历年高考数学考试试卷真题附标准答案.doc

4.考试结束后，将本试题和答题卡 并交

绝密★启封并使用完毕前

试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）

数学

注意事项:

1 .本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至3页，第II 卷 3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

一、填空题（本大题共有14题，满分48分.）考生应在答题纸相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格埃对4分，否则一律得零分.

1. (4 分)(2015-)设全集 U = R.若集合 A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3}, 则 A nCuB=.

2. （4分）（20159若复数Z 满足3z+三二1 + i,其中i 是虚数单位，则Z=

2 3 cA

『炉3

3. （4分）（2015）若线性方程组的增广矩阵为 解为 ，则G-

0 1 c 2 （ y=5 x. J J

C2=?

4. （4分）（2015）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16店，则 a=?

5. （4分）（20159抛物线y 2=2px （p>0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1, 则 p=.

6. （4分）（2015）若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,则其母线与轴 的夹角的大小为.

7. (4 分)(2015)方程 log 2 (9x-1-5) =log 2 (3x-1-2) +2 的解为

8. （4分）（2015）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献

血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.

9. （20159已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q 的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为y二±、/^x,则C2的渐近线方程为.

10. （4 分）（2015）设 L （x）为千（x）=x e [0, 2]的反函数，贝"y=f

2

（x） +" （x）的最大值为.

11. （4分）（2015）在（l+x+弟岸）”的展开式中，x，项的系数为________ （结

2015

X

果用数值表示）.

12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2,

3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量八和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=（元）.

13. （4分）（2015）已知函数千（x）=sinx.若存在x- x2,…，乂…,满足0Wx〔V

X2

14. （2015）在锐角三角形ABC中，tanA=l, D为边BC上的点，AA BD与AACD

2

的面积分别为2和4.过D作DE1AB于E,DF±AC于F,则瓦=.

二、选择题（本大题共有4题，满分15分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. （5分）（2015）设乙，z2ec,则“乙、Z2中至少有一个数是虚数”是“ZL

Z2是虚数"的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

）

C. _11 ~2

D. 13 ~2

16. （5分）（20159已知点A的坐标为（4/, 1）,将0A绕坐标原点0逆时针旋

转_2￡至0B,则点B的纵坐标为（3

A. 3V3

B.蛛

F F

17. （2015）记方程①：x2+a lX+1=0,方程②：x2+a2x+2=0,方程③：x2+a3x+4=0,

其中印，a2, a’是正实数.当司，a2, a’成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）

A.方程①有实根，且②有实根

B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根

D.方程①无实根，且②无实根

18. （5 分）（20159 设P n（x n, y n）是直线2x - v二工（nEN*）与圆x2+y2=2 在

n+1

y _ 1

第一象限的交点，则极限lim-n二二（）

n—8% 1

A?-1 B. _1 C. 1 D. 2

三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （12 分）（2015）如图，在长方体ABCD-ABC0 中，AA户1, AB=AD=2, E、F 分别是AB、BC的中点，证明用、G、F、E四点共面，并求直线CD】与平面A.C.FE 所成的角的大小.

BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f (t)(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t二七时乙到达C 地.

(1) 求b与千(七)的值；

(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求千(t)的表达式，并判断f (t)在［七，1］上的最大值是否超过3?说明理由.

21. (14分)(2015)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线L和I?分别于椭圆交于A、

B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.

(1) 设A (Xl, y(, C (x2, y2),用A、C的坐标表示点C到直线L的距离,并证明S=21 Xiy2 - x2yi |:

(2) 设L与12的斜率之积为-上求面积S的值.

2

22. (16 分)(2015)已知数列｛aj 与｛b』满足a^-a户2 (b n+1-b n), nEN*.

(1) 若b=3n+5,且aB,求数列｛aj的通项公式;

(2) 设｛aj的第n°项是最大项，即a . ^a n (nGN*),求证：数列｛bj的第n。

n o

项是最大项；

(3) 设a户入VO, b = X n (nEN*),求X的取值范围，使得｛a』有最大值M与最小值m,且』￡ ( - 2, 2).

