九年级数学锐角三角形的简单应用

中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案解析

中考数学锐角三角函数-经典压轴题含答案解析 一、锐角三角函数 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中， 3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．

【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D． (1)求证：PA是☉O的切线； (2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=. 【解析】 试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线； （2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值． 试题解析：（1）连接OB，则OA=OB， ∵OP⊥AB，∴AC=BC， ∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB， 在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO，PB=PA， ∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA， ∴PA是⊙O的切线； （2）连接BE，

九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题

锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围】 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． 第1题图 ①斜边 ) (sin = A ＝______， 斜边)(sin = B ＝______； ②斜边 )( cos =A ＝______， 斜边 ) (cos =B ＝______； ③的邻边A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠= ＝______． 例2. 锐角三角函数求值： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ． 典型例题： 类型一：直角三角形求值 1．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．

2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点， ?= ∠4 3 sin AOC 求AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 5B ．25 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．32 C ．35 D ．4 5 D C B A O y x 第8题图

九年级数学下册相似三角形测试题人教新课标版

相似三角形测试题 一、选择题（40分） 1. 如图1，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A． AD BC DF CE =B． BC DF CE AD = C． CD BC EF BE =D． CD AD EF AF = 图4 图2 图3 2. 如图2所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③ AC AB CD BC =；④ 2 AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4 3. 如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4. 若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（） A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D 5. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4 及x，那么x的值（） A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有 无数个 6. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4，某女 士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高 度大约为（） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 7. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（） 8. 在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图5所示的方式折叠，使点 A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（） A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5 9. 如图6，在Rt ABC △中，90 ACB ∠=°，3 BC=，4 AC=，AB的垂直平分 线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（） A． 3 2 B． 7 6 C． 25 6 D．2 图6 图7 10. 如图7，AB是O ⊙的直径，AD是O ⊙的切线，点C在O ⊙上，BC OD ∥，23 AB OD == ，, 则BC的长为（） A． 2 3 B． 3 2 C D 二、填空题（30分） 11．如图8是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC的长 约为cm．（结果精确到0.1cm） 图8 图9 图10 12. 如图9，ABC △与AEF △中，AB AE BC EF B E AB ==∠=∠ ，，，交EF于D．给出下 列结论：①AFC C ∠=∠；②DF CF =；③ADE FDB △∽△；④BFD CAF ∠=∠． 其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）． 13. 如图10，Rt ABC △中，90 ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于 点F，若 1 3 AEG EBCG S S = △四边形 ，则 CF AD =． 14. 如图11，锐角△ABC中，BC＝6,, 12 = ?ABC S两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC， 以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）, 当x ＝，公共部分面积y最大，y最大值是多少？ A.

九年级数学教案-锐角三角形(1)

年级 九年级 课题 28.1 锐角三角函数（1） 课型 新授 教学媒体 多媒体 教 学 目 标 知识 技能 1．初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦，当锐角固定时，它的正弦值是定值； 2．能根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值. 过程 方法 经历探究锐角三角函数的定义的过程，逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种规律所揭示的数学内涵. 情感 态度 使学生体验数学活动中的探索与发现，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力，学会用数学的思维方式思考，发现，总结，验证. 教学重点 正确理解正弦（sinA ）概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值 教学难点 理解在直角三角形中，对于任意一个锐角，它的对边与斜边的比值是固定值. 教 学 过 程 设 计 教学程序及教学内容 师生行为 设计意图 一、复习引入 1.回忆直角三角形有哪些特殊性质？ 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=10m ，?求AB ； 3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=20m ，?求 AB. 二、自主探究 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考：1.如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ 2.如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值等于 12 思考：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是 一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值是 22. 探究：从上面两个问题的结论中可知，?在Rt △ABC 中，∠C=90°， 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 12 ，是一个固定值；? 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值． 这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么'''' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 教师引导学生回顾直角三角形性质，学生完成两个铺垫练习. 教师提出问题，引导学生思考，逐步从特 殊到一般的理解锐 角的正弦概念. 在特殊角的基础上 提出一般性问题，教师再次引导学生利 用相似三角形知识，得到：在直角三角形中，当锐角A 的度数 一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值. 复习直角三角形的性质，在此基础上探究新问题. 让学生初步体验一个锐角确定以后，它的对边与斜边的比值也随之不变的事实，为锐角的正弦的引出提供背景. 培养学生从特殊到一般的演绎推理能力.

