高考数学《概率与统计》专项练习(解答题含答案)

《概率与统计》专项练习（解答题）

1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机

器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损

零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n ＝19，求y 与x 的函数解析式；

（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；

（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易

损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

解：（Ⅰ）当x ≤19时，y ＝3800

当x ＞19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700

∴y 与x 的函数解析式为y ＝{3800， x ≤19

500x ?5700，x ＞19

(x ∈N )

（Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7

∴n 的最小值为19

（Ⅲ）①若同时购买19个易损零件

则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800

∴平均数为1

100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000

②若同时购买20个易损零件

则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500

∴平均数为1

100(4000×90＋4500×100)＝4050 ∵4000＜4050

∴同时应购买19个易损零件

2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保

频数

10162024

（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求

P (B )的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 解：（Ⅰ）若事件A 发生，则一年内出险次数小于2

则一年内险次数小于2的频率为P (A )＝60+50

200＝0.55 ∴P (A )的估计值为0.55

（Ⅱ）若事件B 发生，则一年内出险次数大于1且小于4

一年内出险次数大于1且小于4的频率为P (B )＝30+30

200＝0.3 ∴P (B )的估计值为0.3

（Ⅲ）续保人本年度的平均保费为

1

200

(0.85a ×60＋a ×50＋1.25a ×30＋1.5a ×30＋1.75a ×20＋2a ×10)＝1.1925a 3．（2016全国Ⅲ卷，文18，12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：

亿吨）的折线图

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理

量． 附注：

参考数据：7

19.32i i y ==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑，

∑=-7

1

2)(i i

y y

＝0.55，√7≈2.646．

参考公式：相关系数r ＝

∑∑∑===----n

i n

i i i

n

i i i

y y t t

y y t t

1

1

2

21

)()()

)((．

回归方程y ?＝a ?＋b ?t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b

?＝∑∑==---n

i i

n

i i i

t t

y

y t t

1

2

1

)()

)((，a ?＝y ?－b

?t 解：（Ⅰ）由折线图中数据得t ＝17

(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4………………1分

由附注中参考数据得

∑=--7

1

))((i i i

y y t t

＝∑=71

i i i y t －∑=7

1

i i y t ＝40.17－4×9.32＝2.89

………………………………………………………………………2分

∑=-71

2

)(i i

t t

＝2

72

62

42

42

32

22

1)4()4()4()4()4()4()4(-+-+-+-+-+-+-t t t t t t t ＝28………………………………………………………………3分

∑

=-7

1

2

)(i i y y ＝0.55………………………………………………4分

r ＝

∑∑∑===----n

i n

i i

i

n

i i i

y y

t t

y y t t

1

1

2

2

1

)

()

()

)((＝

∑∑==-?

-n

i i

n

i i

y y

t t

1

2

1

2

)()(89

.2＝

55

.02889

.2?≈0.99

………………………………………………………………………5分 ∵y 与t 的相关关系r 近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高 ∴可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系…………………………6分

（Ⅱ）y ?＝

7

7

1∑=i i

y

＝

9.327

≈1.331………………………………………………7分

b

?＝∑∑==---n

i i

n

i i i

t t

y y t t

1

2

1

)()

)((＝2.89

28≈0.103…………………………………8分

a ?＝y ?－b

?t ≈1.331－0.103×4≈0.92…………………………………9分 ∴y 关于t 的回归方程为y ?＝0.92＋0.103t …………………………10分 2016年对应的t ＝9…………………………………………………11分 把t ＝9代入回归方程得y ?＝0.92＋0.103×9＝1.82

∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨………12分

4．（2015全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣

传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

8

8

8

8

表中w i ＝√x i ，w ＝18∑i ＝1

w i ．

（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d √x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x

的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的

最小二乘估计分别为β^

＝

∑i ＝1

n

(u i －u )(v i －v )∑i ＝1

n

(u i －u )2

，α^

＝v －β^

u ．

解：（Ⅰ）y ＝c ＋d √x 适宜作为y 关于x 的回归方程类型

………………………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）令w ＝√x ，先建立y 关于w 的回归方程

由于d ^

＝

∑i ＝1

8

(w i －w)(y i －y)∑i ＝1

8

(w i －w)

2

＝

108.81.6

＝68…………………3分

c ^

＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6…………………4分 ∴y 关于w 的回归方程为y ^

＝100.6＋68w …………………5分 ∴y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68√x …………………6分 （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x ＝49时

y 的预报值y ^

＝100.6＋68√49＝576.6…………………7分 z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32…………………9分

（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知

z 的预报值z ^＝0．2(100.6＋68√x )－x ＝－x ＋13.6√x ＋20.12……10分 ∴当√x ＝13.6

2

＝6.8，即x ＝46.24时，z ^

取得最大值…………………11分

∴年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大…………………12分

5．（2015

全国Ⅱ卷，文18，12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别

随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．

B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组

[50，60) [60，70) [70，80) [80，90)