IT

23. (18分)(2015)对于定义域为R的函数g (x),若存在正常数T,使得cosg

(x )是以T为周期的函数，则称g (x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知千(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f (x)单调递增, f (0)=0, f (T)=4n.

(1) 验证g (x) =x+sin—是以6n为周期的余弦周期函数；

3

(2) 设a

(3) 证明：“u。为方程cosf (x)=1在[0, T]上得解，”的充分条件是“u°+T

为方程cosf (x)=1在区间[T, 2T]上的解"，并证明对任意xG [0, T],都有f

(x+T) =f (x) +f (T).

2015年市高考数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共有14题，满分48分.)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结

果，每个空格填对4分，否则一律得零分.

1. （4 分）（20159 设全集U = R.若集合A ={1, 2, 3, 4}, B ={x|2WxW3},则A ng {1,

4}.

知识归纳：交、并、补集的混合运算.

名师分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可. 名师讲解：解：?.?全集U=R,集合A={1, 2, 3, 4}, B={x|2WxW3},

:.(CuB) ={x|x>3 或xV2},

/.An (CuB) =(1, 4},

故答案为:(1, 4}.

名师点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规

则是解本题的关键.本题考查了推理判断的能力.

2. (4分)(2015)若复数z满足3z+三二1 + i,其中i是虚数单位，则z=

知识归纳：复数代数形式的乘除运算.

名师分析：设zr+bi,则三二a-bi (a, bER),利用复数的运算法则、复数相

等即可得出. _

名师角髻：解：设z=a+bi,则三二a-bi (a, bGR),

又3z+三二1 + i,

A3 (a+bi) + (a-bi)= 1 + i,

化为4a+2bi=1 + i,

A4a=1, 2b=1,

解得a--, b=L

4 2

故答案为：—-pii-

4亍

名师点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题.

『2 3、) J*

3. (4分)(2015)若线性方程组的增广矩阵为解为 ,则G-C2=

(0 1 c2；ly=5

16?

知识归纳：二阶行列式与逆矩阵.

(Y-Q2x+3y= Ci

名师分析：根据增广矩阵的定义得到 a',是方程组1的解，解方程

(y=5 [y=c2

组即可.

(乂-3 f2x+3y= ci

名师解答：解：由题意知J。，是方程组1的解，

(y=5 [y=c2

f Ci=6+15=21

即■，

*-5

则G - C2=21 - 5=16,

故答案为：16.

名师点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键.

4. (4分)(2015)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16如，则a=4 .

知识归纳：棱锥的结构特征.

名师分析：由题意可得(La?a?sin60° )?a二16扼，由此求得a的值. 2

名师解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为—?a?a*sin60° ,正棱柱的高为a, 2

/. (—?a^a^sin60° )?a= 16扼，二4,

2

故答案为：4.

名师点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题.

5. (4分)(2015)抛物线y』2px (p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,

贝p= 2 .

知识归纳：抛物线的简单性质.

名师分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论.

名师解答：解：因为抛物线y2=2px (p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,

所以卫二1,

2

所以p=2.

故答案为：2.

名师点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.

6. (4分)(20159若圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n,则其母线与轴

的夹角的大小为—.

—3-

知识归纳：旋转体(圆柱、圆锥、圆台).

名师分析：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为I,由已知中圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n,可得I二2h,进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案. 名师解答：解：设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为I,

则圆锥的侧面积为：n r I,过轴的裁面面积为：rh,

..?圆锥的侧面积与过轴的裁面面积之比为2n ,

/. I=2h,

设母线与轴的夹角为6,

则cos e旦旦，

1 2

故6=—,

3

故答案为：2L.

3

名师点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的

余弦值，是名师解答的关键.

7. (4 分)(2015)方程Iog2 (9x-1-5) =log2 (3x-1-2) +2 的解为2 .

知识归纳：对数的运算性质.

名师分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可.

名师解答:解:Vlog2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2, .\log2(9x-1-5)=log2[4X (3x-1-2)],

A9x-1-5=4 (3x-1-2),

化为(3X) 2-12?3X+27=0,

因式分解为:(3x-3) (3x-9) =0,

A3X=3, 3、=9,

解得xF或2.

经过验证：xF不满足条件，舍去.

