数据处理与误差分析报告
物理实验课的基本程序
物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。
§1 实验前的预习
为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。
实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。
实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。
§2 课堂操作
进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分
尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。
准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预
先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。
§3 实验报告
实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告
要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容：
数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签
名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。
数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照
实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。
结果表达 按下面格式写出最后结果：
）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=..
%100(??=N
N
）Er 相对误差
结果分析对本次实验的结果及主要误差因数作简要的分析讨论，并完成课后的思考题。还可以谈谈实验的心得体会。如果实验是为了观察某一物理现象或者观察某一物理规律，可只扼要地写出实验结论。
以上是对报告的一般性要求。不同的实验，可以根据具体情况有所侧重和取舍，不必千篇一律。
误 差 处 理
物理实验的任务，不仅仅是定性地观察物理现象，也需要对物理量进行定量测量，并找出各物理量之间的内在联系。
由于测量原理的局限性或近似性、测量方法的不完善、测量仪器的精度限制、测量环境的不理想以及测量者的实验技能等诸多因素的影响，所有测量都只能做到相对准确。随着科学技术的不断发展，人们的实验知识、手段、经验和技巧不断提高，测量误差被控制得越来越小，但是绝对不可能使误差降为零。因此，作为一个测量结果，不仅应该给出被测对象的量值和单位，而且还必须对量值的可靠性做出评价，一个没有误差评定的测量结果是没有价值的。
下面介绍测量与误差、误差处理、有效数字、测量结果的不确定度评定等基本知识，这些知识不仅在后面的实验中要经常用到，而且也是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。
§1 测量与误差
一、 测量及其分类
所谓测量，就是借助一定的实验器具，通过一定的实验方法，直接或间接地把待测量与选作计量单位的同类物理量进行比较的全部操作。简而言之，测量是指为确定被测对象的量值而进行的一组操作。
按照测量值获得方法的不同，测量分为直接测量和间接测量两种。
直接从仪器或量具上读出待测量的大小，称为直接测量。例如，用米尺测物体的长度，用秒表测时间间隔，用天平测物体的质量等都是直接测量，相应的被测物理量称为直接测量量。
如果待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数运算后才获得的，则称为间接测量。例如，先直接测出铁圆柱体的质量m 、直径D 和高度h ，再根据公式h
D m
24πρ=
计算出铁的的密度ρ，这就是间接测量，ρ称为间接测量量。
按照测量条件的不同，测量又可分为等精度测量和不等精度测量。
在相同的测量条件下进行的一系列测量是等精度测量。例如，同一个人，使用同一仪器，采用同样的方法，对同一待测量连续进行多次测量，此时应该认为每次测量的可靠程度相同，故称之为等精度测量，这样的一组测量值称为一个测量列。
在不同测量条件下进行的一系列测量，例如不同的人员，使用不同的仪器，采用不同的方法进行测量，则各次测量结果的可靠程度自然也不相同，这样的测量称为不等精度测量。处理不等精度测量的结果时，需要根据每个测量值的“权重”，进行“加权平均”，因此在一般物理实验中很少采用。
等精度测量的误差分析和数据处理比较容易，下面所介绍的误差和数据处理知识都是针对等精度测量的。
二、误差与偏差
1．真值与误差
任何一个物理量，在一定的条件下，都具有确定的量值，这是客观存在的，这个客观存在的量值称为该物理量的真值。测量的目的就是要力图得到被测量的真值。我们把测量值与真值之差称为测量的绝对误差。设被测量的真值为χ0，测量值为χ，则绝对误差ε为
ε = χ – χ0 （1）
由于误差不可避免，故真值往往是得不到的。所以绝对误差的的概念只有理论上的价值。 2．最佳值与偏差
在实际测量中，为了减小误差，常常对某一物理量x 进行多次等精度测量，得到一系列测量值1x ，
2x ，…，n x ，则测量结果的算术平均值为
∑==+++=
n
i i n
n n
1
211χχχχχΛ （2） 算术平均值并非真值，但它比任一次测量值的可靠性都要高。系统误差忽略不计时的算术平均值可作为最佳值，称为近真值。我们把测量值与算术平均值之差称为偏差（或残差）： χχ-=i i v （3）
三、误差的分类
正常测量的误差，按其产生的原因和性质可分为系统误差和随机误差两类，它们对测量结果的影响不同，对这两类误差处理的方法也不同。
1.系统误差
在同样条件下，对同一物理量进行多次测量，其误差的大小和符号保持不变或随着测量条件的变化而有规律地变化，这类误差称为系统误差。系统误差的特征是具有确定性，它的来源主要有以下几个方面：
仪器因素 由于仪器本身的固有缺陷或没有按规定条件调整到位而引起误差。例如，仪器标尺的刻度不准确，零点没有调准，等臂天平的臂长不等，砝码不准，测量显微镜精密螺杆存在回程差，或仪器没有放水平，偏心、定向不准等。
理论或条件因素 由于测量所依据的理论本身的近似性或实验条件不能达到理论公式所规定的要求而引起误差。例如，称物体质量时没有考虑空气浮力的影响，用单摆测量重力加速度时要求摆角θ→0，而实际中难以满足该条件。
人员因素 由于测量人员的主观因素和操作技术而引起误差。例如，使用停表计时，有的人总是操之过急，计时比真值短；有的人则反应迟缓，计时总是比真值长；再如，有的人对准目标时，总爱偏左或偏右，致使读数偏大或偏小。
对于实验者来说，系统误差的规律及其产生原因，可能知道，也可能不知道。已被确切掌握其大小和符号的系统误差称为可定系统误差；对于大小和符号不能确切掌握的系统误差称为未定系统误差。前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除，或在测量结果中进行修正。而后者一般难以做出修正，只能估计其取值范围。
2．随机误差
在相同条件下，多次测量同一物理量时，即使已经精心排除了系统误差的影响，也会发现每次测量结果都不一样。测量误差时大时小，时正时负，完全是随机的。在测量次数少时，显得毫无规律，但是当测量次数足够多时，可以发现误差的大小以及正负都服从某种统计规律。这种误差称为随机误差。随机误差的特征是它的不确定性，它是由测量过程中一些随机的或不确定的因素引起的。例如，人的感受（视觉、听觉、触觉）灵敏度和仪器稳定性有限，实验环境中的温度、湿度、气流变化，电源电压起伏，微小振动以及杂散电磁场等都会导致随机误差。
除系统误差和随机误差外，还有过失误差。过失误差是由于实验者操作不当或粗心大意造成的，例如看错刻度、读错数字、记错单位或计算错误等。过失误差又称粗大误差。含有过失误差的测量结果称为“坏值”，被判定为坏值的测量结果应剔除不用。实验中的过失误差不属于正常测量的范畴，应该严格避免。
