(x min ,0)，若已知[0,1]区间上均匀分布的随机数r i ，则在图1-2纵轴上可确定点(x min ,r i ), 过该点作横轴的平行线交分布曲线于点(x i ,r i ), x i 则是对应于随机数 r i 的一次随机抽样值。由此可得随机变量的一系列抽样值。称该抽样方法为经验分布函数抽
样法[4]
。
图1-2 分布函数抽样过程示意图
2、 蒙特卡罗法算例
如图所示为一双杆受力体系，两杆的轴向承载能力分别为1R 、2R ，竖向荷载为P ，1R 、
2R 均服从对数正态分布，其平均值和标准差分别为
15.0,851
1
==R R kN δμ；15.0,752
2
==R R kN δμ，
P 服从极值Ⅰ型分布，平均值和标准差分别为
3.0,35==P P kN δμ。试用直接重要抽样法估计该
体系的失效概率。 图2-1 二杆受力体系
解 由于每一个杆失效都会导致体系失效，该体系为串联体系，由图可建立体系的两个功能函数
P R P R R g Z X 2
2
),,(12111-
== P R P R R g Z X 2
2
),,(22122-
== 借助于一次二阶矩方法求得相应于1Z 的可靠指标6943.31=β，验算点坐标3540.66*
11=r ，
1702.74*
12=r ，8528.93*1=p ;相应于2Z 的可靠指标3364.32=β，验算点坐标059.84*21=r ，0549.60*22=r ，9436.84*2=p ;从而得
41101024.1)(-?=-Φβ 4
2102430.4)(-?=-Φβ 444
21103454.5102430.410
1024.1)()(---?=?+?=-Φ--Φββ
如果取总的抽样次数1000=N ，以1Z 的验算点为抽样中心的抽样次数为
206100010
3454.5101024.1)()()(4
4
2111≈???=-Φ--Φ-Φ=--N N βββ 以2Z 的验算点为抽样中心的抽样次数为
794206100012=-=-=N N N
1R 、2R 和P 的概率密度函数分别为 ??????????? ??--=???
????
????
?
??--=212
11
11492.04315.421exp 21492.0121exp 21)(1
1
11Inr Inr r r f InR InR InR R πσμσπ
??
????????? ??--=???
????
????
?
??--=222
22
21492.03064.421exp 21492.0121exp 21)(2
2
22Inr Inr r r f InR InR InR R πσμσπ[]}{[]}
{)2764.30(1121.0exp )2764.30(1121.0exp 1121.0)(exp )(exp )(-----=
-----=p p u p u p p f p ααα
在本例中分别用正态分布对1R 、2R 和P 进行抽样，当以1Z 的验算点*
11r ，*
12r ，*
1p 为抽样中心时，抽样概率密度函数为
??
?????--?--?--=???
?????------=2
2
2222212
2*122*12222*11123215.102)8528.93(25.112)1702.74(75.122)3540.66(exp 3900.237201
2)
(2)(2)(exp )2(1
),,(121211p r r p p r r r r p r r p p R R p R R X σσσσσσπ
当以2Z 的验算点*21r ，*
22r ，*2p 为抽样中心时，抽样概率密度函数为
??
?????--?--?--=????????------=2
22222212
2*222*22222*21123215.102)9436.84(25.112)0549.60(75.122)0596.84(exp 3900.237201
2)(2)(2)(exp )2(1
),,(121212p r r p p r r r r p r r p p R R p R R X σσσσσσπ
首先以1Z 的验算点*
11r ，*
12r ，*
1p 为抽样中心时，对1R 、2R 和P 抽样。产生3个随
机数0.0794、0.3157、0.7315，由反函数法求得1R 、2R 和P 的样本值5049.50)
1(1
=r ，
7729.68)1(2=r ，3328.100)1(=p 。从而
4
)
1(1105522.1)(1-?=r f R 2
)
1(2104207.3)(2-?=r f R 2
)1(103461.2)(-?=p f p
10
)
1()
1(2)
1(110
2457.1)()()(21-?=p f r f r f p R R
5
)
1()
1(2)
1(1104343.1),,(1-?=p r r p X 5
)
1()
1(2)
1(1103423.3),,(2-?=p r r p X