.\x=2.

故答案为：2.

名师点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题.

8. (4分)(2015)在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献

血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 (结果用数值表示).

知识归纳：排列、组合的实际应用.

名师分析：根据题意，运用排除法名师分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 名师解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，

在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；

其中只有女教师的有C%6种情况；

则男、女教师都有的选取方式的种数为126 - 6二12 0种；

故答案为:120.

名师点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法(间接法)，可以避免分类讨论，简化计算.

9. (2015)已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和

Q的轨迹分别为双曲线G和C2.若G的渐近线方程为v二凶,则C2的渐近线方程为土寸____ ?

2

知识归纳：双曲线的简单性质.

名师分析：设G的方程为y2 - 3x2= \ ,利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程, 即可求出C?的渐近线方程.

名师解答：解：设G的方程为y2 - 3X2= X ,

设Q (x, y),则P (x, 2y),代入y2 - 3x2= \ ,可得4y2 - 3x2= X ,

?.?C2的渐近线方程为4y2-3x2=0,即y=±^i x.

2

故答案为：y=±2/l x.

2

名师点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础.

10. (4 分)(2015)设 L (x)为f (x)=2、"+占，x e ［0, 2］的反函数，则y=f

2

(x) 4-f1 (x)的最大值为4 .

知识归纳：反函数.

名师分析：由f (x)=2'"+H在x《［0, 2］上为增函数可得其值域，得到

2

(x)在［【，2］上为增函数，由函数的单调性求得y=f (x) +千「(x)的最大值.

4

名师解答：解：由千（X）=2~+号在xE［O, 2］上为增函数，得其值域为弓，2］,

可得y=L （x）在［% 2］上为增函数，

4

因此广千（x） +f 1（x）在口，2〕上为增函数，

4

Ay=f （x）+厂（x）的最大值为f （2） +f-1（2） =1+1+2=4.

故答案为：4.

名师点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题.

11. （4分）（2015）在（1+x+—^-） e的展开式中，X?项的系数为45 （结果201 □

X

用数值表示）.

知识归纳：二项式系数的性质?

名师分析：先把原式前两项结合展开，名师分析可知仅有展开后的第一项含有X?项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求.

名师解答：解：... （1+x+—10 2015 X

二C。（1+x ）〔°' （—-—）° + C〔（1+x ）9. （—-—）〔+…，

L10 7' 2015，+L10 ?' 2015 十

x x

??.仅在第一部分中出现X?项的系数.

再由Tt+1二C%x‘，令—2,可得，

X?项的系数为C%二45?

故答案为：45.

名师点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题.

12. （4分）（2015）赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1, 2,

3, 4, 5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量孔和& 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E&L E&2=0.2 （元）.

知识归纳：离散型随机变量的期望与方差.

名师分析：分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论.

名师解答：解：赌金的分布列为

1 2 3 4 5

111

5 1 5

所以

(1+2+3+4+5二3,

5

奖金的分布列为

1.4

2.8 4.2 5.6 p 4_2 2.1]__1

寮cl io Cc〒

u 席10

所以E&2二 1.4X (2x1+里X2+【X3+」X4) =2.8, 5 10 5 10

则EL-E&2=3-2. 8=0.2 元.

故答案为：0.2

名师点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键.

13. (4分)(2015)已知函数千(x)=sinx.若存在x- x2,…，Xm满足0Wx〔V

X2

知识归纳：正弦函数的图象.

名师分析：由正弦函数的有界性可得，对任意Xi, x」(i, jF, 2, 3,…，m), 都有|f (xD - f (Xj) |Wf (x) max - f (x) min=2,要使m取得最小值，尽可能多让Xi(i=1, 2, 3,…，m)取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值.

名师解答：解:Vy=sinx对任意"x」?(i, j=1, 2, 3,…，m),都有|f (Xi) -f (xj) |Wf (x) max - f (x) min=2,

要使m取得最小值，尽可能多让Xi (iF, 2, 3,…，m)取得最高点，

考虑0Wxi Vx2

(x m-i) - f (x m) |=12,

按下图取值即可满足条件，

/.m的最小值为8.

故答案为：8.