3．精密度、正确度和准确度
评价测量结果，常用到精密度、正确度和准确度这三个概念。这三者的含义不同，使用时应注意加以区别。
精密度反映随机误差大小的程度。它是对测量结果的重复性的评价。精密度高是指测量的重复性好，各次测量值的分布密集，随机误差小。但是，精密度不能确定系统误差的大小。
正确度反映系统误差大小的程度。正确度高是指测量数据的算术平均值偏离真值较少，测量的系统误差小。但是，正确度不能确定数据分散的情况，即不能反映随机误差的大小。
准确度反映系统误差与随机误差综合大小的程度。准确度高是指测量结果既精密又正确，即随机误差与系统误差均小。
现以射击打靶的弹着点分布为例，形象地说明以上三个术语的意义。如图1所示，其中图（a）表示精密度高而正确度低，图（b）表示正确度高而精密度低，图（c）表示精密度和正确度均低，即准确度低，图（d）表示精密度和正确度均高，即准确度高。通常所说的“精度”含义不明确，应尽量避免使用。
精密度高，正确度低正确度高，精密度低精密度和正确度均低精密度和正确度均高
图1 精密度、正确度和准确度示意图
§2 误差处理
一、处理系统误差的一般知识
1．发现系统误差的方法
系统误差一般难于发现，并且不能通过多次测量来消除。人们通过长期实践和理论研究，总结出一些发现系统误差的方法，常用的有：
理论分析法包括分析实验所依据的理论和实验方法是否有不完善的地方；检查理论公式所要求的条件是否得到了满足；量具和仪器是否存在缺陷；实验环境能否使仪器正常工作以及实验人员的心理和技术素质是否存在造成系统误差的因素等。
实验比对法对同一待测量可以采用不同的实验方法，使用不同的实验仪器，以及由不同的测量人员进行测量。对比、研究测量值变化的情况，可以发现系统误差的存在。
数据分析法因为随机误差是遵从统计分布规律的，所以若测量结果不服从统计规律，则说明存在系统误差。我们可以按照规律测量列的先后次序，把偏差（残差）列表或作图，观察其数值变化的规律。比如前后偏差的大小是递增或递减的；偏差的数值和符号有规律地交替变化；在某些测量条件下，偏差均为正号（或负号），条件变化以后偏差又都变化为负号（或正号）等情况，都可以判断存在系统误差。
2．系统误差的减小与消除
知道了系统误差的来源，也就为减小和消除系统误差提供了依据。
（1）减小与消除产生系统误差的根源
对实验可能产生误差的因素尽可能予以处理。比如采用更符合实际的理论公式，保证仪器装置良好，满足仪器规定的使用条件等等。
（2）利用实验技巧，改进测量方法
对于定值系统误差的消除，可以采用如下一些技巧和方法。
交换法根据误差产生的原因，在一次测量之后，把某些测量条件交换一下再次测量。例如，用天平称质量时，把被测物和砝码交换位置进行两次测量。设m1和m2分别为两次测得的质量，取
物体的质量为21m m m ?=
，就可以消除由于天平不等臂而产生的系统误差。
替代法 在测量条件不变的情况下，先测得未知量，然后再用一已知标准量取代被测量，而不引起指示值的改变，于是被测量就等于这个标准量。例如，用惠斯通电桥测电阻时，先接入被测电阻，使电桥平衡，然后再用标准电阻替代被测量，使电桥仍然达到平衡，则被测电阻值等于标准电阻值。这样可以消除桥臂电阻不准确而造成的系统误差。
异号法 改变测量中的某些条件，进行两次测量，使两次测量中的误差符号相反，再取两次测量结果的平均值做为测量结果。例如，用霍耳元件测磁场实验中，分别改变磁场和工作电流的方向，依次为（+B ，+I ）、（+B ，-I ）、（-B ，+I ）、（-B ，-I ），在四种条件下测量电势差U H ，再取其平均值，可以减小或消除不等位电势、温差电势等附加效应所产生的系统误差。
此外，用“等距对称观测法”可消除按线性规律变化的变值系统误差；用“半周期偶数测量法”可以消除按周期性变化的变值系统误差等等，这里不再详细介绍。
在采取消除系统误差的措施后，还应对其它的已定系统误差进行分析，给出修正值，用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正。例如，千分尺的零点读数就是一种修正值；标准电池的电动势随温度的变化可以给出修正公式；电表校准后可以给出校准曲线等等。
对于无法忽略又无法消除或修正的未定系统误差，可用估计误差极限值的方法进行估算。 以上仅就系统误差的发现及消除方法做了一般性介绍。在实际问题中，系统误差的处理是一件复杂而困难的工作，它不仅涉及许多知识，还需要有丰富的经验，这需要在长期的实践中不断积累，不断提高。
二、随机误差及其分布
实验中随机误差不可避免，也不可能消除。但是，可以根据随机误差的理论来估算其大小。为了简化起见，在下面讨论随机误差的有关问题中，并假设系统误差已经减小到可以忽略的程度。
1．标准误差与标准偏差
采用算术平均值作为测量结果可以削弱随机误差。但是，算术平均值只是真值的估计值，不能反映各次测量值的分散程度。采用标准误差来评价测量值的分散程度是既方便又可靠的。对物理量X 进行n 次测量，其标准误差（标准差）定义为 ∑=∞
→-=
n
i i n x x n x 1
20)(1)(lim
σ （4） 在实际测量中，测量次数n 总是有限的，而且真值也不可知。因此标准误差只有理论上的价值。
对标准误差)(x σ的实际处理只能进行估算。估算标准误差的方法很多，最常用的是贝塞尔法，它用实验标准（偏）差S （x ）近似代替标准误差)(x σ。实验标准差的表达式为
∑=--=n
i i x x n x S 1
2)(11)( （5） 本书中我们都是用此式来计算直接测量量的实验标准差，其含义将在下面讨论。
2．平均值的实验标准差
如上所述，在我们进行了有限次测量后，可得到算术平均值x 。x 也是一个随机变量。在完全相同的条件下，多次进行重复测量，每次得到的算术平均值本身也具有离散性由误差理论可以证明，算术平均值的实验标准差为
∑=--=
=
n
i i x x n n n
x S x S 1
2)()1(1
)()( （6） 由此式可以看出，平均值的实验标准差比任一次测量的实验标准差
小。增加测量次数，可以减少平均值的实验标准差，提高测量的准确度。但是，单纯凭增加测量次
图 2 测量次数对)(x S 的影
数来提高准确度的作用是有限的。如图2所示，当n>10以后，随测量次数n 的增加，)(x S 减小得很缓慢。所以，在科学研究中测量次数一般取10-20次，而在物理实验教学中一般取6-10次。 3．随机误差的正态分布规律
随机误差的分布是服从统计规律的.首先，我们用一组测量数据来形象地说明这一点。例如用数时间区间/s
出现次数Δn
（频数）
相对频数
%/n
n ? 时间区间/s
出现次数Δn （频数）
相对频数
%/n
n ? 2.146-2.150 1 2 2.166-2.170 15 25 2.151-2.155 3 5 2.171-2.175 9 15 2.156-2.160 9 15 2.176-2.180 5 8 2.161-2.165
16
27
2.181-2.185
2
3
以时间T 为横坐标,相对频数
n
n
?为纵坐标，用直方图将测量结果表示如图3.如果再进行一组测量（如100次），做出相应的直方图，仍可以得到与前述图形不完全吻合但轮廓相似的图形。随着次数的增加，曲线的形状基本不变，但对称性越来越明显，曲线也趋向光滑。当∞→n 时，上述曲线变成光滑曲线。这表示测值T 与频数
n
n
?的对应关系呈连续变化的函数关系。显然，频数与T 的取值有关，连续分布时它们之间的关系可以表示为
dT T f n dn
)(= 函数()ndT
dn
T f =称为概率密度函数，
其含义是在测值T 附近、单位时间间隔内测值出现的概率。
当测量次数足够多时，其误差分布将服从统计规律。
许多物理测量中，当∞→n 时随机误差ε服从正态分布（或称高斯分布）规律。可以导出正态分布概率密度函数的表达式为：
2
2221)(σεσ
πε-
=
e
f （7）
图4是正态分布曲线。该曲线的横坐标为误差ε，纵坐标为误差分布的概率密度函数。)(εf 的物理含义是：在误差值ε附近，单位误差间隔内，误差出现的概率。曲线下阴影面积元εεd f )(表示误差出现在ε~ε+区间内的概率。按照概率理论，误差ε出现在区间（+∞∞-,）范围内是必
然的，即概率为100%。所以，图中曲线与横轴所包围的面积应恒等于1，即
?
