2019年高考文科数学真题及答案全国卷1
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分150分, 考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.(2019课标全国Ⅰ, 文1)已知集合A ={1,2,3,4}, B ={x |x =n 2
, n ∈A }, 则A ∩B =( ).
A .{1,4}
B .{2,3}
C .{9,16}
D .{1,2} 【答案】A
【考点】本题主要考查集合的基本知识。
【解析】∵B ={x |x =n 2
, n ∈A }={1,4,9,16}, ∴A ∩B ={1,4}.
2.(2019课标全国Ⅰ, 文2)
2
12i
1i +(-)=( ).
A. ?1?1
2i B .11+
i 2
- C .1+12i D .1?12i 【答案】B
【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】
212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=1
1+i 2
-.
3.(2019课标全国Ⅰ, 文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数, 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).
A .12
B .13
C .14
D .16
【答案】B
【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6, 且分别为(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4), 满足条件的事件数是2, 所以所求的概率为
13
. 4.(2019课标全国Ⅰ, 文4)已知双曲线C :2222=1x y a b
-(a >0, b >0)
的离心率为2, 则
C 的渐近线方程为( ).
A . y =±14x
B .y =±1
3
x C .1
2
y x =± D .y =±x
【答案】C
【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵2e =
∴2c a =, 即2254c a =.
∵c 2=a 2+b 2
, ∴2214b a =.∴12
b a =.
∵双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±,
∴渐近线方程为1
2
y x =±.故选C.
5.(2019课标全国Ⅰ, 文5)已知命题p :?x ∈R,2x <3x ;命题q :?x ∈R , x 3=1-x 2
, 则下列命题中为真命题的是( ).
A .p ∧q
B .?p ∧q
C .p ∧?q
D .?p ∧?q 【答案】B
【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。
【解析】由20
=30
知, p 为假命题.令h (x )=x 3
-1+x 2
, ∵h (0)=-1<0, h (1)=1>0, ∴x 3
-1+x 2
=0在(0,1)内有解.
∴?x ∈R , x 3
=1-x 2
, 即命题q 为真命题.由此可知只有?p ∧q 为真命题.故选B.
6.(2019课标全国Ⅰ, 文6)设首项为1, 公比为2
3
的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 则( ).
A . S n =2a n ?1
B .S n =3a n ?2
C .S n =4?3a n
D .S n =3?2a n 【答案】D
【考点】本题主要考查等比数列前n 项和公式。
【解析】11211321113
n
n
n n a a a q a q S q q --(-)===
---=3-2a n , 故选D. 7.(2019课标全国Ⅰ, 文7)执行下面的程序框图, 如果输入的t ∈[-1,3],
则输出的s 属于( ).
A .[-3,4]
B .[-5,2]
C .[-4,3]
D .[-2,5] 【答案】A
【考点】本题主要考查程序框图的认识、分段函数求值域及水性结合的思想。 【解析】当-1≤t <1时, s =3t , 则s ∈[-3,3). 当1≤t ≤3时, s =4t -t 2
. ∵该函数的对称轴为t =
2,
∴该函数在[1,2]上单调递增, 在[2,3]上单调递减. ∴s max =4, s min =3. ∴s ∈[3,4].
综上知s ∈[-3,4].故选A.
8.(2019课标全国Ⅰ, 文8)O 为坐标原点, F 为抛物线C :y 2
=的焦点, P 为C 上
一点, 若|PF |=则△POF 的面积为( ).
A .2
B ...4 【答案】C
【考点】本题主要考查抛物线的定义、数形结合思想及运算能力。
【解析】利用|PF |=P x =可得x P =
∴y P =±∴S △POF =
1
2
|OF |·|y P |=故选C.
9.(2019课标全国Ⅰ, 文9)函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π, π]的图像大致为( ).
【答案】C
【考点】本题主要考查数形结合思想及对问题的分析判断能力。
【解析】由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数.可排除B .当x ∈π0,2
?? ??
?
时, f (x )>0, 排
除A.
当x ∈(0, π)时, f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2
x +cos x +1.令f ′(x )=0, 得2π3
x =
. 故极值点为2
π3
x =
, 可排除D, 故选C.
10.(2019课标全国Ⅰ, 文10)已知锐角△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b ,
c,23cos 2A +cos 2A =0, a =7, c =6, 则b =( ).
A .10
B .9
C .8
D .5 【答案】D
【考点】本题主要考查三角函数的化简, 考查利用余弦定理解三角形以及方程思想。 【解析】由23cos 2
A +cos 2A =0, 得cos 2
A =
125.∵A ∈π0,2??
???
, ∴cos A =15.
∵cos A =2364926b b +-?, ∴b =5或13
5
b =-(舍).
故选D.
11.(2019课标全国Ⅰ, 文11)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ). A .16+8π B .8+8π
C .16+16π
D .8+16π 【答案】A
【考点】本题主要考查三视图。简单组合体的体积。
【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V 半圆柱=
12
π×22
×4=8π, V 长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为16+8π.故选A.