V AABD 与 Z\ACD 的面积分别为 2 和 4,

| AB | ? | DE |=2，￡成|?|而|二4,

乙

乙

32 .

I AB HI AC T

2/5

5

名师点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查名师分析问题和解决问题的 能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意Xj, Xj (i, j=1, 2, 3,…，m), 都有|f (xD -f (x 」)|Wf (x) max -f (x) rai =2是名师解答该题的关键，是难 题.

14. (2015)在锐角三角形ABC 中，tanA 二』，D 为边BC 上的点，Z\A BD 与Z\ACD

2

的面积分别为2和4.过D 作DE1AB 于E, DF±AC 于F,则瓦?茄二-龚 .

15- 知识归纳：平面向量数量积的运算.

名师分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA 二里普，| DE | ? | DF

然

O

IDFI-TMP ?.? |DE|,|DF| = |AB| I AC |

又 tanA=—,二 sinA 旦 联立 s j n 2A+cos 2

A=1,得sinA 二垂，cosA 二丝压. 2 cosA

2 5 5

由岑倔| ?便IsinA=6，得|疝||二12店

则I 瓦|,|谛I 翠.

Dfr

- | DE | ? | DF I cos< DE , DF x ( - 二-罪 1D D 1D

故答案为：-龚.

15

名师点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法, 考查了三角函数的化简与求值，是中档题.

二、选择题(本大题共有4题，满分15分.)每题有且只有一个正确答案，考 生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一 律得零分.

15. (5分)(2015)设％, z 2GC,则“zi 、Z2中至少有一个数是虚数”是“zi - Z2是虚数”的(

)

后代入数量积公式得答案.

A.充分非必要条件C.充要条件

B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

转21至

0B,

3 A. 3^3

~2~

则点B的纵坐标为（

B. 5^3

~2~

)

C. _H

~2

D. 13

知识归纳：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

名师分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可.

名师解答：解：设zU + i, Z2=i,满足Z|、Z2中至少有一个数是虚数，则Z|-Z2=1

是实数，则Z1-z2是虚数不成立，

若Zi、Z2都是实数，则Z1-Z2 一定不是虚数，因此当Z1 - Z2是虚数时，

则Zi、Z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，

故“Z|、Z2中至少有一个数是虚数”是“ZI-Z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B.名师点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键.

16. （5分）（2015）已知点A的坐标为（4右，1）,将0A绕坐标原点0逆时针旋

知识归纳：任意角的三角函数的定义.

名师分析：根据三角函数的定义，求出ZxOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可.

名师解答：解：..?点A的坐标为（4扼，1）,

.??设NxOA= 8,贝']sine = . 1cos 0 = , -jVI；

> （4^3）2面771+ （4^3）2 7

将0A绕坐标原点0逆时针旋转兰至0B,

3

则0B的倾斜角为6+^,则|0B|二|0A|二寸i+（4扼）2二面二7,

3

则点 B 的纵坐标为y= 10P|sin （ 0 +—）-7（sin 0 cos—+cos 0 sin—） =7

3 3 3

（3+垂占）皂+6二套，

7

2 2 7 2 2

故选：D.

名师点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键.

17. （2015）记方程①：xJaiX+1 =0,方程②：x2+a2x+2=0,方程③：x2+a3x+4=0, 其中油，a2, a’是正实数.当尚，a2, 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）

A.方程①有实根，且②有实根

B.方程①有实根，且②无实根

C.方程①无实根，且②有实根

D.方程①无实根，且②无实根

知识归纳：根的存在性及根的个数判断.

名师分析：根据方程根与判别式△之间的关系求出a/，4, a；V8,结合印，a2, a’成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论?

名师解答：解：当方程①有实根，且②无实根时，△产af-4N0, A2=a22-8<0,

即a/N4, a22<8,

Va^ a2, a3成等比数列,

?2_

? . a? —8183,

a l

2 - 4 9

则a3- （—）2=-^<2_=16,

a l a/ 4

即方程③的判别式△ 3=a32-16<0,此时方程③无实根，

故选：B

名师点评：本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键.