∞
∞
-≡1)(εεd f （8）
由概率理论可以证明σ就是标准差。在正态分布的情况下，式（7）中σ的物理意义是什么呢？首先定性分析一下：从式（7）可以看出，当ε=0时，
σ
π21)0(=
f
因此，σ值越小，)0(f 的值越大。由于曲线与横坐标轴所包围的面积恒等于1，所以曲线峰值高，两侧下降就较快。这说明测量值的离散性小，测量的精密度高。相反，如果σ值大，)0(f 就小，误差分布的范围就较大，测量的精密度低。这两种情况的正态分布曲线如图5所示。
图3 统计直方图
图4 正态分布曲线 图5 σ的物理意义
4．置信区间与置信概率
我们还可以从另一个角度理解σ的物理意义。计算一下测量结果分布在-σ~σ之间的概率，可得
%3.68683.0)(1===
?-
σ
σε
εd f P （9）
这就是说，在所测的一组数据中平均有68.3%的数据测值误差落在区间[-σ，σ]之间。同样也可以认为在所测的一组数据中，任一个测值的误差落在区间[-σ，σ]内的概率为68.3%. 我们把1P 称作置信概率，[-σ，σ]就是68.3%的置信概率，所对应的置信区间。 显然，扩大置信区间，置信概率就会提高。可以证明，如果置信区间分别为[-2σ，2σ]和[-3σ，3σ]，则相应的置信概率为 ?-==σ
σεε222%5.95)(d f P （10） ?-==σ
σ
εε33
3
%7.99)(d f P （11）
一般情况下，置信区间可用[-k σ，k σ]表示，k 称为包含因子，对于一个测量结果，只要给出置信区间和相应的置信概率就表达了测量结果的精密度。
对应于[-3σ，3σ]这个置信区间，其置信概率为99.7%，即在1000次的重复测量中，随机误差超出[-3σ，3σ]的平均只有3次。对于一般有限次测量来说，测量值超出这一区间的可能性非常小，因此常将σ3±称为极限误差。
5.t 分布
根据误差理论，当测量次数很少时（例如，少于10次），测量列的误差分布将明显偏离正态分布，这时测量值的随机误差将遵从t 分布。这个分布是1908年由戈塞特首先提出来的，由于发表时使用了笔名“Student”，故也称“学生分布”。t 分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别是t 分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄，下部较宽，如图1-6。这样，在有限次测量的情况下，就要将随机误差的估算值取大一些，包含因子k 应转换成p t ，p t 值与测量次数有关，也与置信概率P 有关，表1 给出了p t 与测量次数n 、置信概率P 的对应关系，供查用。
表1 p t 值表
n P 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 … ∞ 0.68 1.84
1.32
1.20 1.41 1.11 1.09 1.08 1.07 1.06 1.03 … 1.00 0.95 1
2.71 4.30
3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.09 … 1.96 0.99
63.66 9.92
5.84
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.26
2.86
…
2.58
由表1可见，当置信概率P=68%时，p t 因子随测量次数增加而趋向于1。当n>6以后，p t 与1的偏离并不大，故在进行误差估算时，当n ≥6时置信概率取68.3%，包含因子可以不加修正。
三．坏值的剔除
在一列测量值中，有时会混有偏差很大的“可疑值”。一方面，“可疑值”可能是坏值，会影响测量结果，应将其剔除不用。另一方面，当一组正确测量值的分散性较大时，尽管概率很小，出现个别偏差较大的数据也是可能的，即“可疑值”也可能是正常值，如果人为地将它们剔除，也不合理。因此要有一个合理的准则，判定“可疑值”是否为“坏值”。下面介绍三种常用的准则。
1． 拉依达准则
如前所述，σ3±可认为是极限误差，它的估算值)(3x S ±也可以认为是极限偏差。按照拉依达准则，将偏差大于)(3x S ±的数据
视为坏值而将它剔除。剔除坏值时，首先应算出测量列
n x x x ,,,21???的算术平均值x 和任一次测量值的标准偏差S(x )，然后检验每一个测值的偏差，如
果x x i ->3 S(x )，则确定i x 为坏值予以剔除。对剔除后的测量列再重复进行上述步骤，直到无坏值为止。
应该指出的是，拉依达准则只有在测量次数n ≥10时才能应用。因为根据S(x )的定义式（5），当n<9时，恒有)(3x S x x i ?-，即拉依达准则失效。
2.维涅准则
肖维涅准则考虑了测量次数对偏差的影响。设重复测量的次数为n ，任一次测量值的标准偏差为S(x )，肖维涅准则认为，如果测值i x (i=1，2，…，n )满足)()(x S n C x x i >-，则认为i x 为坏值，予以剔除。式中)(n C 称为肖维涅系数，其值与测量次数n 有关，下表给出了不同测量次数对应的)(n C 值。测量次数越多， )(n C 越大；当n >100时, )(n C 值接近于3，和拉依达准则相当。但当n ≤4时,准则无效，所以表中的系数n 从5开始.
n )(n C n
)(n C n
)(n C
5 1.65 14 2.10 23 2.30
6 1.73 15 2.13 24 2.31 7
1.80
16
2.15
25
2.33
图6 t 分布与正态分布比较
3.格拉布斯准则
格拉布斯准则比肖维涅准则更为科学,它同时考虑了测量次数n 和置信概率P 的影响。该准则认为，如果)(),(x S p n g x x i >-时，测量值i x 为坏值的置信概率为P 。式中g 值为格拉布斯系数，其值见表3。
表3 格拉布斯系数),(p n g
必须指出,按以上准则判别时，若测量数据中存在两个以上测值需要剔除,只能先剔除偏差最大的测值，然后重新计算平均值x 及标准偏差S(x )，再对余下的测值进行判断，直至所有的测值均不是坏值为止。
由于大学物理实验中大多数情况下重复测量次数小于9次，所以实验课程中不使用拉依达准则。格拉布斯准则较为科学，但是涉及置信概率的考虑，较为复杂。我们一般可采用肖维涅准则，必要时采用格拉布斯准则判断坏值.
