高中数学选修2-2函数的单调性与导数
1.3.1函数的单调性与导数
[学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次).
知识点一函数的单调性与其导数的关系
在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？
答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.
知识点二利用导数求函数的单调区间
利用导数确定函数的单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求出函数的导数f′(x).
(3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间.
知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”.
题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e －
x ；
(3)f (x )＝x ＋1x
.
解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－
3
3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表：
∴函数f (x )的单调递减区间为?
???0，
33，单调递增区间为???
?3
3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e －
x ＋x 2(e －
x )′＝2x e －
x －x 2e －
x ＝e －
x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e －
x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：
∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞).
∵f ′(x )＝1－1
x
2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表：
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“∪”.
跟踪训练1求函数f(x)＝x3－3x的单调区间.
解f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).
当f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1，
此时函数f(x)单调递增；
当f′(x)＜0时，－1＜x＜1，此时函数f(x)单调递减.
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1).
题型二利用导数确定函数的大致图象
例2画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象.
解f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2).
由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞).
由f′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f(x)的递减区间是(－2,3).
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).
反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.
跟踪训练2已知导函数f′(x)的下列信息：
当2＜x＜3时，f′(x)＜0；
当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0；
当x＝3或x＝2时，f′(x)＝0；
试画出函数f (x )图象的大致形状.
解 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，可知函数在此区间上单调递减； 当x ＞3或x ＜2时，f ′(x )＞0，可知函数在这两个区间上单调递增； 当x ＝3或x ＝2时，f ′(x )＝0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变. 综上可画出函数f (x )图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).
题型三 利用导数确定参数的取值范围
例3 已知函数f (x )＝2ax －x 3，x ∈(0,1]，a ＞0，若函数f (x )在(0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围.
解 f ′(x )＝2a －3x 2，
又f (x )在(0,1]上是增函数等价于f ′(x )≥0对x ∈(0,1]恒成立， 且仅有有限个点使得f ′(x )＝0，
∴x ∈(0,1]时，2a －3x 2≥0，也就是a ≥3
2x 2恒成立.
又x ∈(0,1]时，3
2x 2∈????0，32， ∴a ≥3
2
.
∴a 的取值范围是???
?3
2，＋∞. 反思与感悟 已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：
①利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；②利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；③利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置.
跟踪训练3 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1
2ax 2＋2x ，a ≠0.
(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围. 解 (1)h (x )＝ln x －1
2ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，
∴h ′(x )＝1
x
－ax －2.
∵h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，
∴当x ∈(0，＋∞)时，1
x －ax －2＜0有解，
即a ＞1x 2－2
x 有解.
设G (x )＝1x 2－2
x ，
∴只要a ＞G (x )min 即可. 而G (x )＝????1x －12
－1， ∴G (x )min ＝－1， ∴a ＞－1.
(2)∵h (x )在[1,4]上单调递减，
∴x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1
x －ax －2≤0恒成立，
即a ≥1x 2－2
x
恒成立，
∴a ≥G (x )max ，而G (x )＝????1x －12
－1， ∴G (x )max ＝－716
， ∴a ≥－716
.
求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误
例4 求函数y ＝x －ln x 的单调区间.
错解 y ′＝1－1x ，令y ′＝1－1
x ＞0，得x ＞1或x ＜0，所以函数y ＝x －ln x 的单调递增区
间为(1，＋∞)，(－∞，0).令y ′＝1－1
x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数y ＝x －ln x 的单调递减
区间为(0,1).
错因分析 在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方. 正解 函数y ＝x －ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝1－1x
，
令y ′＝1－1
x ＞0，得x ＞1或x ＜0(舍去)，所以函数y ＝x －ln x 的单调递增区间为(1，＋∞).
令y ′＝1－1
x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数y ＝x －ln x 的单调递减区间为(0,1).
防范措施 在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.
1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数
C.在????0，1e 上是减函数，在????1
e ，6上是增函数 D.在????0，1e 上是增函数，在????1
e ，6上是减函数 答案 A
解析 ∵x ∈(0,6)时，f ′(x )＝1＋1
x
＞0，∴函数f (x )在(0,6)上单调递增.