18. （5分）（20159设P n（x n, y n）是直线2x - v二工（n GN*）与圆乂勺②或在

n+1

y _ 1

第一象限的交点，则极限lim-n二二（）

n^°°x n 1

A?-1 B. C. 1 D. 2

知识归纳：极限及其运算.

名师分析：当nT+8时，直线2x-y=_J趋近于2x-yF,与圆x2+y2=2在第一n+1

象限的交点无限靠近（1,1）,利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出.

名师解答：解：当nT+8时，直线2x - y-—^-趋近于2x - y=1,与圆x^+y?二2在n+1

y 一1

第一象限的交点无限靠近（1,1）,而二^可看作点（心，Yn）与（1, 1）连XL

线的斜率，其值会无限接近圆x'+yW在点（1, 1）处的切线的斜率，其斜率为-1.

所以

|C°V，市〉|=带料勺

1, 1) ? (0, 2, -1) | V15 VW5

15

y _ 1

? . . J n - d . ? 11IB

' ?

n —8Xn 1

故选:A.

名师点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题.

三、名师解答题(本大题共有5题，满分74分)名师解答下列各题必须在答题 纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. (12 分)(2015)如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AA t =1, AB=AD=2, E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明用、G 、F 、E 四点共面，并求直线CD 】与平面AGFE 所成的角的大小.

知识归纳：直线与平面所成的角.

名师分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系.利用法向量求出二面角.

名师解答：解：连接AC,因为E, F 分别是AB, BC 的中点，所以EF 是AABC 的 中位线，所以EF 〃AC.由长方体的性质知AC 〃AG, 所以EF 〃AG,

所以A 】、G 、F 、E 四点共面.

以D 为坐标原点，DA 、DC 、DDi 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得 平二(0, 2, -1)

(-2, 2, 0) , A]E=(0, 1, -1)

设平面AGEF 的法向量为；=(x , y , z )

『?AiC ；=0 f (x, y, z) , (-2, 2, 0)二 0 口 ( - 2x+2y=0 则一 _, ,所以, ,即、 |n,A]E=0 [ (x, y, z) (0, 1, T) =0 y~ z=0

z= 1,得 x=1, y-1,所以 口二(1, 1, 1)，

所以直线CD 〕与平面AiCiFE 所成的角的大小arcsin 寸

15

名师点评：本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型.

20. (14分)(20159如图，A, B, C三地有直道相通，AB=5千米，AC二3千米，

BC二4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为千(t)(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB,速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t二七时乙到达C 地.

(1) 求J与f (七)的值；

(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当bWtW 1时，求f (t)的表达式，并判断f (t)在[七，1]上的最大值是否超过3?说明理由.

知识归纳：余弦定理的应用.

名师分析：(1)由题意可得t户丝二皂h,由余弦定理可得f (七)

v乙8

二PCpAc2+Ap2- 2AC?AP?cosA，代值计算可得；

(2)当bWtW*时，由已知数据和余弦定理可得f (t)二PQp25t2_42t+18,

当」VtW1 时，f (t)二PB=5-5t，综合可得当皂VtW1 时，f (t) e [0, *11], 8 8 8

可得结论.

名师解答：解：(D由题意可得七二业

v乙8

设此时甲运动到点P,则AP=v甲tMX旦业千米，

8

8

...f (ti) =PC~7A C2+AP2-2AC*AP*COS A

+ (号)2-2X3X 普碧千米；

V 8 8 5 o

(2)当七《七＜§时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

??? QB=AC+CB - 8t=7 - 8t, PB二AB - AP=5 - 5t,

???f (t) =PQ=7Q B2+PB2-2QB-PB*COS B

二J (7-8t ) 2+ (5- 5t ) 2-2 (7-跃)(5-5。0.8

^l x 2_勺改 =2 1

，再利用 |AB|=2^01=2"^,

的方程，联立方程组

二寸25七2- 42t+18，

当【VtW 1时，乙在B 点不动，设此时甲在点P, 8 Af (t) =PB=AB - AP=5 - 5t

寸25七2- 42t+18，

???f(t)= 7

8

8

5 _ 5t, —

.??当空VtW1 时，f (t) G [0,爻恒],

8 8

故f (t)的最大值超过了 3千米.