51)1()1(2)1(1104678.1),,(-=?=∑n
k X p r r p
k
由于04304.20),,()
1()
1(2)
1(11<-=p r r g X ，01624.2),,()
1()
1(2)
1(12<-=p r r g X ，因而 [
]
1),,()
1()1(2)1(11=p r r g I X ，[
]
1),,()
1()1(2)1(12=p r r g I X 得
[][]{}
6
2
1
)1()1(2)1(1)1()1(2)1(12
1
)1()1(2)1(1)1()1(2)1(1104873.8)
,,()
()()()
,,(11),,(21-==?=--=∑∏k Xk
p R R k X X p r r p
p f r f r f p r r g I p r r g I k
重复上述过程2061=N 次，，求得41
106022.1?-?=f P 同理。再以2Z 的验算点*21r ，*
22r ，*
2p 为抽样中心时，对1R 、2R 和P 抽样，模拟794
2=N 次，求得42
100860.3?-?=f P ，最终求得体系失效概率的估计值为
4442
1106882.4100860.3106022.1???---?=?+?=+=f f f P P P 此计算过程比较繁琐，人工手算太浪费时间，下面可以用Matlab 进行计算，使计算大
为简便。
Matlab 编写程序为： m =2;
muX = [85;75;35]; cvX = [0.15;0.15;0.3]; sigmaX = cvX.* muX;
sLn = sqrt(log(1+cvX(1:2).^2));mLn = log(muX(1:2)) - sLn.^2/2; aEv = sqrt(6)* sigmaX(3) /pi;uEv = -psi(1)*aEv-muX(3); muX1= muX; sigmaX1 = sigmaX; a = [1,0,-1/sqrt(2);0,1,-1/sqrt(2)]; for k = 1 : m
x = muX; normX = eps;
while abs(norm(x) - normX)/normX > 1e-6 normX = norm(x); g = a(k , :)* x; gX = a(k , :)';
cdfX = [logncdf(x(1:2),mLn,sLn);1-evcdf(-x(3),uEv,aEv)]; pdfX = [lognpdf(x(1:2),mLn,sLn);evpdf(-x(3),uEv,aEv)]; nc = norminv(cdfX);
sigmaX1 = normpdf(nc)./pdfX; muX1 = x - nc.*sigmaX1;
gs = gX.*sigmaX1;alphaX =-gs/norm(gs); bbeta = (g+gX'*(muX1 - x))/norm(gs); x = muX1 + bbeta * sigmaX1.* alphaX; end
xD( : , k) = x;
pFL(k) = normcdf(-bbeta); end
nS = 1e6 ;
n = length(muX);
nSi = ceil(pFL/sum(pFL)* nS); for l=1:m
for k = 1:n, v(:,k)=normrnd(xD(k,l),sigmaX(k),nSi(l),1);end t = v(:,3)/sqrt(2);g1 = v(:,1)-t; g2 = v(:,2)-t;
g = min([g1,g2],[],2);
fp = lognpdf(v(:,1),mLn(1),sLn(1)).*lognpdf(v(:,2),mLn(2)).*evpdf(-v(:,3),uEv,aEv); pvi(1:nSi(1),1:m) = 1; for k1 =1:m for k=1:n
pvi(:,k1) = pvi(:,k1).*normpdf(v(:,k),xD(k,k1),sigmaX(k));
end end
fp = fp./sum(pvi,2);clear v pvi; nFi = sum(fp(g<0)); pFi(l) = nFi/nSi(l); end
pF = sum(pFi)
程序运行结果：4108459.4?-?=f
P ，和手算值相差510-级误差，可作为精确值。
参考文献
[1] 贡金鑫. 工程结构可靠度计算方法. 大连理工大学出版社，2003.
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[3] 符圣聪，江静贝，黄世敏. 蒙特卡罗法用于地震危险性和液化势的估计. 北京: 中国建筑科学研究院工
程抗震研究所，2009.
[4] 张明.结构可靠度分析—方法与程序.科学出版社，2009.
[5] GB50011-2001, 建筑结构抗震设计规范. 中国建筑工业出版社, 北京, 2002.