2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，即f (x )为减函数；当x ＞2时，f ′(x )＞0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确.
3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.a ＝1 C.(－∞，1] D.(0,1) 答案 A
解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1， 且f (x )在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0,1)内恒成立， ∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1.
4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为________，减区间为________. 答案 (2，＋∞) (－∞，2)
解析 y ′＝2x －4，令y ′＞0，得x ＞2；令y ′＜0，得x ＜2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).
5.已知函数f (x )＝2ax －1
x ，x ∈(0,1].若f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，则a 的取值范围为
__________. 答案 ???
?－1
2，＋∞ 解析 由已知条件得f ′(x )＝2a ＋1
x 2.
∵f (x )在(0,1]上是增函数，
∴f ′(x )≥0，即a ≥－1
2x 2在x ∈(0,1]上恒成立.
而g (x )＝－1
2x 2在(0,1]上是增函数，
∴g (x )max ＝g (1)＝－1
2.
∴a ≥－1
2
.
当a ＝－12时，f ′(x )＝－1＋1
x 2对x ∈(0,1]有f ′(x )≥0，且仅在x ＝1时，f ′(x )＝0.
∴a ＝－1
2时，f (x )在(0,1]上是增函数.
∴a 的取值范围是???
?－1
2，＋∞.
判断函数单调性的方法如下：
(1)定义法.在定义域内任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)的符号来确定函数的单调性.
(2)图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数.
(3)导数法.利用导数判断可导函数f (x )在区间(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；③确定单调性.
求函数y ＝f (x )的单调增区间、减区间分别是解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0所得的x 的取值集合.反过来，如果已知f (x )在区间D 上单调递增，求f (x )中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f ′(x )≥0在D 上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f (x )中参数的值.同样可以解决已知f (x )在区间D 上单调递减，求f (x )中参数的值的问题.
一、选择题
1.函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，0)
B.(0，＋∞)
C.(－∞，－3)和(1，＋∞)
D.(－3,1)
答案 D
解析 求导函数得y ′＝(－x 2－2x ＋3)e x .
令y ′＝(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，可得x 2＋2x －3＜0， ∴－3＜x ＜1.
∴函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是(－3,1).
2.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－3]∪[3，＋∞) B.[－3，3]
C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D.(－3，3) 答案 B
解析 由题意得f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，且仅在有限个点上f ′(x )＝0，则有Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3. 3.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x e 2 C.y ＝x 3－x D.y ＝ln x －x 答案 B
解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A ；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于C ，y ′＝3x 2－1＝3?
???x ＋
33???
?
x －
33， 故函数在?
???－∞，－
33，???
?33，＋∞上为增函数，
在?
??
?
－
33，
33上为减函数； 对于D ，y ′＝1
x －1 (x ＞0).
故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数.故选B.
4.设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，则当a ＜x ＜b 时，有( ) A.f (x )＞g (x ) B.f (x )＜g (x )
C.f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )
D.f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b ) 答案 C
解析 ∵f ′(x )－g ′(x )＞0， ∴(f (x )－g (x ))′＞0，
∴f (x )－g (x )在 [a ，b ]上是增函数， ∴当a ＜x ＜b 时f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a ).
5.函数y ＝ln |x |
x
的图象大致是( )
答案 C
解析 ∵y ＝f (－x )＝ln |－x |
－x ＝－f (x )，
∴y ＝f (x )＝ln |x |
x
为奇函数，
∴y ＝f (x )的图象关于原点成中心对称，可排除B. 又∵当x ＞0时，f (x )＝ln x
x ，f ′(x )＝1－ln x x 2，
∴当x ＞e 时，f ′(x )＜0，
∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减； 当0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0， ∴函数f (x )在(0，e)上单调递增. 故可排除A ，D ，而C 满足题意.
6.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )＞e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0，＋∞)
B.(－∞，0)∪(3，＋∞)
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(3，＋∞)
答案 A
解析 由题意可知不等式为e x f (x )－e x －5＞0， 设g (x )＝e x f (x )－e x －5， ∴g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]＞0.
∴函数g (x )在定义域上单调递增.