12.(2019课标全国Ⅰ, 文12)已知函数f (x )=22,0,
ln(1),0.
x x x x x ?-+≤?+>?若|f (x )|≥ax , 则a 的取值
范围是( ).
A .(-∞, 0]
B .(-∞, 1]
C .[-2,1]
D .[-2,0] 【答案】D
【考点】本题主要考查数形结合思想、函数与方程思想、利用导数研究函数间关系, 对分析能力有较高要求。
【解析】可画出|f (x )|的图象如图所示.
当a >0时, y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点, 所以排除B, C ;
当a ≤0时, 若x >0, 则|f (x )|≥ax 恒成立. 若x ≤0, 则以y =ax 与y =|-x 2
+2x |相切为界限, 由2
,2,
y ax y x x =??
=-?得x 2
-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2
=0, ∴a =-2. ∴a ∈[-2,0].故选D.
第Ⅱ卷(选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题, 每小题5分.
13.(2019课标全国Ⅰ, 文13)已知两个单位向量a , b 的夹角为60°, c =t a +(1-t )b .若b ·c =0, 则t =______. 【答案】2
【考点】本题主要考查向量的基本知识及运算。
【解析】∵b ·c =0, |a |=|b |=1, 〈a , b 〉=60°, ∴a ·b =111122
??=. ∴b ·c =[t a +(1-t )b ]·b =0,
即t a ·b +(1-t )b 2
=0.
∴
1
2
t +1-t =0. ∴t =2.
14.(2019课标全国Ⅰ, 文14)设x , y 满足约束条件
13,
10,
x x y ≤≤??
-≤-≤?则z =2x -y 的最大值为______. 【答案】3
【考点】本题主要考查简单的线性规划问题。 【解析】画出可行域如图所示.
画出直线2x -y =0, 并平移, 当直线经过点A (3,3)时, z 取最大值, 且最大值为z =2×3-3=3.
15.(2019课标全国Ⅰ, 文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点, AH ∶HB =1∶2, AB ⊥平面α, H 为垂足, α截球O 所得截面的面积为π, 则球O 的表面积为______. 【答案】
9π2
【考点】本题主要考查球及基本几何体的基本知识。 【解析】如图,
设球O 的半径为R , 则AH =
23
R
, OH =
3
R . 又∵π·EH 2
=π, ∴EH =1.
∵在Rt△OEH 中, R 2
=2
2+13R ?? ???
, ∴R 2
=98.
∴S 球=4πR 2
=9π2
.
16.(2019课标全国Ⅰ, 文16)设当x =θ时, 函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值, 则cos θ=______.
【答案】5
-
【考点】本题主要考查三角函数的化简与求值。
【解析】∵f (x )=sin x -2cos x sin(x -φ),
其中sin φφ当x -φ=2k π+π
2
(k ∈Z )时, f (x )取最大值.
即θ-φ=2k π+
π2(k ∈Z ), θ=2k π+π
2
+φ(k ∈Z ). ∴cos θ=πcos 2???
+ ???
=-sin φ
=5-.
三、解答题:解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17.(2019课标全国Ⅰ, 文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,
S 5=-5.
(1)求{a n }的通项公式; (2)求数列21211
n n a a -+?
??
???
的前n 项和.
【考点】本题主要考查等差数列的基本知识, 特殊数列的求和等。 【解析】(1)设{a n }的公差为d , 则S n =1(1)
2
n n na d -+. 由已知可得{3a1+3d =0
5a1+10d =?5
解得a 1=1, d =-1. 故{a n }的通项公式为a n =2-n . (2)由(1)知
21211n n a a -+=1111321222321n n n n ??
=- ?(-)(-)--??
,
从而数列21211
n n a a -+?
??
???
的前n 项和为
1111111211132321n n ??
-+-++- ?---??
L =12n n
-.
18.(2019课标全国Ⅰ, 文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药, B 药)的疗效, 随机地选取20位患者服用A 药, 20位患者服用B 药, 这40位患者在服用一段时间后, 记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数, 从计算结果看, 哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图, 从茎叶图看, 哪种药的疗效更好?
【考点】本题主要考查统计的基本知识。茎叶图等。
【解析】(1)设A 药观测数据的平均数为x , B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得
x =
1
20
(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3,
y =
1
20
(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6.
由以上计算结果可得x >y , 因此可看出A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
从以上茎叶图可以看出, A 药疗效的试验结果有7
10
的叶集中在茎2,3上, 而B 药疗效的试验结果有
7
10
的叶集中在茎0,1上, 由此可看出A 药的疗效更好. 19.(2019课标全国Ⅰ, 文19)(本小题满分12分)如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, CA =CB ,
AB =AA 1, ∠BAA 1=60°.
(1)证明:AB ⊥A 1C ;
(2)若AB =CB =2, A 1C , 求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积.
【考点】本题主要考查线面垂直问题, 考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算能力及转化能力。
【解析】
(1)取AB 的中点O , 连结OC , OA 1, A 1B .
因为CA=CB, 所以OC⊥AB.
由于AB=AA1, ∠BAA1=60°,
故△AA1B为等边三角形, 所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O, 所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C, 故AB⊥A1C.