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。 蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。 最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串 的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特 性时才表露出来。贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。” 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样
基于蒙特卡洛模拟的概率型量本利分析
基于蒙特卡洛模拟的概率型量本利分析 量本利分析是管理会计中的重要方法，其中确定型量本利分析由于其简单实用受到实务工作者的偏爱，但是由于经济环境与市场因素的复杂性，为了更加客观真实地反映企业经营的财务状况，国内一些权威《管理会计》教材引入随机变量对此进行分析。对于概率型量本利分析，国内一些教材对此讲解比较简单，基本上介绍的是期望值方法，但该方法所揭示的信息量很少，从某种意义上讲反映的是总体大样本的统计规律，很少能够反映某一具体经济活动的可能面临的风险状况，这样很可能对决策者产生误导。基于上述原因，本文应用随机蒙特卡洛（MonteCarlo）模拟对该类问题进行探讨，拓展量本利方法的前提假设，以适应不确定与风险环境的经济活动分析。 二、蒙特卡洛模拟原理及步骤 （一）蒙特卡洛模拟原理经济生活中存在大量的不确定与风险问题，很多确定性问题实际上是不确定与风险型问题的特例与简化，财务管理、管理会计中同样也存在大量的不确定与风险型问题，由于该问题比较复杂，一般教材对此问题涉及较少，但利用蒙特卡洛模拟可以揭示不确定与风险型问题的统计规律，还原一个真实的经济与管理客观面貌。思想汇报/sixianghuibao/ 与常用确定性的数值计算方法不同，蒙特卡洛模拟是用来解决工程和经济中的非确定性问题，通过成千上万次的模拟，涵盖相应的可能
概率分布空间，从而获得一定概率下的不同数据和频度分布，通过对大量样本值的统计分析，得到满足一定精度的结果，因此蒙特卡洛模拟是进行不确定与风险型问题的有力武器。 1、由于蒙特卡洛模拟是以实验为基础的，因此可以成为财务人员进行风险分析的“实验库”，获得大量有关财务风险等方面的信息，弥补确定型分析手段的不足，避免对不确定与风险决策问题的误导； 2、财务管理、管理会计中存在大量的不确定与风险型问题，目前大多数教材很少涉及这类问题，通过蒙特卡洛模拟，可以对其进行有效分析，解决常用决策方法所无法解决的难题，更加全面深入地分析不确定与风险型问题。 （二）蒙特卡洛模拟步骤以概率型量本利分析为例，蒙特卡洛模拟的分析步骤如下： 1、分析评价参数的特征，如企业经营中的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等，并根据历史资料或专家意见，确定随机变量的某些统计参数； 2、按照一定的参数分布规律，在计算机上产生随机数，如利用EXCEL 提供的RAND函数，模拟量本利分析的概率分布，并利用VLOOKUP 寻找对应概率分布下的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等参数；作文/zuowen/ 3、建立管理会计的数学模型，对于概率型量本利分析有如下关系式，产品利润=产品销售数量×（产品单位销售价格-单位变动成本）-固定成本，这里需要说明的是以上分析参数不是确定型的，是依据某些概
基于蒙特卡罗法2FSK系统抗噪声性能仿真2
通信原理 课程设计报告 题目：基于蒙特卡罗法2FSK系统抗噪声性能仿真院系： 专业： 班级： 姓名： 指导教师： 2010年12月27日-2010年12月31日
编写MA TLAB的M文件，用该文件的采用相干解调法的2FSK系统的抗噪性能进行1000个符号的蒙特卡罗法仿真，画出误码率与信噪比之间的关系曲线，其中信噪比的取值为r=0dB、2dB、4dB、6dB…10dB，同时画出误码率与信噪比的理论曲线，其中信噪比的取值为r=0dB、0.1dB、0.2dB…10dB。 分步实施： 1）熟悉2FSK系统调制解调，熟悉蒙特卡洛法；熟悉误码率计算； 2）编写主要程序； 3）画出系统仿真误码率曲线的系统理论误码率曲线。
1、蒙特卡罗思想概述 蒙特卡罗方法也称为随机模拟方法,有时也称为随机抽样技术或统计实验方法。它的基本思想是:为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方面的问题,首先建立一个概率模型或随机过程,使它的参数等于问题的解;然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征,最后给出所求解的近似值。而解得精确度可用估计值的标准误差来表示。 蒙特卡罗方法可以解决各种类型的问题,但总的来说,视其是否涉及随机过程的性态和结果,该方法处理的问题可以分为两类:第一类是确定性的数学问题,首先建立一个与所求解有关的概率模型,使所求的解就是我们所建立模型的概率分布或数学期望;然后对其进行随机抽样观察,即产生随机变量;最后用其算术平均值作为所求解的近似估计值。第二类是随机性问题,被考察的元素更多的受到随机性的影响,一般情况下采用直接模拟方法,即根据实际物理情况的概率法则,用电子计算机进行抽样试验。 在应用蒙特卡罗方法解决实际问题的过程中,大体有如下几个内容: (1)对求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型,使所求的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望。 (2)根据概率统计模型的特点和计算实践的需要,尽量改进模型,以便减小方差和费用,提高计算效率。 (3)建立对随机变量的抽样方法,其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样方法。 (4)给出获得所求解的统计估计值及其方差或标准误差的方法。 2、2FSK 系统调制解调原理 频移键控是利用载波的频率变化来传递数字信息。在2FSK 中，载波的频率随二进制基带信号在f1和f2两个频率间变化。用f1和f2分别表示二进制“1”和“0”。因此，2FSK 信号的时域表达式为 )cos()()cos()()(212n n s n n n s n FSK t nT t g a t nT t g a t e θωφω+?? ? ???-++??????-=∑∑∞-∞→∞ -∞ →
浅析蒙特卡洛方法原理及应用
浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求
蒙特卡罗仿真原理
蒙特卡罗仿真原理 蒙特卡罗(MonteCarlo)方法，又称随机抽样或统计模拟方法，泛指所有基于统计采样进行数值计算的方法。在第二次世界大战期间，美国参与“曼哈顿计划’’的几位科学家Stanislaw Ulam，John Von Neumann 和N．Metropolis等首先将这种方法用于解决原子弹研制中的一个关键问题。后来N．Metropolis用驰名世界的赌城－－－摩纳哥的MonteCarlo一来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。随着现代计算机技术的飞速发展，蒙特卡罗方法已经在统计物理、经济学、社会学甚至气象学等方面的科学研究中发挥了极其重要的作用，将蒙特卡罗方法用于仿真即为蒙特卡罗仿真。蒙特卡罗方法适用于两类问题，第一类是本身就具有随机性的问题，第二类是能够转化为概率模型进行求解的确定性问题。 ※蒙特卡罗方法求解问题的一般步骤 用蒙特卡罗方法求解问题一般包括构造或描述概率过程、从已知概率分布抽样和建立估计量三个步骤。 构造或描述概率过程实际上就是建立随机试验模型，构造概率过程是对确定性问题而言的，描述概率过程是对随机性问题而言的，不同的问题所需要建立的随机试验模型各不相同。 所谓的从已知概率分布抽样指的是随机试验过程，随机模型中必要包含某些已知概率分布的随机变量或随机过程作为输入，进行随机试验的过程就是对这些随机变量的样本或随机过程的样本函数作为输入产生相应输出的过程，因此通常被称为对已知概率分布的抽样。如何产生已知分布的随机变量或随机过程是蒙特卡罗方法中的一个关键问题。 最后一个步骤是获得估计量，蒙特卡罗方法所得到的问题的解总是对真实解的一个估计，本身也是一个随机变量，这个随机变量是由随机试验模型输出通过统计处理得到的。
MATLAB的蒙特卡洛仿真
实验十五： MATLAB 的蒙特卡洛仿真 一、实验目的 1. 了解蒙特卡洛仿真的基本概念。 2. 了解蒙特卡洛仿真的某些应用 二．实验内容与步骤 1． 蒙特卡洛（Monte Carlo ）仿真的简介 随机模拟方法，也称为Monte Carlo 方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。冯·诺伊曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，Monte Carlo 方法也是他的功劳。 事实上，Monte Carlo 方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。18世纪下半叶的法国学者Buffon 提出用投点试验的方法来确定圆周率π的值。这个著名的Buffon 试验是Monte Carlo 方法的最早的尝试！ 历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。不过他们的试验是费时费力的，同时精度不够高，实施起来也很困难。然而，随着计算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施这些试验，而只要在计算机上进行大量的、快速的模拟试验就可以了。Monte Carlo 方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟的。 蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。 2． MC 的原理 针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征，比如，均值和方差等。所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致的。 根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，再进行随机模拟试验。 收敛性: 由大数定律, Monte-Carlo 模拟的收敛是以概率而言的． 误差: 用频率估计概率时误差的估计，可由中心极限定理，给定置信水平 的条件下，有： ? ? 模拟次数:由误差公式得 3． 定积分的MC 计算原理 N U σεα2 /1||-≤))((X g Var =σ2 2/1)(εσα-≥U N
蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤
蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 蒙特卡洛法模拟蒲丰（Buffon）投针实验-使用Matlab 2010年03月31日星期三8:47 蒲丰投针实验是一个著名的概率实验，其原理请参见此页： https://www.wendangku.net/doc/2c12015773.html,/reese/buffon/buffon.html 现在我们利用Matlab来做模拟，顺便说一下，这种随机模拟方法便是传说中的“蒙特-
蒙特卡洛方法及其在风险评估中的应用
蒙特卡洛方法及其应用 1风险评估及蒙特卡洛方法概述 １.１蒙特卡洛方法。 蒙特卡洛方法，又称随机模拟方法或统计模拟方法，是在20世纪40年代随着电子计算机的发明而提出的。它是以统计抽样理论为基础，利用随机数，经过对随机变量已有数据的统计进行抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数值解。 蒙特卡洛模拟方法的基本原理是：假定随机变量X1、X2、X3……X n、Y，其中X1、X2、X3……X n 的概率分布已知，且X1、X2、X3……X n、Y有函数关系：Y=F（X1、X2、X3……X n），希望求得随机变量Y的近似分布情况及数字特征。通过抽取符合其概率分布的随机数列X1、X2、X3……X n带入其函数关系式计算获得Y的值。当模拟的次数足够多的时候，我们就可以得到与实际情况相近的函数Y的概率分布和数字特征。 蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最大值,最小值和最可能值，给出了预测值的区间围及分布规律。 １.２风险评估概述。 风险表现为损损益的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也无获利，属于广义风险。正是因为未来的不确定性使得每一个项目都存在风险。对于一个公司而言，各种投资项目通常会具有不同程度的风险，这些风险对于一个公司的影响不可小视，小到一个项目投资资本的按时回收，大到公司的总风险、公司正常运营。因此，对于风险的测量以及控制是非常重要的一个环节。 风险评估就是量化测评某一事件或事物带来的影响的可能程度。根据“经济人”假设，收益最大化是投资者的主要追求目标，面对不可避免的风险时，降低风险，防止或减少损失，以实现预期最佳是投资的目标。 当评价风险大小时，常有两种评价方式：定性分析与定量分析法。定性分析一般是根据风险度或风险大小等指标对风险因素进行优先级排序，为进一步分析或处理风险提供参考。这种方法适用于对比不同项目的风险程度，但这种方法最大的缺陷是在于，在多个项目中风险最小者也有可能亏损。而定量分析法则是将一些风险指标量化得到一系列的量化指标。通过这些简单易懂的指标，才能使公司的经营者、投资者对于项目分风险有正确的评估与判断，
蒙特卡洛仿真
实验12 检测性能的蒙特卡洛仿真 1、实验目的 了解蒙特卡洛仿真的基本概念，掌握蒙特卡洛仿真方法在分析检测性能方面的应用，通过蒙特卡洛仿真，对检测性能作出评估，通过和理论比较。 2、实验原理 正如(8.1.16)式所指出的那样，最佳检验总可以化简为 10() H T H >γ 可见积分的数值计算问题就转化成了一个概率的计算问题，而概率可以用相对频数来近似，相对频数可通过统计试验的方法求得。具体方法是将M 个随机点(X,Y)均匀地投放到x-y 平面上的正方形区域内，如果有N 个点落在区域G 内，那么相对频数为N/M ，因此， ?N I M = (4) (8.3.8)式是对积分I 的一个估计，很显然，估计的精度取决于试验次数M ，M 也称为蒙特卡洛仿真次数。下面给出了用蒙特卡洛方法计算积分I 的MATLAB 程序。 syms x; y1=int(0.5-(0.5-x).^2,0,1); zhenshizhi=eval(y1) N=0; x1=unifrnd(0,1,1,M); y1=unifrnd(0,1,1,M); for i=1:M if y1(i)<=(0.5-(0.5-x1(i)).^2) N=N+1; end end fangzhenzhi=N/M 从以上的例子可以看出应用蒙特卡洛仿真的一般步骤： 1 建立合适的概率模型； 2 进行多次重复试验； 3 对重复试验结果进行统计分析（估计相对频数、均值等）、分析精度。 利用蒙特卡洛仿真方法，可以仿真检测器的性能。假定判决表达式如（1）式所示，(3)式给出了检测概率的表达式，如果用蒙特卡洛仿真方法估计检测概率，则 11?(()M i i P U T M ==?γ∑z (5) 其中z i 表示第i 次仿真试验所用到的观测矢量。由于 例在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点． 经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮． 现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的20次打击结果显现出来，确定有效射击的比率及毁伤敌方火炮的平均值。 使用蒙特卡洛方法模拟50次打击结果： function [out1 out2 out3 out4]=Msc(N) % N开炮次数 % out1射中概率 % out2平均每次击中次数 % out3击中敌人一门火炮的射击总数 % out4击中敌人2门火炮的射击总数 k1=0; k2=0; k3=0; for i=1:N x0=randperm(2)-1; y0=x0(1); if y0==1 fprintf('第%d次：指示正确||',i); x1=randperm(6); y1=x1(1); if y1==1|y1==2|y1==3 fprintf('第%d次：击中0炮||',i); k1=k1+1; elseif y1==4|y1==5 fprintf('第%d次：击中1炮||',i); k2=k2+1; else fprintf('第%d次：击中2炮||',i); k3=k3+1; end else fprintf('第%d次：指示错误，击中0炮||',i); k1+1; end fprintf('\n'); end out1=(k2+k3)/N; out2=(0*k1+k2+2*k3)/20; out3=k2/N; out4=k3/N; 运行： 1.