[90，100]

频 数

2 8 14 10

6

（Ⅰ）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

满意度评分低于70分70分到89分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

解：（Ⅰ）

…………4分

B地区的平均值高于A地区的平均值…………5分

B地区比较集中，而A地区比较分散…………6分

（Ⅱ）A地区不满意的概率大…………7分

记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”

C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”…………9分

由直方图得P(C A)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6…………10分

P(C B)＝(0.005＋0.02)×10＝0.25…………11分

∴A地区不满意的概率大…………12分

6．（2014全国Ⅰ卷，文18，12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)

频数 6 26 38 22 8 （Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图；

（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表)；

（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95

的产品至少要占全部产品80%”的规定？

解：（Ⅰ）

…………4分

（Ⅱ）平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100

方差为S 2＝1

100[6×(80－100)2＋26×(90－100)2＋38×(100－100)2

＋22×(110－100)2＋8×(120－100)2]

＝104

∴平均数为100，方差为104…………8分

（Ⅲ）质量指标值不低于95的比例为0.38＋0.22＋0.08＝0.68…………10分

∵0.68＜0.8…………11分

∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定…………12分 7．（2014全国Ⅱ卷，文19，12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位

（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． 解：（Ⅰ）甲的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75

∴样本中位数为75＋75

2＝75

∴甲的中位数是75

乙的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68 ∴样本中位数为66＋682＝67 ∴乙的中位数是67

（Ⅱ）甲的评分高于90的概率为5

50＝0.1

乙的评分高于90的概率为8

50＝0.16

∴甲、乙的评分高于90的概率分别为0.1，0.16 （Ⅲ）甲的中位数高于对乙的中位数

甲的标准差要小于对乙的标准差

甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大

8．（2013全国Ⅰ卷，文18，12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，

随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h )．试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解：（Ⅰ）设A 的平均数为x ，B 的平均数为y

x ＝1

20

(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋

2.9＋

3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3 y ＝1

20

(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.)＝1.6 ∴x ＞y

∴A 药的疗效更好 （Ⅱ）茎叶图如下：

从茎叶图可以看出

A 的结果有7

10的叶集中在茎2，3上 B 的结果有7

10的叶集中在茎0，1上 ∴A 药的疗效更好

9．（2013全国Ⅱ卷，文19，12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产

品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X (单位：t ，100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率．

解：（Ⅰ）当X ∈[100，130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39000

当X ∈[130，150]时，T ＝500×130＝65000

∴T ＝{800X －39000，100≤X ＜130

65000，130≤X ≤150

（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T 不少于57000元，当且仅当120≤X ≤150

由直方图知需求量X ∈[120，150]的频率为0.7

∴下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7

10．（2012全国卷，文18，12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然

后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，

n ∈N )的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10

（ⅰ）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)

的平均数；

（ⅱ）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发

生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．

解：（Ⅰ）当日需求量n ≥17时，利润y ＝85

当日需求量n ＜17时，利润y ＝10n －85

所以y 关于n 的函数解析式为y ＝{10n －85，n ＜17

85，n ≥17

(n ∈N )

（Ⅱ）（ⅰ）解法一：

由表格可得

有10天的日利润为5×14－5×3＝55元 有20天的日利润为5×15－5×2＝65元 有16天的日利润为5×16－5×1＝75元

有16＋15＋13＋10＝54天的日利润为85元

∴这100天的日利润的平均数为1

100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4

（ⅰ）解法二：

由（Ⅰ）y ＝{10n －85，n ＜17

85，n ≥17

(n ∈N )得

当n ＝14时，10天的日利润为10n －85＝10×14－85＝55元 当n ＝15时，20天的日利润为10n －85＝10×15－85＝65元 当n ＝16时，16天的日利润为10n －85＝10×16－85＝75元 当n ≥17时，54天的日利润为85元

∴这100天的日利润的平均数为1

100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4

（ⅱ）利润不低于75元，当且仅当日需求量不少于16枝

∴当天的利润不少于75元的概率为P ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7

11．（2011全国卷，文19，12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明

质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A 配方的频数分布表

指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]

频数 8 20 42 22 8

B 配方的频数分布表

指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110]

频数 4 12 42 32 10 （Ⅰ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为

y ＝{－2，t ＜94

2，94≤t ＜1024，t ≥102

，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．

解：（Ⅰ）A 配方的优质品的频率为

22＋8100

＝0.3 ∴A 配方的优质品率为0.3

B 配方的优质品的频率为

32＋10100

＝0.42

∴B 配方的优质品率为0.42

（Ⅱ）用B 配方的利润大于0，当且仅当t ≥94

∵t ≥94的频率为0.96

∴B 配方的利润大于0的概率为0.96

B 配方的利润为1

100

×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)