名师点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档 题. 21. (14分)(20159已知椭圆x 2+2y 2=1,过原点的两条直线L 和I?分别于椭圆 交于A 、B 和C 、D,记得到的平行四边形ABCD 的面积为S.

(1) 设A 3, yj, C (x 2, y 2),用A 、C 的坐标表示点C 到直线L 的距离，并 证明 S=21 x,y 2 - x 2yi |:

(2) 设I 与I?的斜率之积为-上 求面积S 的值.

2

知识归纳：直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式.

名师分析：(1)依题意，直线I 的方程为y 二打x,利用点到直线间的距离公式

X 1 可求得点C 到直线 > 的距离d 二 -

MF

可证得 S= |AB|d=2|x 灿-X2yJ;

(2)方法一：设直线I 的斜率为k,则直线I2的斜率为-二，可得直线I 】与I2

2k

Y=kx 9 9

,可求得X 】、X2、yi 、y 2,继而可求得答案.

x 2+2y =1

方法二：设直线L 、I?的斜率分别为兰1、竺，则三里2一￡ 利用A 3, y> C xJ x 2 Xj x 2

2 (x 2, y 2)在椭圆x?+2y2=1上，可求得面积S 的值.

VW

式得:点C 到直线L 的距离d-

设直线L 的方程为y=kx,联立方程组'

名师解答：解：（1）依题意，直线I 的方程为y 二当x,由点到直线间的距离公

X 1

Fl I

1 = \y^2~ x i^2

1+ *） 2

"y ：

X

1 因为 |AB|=21AO|=2J/]"]2,所以 S-

|AB|d=2|X1y 2 - x 2Yl | ;

（2）方法一：设直线L 的斜率为k,则直线I2的斜率为-二, 2k

「 ? ，消去 y 解得 ^=±-1=^=, lx z +2y M Vl+2k 2

才艮据对称性, 设x 1 ——j===y,则y 1=/ k =, Vl+2k 2 Vl+2k 2 _V2

同理可得 x 2- r^===, y2二-所以 S-21 x,y 2 - x 2yi | ^/l+2k 2 Vl+2k 2 方法二：设直线l 2的斜率分别为兰1、竺，则 ―,

X] x 2 Xj x 2 2 所以 x 〔X2=- 2yw2,

「? X]揣之二勾]2y 22= - 2*\*N\V A

VA （X1, yi ）＞ C （x 2, y 2）在椭圆 x 2+2y 2=1 上，

?'?（xj+Zyj ） （ X22+2y 22）=x 12x 22+4y 12y 22+2（ 饥么 x?%/）=1,

即-4x 1x 2y l y 2+2（七饥之十秘七J ）=1, 所以（XM - X2yD ②二』，即 1x^2 - x 2y t

2

所以 $=21x^2-x 2yJ=V2.

名师点评：本题考查直线与圆锥曲线的

综合应用，考查方程思想、等价转化思 想与综合运算能力，属于难题.

22. （16 分）（2015）已知数列｛a 〉与｛bj 满a n+1 - a=2 （b n+1-b n ）, nGN*. （1）若b=3n+5,且a 户1,求数列｛aj 的通项公式；

(2) 设｛&｝的第m 项是最大项,即a >a n (nEN*),求证：数列｛bj 的第n 。

n o 项是最大项；

(3) 设aF X <0, b, = X r (nEN*),求入的取值范围，使得｛aj 有最大值M 与最 小值m,且』E ( - 2, 2).

IT

知识归纳：数列递推式；数列的函数特性.

名师分析：(1)把b=3n+5代入已知递推式可得a n+1 - a =6,由此得到｛aj是等差数列，则a”可求；

(2) 由a”=(a n - a n-i) + (a n-i - a n-2) +???+ (a2 - aj +a〔,结合递推式累加得到aMm-2bi,

求得履(牝+2宙-先)，进一步得到

b n0 = 2( %+2bi _ 31)》|( %+2bi -叫)得答案;

(3) 由(2)可得外二2人人，然后分- 1V入V0,入二-1, X < - 1三种情况求得瓦的最

大值M和最小值m,再由』E ( -2, 2)列式求得\的范围.