又∵g (0)＝0，∴g (x )＞0的解集为(0，＋∞). 二、填空题
7.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是______________. 答案 ???
?1，32 解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2
－1
x
.由f ′(x )＞0，得函数f (x )
的单调递增区间为????12，＋∞；由f ′(x )＜0，得函数f (x )单调递减区间为????0，1
2.因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1＜12＜k ＋1，解得－12＜k ＜3
2，又因为(k －1，k
＋1)为定义域内的一个子区间，所以k －1≥0，即k ≥1.综上可知，1≤k ＜3
2
.
8.函数y ＝f (x )在其定义域????－3
2，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.
答案 ???
?－1
3，1∪[2,3) 9.函数y ＝ln(x 2－x －2)的递减区间为________. 答案 (－∞，－1)
解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )＜0得x ＜－1或1
2＜x ＜2，注意到函数定义域为(－∞，－
1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1).
10.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在????1
2，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________. 答案 [3，＋∞)
解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在????1
2，＋∞上是增函数， 故f ′(x )＝2x ＋a －1
x 2≥0在????12，＋∞上恒成立， 即a ≥1
x 2－2x 在????12，＋∞上恒成立. 令h (x )＝1x 2－2x ，则h ′(x )＝－2
x
3－2，
当x ∈????12，＋∞时，h ′(x )＜0，则h (x )为减函数， 所以h (x )＜h ????
12＝3，所以a ≥3. 三、解答题
11.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围. 解 (1)∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，∴a ＋b ＝4.① f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .
由条件f ′(1)·???
?－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 由①②解得a ＝1，b ＝3.
(2)f (x )＝x 3＋3x 2，则f ′(x )＝3x 2＋6x . 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，∴m ≥0或m ≤－3.
12.已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a －b (a ，b ∈R ，a ＞1)，e 是自然对数的底数. (1)试判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)当a ＝e ，b ＝4时，求整数k 的值，使得函数f (x )在区间(k ，k ＋1)上存在零点. 解 (1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a . ∵a ＞1，∴当x ∈(0，＋∞)时，ln a ＞0，a x －1＞0， ∴f ′(x )＞0，
∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.
(2)∵f (x )＝e x ＋x 2－x －4，∴f ′(x )＝e x ＋2x －1， ∴f ′(0)＝0.
当x ＞0时，e x ＞1，∴f ′(x )＞0， ∴f (x )是(0，＋∞)上的增函数. 同理，f (x )是(－∞，0)上的减函数.
又f (0)＝－3＜0，f (1)＝e －4＜0，f (2)＝e 2－2＞0， 当x ＞2时，f (x )＞0，
∴当x ＞0时，函数f (x )的零点在(1,2)内， ∴k ＝1满足条件.
f (0)＝－3＜0，f (－1)＝1e －2＜0，f (－2)＝1
e 2＋2＞0，
当x ＜－2时，f (x )＞0，
∴当x ＜0时，函数f (x )零点在(－2，－1)内， ∴k ＝－2满足条件. 综上所述，k ＝1或－2. 13.求下列函数的单调区间. (1)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2； (2)f (x )＝a ln x ＋x －1
x ＋1
(a 为常数).
解 (1)函数y ＝ln (2x ＋3)＋x 2定义域为????－3
2，＋∞. ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，
∴y ′＝2
2x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.
当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－1
2时，
函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增. 当y ′＜0，即－1＜x ＜－1
2时，
函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减.
故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为????－32，－1，????－1
2，＋∞； 单调递减区间为????－1，－1
2. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝a x ＋2
(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2
.
当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)， ①当a ＝－1
2
时，Δ＝0，g (x )≤0，
f ′(x )＝－1
2
(x －1)2
x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减.
②当a ＜－1
2
时，Δ＜0，g (x )＜0，
f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减. ③当－1
2
＜a ＜0时，Δ＞0.
设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点， 则
x 1＝
－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1
a
.由
x 1＝
a ＋1－2a ＋1
－a
＝
a 2＋2a ＋1－2a ＋1
－a
＞0，
所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， 综上可得：
当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1
2时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；
当－1
2
＜a ＜0时，
f (x )在? ????0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，? ??
