王慧兴初等数论各章习题参考解答
第一章习题参考解答
1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是111111111，所以满足条件的最小正整数11111111100a =。
2.解：3在100!的分解式中的指数
()1001001001003100!33113148392781????????
=+++=+++=????????????????
， 在100!的分解式中的指数
()1001001001001002100!50251261942481664??????????=++++=++++=????????????????????， ∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =??=??=?=。
故 max 47n =，min 3M k =，(),61k =。 故 当M 最小值是3的倍数，但不是2的倍数。
3.解：112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-，从而3x 3（n 就不会太大，存在反向关系）。由()()22121n n n x x x -+-?+，得()()2212n n
n x x -+?，
即()()()
12112
2
n
n x x -+?
。
若2n 3，则()()()()
2
51221114
2
4
2
n
n x x
x x
-?+?
?，导致25140x x -+?，无
解。所以，只有1n =，335314x x x +-?，只能是37,14x +=，从而4,11x =。
综上所述，所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。 4.解：按题意，2m n >>，记*,m n k k N =+?；则
()222211111n n k n
k n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-
22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-，
故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。 作带余除法：存在整系数多项式()()q x r x 、，使得
()()()1211k k n x x x x q x r x ++-=+-+，其中()0r x =或()r x 的次数低于n 。
若()r x 的次数低于n ，则()
2lim
01
n x r x x x ?
?
=+-，存在0R >，使得当x R >时，总有
()
211
n r x x x <+-；按题意，存在无穷多个正整数x a =，使得
()()1*22
111
k k n n r x x x q x N x x x x ++-=+?+-+-，即()0r x =，从而 ()()1211k k n x x x x q x ++-=+-，当有1k n +?。
多项式21n x x +-存在零点()0,1a ?，满足12110k k n a a a a ++-=+-=，即12k k n a a a a ++=+。
若1k n +>，则2k >，导致120110k k n a a a a +=+-<+-=，矛盾！
故 1k n +=，2k =，3n =，4m =；满足题设的正整数对()(),4,3m n =。
5.解：记k =，则1k k ?+，即()3
31k n k ?+。
若3
111331n ?，则11k =?，记*N a b g ?、、分别满足：122k a a +?，
122k
b b +?，122k g g +?，按题意，有2235711n a b g 创创，所以
377235711
7723530
k
k k n k a b g 炒创?创??。 由11k 3，可得()11112k k
?，从而()()333
33
7777111130
3012n k k k n >壮?>+>，矛盾！
\ 满足题设的正整数1330n ￡。
下面分段求解。
若9k =?，则5789n 创?，即2520n ，矛盾！
若8k ==，则3578840n n 创篡，从而98k =>，矛盾！
若7k =，则3457420n n 创篡，但840n <，所以最大的正整数420n =。
6.证明：当1n =时，存在唯一的12x =，则有112x ；当2n =时，存在唯一的252x =，有222x ；当3n =时，存在唯一的3552x =，有332x 。
假设当()3n k k =?时，存在由2和5组成的唯一一个十进制k 位正整数k x ，满足2k k x 。
考查两个1k +位正整数：210k
k x ?和510
k
k x ?，由归纳假设，
2102k
k
k
x ?与
5102k k
k
x ?都是正整数，且
5102103522k
k k k
k
k
k
x x ??-=?（奇数）
，则210k k x ?和510k k x ?中
必有一个是12k +的倍数，因此，存在由2和5组成的1k +位十进制正整数1k x +，满足112k k x ++。
如果'
1k x +也是由2和5组成的满足条件的十进制1k +位正整数，记其最左边那一位数
字为{}2,5a ?，则''
110k
k k x a x +=?，其中'k x 是由2和5组成的十进制k 位正整数，由
1'12k k x ++以及210k k a ′，得到'
2k k x 。由归纳假设，k x 是唯一满足条件的由2和5组成的满
足2k k x 的十进制k 位正整数，所以'k k x x =。故1k x +存在且唯一。
由数学归纳法，命题得证。
7.证明：任意三个正整数中必有两个数之和是偶数，所以任取10个互不相同的正整数，其中必有5对()(),1,2,3,4,5i i x y i =满足()21,2,3,4,5i i i x y s i +==。对五个正整数12345,,,,s s s s s ，如果被3除得的余数中0,1,2均出现，则把余数为0,1,2的各取一个，得到三个数之和是3的倍数；如果这5个正整数被3除得的余数至多出现0,1,2中的两个，则由抽屉原理，其中必有3个数除以3的余数相同，这3个数之和是3的倍数。所以，任给10个正整数，其中必有6个数之和是6的倍数。
8.解法一：方程的正整数解()()()*,,,,1x y z x x x N =?都满足,,x yz y zx z xy 。
解法二：构造方程的正整数解()()()*,,,,x y z ab bc ca a b c N =?、、，代入方程，得1ab bc ca -+=，即()1c a b ca -=-，令1c a -=，得到211b ca a a =-=+-，所以，方
程有无穷多个正整数解()()()()()()
()22*,,1,11,1x y z a a a a a a a a a N =++++++?。 9.解：()()()
()()()
111111ab bc ca b c a a b c abc
------=，由对称性，不妨设1a
b c ＃?，
由
()()()()()()111111abc ab bc ca abc ab bc ca abc ab
bc ca ---?--+?+-，
()1abc ab
bc ca ab bc ca a b a c ?+-<++?+，从而23ab a b b <+<，3a <。
当1a =时，()1bc bc b c ++-，即()1bc b c +-，从而2bc b c c <+?，2b <。 所以，()()()*,,1,1,a b c c c N =?。
当2a =时，()2221bc b bc c ++-，从而224bc b
c c ?<，4b <，2,3b =。若2b =，
则443c c +，无解；若3b =，则655c c +，5c ￡，检验，得()(),,2,3,5a b c =。
综上所述，得满足条件的所有正整数三元组(),,a b c 如下：()()()()*1,1,1,,1,1,1c c c t N ?、、以及()()()()()()2,3,52,5,33,2,53,5,25,2,35,3,2、、、、、。
10.解：记()()*1!2!!
n n n f n n N n =+++?L ，则()11f =，当2n 3时，
()()()()*341!11
1!
n n
n n
n f n n N n 鬃??+-?+=+
?-L L 的必要条件是1112n n n -+?，