人教版九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版

人教版九年级数学下册相似三角形同步练习新人教版 专题一相似形中的开放题 1．如图，在正方形网 2．格中，点A﹨B﹨C﹨D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A﹨D﹨E为顶点的三角形与△ABC相似． 1．已知：如图，△ABC中，点D﹨E分别在边AB﹨AC上.连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC﹨BE，∠BDE+∠BCE=180°. (1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）； (2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似 的理由. 专题二相似形中的实际应用题 3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.

专题三相似形中的探究规律题 4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm的矩形纸条a1﹨a2﹨a2…若使裁得 的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( ) A．24 B．25 C．26 D．27 5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3． （1）如图①，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，求正方形的边长； （2）如图②，正方形DKHG，EKHF组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； （4）如图④，n个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长． 专题四相似形中的阅读理解题 6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义﹨判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助他们探索下列问题： (1)写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似； (2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的 弧长为；

初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题

锐角三角函数知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、特殊角的三角函数值 5、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。 2、应用举例： ①仰角：视线在水平线上方的角； ②俯角：视线在水平线下方的角。 对边 邻边 b

③坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示， 即 h i l = 。坡度一般写成1:m的形式，如1:5 i=等。把坡面与水平面 的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α== 。 ④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。 如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 ⑤指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫 做方向角。 如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向）， 南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60° （西北方向）。 锐角三角函数练习 一、选择题 1、把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A、A′的正弦值的关系为（）．A．sinA＝sinA′ B． sinA＝2sinA′ C．2sinA＝sinA′ D．不能确定 2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinA的值是（） A．3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 3、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC等于（） A． B ． C． D． 1 3 4、如果∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则COSα的值是（） Ａ．1 2 Ｂ．2Ｃ．1 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 若AC= AB=则tan∠ACD的值为（） : i h l = h l α D C B A

初三数学锐角三角函数通用版

初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括：正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠；把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即c b A A cos =∠=斜边的邻边；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法： 【解题方法指导】 例1. （2000年成都市）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，D 是AC 的中点，那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数

分析：在Rt △ABC 中，由∠ABC ＝60°，可知3BC AC 60tan == ，即AC ＝3BC ，又CD ＝ 1 2 AC ，tan ∠DBC 可求。 解：在△ABC 中， ∵∠C ＝90°，∠ABC ＝60°， ∴tan ∠ABC ＝tan60°＝3BC AC =， ∴AC ＝3BC 。 又D 是AC 中点， ∴DC ＝ 12AC ＝32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析：在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. （2001年四川）在Rt △ABC 中 ，CD 是斜边AB 上的高，已知3 2 ACD sin = ∠，那么=AB BC ______。 分析：由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ，可得∠ACD ＝∠B ，由sin ∠ACD ＝ 2 3 ，那么sinB ＝23，设AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝32522-=，则AB BC 可求。 解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠ACD ＝∠B 。 又sin ∠ACD ＝sinB ＝ 23 ， 可设AC ＝2，AB ＝3， ∴BC ＝32522-=。