??－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，
在? ??
??－(a ＋1)＋2a ＋1a ，
－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增.
高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高中高考数学专题复习《函数与导数》
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
高中数学(函数和导数)综合练习含解析
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
1.3.1函数的单调性与导数教案
§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A
高中数学函数与导数综合复习
高二数学函数与导数综合复习 一、知识梳理： 1．基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则： 常用函数导数公式：='x ； =')(2 x ；=')(3 x ；=')1 (x ； 初等函数导数公式：='c ； =')(n x ；=')(sin x ；=')(cos x ； =')(x a ； =')(x e ；=')(log x a ；=')(ln x ； 导数运算法则：（1）/ [()()]f x g x ±= ；（2）)]'()([x g x f ?= ； （3）/ ()[ ]() f x g x = [()0].g x ≠ 2．导数的几何意义：______________________________________________________________________； 曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为________________________________________． 3．用导数求函数单调区间的一般步骤： （1）__________________________________; （2）________的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；_______的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 4. 利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值； ⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值. 二．巩固练习： 1．一个物体的运动方程为21s t t =-+ 其中S 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时 速度是 （ ） A 、 7米/秒 B 、6米/秒 C 、 5米/秒 D 、 8米/秒 2. 在0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?中，x ?不可能 （ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于0 3. 已知曲线3 2x y =上一点)2,1(A ，则A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6x ?＋2(x ?)2 D ．6 4. 设)(x f y =存在导函数，且满足12) 21()1(lim 0 -=??--→?x x f f x ，则曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线 斜率为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2
高二数学 几种常见函数的导数
高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=??? ??．x x 21 )'(= 二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程： （一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)． 证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说，常数函数的导数等于0． 公式2： 函数x x f y ==)(的导数 证明：（略） 公式3： 函数2)(x x f y ==的导数 公式4： 函数x x f y 1)(==的导数 公式5： 函数x x f y ==)(的导数 （二）举例分析 例1. 求下列函数的导数． ⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习
求下列函数的导数： ⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x x y 2= 例2．求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3．已知曲线2x y =上有两点A （1，1），B （2，2）。 求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率； （3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程 例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离． （三）课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=?? ? ??．x x 21)'(= （四）课后作业 《习案》作业四
1.3.1函数的单调性与导数教案
1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与
知识点一-导数与函数的单调性
1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；
导数与函数的单调性练习题
2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0
高中数学函数与导数常考题型归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．
函数的单调性与导数教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.
2、过程与方法目标： 会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标： 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点：1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点：1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解. 教法设计： 1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型：新授课 教学过程 教学过程设计意图
专题一：导数与函数的单调性
专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。
高中数学函数与导数练习题
1、讨论函数在内的单调性 2、作出函数22||3y x x =--的图像，指出单调区间和单调性 3、求函数[]()251x f x x = -在区间，的最大值和最小值 4 、使函数y = 的最小值是 2的实数a 共有_______个。 5、已知函数()f x 的定义域为R ，且对m 、n R ∈，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()02f -=，当12 x >-时，()0f x > （1）求证：()f x 是单调递增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 6、已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(23)f x f x -<-，求x 的取值范围。 四、强化训练 1、已知()f x 是定义在R 上的增函数，对x R ∈有()0f x >，且(5)1f =，设1()()()F x f x f x =+，讨论()F x 的单调性，并证明你的结论。 2、设函数2 ()22f x x x =-+（其中[,1]x t t ∈+，t R ∈）的最小值为()g t ，求()g t 的表达式 3、定义域在(0,)+∞上的函数()f x 满足：（1）(2)1f =；（2）()()()f xy f x f y =+； （3）当x y >时，有()()f x f y >，若()(3)2f x f x +-≤，求x 的取值范围。 4、已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈， 都满足()()()f ab af b bf a =+ （1）求(0)f ，(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性，并加以证明 223f(x)x ax =-+(2,2)-
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．
12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；
高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ??1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln 1a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解.
2015高考复习专题五 函数与导数 含近年高考试题
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
高中数学函数与导数章节知识点总结
高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为：
考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点