[out1 out2 out3 out4]=Msc(50) 结果： 1.第1次：指示正确||第1次：击中2炮|| 2.第2次：指示错误，击中0炮|| 3.第3次：指示错误，击中0炮|| 4.第4次：指示正确||第4次：击中0炮|| 5.第5次：指示错误，击中0炮|| 6.第6次：指示正确||第6次：击中1炮|| 7.第7次：指示正确||第7次：击中0炮|| 8.第8次：指示错误，击中0炮|| 9.第9次：指示正确||第9次：击中2炮|| 10.第10次：指示正确||第10次：击中1炮|| 11.第11次：指示正确||第11次：击中1炮|| 12.第12次：指示正确||第12次：击中2炮|| 13.第13次：指示错误，击中0炮|| 14.第14次：指示正确||第14次：击中1炮|| 15.第15次：指示错误，击中0炮|| 16.第16次：指示错误，击中0炮|| 17.第17次：指示正确||第17次：击中0炮|| 18.第18次：指示错误，击中0炮|| 第3章蒙特卡罗法3.1蒙特卡罗法的基本原理 3.1.1蒙特卡罗法的基本过程 3.1.2蒙特卡罗法的基本问题 1. 蒙特卡罗法的收敛性 2 计算机辅助绘图基础（第4版） 2. 蒙特卡罗法的误差 3. 蒙特卡罗法的费用 3.1.3蒙特卡罗法的特点 1. 收敛速度与问题维数无关 2. 受问题条件限制的影响不大 3. 不必进行离散化处理 4. 蒙特卡罗法是一种直接解决问题的方法 5. 误差容易确定 计算机辅助绘图基础（第4版） 3 6. 蒙特卡罗法的缺点 3.1.4蒙特卡罗法待研究的若干问题 1. 随机数 2. 已知分布的随机抽样 3. 非归一问题的随机抽样 4. 蒙特卡罗法的基本技巧 5. 蒙特卡罗法的并行化计算方法 3.1.5随机变量的基本规律 1. 随机变量 2. 数学期望值 3. 方差 4. 特征函数 5. 中心极限定理 4 计算机辅助绘图基础（第4版） 6. 分布函数的基本性质 7. 随机变量序列的收敛性 图3.1几种收敛的关系3.1.6大数定律及中心极限定理的一般形式 1. 大数定律 2. 中心极限定理 3.1.7 4个常见的中心极限定理 1. 勒维·林德伯格（Lévy Lindeberg）中心极限定理 计算机辅助绘图基础（第4版） 5 2. 棣莫弗·拉普拉斯（De Moivre Laplace）中心极限定理 3. 李雅普诺夫（Ляпунов）中心极限定理 4. 林德伯格（Lindeberg）中心极限定理 3.1.8几种常见的概率模型和分布 1. 贝努利概型——二项分布 2. 泊松（Poisson）分布 3. 均匀分布 二、蒙特卡洛模拟原理及步骤 （一）蒙特卡洛模拟原理：经济生活中存在大量的不确定与风险问题，很多确定性问题实际上是不确定与风险型问题的特例与简化，财务管理、管理会计中同样也存在大量的不确定与风险型问题，由于该问题比较复杂，一般教材对此问题涉及较少，但利用蒙特卡洛模拟可以揭示不确定与风险型问题的统计规律，还原一个真实的经济与管理客观面貌。 与常用确定性的数值计算方法不同，蒙特卡洛模拟是用来解决工程和经济中的非确定性问题，通过成千上万次的模拟，涵盖相应的可能概率分布空间，从而获得一定概率下的不同数据和频度分布，通过对大量样本值的统计分析，得到满足一定精度的结果，因此蒙特卡洛模拟是进行不确定与风险型问题的有力武器。 1、由于蒙特卡洛模拟是以实验为基础的，因此可以成为财务人员进行风险分析的“实验库”，获得大量有关财务风险等方面的信息，弥补确定型分析手段的不足，避免对不确定与风险决策问题的误导； 2、财务管理、管理会计中存在大量的不确定与风险型问题，目前大多数教材很少涉及这类问题，通过蒙特卡洛模拟，可以对其进行有效分析，解决常用决策方法所无法解决的难题，更加全面深入地分析不确定与风险型问题。 （二）蒙特卡洛模拟步骤以概率型量本利分析为例，蒙特卡洛模拟的分析步骤如下： 1、分析评价参数的特征，如企业经营中的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等，并根据历史资料或专家意见，确定随机变量的某些统计参数； 2、按照一定的参数分布规律，在计算机上产生随机数，如利用EXCEL提供的RAND函数，模拟量本利分析的概率分布，并利用VLOOKUP寻找对应概率分布下的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等参数； 3、建立管理会计的数学模型，对于概率型量本利分析有如下关系式，产品利润=产品销售数量×（产品单位销售价格-单位变动成本）-固定成本，这里需要说明的是以上分析参数不是确定型的，是依据某些概率分布存在的； 4、通过足够数量的计算机仿真，如文章利用RAND、VLOOKUP等函数进行30000次的模拟，得到30000组不同概率分布的各参数的排列与组合，由于模拟的数量比较大，所取得的实验数据具有一定的规律性； 5、根据计算机仿真的参数样本值，利用函数MAX、MIN、A VERAGE等，求出概率型量本利分析评价需要的指标值，通过对大量的评价指标值的样本分析，得到量本利分析中的利润点可能的概率分布，从而掌握企业经营与财务中的风险，为财务决策提供重要的参考。三、概率型量本利分析与比较 （一）期望值分析方法假设某企业为生产与销售单一产品的企业，经过全面分析与研究，预计未来年度的单位销售价格、销售数量、单位变动成本和固定成本的估计值及相应的概率如表1，其中销售数量单位为件，其余反映价值的指标单位为元，试计算该企业的生产利润。