九年级数学下册锐角三角形教案

斜边c 对边a b C B A 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12 ，是一个固定值；? 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于2 2 ，也是一个固定值． 这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角 时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt △ABC 和Rt △A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 得到：在直 角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值. 正弦函数概念： 在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ． 在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝ A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值． 三、课堂训练 课本第64页练习． 补充： 1．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ） ?∠A 的对边与斜 边的比都是一个 固定值. 教师给出锐角的 正弦概念，学生理 解认识. 学生理解认识30° 和45°的正弦值， 尝试独立完成例 1，两名学生板书， 并解释做题依据与过程，师生评议，达成一致. 教师组织学生进行练习，学生独立完成，之后，由学生口答，说明依据. 学生谈本节课收获，教师 完善补充强调. 小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值。”为基础给出锐角正弦概念，结合图形，便于学生理解认识和应用. 巩固加深对锐角正弦的理解和应用，培养学生应用意识以及综合运用知识的能力，并为此获得成功的体验. 加强教学反思，将知识进行系统整理，总结方法，形成技能，提高学生的学习效果.

上海初三上数学专题训练之锐角三角比专题复习

学科教师辅导讲义讲义编号： 学员编号：年级：初三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题锐角三角比专题复习 授课时间 教学目标指导学生理解直角三角形中五个元素的关系， 掌握运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形。 重点、难点解直角三角形和三角比之间的关系。 考点及考试 要求 理解并掌握锐角三角比的概念；掌握锐角三角比的计算；掌握解直角三角形。 教学内容 一、知识点梳理与学习——锐角三角比 解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。 1、明确——解直角三角形的依据和思路 在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。 因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是 （1）边角之间的关系：sin∠A＝cos∠B＝a c ， cos∠A＝sin∠B＝ b c ， tan∠A＝cot∠B＝a b ， cot∠A＝tan∠B＝ b a 。 （2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°

（3）三条边之间的关系： 以上每个边角关系式都可看作方程。 解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。 2、解直角三角形的基本类型和方法 我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？ 事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。 由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。 二、例题讲解 例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1，求AB的长。 【小结】本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是：由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。

人教版九年级下册相似三角形数学教案

相似三角形 教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质 教学重点：相似三角形的判定与性质 教学过程： 一 知识要点： 1、相似形、成比例线段、黄金分割 相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。 相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a （或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。这种分割称为黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 例1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ （2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？ （3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/ 例2：判断下列各组长度的线段是否成比例： （1）2厘米，3厘米，4厘米，1厘米 （2）1·5厘米，2·5厘米，4·5厘米，6·5厘米 （3）1·1厘米，2·2厘米，3·3厘米，4·4厘米 （4）1厘米， 2厘米，2厘米，4厘米。 例3：某人下身长90厘米，上身长70厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的高跟鞋？ 例4：等腰三角形都相似吗？ 矩形都相似吗？ 正方形都相似吗？ 2、相似形三角形的判断： a 两角对应相等 b 两边对应成比例且夹角相等

c 三边对应成比例 3、相似形三角形的性质： a 对应角相等 b 对应边成比例 c 对应线段之比等于相似比 d 周长之比等于相似比 e 面积之比等于相似比的平方 4、相似形三角形的应用： 计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段 例题 1 ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于点E ，交DC 于点F ，试找出图中所有的相似三角形 2如图在正方形网格上有6个斜三角形：a:ABC ； b: BCD c: BDE d: BFG e: FGH f: EFK ，试找出与三角形a 相似的三角形 3、在 中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2厘米每秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以4厘米每秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B PBQ ABC 相似？ B C G

人教版九年级下册相似三角形中考题

相似三角形题集 一、选择填空题 1、如图1,已知AD 与BC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ） A 、70° B 、60° C 、80° D 、120° 图2 图3 2、如图2，在矩形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，AE BD ⊥，垂足为点O ，则 AB BC 的值等 于 ． 3、在ABC △中(图3)，P 是AC 上一点，连结BP ，要使ABP ACB △∽△，则必须有ABP ∠= 或APB ∠= 或AB AP = ． 4、如图4，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似. 5、已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则 MA MC 的值是________． 6、如图5，等边△ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP =1，点D 为AC 上一点,若∠APD =60°， 则CD 长是 ( ) Ａ、 32 Ｂ、43 Ｃ、21 Ｄ、2 3 7、如图6,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点, BM ⊥CE,AB=6,则BM=______. 图4 图5 图6 8、如图7，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） A B C D O 图1 Ａ Ｐ Ｃ Ｂ D P C A B A B C Ａ Ｂ Ｏ Ｅ C Ｄ