四、仪器误差
1.仪器的示值误差（限）
测量仪器的误差来源往往很多，逐项进行深入的分析处理是很困难的，在绝大多数情况下也没有必要。实际上，人们最关心的是仪器提供的测量结果与真值的一致程度，即测量结果中各仪器的系统误差与随机误差的综合估计指标。在物理实验中，常常把国家技术标准或检定规程规定的计量器具最大允许误差或允许基本误差经过适当的简化称为仪器误差（限）．仪器示值差（限）用m ?来表示，它代表在正确使用仪器的条件下，仪器示值与被测量真值之间可能产生的最大误差的绝对值．
仪器的示值误差（限）通常是由制造工厂或计量部门使用更精确的仪器、量具，经过检定比较合格给出的，一般写在仪器的标牌上或说明书中，有的仪器直接给出了仪器的准确等级。各类仪器的示值误差（限）与其准确度等级之间都存在着一定的关系．一般由仪器的量程和准确度等级可以求出仪器示值误差（限）的大小。不同的仪器、量具，其示值误差（限）有不同的规定。例如，游标卡尺不分精度等级，测值范围在300mm 以下的示值误差一律取游标的分度值。螺旋测微计分零级和一级两类，通常实验室使用的为一级，其示值误差随测量范围的不同而不同，量程在0~25mm ，及20~50mm 的一级千分尺的示值误差均为m ?=0.004mm 。
天平的示值误差以标尺分度值的倍数形式给出，它与天平的称量载荷有关，本讲义中约定，取天平标尺分度值的一半做为仪器的示值误差。
电表的示值误差，可以根据其量程和准确度等级计算：
m ?=量程?准确度等级%
如果测量仪器是数字式仪表，则取其末位数最小分度单位为示值差。在我们不能知道仪器的示值误差（限）或准确度等级的情况下，也可以取其分度值的一半做为示值误差（限）。
还有一些仪器（如电阻箱，电桥，电势差计等）的误差用基本误差来表示，其值需用专用公式来计算。仪器误差提供的是误差绝对值的极限值，而不是测量的真实误差，也无法确定其符号。
2.仪器的标准误差
在对测量结果的误差评定中，随机误差是用标准误差来估算的，相应地，也需要知道仪器的标准误差。仪器的标准误差用仪σ表示，它实际上是一个等价标准误差，下面要讨论的是如何确定仪器的标准误差，以及它与仪器误差m ?间的关系。
一般仪器误差的概率密度函数近似服从如图7所示的均匀分布规律。在[-m ?，m ?]范围内，误差出现的概率相同，[-m ?，m ?]区间以外出现的概率为零。例如，游标卡尺的仪器误差，仪器度盘或其它传动齿轮的回差所产生的误差，机械秒表在其分度值内不能分辨引起的误差，指零仪表判断平衡的误差等，都属于均匀分布。
均匀误差的概率密度函数为 m
f ?=
?21)( 根据标准误差的定义，可以求出仪器的标准误差与仪器误差（限）m ?的关系： 3
m ?=
仪σ
仪器标准误差仪σ的物理含义与标准误差σ类似。
3 .仪器的灵敏阈
仪器的灵敏阈是指足以引起仪器示值可察觉变化的被测量的最小变化值，即当被测量值小于这个阈值时，仪器将没有反应。例如，数字式仪表最末一位数所代表的量就是数字式仪表的灵敏阈。对指针式仪表，由于人眼能察觉到的指针改变量一般为0.2分度值，于是可以把0.2分度值所代表的量作为指针式仪表的灵敏阈。灵敏阈越小，说明仪器的灵敏度越高。一般地讲，测量仪器的灵敏阈应该小于示值误差（限），而示值误差（限）应该小于最小分度值。但是也有一些仪器，特别是实验室中频频使用的仪器，准确度等级可能降低了或灵敏阈变大了，因而使用这样的仪器前，应检查其灵敏阈。当仪器灵敏阈超过仪器示值误差限时，仪器示值误差（限）便应由仪器的灵敏阈来代替，这一点并不难理解。
§3 有效数字的记录与运算
一、有效数字的一般概念
图7 均匀分布
为了理解有效数字的概念，我们先举一个例子。如图8所示，用米尺测量一个物体的长度，测量结果记为13.4cm 、13.5cm 、13.6cm 都可以。换不同的测量者进行测量，前两位数不会变化，我们称之为准确数字，但最后一位数字各人估计的结果可能略有不同，我们把这位数称为欠准数字或可疑数字。虽然最后这位数字欠准，但是记上它能客观地反映出该物体比13cm 长，比14cm 短的实际情况，比较合理。我们把测量结果中可靠的几位数字加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。有效数字的上述定义，适用于直接测量量和间接测量量。
图8 有效数字概念
需要特别指出的是，一个物理量的测量值和数学上的一个数有着不同的意义。在数学上，13.5cm 和13.50cm 没有区别，但是从测量的意义上看，13.5cm 表示十分位上的“5”是欠准数字，而13.50cm 表示十分位上的“5”是准确测量出来的，而百分位上的“0”才是欠准的。
因为有效数字只有最后一位是欠准的，因此大体上说有效数字的位数越多，相对误差就越小。一般来说。测量结果有两位有效数字时，对应于21
10~10
-- 量级的相对误差；有三位有效数字时，
对应于3
2
10~10-- 量级的相对误差。
在表示物理实验的测量结果时，为了更方便地反映有效数字的位数，应尽量采用科学记数法，即在小数点前只写一位数字，用10的几次幂来表示其数量级。例如，3.8×105m ，4.123×10-7s 分别表示两个量的有效数字是2位和4位，而如果将3 .8×105记成380 000m 不但繁琐，而且有效数字的位数错误，人为地将精度提高了4个数量级。
二．直接测量量的有效数字的读取
在进行直接测量时，要用到各种各样的仪器和量具。从仪器和量具上直接读数，必须正确读取有效数字，它是进一步估算误差和数据处理的基础。
一般而言，仪器的分度值是考虑到仪器误差所在位来划分的。由于仪器多种多样，读数规则也略有区别。正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1.一般读数应读到最小分度以下再估一位，但不一定估读十分之一，也可根据情况（如分度的间距、刻线、指针的粗细及分度的数值等）估读最小分度值的1/5、1/4或1/2。但无论怎样估计，最小分度位总是准确位，最小分度的下一位是估计的欠准位。
2.有时，读数的估计位就取在最小分度位。如仪器的最小分度值为0.5，则0.1、0.2、0.3、0.4及0.6、0.7、0.8、0.9都是估计的；如仪器最小分度值为0.2，则0.3、0.5、0.7、0.9都是估计的。这类情况都是不必再估到下一位。
3.游标类量具，只读到游标分度值，一般不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。
4.数字式仪表及步进读数仪器（如电阻箱）不需要进行估读，仪器所显示的末位就是欠准数字。
5.特殊情况下，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定。例如，在测量灵敏电流计临界电阻时，调节电阻箱的“×10”Ω挡，仪表上才刚刚有反应，所以尽管电阻箱的最小步进值为 0.1Ω，测量值也只能记录到“×10”Ω，如记为R=8.53×103Ω.