IT

名师解答：(1)解：?.?az-a户2 (M-bn), b=3n+5,

/.a n+i - a, =2 (bn+i - bn) -2 (3n+8 - 3n - 5) -6,

.?.｛a』是等差数列，首项为a户1,公差为6,

则a n=1 + (n - 1) X 6=6n - 5:

(2) a, = (a n - an-0 + (a,,-! - a n_2) +???+ (a2 - aj +a〔

-2 (b n - b n-i) +2 (b…-i - b n-2)+???+2 (b2 - bi) +a〔

= 2bn+ai — 2bi,

「?bn*(七+2妇一屯)，

?I b n0 = 2( f+2bi - 牛)( "2bi -牛).

?.?数列｛bj的第n。项是最大项；

(3) 由(2)可得％ =2 人n - X,

%1当- 1V入V。时，气尸2(人之)n-入单调递减，有最大值日二室二2人之-入；，n-l二2人知一1 -人单调递增，有最小值m=a户入，

???马入-16 ( -2, 2), in

???s(-§，3)，

.??人 E ( - 0).

%1当入二—1 时，32n=3, a2n-1=—1,

ANl=3, m=- 1,

住-3$ ( -2, 2),不满足条件.

ID

%1当X < - 1时，当nT+8时，a2n->+°o,无最大值；当nT+8时，a2n.〔T-8,无最小值.综上所述，入E (-上0)时满足条件.

2

名师点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特

全国三卷理科数学高考真题及答案

普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =， ，A B =I {}0{}1{}12，{}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线 （）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，， ，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+

历年高考数学真题(全国卷整理版)43964

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝ （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （A）12种（B）18种（C）24种（D）36种 （12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。 （14）当函数取得最大值时，x=___________。 （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。 （16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

历年高考真题(数学文化)

历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积

历年高考真题(数学文化).doc

历年高考真题（数学文化） 1. （2009 湖北· 理）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1， 4，9，16这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（） 2. （ 2011 湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 A．1升B ．67 升C ． 47 升D ． 37 升 66 44 33 3. （ 2011 湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第 5 节的容积为升. 4.（ 2012? 湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘 之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求 其直径 d 的一个近似公式 d 3 16 = .. 判断， V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π 9 下列近似公式中最精确的一个是（） A. d 3 16 d 3 2V C. d 3 300 d 3 21 V B. V D. V 9 157 11

5. （ 2013? 湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的坐标 x，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记 为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC是格点三角形，对应的 S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形 DEFG对应的 S，N， L 分别是 ________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c 其中a，b，c为常数．若某格点多 边形对应的N=71， L=18，则 S=________（用数值作答）． 6.（ 2014? 湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国 现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高 乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公 式 V 1 L 2 h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2 36 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） 75 A. 22 B. 25 C. 157 D. 355 7 8 50 113 7.(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约 为 P A． 134 石B． 169 石C． 338 石D． 1365 石 F E 8. （ 2015 湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一 D C A B

高考理科历年数学真题及答案

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ， 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ， 在整个图形中随机取一点， 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（）

历年高考数学真题(全国卷整理版)

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()() P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 3 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A U B ＝ A, 则m= A 0或 3 B 0或 3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为

x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212 x +28 y =1 C 28 x +24 y =1 D 212 x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99 101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3则cos2α= (A) 5 （B ） 5 (C) 5 5（8）已知F1、F2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=

历年江苏数学高考试题与答案2004_2015

2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合{}123A =，，，{}245B =，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量()21a =r ，，()2a =-r 1，， 若()()98ma nb mn R +=-∈r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式224x x -<的解集为________. 8.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+= ，则tan β的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为。 10.在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。 11.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{ n a 的前10项和为。 12.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。若点P 到直线 01=+-y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为。 13.已知函数|ln |)(x x f =，? ? ?>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为。 14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos Λ=+=k k k k a k πππ，则∑=+?1201)(k k k a a 的值为。 15.在ABC V 中，已知2,3,60.AB AC A ===o