表1概率型量本利分析参数 项目概率数值 单位销售价格0.3 40 0.4 43 0.3 45 单位变动成本0.4 16 0.2 18 0.4 20 固定成本0.6 28000 0.4 30000 二、蒙特卡洛模拟原理及步骤 (一)蒙特卡洛模拟原理:经济生活中存在大量的不确定与风险问题,很多确定性问题实际上就是不确定与风险型问题的特例与简化,财务管理、管理会计中同样也存在大量的不确定与风险型问题,由于该问题比较复杂,一般教材对此问题涉及较少,但利用蒙特卡洛模拟可以揭示不确定与风险型问题的统计规律,还原一个真实的经济与管理客观面貌。 与常用确定性的数值计算方法不同,蒙特卡洛模拟就是用来解决工程与经济中的非确定性问题,通过成千上万次的模拟,涵盖相应的可能概率分布空间,从而获得一定概率下的不同数据与频度分布,通过对大量样本值的统计分析,得到满足一定精度的结果,因此蒙特卡洛模拟就是进行不确定与风险型问题的有力武器。 1、由于蒙特卡洛模拟就是以实验为基础的,因此可以成为财务人员进行风险分析的“实验库”,获得大量有关财务风险等方面的信息,弥补确定型分析手段的不足,避免对不确定与风险决策问题的误导; 2、财务管理、管理会计中存在大量的不确定与风险型问题,目前大多数教材很少涉及这类问题,通过蒙特卡洛模拟,可以对其进行有效分析,解决常用决策方法所无法解决的难题,更加全面深入地分析不确定与风险型问题。 (二)蒙特卡洛模拟步骤以概率型量本利分析为例,蒙特卡洛模拟的分析步骤如下: 1、分析评价参数的特征,如企业经营中的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等,并根据历史资料或专家意见,确定随机变量的某些统计参数; 2、按照一定的参数分布规律,在计算机上产生随机数,如利用EXCEL提供的RAND函数,模拟量本利分析的概率分布,并利用VLOOKUP寻找对应概率分布下的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等参数; 3、建立管理会计的数学模型,对于概率型量本利分析有如下关系式,产品利润=产品销售数量×(产品单位销售价格-单位变动成本)-固定成本,这里需要说明的就是以上分析参数不就是确定型的,就是依据某些概率分布存在的; 4、通过足够数量的计算机仿真,如文章利用RAND、VLOOKUP等函数进行30000次的模拟,得到30000组不同概率分布的各参数的排列与组合,由于模拟的数量比较大,所取得的实验数据具有一定的规律性; 5、根据计算机仿真的参数样本值,利用函数MAX、MIN、A VERAGE等,求出概率型量本利分析评价需要的指标值,通过对大量的评价指标值的样本分析,得到量本利分析中的利润点可能的概率分布,从而掌握企业经营与财务中的风险,为财务决策提供重要的参考。 三、概率型量本利分析与比较 (一)期望值分析方法假设某企业为生产与销售单一产品的企业,经过全面分析与研究,预计未来年度的单位销售价格、销售数量、单位变动成本与固定成本的估计值及相应的概率如表1,其中销售数量单位为件,其余反映价值的指标单位为元,试计算该企业的生产利润。 表1概率型量本利分析参数 项目概率数值 单位销售价格0、3 40 0、4 43 0、3 45 单位变动成本0、4 16 0、2 18 0、4 20 固定成本0、6 28000 0、4 30000 蒙特卡洛风险分析精编 Document number：WTT-LKK-GBB-08921-EIGG-22986 港口投资项目评估中的蒙特卡洛风险分析 关键词：蒙特卡洛方法；风险分析；港口投资摘要：港口投资项目的经济性风险分析是项目方案优选与科学决策的重要基础，它从经济角度分析计算所需投入的费用和预期的效益，以评价投资项目的经济合理性。港口投资项目的经济收益往往受许多随机因素的影响，这在经济性风险分析时应予以考虑。本文应用蒙特卡洛方法（Monte Carlo analysis）对港口投资项目进行经济性风险分析，结合我国港口投资的实际情况，以实际案例说明了蒙特卡洛方法在我国港口投资项目经济性风险分析中的应用。 一．引言 目前，我国对港口投资项目的经济评价一般采用确定性方法，即根据一些预测或估算得到的数据，推算出唯一确定的经济评价指标值，并由此作出港口投资的决策。对于那些对经济效果具有影响而又容易发生变化的因素，则将其作为敏感性变量，对其作敏感性分析。敏感性分析只能反映某影响因素变化某一幅度时，对经济效果产生相应的变化值，却不能反映出这一变化的可能性有多大。要全面了解港口投资项目经济效果的变化规律，详细考察项目可 能遇到的风险以及各种经济指标的可靠程度，只进行敏感性分析是不全面的，还须对项目作经济性风险分析。 在风险分析领域，概率统计理论一个最直接的应用就是蒙特卡洛方法。这种方法广泛应用在项目管理以及金融计算等领域，在重大项目的经济效益分析中，也经常使用这种方法作为项目评价的辅助手段。蒙特卡洛方法按照变量的分布随机选取数值, 模拟项目的投资过程, 通过大量的独立的重复计算, 得到多个模拟结果, 再根据统计原理计算各种统计量, 如均值、方差等, 从而对项目投资收益与风险有一个比较清晰的估计。 二．蒙特卡洛方法的基本原理 蒙特卡洛方法的基本思想是：将符合一定概率分布的大量随机数作为参数带入数学模型，求出所关注变量的概率分布，从而了解不同参数对目标变量的综合影响以及目标变量最终结果的统计特性。蒙特卡洛方法的基本原理简单描述如下： 假定函数),...,,(21n x x x f y =，蒙特卡洛方法利用一个随机数发生器通过抽样取出每一组随机变量 (ni i i x x x ,...,,21)，然后按),...,,(21n x x x f y =的关系式确定函数的值),...,,(21ni i i i x x x f y =。