6.在读取数据时，如果测值恰好为整数，则必须补“0”，一直补到可疑位。例如，用最小刻度为1mm 的钢卷尺测量某物体的长度恰为12 mm 时，应记为12.0mm ；如果改用游标卡尺测量同一物体，读数也为整数，应记为12.00mm ；如再改用千分尺来测量，读数仍为整数，则应记为12.000 mm ；切不可一律记为12mm 。
三、间接测量量有效数字的运算
间接测量量测量结果的有效数字，最终应由测量不确定度的所在位来决定（详见§4有关内容）。但是在计算不确定度之前，间接测量量需要经过一系列的运算过程。运算时，参加运算的量可能很多，有效数字的位数也不一致。如果数字相乘，位数会增加；如果相除而又除不尽，位数可以无止境。为了简化运算过程，一般可以按以下规则进行运算：
1.几个数进行加减运算时，其结果的有效数字末位和参加运算的诸数中末位数数量级最大的那一位取齐，称为“尾数取齐”。例如，278.2+1
2.451=290.7。
2.几个数进行乘除运算时，其结果的有效数字的位数与参与运算的诸数中有效数字位数最少的那个相同，称为“位数取齐”。例如，5.348×20.5=110。
3.一个数进行乘方、开方运算，其结果的有效数字位数与被乘方、开方数的有效数字位数相同。例如，200=1
4.1.
4.一般说来，函数运算的有效数字，应按间接量测量误差传递公式进行计算后决定。在普通实验中，为了简便统一起见，对常用的对数函数、指数函数和三角函数按如下规则处理：对数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数取成与真数的位数相同；指数函数运算结果的有效数字中，小数点后的位数取成与指数中小数点后的位数相同；三角函数结果中有效数字的取法，可采用试探法，即将自变量欠准位上、下波动一个单位，观察结果在哪一位上波动，结果的欠准位就取在该位上。
以上所述有效数字的运算规则，只是一个基本原则，在实际问题中，为防止多次取舍而造成误差的累积效应，常常采用在中间运算时多取一位的办法。在计算器和微机已经相当普及的今天，中间过程多取几位有效数字不会给我们带来太多的麻烦，所以在中间运算过程中，可以适当多取几位（如多取2、3位）。最后表达结果时，有效数字的取位再由不确定度的所在位来一并截取。
四、有效数字尾数的舍入法则
过去对有效数字的尾数采用“四舍五入”的规则来修约，但是这样处理“入”
的机会总是大于“舍”的机会，引起最后结果偏大。为了弥补这一缺陷，目前普遍采用“小于五舍去，大于五进位，等于五凑偶”的规则来修约。例如，将下列数据保留三位有效数字的修约结果是：
3.542 2→3.54 小于五舍去 3.545 0→3.54 等于五凑偶
3.546 6→3.55 大于五进位 3.545 01→3.55 大于五进位
3.535 0→3.54 等于五凑偶 3.544 99→3.54 小于五舍去
§4 测量结果的不确定度评定
一、测量不确定度的基本概念
1.不确定度的定义
前面对测量中可能存在的各种误差做了简单介绍。这些误差的存在，使得测量结果具有一定程度的不确定性。所以，对某一物理量进行测量，我们只能知道测量值N与真值N0之差的绝对值以一定概率分布在-u ~ u之间，用公式表示为
-
N≤
u
N
（置信概率为P）（13）
其中，u 值可以通过一定的方法进行估算，称为不确定度，它表征真值以某置信概率存在的范围，是对测量结果不确定性的度量。
1980年，国际计量局提出了关于“实验不确定度”的建议书，建议用不确定度来评价测量的质量。1981年，第17届国际计量大会通过了采纳“建议书”的决议。我国计量科学院在1986年也发出了用不确定度作为误差指标名称的通知。国家技术监督局决定于1992年10月1日正式开始采用不确定度进行误差的评定工作。在实验中全面采用不确定度来评价测量的结果已成为必然的趋势。
严格的不确定度理论比较复杂。考虑到本课程的性质，对不确定度评定的介绍将在保证其科学性的前提下，适当加以简化，以免初学者不得要领。 2.不确定度的分量
由于误差的来源很多，测量结果的不确定度一般也包含几个分量。在修正了可定系统误差之后，把余下的全部误差归为A 、B 两类不确定度分量。
不确定度A 类分量u A :多次重复测量，用统计方法求出的分量。直接测量量的A 类不确定度分量就用平均值的实验标准差表示，即
)(x S u A = （14）
不确定度B 类分量u B ：用其他非统计方法估算的分量。在实验中尽管有多方面的因素存在，本讲义中一般只考虑仪器误差这一主要因素。 我们用仪器的等价标准差c
m
?=仪σ近似表示不确定度B 类分量，式中Δm 可以是仪器的示值误差（限）、基本误差或仪器的灵敏阈。因子c 与仪器误差的分布规律有关。如果仪器误差服从均匀
分布规律，则3=
c ；若服从正态分布，则c=3；在不能确定其分布规律的情况下，本着不确定度
取偏大值的原则，也取3=c 。本讲义中，我们一律将c 取为3，即 3
m
B u ?=
=仪σ （15）
二、直接测量结果的不确定度评定 １.合成不确定度
在各不确定度分量相互独立的情况下，将两类不确定度分量按“方和根”的方法合成，构成合成不确定度，即 2
2)(B
A u u x u +=
（16）
在许多情况下，需要采用95%、99%或99.7%等较高的置信概率。这时，可以在合成不确定度前乘以一个包含因子k 来求扩展不确定度)(x U 。待测量的不确定度服从正态分布时，对应于置信概率P=68.3%，近似地取k=1；对应于置信概率P=95%，近似地可取k ＝2；对应与置信概率P=99.7%，k ＝3。
我们认为，物理实验课对误差处理的要求，主要在于建立正确的概念，而不拘泥于对某一值的精确计算，从这一观点出发，置信概率均取68.3%。 2.测量结果的不确定度表示
按照国际计量局1980年的建议书，直接测量量x 的测量结果可表示为 )(x u x x ±= (单位) （P= …） (17)
对于测量结果，同时还可以用相对不确定度表示： %100)
()(?=
x
x u x E (18)
这里应特别注意两点：
(1) 不确定度有效数字的取位 由于不确定度本身只是一个估计范围，所以其有效数字一般只取一或二位。在本课程中为了教学规范，我们约定对测量结果的合成不确定度（或总不确定度）只取一位有效数字，相对不确定度可取两位有效数字。此外，我们还约定，截取剩余尾数一律采取进位法处理，即剩余尾数只要不为零，一律进位，其目的是保证结果的置信概率水平不降低。
(2) 测量结果有效数字的取位 对测量结果本身有效数字的取位必须使其最后一位与不确定度最后一位取齐。截取时，剩余尾数按“小于5舍去，大于5进位，等于5凑偶”的规则修约。所以，)03.080.9(±=x cm 是正确的表示，而)03.0804.9(±=x cm 或)03.08.9(±=x cm 均是不正确的表示。 例如，用数字毫秒计测得某单摆周期的算术平均值为2.18305s ，经计算，求出置信概率P=68.3%时的不确定度为0.0031s ，其结果应表示为
)004.0183.2(±=T s （P=68.3%）
该式表示此单摆周期的真值落在［2.183－0.004,2.183＋0.004］范围内的概率有68.3%。这一测量列的相对不确定度为 E(T)＝0.17％
3.直接测量量不确定度评定的步骤
假设某直接测量量为X ，其不确定度评定的步骤归纳如下： （1）修正测量数据中的可定系数误差；
（2）计算测量列的算术平均值x 作为测量结果的最佳值； （3）计算测量列任一次测量值的实验标准差)(x S ；
（4）审查各测值，如有坏值则予以剔除，剔除后再重复步骤(2)、(3) （5)计算平均值的实验标准差)(x S 作为不确定度A 类分量u A ； （6）计算不确定度B 类分量3
m B u ?=；
（7）求合成不确定度2222)3
(
)()(m B A x S u u x u ?+=+=
及扩展不确定度)()(x ku x U =，当
不确定度正态分布时，置信概率取68.3%、95%和99.7%时,k 可分别取近似值为1、2、3；
（8）写出最终结果表示式：
()()()??