(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,
所以OC=OA1
又A1C, 则A1C2=OC2+2
1
OA, 故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O, 所以OA1⊥平面ABC, OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC, 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.
20.(2019课标全国Ⅰ, 文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x, 曲线y =f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a, b的值;
(2)讨论f(x)的单调性, 并求f(x)的极大值.
【考点】本题主要考查导数的基本知识, 利用导数判断函数单调性、求极值。
【解析】(1)f′(x)=e x(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4, f′(0)=4.
故b=4, a+b=8.从而a=4, b=4.
(2)由(1)知, f(x)=4e x(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)·
1
e
2
x
??
-
???
.
令f′(x)=0得, x=-ln 2或x=-2.
从而当x∈(-∞, -2)∪(-ln 2, +∞)时, f′(x)>0;
当x∈(-2, -ln 2)时, f′(x)<0.
故f(x)在(-∞, -2), (-ln 2, +∞)上单调递增, 在(-2, -ln 2)上单调递减.
当x=-2时, 函数f(x)取得极大值, 极大值为f(-2)=4(1-e-2).
21.(2019课标全国Ⅰ, 文21)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1, 圆N:(x-1)2+y2=9, 动圆P与圆M外切并且与圆N内切, 圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P, 圆M都相切的一条直线, l与曲线C交于A, B两点, 当圆P的半径最长时, 求|AB|.
【考点】本题主要考查直线、圆、椭圆结合的解析几何的综合问题, 考查考生的分析能力和计算能
力。
【解析】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0), 半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0), 半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x , y ), 半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.
由椭圆的定义可知, 曲线C 是以M , N 为左、右焦点, 长半轴长为2,
短半轴长为
的椭圆(左顶点除外), 其方程为22
=143
x y +(x ≠-2).
(2)对于曲线C 上任意一点P (x , y ), 由于|PM |-|PN |=2R -2≤2, 所以R ≤2, 当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时, R =2. 所以当圆P 的半径最长时, 其方程为(x -2)2
+y 2
=4.
若l 的倾斜角为90°, 则l 与y 轴重合, 可得|AB |
=若l 的倾斜角不为90°, 由r 1≠R 知l 不平行于x 轴, 设l 与x 轴的交点为Q , 则
1
||||QP R
QM r =, 可求得
Q (-4,0), 所以可设l :y =k (x +4).
由l 与圆M
=1, 解得k
=4
±
. 当k
=4时,
将4y x =代入22=143
x y +, 并整理得7x 2+8x -8=0, 解得x 1,2
=47
-±,
所以|AB |
|x 2-x 1|=187
.
当k
=4-时, 由图形的对称性可知|AB |=18
7
.
综上, |AB |
=|AB |=18
7
.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做, 则按所做的第一个题目计分, 做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(2019课标全国Ⅰ, 文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图, 直线AB 为圆的切线, 切点为B , 点C 在圆上, ∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E , DB 垂直BE 交圆于点D . (Ⅰ)证明:DB=DC;
(Ⅱ)设圆的半径为1, BC=√3, 延长CE 交AB 于点F, 求△BCF 外接圆的半径。
【考点】本题主要考查几何证明中的圆的集合性质、切线的相关定理与结论的应用。
【解析】 (1)连结DE, 交BC于点G.
由弦切角定理得, ∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE, BE=CE.
又因为DB⊥BE,
所以DE为直径, ∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)由(1)知, ∠CDE=∠BDE, DB=DC,
故DG是BC的中垂线,
所以BG
设DE的中点为O, 连结BO, 则∠BOG=60°.
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF.
23.(2019课标全国Ⅰ, 文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数
方程为
45cos,
55sin
x t
y t
=+
?
?
=+
?
(t为参数), 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【考点】本题主要考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化。
【解析】(1)将
45cos,
55sin
x t
y t
=+
?
?
=+
?
消去参数t, 化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将
cos,
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
?
?
=
?
代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C 2的普通方程为x 2
+y 2
-2y =0.
由2222
810160,20x y x y x y y ?+--+=?+-=? 解得1,1x y =??=?或0,2.
x y =??=?
所以C 1与C 2
交点的极坐标分别为π4???, π2,2?? ???
. 24.(2019课标全国Ⅰ, 文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f (x )=|2x -1|+|2x +a |, g (x )=x +3.
(1)当a =-2时, 求不等式f (x )<g (x )的解集; (2)设a >-1, 且当x ∈1,22a ??
-
???
?时, f (x )≤g (x ), 求a 的取值范围. 【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法, 分段函数等, 考查考生分析、解决问题的能力。 【解析】(1)当a =-2时, 不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,
则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ?
-?
?
--≤≤??
->???
其图像如图所示.从图像可知, 当且仅当x ∈(0,2)时, y <0.
所以原不等式的解集是{x |0<x <2}. (2)当x ∈1,22a ??
-
???
?时, f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3.
所以x ≥a -2对x ∈1,22a ??
-????
都成立. 故2a -≥a -2, 即a ≤43
.
从而a 的取值范围是41,3?
?- ??
?.