反复独立抽样（模拟）多次(ｉ=1，2，…)，便可得到函数的一组抽样数据(n y y y ,...,,21)，当 2013参考数学建模常用方法： 数学建模常用方法系列资料由圣才大学生数学建模竞赛网整理收集。希望能对您有所帮助！ 蒙特卡罗（MC）仿真模型 模型介绍： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方的原因。 蒙特卡罗的基本原理及思想： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题的三个主要步骤： （1）、构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）、实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过， 蒙特卡罗法库存仿真问题 姓名：高龙龙 一、引言 在物资的供应过程中．由于到货与销售不可能做到同步、同量。故总要保持一定的库存储备。如果库存过多，就会造成资金积压及保管费的上升：如果库存过少，会造成缺货，引起商家的信誉损失以及顾客的流失。因此．选择一个合适的库存和订货策略,是一个值得研究的问题。 二、方法及原理 蒙特卡罗法是以概率和统计的理论，方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题得近似解，故又称统计模拟法或统计实验法。 蒙特卡罗法的基本思想是，首先为所要处理的问题建立一个概率模型，然后产生该问题的统计抽样样本，最后分析这些样本的特性，并以此作为原问题的解。其主要的理论依据是概率论中的大数定理。采用蒙特卡罗法时，需要作大量的统计模拟才能获得原问题的近似解，因而计算量非常大，随着计算机技术的迅速发展，这一制约蒙特卡罗发应用的主要因素已经得到了解决。 三、实例应用 公司订购并销售产品的仿真模拟：资料如下 （1）连续性盘点，每次订货费为100元，每单位商品的购价为100 元，单件货物的储存费用为50元。 （2）采用缺货不供应处理方式，单件缺货损失费为30元 （3）商品的年需要量预计为1000个 （4）商品每天需要量为随机变量，订货期亦为随机变量符号定义如下： OP:订货点； S:订购上限； Q:订货量； R:每件某商品每天存储费用； C:每件某商品每i 天的缺货而造成的损失费； A:订货附加费(如每次订货的通讯费、传真费、差旅费等)； U:每天的需求量； L:订货期； E(DDLT>OP):订货点为OP时的平均缺货个数。 （1）订货期中商品需求量的确定 蒙特卡洛模拟法简介 蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。 这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。 蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。 蒙特卡洛模拟法的应用领域 蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有： 1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。 2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。 3.MCMC:这是直接应用蒙特卡洛模拟方法的推广，该方法中随机数的产生是采用的马尔科夫链形式。 蒙特卡洛模拟法的概念 （也叫随机模拟法）当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用则可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值。随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于需要大量反复的计算，一般均用计算机来完成。 蒙特卡洛模拟法求解步骤 应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。解题步骤如下： 1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致 2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。 3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。 在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛模拟法可以确定复杂随机变量的概率分布和数字特征，可以通过随机模拟估算系统和零件的可靠度，也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。 蒙特卡洛模拟法的实例 资产组合模拟： 假设有五种资产，其日收益率(%)分别为 0.02460.0189 0.0273 0.0141 0.0311 标准差分别为 0.95091.4259, 1.5227, 1.1062, 1.0877 相关系数矩阵为 1.0000 0.4403 0.4735 0.4334 0.6855 0.4403 1.00000.7597 0.7809 0.4343 0.4735 0.75971.0000 0.6978 0.4926 0.4334 0.78090.6978 1.0000 0.4289 0.6855 0.43430.4926 0.4289 1.0000 假设初始价格都为100，模拟天数为504天，模拟线程为2，程序如下%run.m蒙特卡洛方法模拟小例子
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