?
???=±=%100x x U x E x U x x (P=…)
例 用一级千分尺对一小球直径测量8次，测量结果见下表第二行数据，千分尺的零点读数为0.008mm ，试处理这组数据并给出测量结果。
解 (1) 修正千分尺的零点误差：D ＝(D`－0.008)mm ，填入上表第三行； （2）直径的算术平均值D ＝2.118mm ； （3）某次测值的实验标准差为
∑=--=8
1
2)(181)(i i D D D S ＝0.0033 mm (中间运算多取一位，下同) （4）按肖维涅准则n ＝8时，系数C(n)＝1.86,则应保留测值范围为（2.188-1.86×0.0033）mm ~(2.118+1.86×0.0033）mm ，即2.111~2.124mm 。经检查，无坏值。 （5）A 类分量的估算值（平均值的实验标准差）： 0011.08
)()(==
=D S D S u A mm
（6）B 类分量的估算值：按照国家计量标准，一级千分尺在测量范围0~100mm 内的仪器误差限Δ仪 =0.004mm ；0023.03
=?=
m B u mm ；
（7）合成不确定度=?+=22)3
(
)()(m D S D u 0.0025mm ≈0.003mm ；
（8）测量结果为
D = （2.118+0.003）mm （P=68.3%） E(D) =
118
.2003
.0=0.15% 若取P=95%，则扩展不确定度U （D ）=2×u (D)=0.006mm ，测量结果为 D = （2.118+0.006）mm （P=95%） E(D) =
118
.2006
.0=0.29% 在这里，我们还应该特别说明对于单次测量的不确定度处理。在实际测量中，有些量是随时间变化的，无法进行重复测量；也有些量因为对它的测量精度要求不高，没有必要进行重复测量；还有些量由于仪表的精密度较差，不能反映测量值的随机误差，几次测量值都相同，这时可按单次测量来处理。
一般情况下，我们就约定单次测量的不确定度简单地取Δm 。
三、间接测量量的不确定度评定
设间接测量量N 与直接测量量x ,y,z,…的函数关系为
N = f (x ,y,z,…) (19)
由于x ,y,z 具有不确定度u(x ),u(y),u(z),…，N 也必然具有不确定度u(N),所以对间接测量量N 的结果也需采用不确定度评定。 1.间接测量量的最佳值
在直接测量中，我们以算术平均值,,,z y x …作为最佳值。在间接测量中，可以证明
,,,(z y x f N =…)为间接测量量的最佳值，即间接测量量的最佳值由各直接测量量的算术平均值代
入函数关系式而求得。
2.间接测量量不确定度的合成
由于直接测量量具有不确定度，从而导致间接测量量也具有不确定度。
因为不确定度是一个微小量，故可以借助于微分手段来研究。对式（19）两边取微分：
+??+??+??=
dz z
f dy y f dx x f dN … (20) 也可以先对（19）式两边取自然对数，再取微分，得
+??+??+??=dz z
f dy y f dx x f N dN ln ln ln (21)
其中dN 对应于u(N)，d(x )对应于u （x ），…式（20）和式（21）中各求和项称为不确定度项，各直接测量量不确定度前面的系数
z f 、y f 、x f ??????…及z
f
、y f 、x f ??????ln ln ln …称为不确定度传递系数。
当直接测量量x ,y,z,…彼此独立时，间接测量量N 的不确定度为各分量的均方根：
Λ+??? ????+???? ????+??? ????=2
2
2
)()()()(z u z f y u y f x u x f N u （22） Λ+???
?
???+???? ????+??? ????==2
2
2
)(ln )(ln )(ln )()(z u z f y u y f x u x f N N u N E （23） 求均方根时要保证各项是独立的。如果出现多个Δ x （或Δy ，Δz …）项，要先合并同类项，再求均方
根。
对于以加减运算为主的函数，先用式（22）求不确定度u(N)，再用
N
N u )
(求相对不确定度比较简便；而对以乘除运算为主的函数，则先用式（23）求出其相对不确定度E （N ），再用)()(N E N N u ?=求不确定度比较简便。
3. 间接测量结果不确定度评定的步骤
（1）按照直接测量量不确定度评定的步骤，求出各直接测量量的不确定度u(x ),u(y),u(z),…； （2）求间接测量量的最佳值,,,(z y x f N =…)；
（3）用不确定度合成公式（22）或（23），分别求出N 的不确定度u(N)和相对不确定度E （N ）； （4）写出最后结果的表示式：
()()()??
?
???=±=%100N N U N E N U N N （P=…）
对于不确定度u(N)、E （N ）及算术平均值N ，有效数字的取位与直接测量量的取位规则相同。
例 已知质量m = (213.04+0.05)g ，（P=68.3%）的铜圆柱体，用0~125mm 、分度值为0.02mm 的游标卡尺测量其高度h 六次；用一级0~25mm 千分尺测量其直径D 也是六次，其测值
解 铜的密度h
D 2
πρ=
，可见ρ是间接测量量，由题意，质量m 是已知量，直径D 、高度h 是直接测量量。
（1）高度h 的最佳值及不确定度： 37.80=h mm ∑--=
2)(1
61
)(h h h S i =0.0089 mm （按肖维涅准则检查无坏值）
6
)()(h S h S =
=0.0036mm
游标卡尺的示值极限误差Δm =0.02 mm 因此得 =?+=
22)3
(
)()(m h S h u 0.012 mm （中间运算，多取一位）
（2）直径D 的最佳值及不确定度： 4655.19=D mm ∑--=2)(1
61
)(D D D S i =0.0011 mm （按肖维涅准则检查无坏值） 6
)
()(D S D S =
=0.00045 mm
一级千分尺的示值极限误差Δm =0.004 mm 因此得 =?+=
22)3
(
)()(m D S D u 0.0024 mm
（3）密度的算术平均值：
h
D m
2
4πρ=
= 8.907 g/cm 3
（4）密度的不确定度：
h D m ln ln 2ln ln 4ln ln ---+=πρ 2
22)()(2)()
()(?
?
? ??+??? ??+??? ??==
h h u D D u m m u u E ρ
ρρ
=2
2
2
37.80012.0466.190024.0204.21305.0??
?