历年高考数学真题全国卷版

历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则

2011到2016历年高考数学真题

参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3

历年高考数学真题(全国卷整理版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (大纲全国卷) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013大纲全国，理1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．(2013大纲全国，理 2)3 ＝( )． A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i 3．(2013大纲全国，理3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 4．(2013大纲全国，理4)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )． A ．(－1,1) B ．11,2??-- ? ? ? C ．(－1,0) D ．1,12?? ??? 5．(2013大纲全国，理5)函数f (x )＝21log 1x ? ?+ ??? (x ＞0)的反函数f －1 (x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x -(x≠0) C ．2x －1(x ∈R) D ．2x －1(x ＞0) 6．(2013大纲全国，理6)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝4 3 -，则{a n }的前10项和等于( )． A ．－6(1－3－10) B ．1 9(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10) 7．(2013大纲全国，理7)(1＋x )8 (1＋y )4 的展开式中x 2y 2 的系数是( )． A ．56 B ．84 C ．112 D ．168 8．(2013大纲全国，理8)椭圆C ：2 2=143 x y +的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )．

历年全国卷高考数学真题大全解析版

全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =

全国高考理科数学历年试题分类汇编

全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量

1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 （2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==， 则abc 的取值范围是（ ）

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=．

（1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?<

历年全国卷高考数学真题大全解析版

全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ?=+ ?? ?，则下面结论正确的 是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单 位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233??? ???→=+=+ ? ???? ?y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = ∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A =

历年高考数学真题全国卷版

历年高考数学真题全国卷 版 The pony was revised in January 2021

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 13或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +2 8 y =1

C 28x +24y =1 D 212x +2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) （7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3 cos2α= (A) 5 （B ）5 55 （8）已知F1、F2为双曲线C ：x2-y2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=

全国一卷理科数学高考真题及答案

全国一卷理科数学高考 真题及答案 Revised by Chen Zhen in 2021

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） 理科数学 一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合{ }2 430A x x x =-+<，{ } 230x x ->,则A B = （A ）33,2? ?-- ??? （B ）33,2??- ??? （C ）31,2?? ??? （D ）3,32?? ??? 2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 （A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π ,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 7.函数22x y x e =-在[]2,2-的图像大致为 （A ）

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式： 如果事件 A、 B互斥，那么球的表面积公式P(A B) P(A) P(B)S 4R2 如果事件 A、 B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A B) P( A) P( B)球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么V 3 R3 4 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n (k ) C n k p k (1 p)n k (k0,1,2, ? n) 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 13i 1、复数 i = 1 A 2+I B2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合 A ＝{1.3.m }，B＝{1，m} ,A B ＝ A, 则 m= A0或3 B 0或3C1或3 D 1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为 A x2y2 =1B x2y2 =1 16 ++ 12128 C x2y2 =1D x2y2 8 + 12 +=1 44 4已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C1D1中，AB=2 ，CC1= 2 2 E 为 CC1的中点，则直线 AC 1与平面 BED 的距离为 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a n} 的前 n 项和为 S n， a5=5， S5=15，则数列的前100项和为 10099 (C)99101 (A)(B)(D) 100 101101100 （6）△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若a· b=0， |a|=1， |b|=2，则(A)（B）(C)(D)

3 （7）已知 α 为第二象限角， sin α ＋ sin β = 3 ，则 cos2α = - 5 - 5 5 5 (A) 3 （ B ） 9 (C) 9 (D) 3 （8）已知 F1、 F2 为双曲线 C ： x2-y2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|，则 cos ∠ F 1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （ 9）已知 x=ln π ， y=log52 ， z=e 2 ，则 (A)x ＜ y ＜ z （ B ） z ＜ x ＜ y (C)z ＜ y ＜ x (D)y ＜ z ＜ x (10) 已知函数 y ＝ x2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （ 11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列， 要求每行的字母互不相同， 梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 （ A ）12 种（ B ）18 种（ C ）24 种（ D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， AE ＝ BF ＝ 3 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹， 反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ） 16（ B ） 14（ C ） 12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ， y 满足约束条件 则 z=3x-y 的最小值为 _________。 （14 ）当函数 取得最大值时， x=___________ 。 （15 ）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16 ）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50 ° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 ____________。 三.解答题： （17 ）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，已知 cos （ A-C ）＋ cosB=1 ， a=2c ，求 c 。