??+??? ??+??? ??=0.037%
因此得： =?=)()(ρρρE u 8.907×0.037% = 0.0033 g/cm 3
（5）密度测量的最后结果为：
ρ = (8.907+0.004) g/cm 3 (P=68.3%) E(ρ)= 0.037%
4.微小误差准则
当合成不确定度来自多个分量的贡献时，常常可能只有一、二项或少数几项起主要作用。对不确定度贡献小的不确定度项可以忽略不计，通常某一不确定度项小于最大不确定度项的1/3，最小平方项小于最大平方项的1/9，就可以略去不计。这就是微小误差准则。在进行误差分析或计算不确定度时，这样处理可以使问题大大简化。
思考题
1.下列几种情况产生的误差属于何种误差？ A.由于米尺的分度不准而产生的误差；
B.由于水银温度计毛细管不均匀而产生的误差；
C.由于电表接入被测电路所引起的误差；
D.由于检流计零点漂移而引起的误差；
2.指出下列表示或说法的错误并加以修正：
A.R＝6 371 km = 6 371 000 m = 637 100 000 cm；
B.把长度L和时间t的测量结果表示为
L =(3.823 + 0.3)×102 km
t =(406.9 + 0.742)s
3.用分度值为0.01mm的一级千分尺测测得钢球的直径为15.561 mm、15.562 mm、
15.560 mm、15.563 mm、15.564 mm、15.560 mm,千分尺的零点读数为0.011 mm，试求钢球体积的测量结果。
数据处理的基本方法
测量获得了大量的数据，只有采用了正确的数据处理方法，才能通过这些数据得到可靠的实验结果。所谓数据处理就是对实验数据进行记录、整理、计算、作图等处理，使之反映出事物的内在规律或得到最佳结果。常用的数据处理方法有列表法、作图法、逐差法和最小二乘法等。
一、列表法
在记录和处理数据时，经常把数据列表成表格，这是最基本和最常用的方法。列表可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，便于对照检查和分析计算，同时也为作图奠定了基础。
列表的基本要求：
1.表的上方应有表头，写明所列表格的名称；
2.标题栏目要简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于进行计算处理；
3.各标题栏目必须标明物理量的名称和单位，名称应尽量用符号表示，单位和数量级写在该符号的标题栏中；
4.表格中的数据要正确反映测量结果的有效数字；
5.必要时应写明有关参数，并作简要的说明。
具体的例子请参考第三章基本操作练习。
二、作图法
作图可把一系列数据之间的关系或其变化情况直观地表示出来。作图法是研究物理量之间的变化规律，找出对应的函数关系，求出经验公式的最常用方法之一。作图法有多次测量取平均的效果，并易于发现测量中的错误，还可以把复杂的函数关系简化。
1.作图的基本规则
（1）选用合适的坐标纸
作图一定要用坐标纸，可以根据需要选用直角坐标纸、双对数坐标纸、单对数坐标纸或极坐标纸，其中直角坐标纸使用最广泛。坐标纸的大小应根据所测数据的有效数字和对测量结果的要求来确定。原则上应使坐标纸的最小格对应测量值中可靠数字的最后一位。
(2)定坐标轴与坐标标度
通常以横坐标表示自变量（一般为误差较小的物理量），纵坐标表示因变量。应标出坐标轴的方向，并在坐标轴的末端标明物理量的符号和单位。
为了使图线在坐标纸上布局合理和充分利用坐标纸，坐标轴的起点不一定从变量的“0”开始。要尽量使图线比较对称地充满整个图纸，避免使图偏于一角或一边。在坐标轴上，按选定的比例标出若干等距离的整齐的数值标度。标度数值的位数应尽可能与实验数据的有效数字位数一致。为便于读数和描点，选定比例时，应使最小分格代表"1”、"2”、“5”、“10”等，而不要用“3”、“6”、“7”、“9”来划分标尺。
(3)标点与画线
根据测量数据，找到每个实验点在坐标纸上的位置，用削尖的铅笔以“X”标出各点的坐标位置。力求与测量数据对应的坐标准确地落在“×”的交点上.一张图上要画几条曲线时，每条曲线可用不同标记，如“＋”、“⊙”、“△”等符号，以示区别。
据点连成直线或光滑曲线。由于测量存在误差，所以图线不一
定通过所有的点，而应该使测点较均匀地分布在图线的两侧。
在画图线时，如果发现个别偏离图线过大的点，应重新审核，
进行分析决定取舍。这样描绘出来的图线具有“取平均”的效
实验数据误差分析和数据处理
第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值
第二章 误差和分析数据处理
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
误差和分析数据处理
第一章绪论 第一节药物分析学科的性质、目的与任务 药物分析主要是采用化学、物理化学或生物化学等方法和技术，研究化学合成药物和结构已知的天然药物及其制剂的组成、理化性质、真伪鉴别、纯度检查以及有效成分的含量测定等，同时也涉及生化药物、基因工程药物以及中药制剂的质量控制。 药物分析是一门研究和发展药品质量控制的方法性学科。 药品是用于预防、治疗和诊断疾病，有目的地调节人体生理功能并规定有适应征或者功能主治、用法和用量的物质。药品是一种特殊商品，药品质量的好坏关系到用药的安全和有效，关系到人民的身体健康和生命安全。 药物分析的目的是检验药品质量，保证人民用药的安全、合理、有效。 药物分析就是运用各种有效的分析方法和手段，如化学分析法，仪器分析法，生物化学和生物学等方法全面控制药品的质量。 药物分析的主要的任务包括药物成品的理化检验，药物生产过程中的质量控制，药物贮存过程中的质量考察，医院调配制剂的快速分析；新药研究开发中的质量标准制订以及体内药物分析等。 由此可见，从药物的研制、生产、贮藏、供应、使用到临床血药浓度监测一系列过程，都离不开药物分析的方法和手段。 第二节药品质量标准和药典 一、药品质量标准 药品质量标准是国家对药品的质量、规格和检验方法所作出的技术性规定，是保证药品质量，进行药品生产、经营、使用、管理及监督检验等部门共同遵循的法定依据。 我国药品质量标准分为中华人民共和国药典（简称中国药典）和国家药品监督管理局颁发的药品质量标准（简称局颁标准），二者均属于国家药品质量标准，具有等同的法律效力。 二、中华人民共和国药典 《中华人民共和国药典》现行版本为2000年版，简称中国药典（2000年版）。中国药典还出版英文版，缩写为ChP。 我国已出版了7版药典（1953、1963、1977、1985、1990、1995和2000年版）。 中国药典分为两部（一、二部），各部有凡例和有关的附录。一部收载中药材、成方及单味制剂等；二部收载化学药品、抗生素、生化药品、放射性药品和生物制品等。 （一）中国药典主要内容
误差和分析数据处理
第二章 误差和分析数据处理 第一节 概 述 定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。 第二节 测量误差 一、绝对误差和相对误差 1. 绝对误差 测量值与真实值之差称为绝对误差。δ = x - μ 2. 相对误差 绝对误差与真值的比值称为相对误差。 %100%100?-=?μ μμδ x 若真实值未知，但δ 已知，也可表示为 %100?x δ 3. 真值与标准参考物质 理论真值：如某化合物的理论组成等。 约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。 相对真值：如标准参考物质的含量。 标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。 实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结 果的平均值作为真值的替代值。 二、系统误差和偶然误差 1. 系统误差（可定误差） 由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定 时重复出现。
按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。 方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点 不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。 仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。 操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、 读数偏高（低）。 按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。 系统误差可用加校正值的方法予以消除。 2. 偶然误差（随机误差、不可定误差） 由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小 差别等引起，其大小和正负都不固定。 偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。 三、准确度和精密度 1. 准确度与误差 准确度表示分析结果与真实值接近的程度。准确度的大小用绝对误差或相对误差 表示。评价一个分析方法的准确度常用加样回收率衡量。 2. 精密度与偏差 精密度表示平行测量的各测量值之间互相接近的程度。精密度的大小可用偏差、 相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差表示。重复性与再现性是精密度的常见别名。 偏差：d = x i - x 平均偏差： n x x d n i i ∑=-=1 相对平均偏差： %100/)(%1001?-=?∑=x n x x x d n i i 标准偏差（标准差）： 1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i
实验大数据误差分析报告与大数据处理
第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为 1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测 定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此 我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误 差减到最小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程 序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是 一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机 率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情 况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中 是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献 手册中所谓的“公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，
故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称 为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均 值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布 时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中， 算术平均值为最佳值或最可信赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==1222221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量 由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予 以加重平均，称为加权平均。 ∑∑=++++++===n i i n i i i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211 式中；n x x x 21、——各次观测值； n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的
误差分析和数据处理
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。
（二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
数据处理与误差分析报告
物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差
物理误差分析及数据处理
第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）± 625 （cm ） 改:±（cm ） （2） ± 5（mm ） 改: ± 5（mm ） （3）± 6 （mA ） 改: ± （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: ± （kg ） （5）±（℃） 改: ±（℃） 4.用级别为，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： 10 1 19.548 ()10i i I I mA ===∑ ②计算测量列的标准差I σ： 0.0623 (cm)I σ= = ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显著水平a ＝，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 6 60.158 2.536 2.410.0623 I I g σ?= = => 由此得6I ＝为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果
重列数据如表1-3-3。 计算得 9 1 19.564 ()9i i I I mA ===∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝±（cm ），高h ＝±（cm ），质量m ＝±（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： 322 4436.488 2.7003g /m 3.1416 2.042 4.126 m c d h ρπ?= =??＝（） （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得 ln ln 4ln ln 2ln ln m d h ρπ=-+-- 求微分，得
误差分析与数据处理
误差分析与数据处理 物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法 进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的 规律。但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须 具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。 —、一、基本概念 1.误差。在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。严格地说，误差是指观测值与真 值之差，偏差是指观测值与平均值之差。但习惯上常将两者混用而不加区别。根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 系统误差： 这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法 加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。系统误差起因很多，例如： (1)仪器误差。这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。 (2)测量方法本身的限制。如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。 (3 )个人习惯性误差。这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。 系统误差决定测量结果的准确度。它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能 使之消除。通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等 以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减 少，以提高准确度。 偶然误差： 在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经 过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。这是由于实验者的感官的灵 敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许 多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。这类误差称为 偶然误差。它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从几 率分布。偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有 时负。但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为: y= y = 式中：h称为精确度指数，b为标准误差，h与b的关系为：h= 。 自图I 一1中的曲线可以出： (1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。个别特别大的误差出现的次数极少。 (2)由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。b为无限多次测量所得标准误差。由数理统计方法分析可以得出，误差在土
误差分析与数据处理
桥梁模型试验与量测技术 1钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究2006ZB01 2自预应力钢管混凝土开发应用试验研究2006ZB02 3 GPS长距离高精度高程传递关键技术研究2006ZB03 4公路隧道松弛荷载预测理论与预警系统及设计方法研究 2006ZB04 5大跨径预应力混凝土桥梁主梁下挠原因分析及对策研究 2006ZB05 6 FRP在混凝土桥梁预应力体系和构件中的应用技术研究 2006ZB06 7钢筋砼肋拱桥现状评价与加固技术研究2006ZB07 8斜拉—悬索协作体系桥梁的研究 2006ZB08 9公路隧道建设中数字化技术应用研究2006ZB09 10混凝土桥梁耐久性设计方法和设计参数研究2006ZB10 11桥梁结构表面防护耐久性材料的研究2006ZB11 12跨江海大型桥梁结构混凝土裂化性能与耐久性对策措施的研究 2006ZB12 13高性能预拌式冷铺沥青混合料的研制和应用技术研究 2006ZB13 14沥青路面热反射与热阻技术应用研究2006ZB14 15基于弹粘性的沥青混合料设计分析体系研究2006ZB15 16 沿海港口深水航道选线及设计主要参数研究2006ZB16 课程内容： 《桥梁模型试验与量测技术》课教学实施计划表
课程特点：内容多、涉及面宽、比较难学。 学习方法：认真笔记、完成思考题 第一章误差分析与实验数据处理 研究误差的意义 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制得愈来愈小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。研究误差的意义为： ①正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 ②正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的效据。 ③正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 第一节误差的基本概念 一、真值、实验值、平均值、理论值、误差 真值：是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是可知的。 理论真值：例如：三角形三个内角之和为180o；一个整圆周角为360o。 规定真值：例如：1982年，国际计量局召开会议提出“米”的新定义为：1等于光在真空中1/299792458秒时间间隔内所经过的路径长度。 相对真值：为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测的量的实际值来代替真值，而实际值的定义是满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。例如在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为真值。 实验值：通过实验方法得到某个物理量的数值。 算术平均值：有限次观测值的平均值。 n x x n i ∑=1 理论值：通过理论公式计算得到某个物理量的数值。
“误差分析和数据处理”习题及解答
“误差分析和数据处理”习题及解答 1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？ （1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。 答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。 2．将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159； 2.71729； 4.510150； 3.21650； 5.6235； 7.691499。 答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。 3．下述说法正确否？为什么？ （1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即 ()1 2 m m m = +左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。 答：（1）错。等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即 2 r 1 l m m l = 当l 1 = l 2时，m = m r 。当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即 1 l 2 l m m l = 将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得 m = 这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。 （2）错。有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。 4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。
物理实验误差分析与数据处理
物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25)
实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。
数据处理及误差分析
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 结果分析 对本次实验的结果及主要误差因数作简要的分析讨论，并完成课后的思考题。还
实验数据误差分析和数据处理
第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实
验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。
误差理论与数据处理试题
误差分析与数据处理 一.填空题 1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。
实验数据误差分析和数据处理
2 (3) 均方根平均值 n 2.2. , 2 '乞 X X i X 2 X n id ---------------- — n n (2-3) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这 种情况 下表征平均值常用对数平均值。 设两个量捲、X 2，其对数平均值 1 -X 2 X 对 | In X t — In X 2 X i -X 2 (2-4) 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限 制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字 来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影 响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方 面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验 的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的 概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用 实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1. 真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若 在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细 致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测 量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种 (1) 算术平均值算术平均值是最常见的一种平均值。 设为、X 2、……、X n 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 -X 1 X 2 亠 亠 X n X n (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 r X 几 = n X i X 2 X n (2-1) (2-2)
误差分析和数据处理
误差分析和数据处理． 误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用
同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知
道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。． （二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能
是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： 1）算术平均值（这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。n x?i x?x?x 12n?i1?x?nn xx x、――观察——各次观测值；式中： n n12的次数。）均方根平均值2 （n2x?222i x?x?x 1i2?n1??x均nn
（3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。． n xw?ii xwx?wx??w 11i2?2nn1?w? n?w?ww? n21w?i1?i x、xx ——各次观测值；式 中；n12 ww、w 各观——各测量值的对应权重。n12测值的权数一般凭