9、如图8,在矩形ABCD 中，DH ⊥AC ，如果AH=9cm ，CH=4cm ，那么ABCD S 四边形=（ ） A 、782 cm B 、762 cm C 、772 cm D 、752 cm 图8 图9 图10 10、如图9，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，则:D M N C E M S S △△ 等于（ ） Ａ、1:3 Ｂ、1:2 Ｃ、1:4 Ｄ、1:5 11、如图10，△ABC 中，PQ ∥BC ，若3=?APQ S ，6=?PQ B S ，则=?cQ B S （ ） A ．18 B ．16 C ．9 D ．10 12、如图11，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点， ,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A 、1 : 3 B 、1 : 9 C 、1 : 8 D 、1 : 2 13、已知ABC DEF △∽△，相似比为3:1，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A 、6 B 、3 C 、2 D 、54 14、如图12，线段AB 、CD 相交于E ，AD EF BC ∥∥，若1 2AE EB =∶∶，1ADE S =，则AEF S 等 于（ ） Ａ、23 Ｂ、4 Ｃ、2 Ｄ、4 3 15、如图13，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（ ） Ａ、31 Ｂ、92 Ｃ、91 Ｄ、9 4 P Q C B A H D C B A Ａ N D B C E M B A C D E Ｄ Ａ Ｅ Ｆ Ｂ C E H F G C B A 图13

初三数学锐角三角比

初三数学锐角三角比 （本卷满分：120分，完卷时间：120分钟） 一、填空题（本大题共16题，每题2分，满分32分） 1.在△ABC 中,∠A 与∠B 互余,并且sinA +cosB =3，那么ctgA 的值为________. 2.直角三角形中,一锐角的正切值为34 ,周长为24,则斜边长为_________. 3.在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =60°,ab 则c = . 4.若α为锐角,且tg (α-10°)-1=0，则α=_______. 5.若tg α=3,则233sin cos sin cos αααα -+的值为_________. 6.已知α与β互为余角,且tg α=3-1则tg β=__________. 7.矩形的一条对角线与一边所夹的角为60°,如果该对角线长为42cm ,则矩形的一组邻边的长分别 是_____cm ,______cm 8.若等腰三角形的腰长为2, 底边长为则顶角的为 度 9.若等腰梯形下底长4cm ,底角的余弦为35 ,高为2cm ,则上底长为 cm 10.若矩形两条对角线所夹锐角为60°,它的短边长为4cm,则长边长为 cm 11.当m = 时,方程2(5)(25)120m x m x +--+=两根为一个直角三角形两锐角的余弦 12.在△ABC 中,AB =15,AC =20,BC 边上的高AH =12,则BC = 13.菱形ABCD 的对角线AC =10,面积为30,则2A ctg = 14.如图,△ABC 中,PC ⊥AC ,∠BCP 的正切值为 13,P 是AB 的中点， 则∠A 的正弦值为 . 二、 选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 【每题列出的四个答案中,有且只有一个是正确的,请你把正确答案的代号填入括号内】 15.在△ABC 中,若cosB =sinA ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定的三角形 16.已知α为锐角,cos α=23 ，那么ctg α的值为( ) A.35 B.52 C.25 5 D.53 17.Rt △ABC 中,∠C =90°,a 、b 满足a 2-ab -b 2=0,则tgA 等于( ) A.1 B.152+ C.152- D.152 ± P B C A 第14题图

沪教版(上海)九年级上册数学-25.1-25.2-锐角的三角比的意义-求锐角的三角比的值-教学案

锐角的三角比的意义 求锐角的三角比的值 教案 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数的定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边； 锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cot A b A A a ∠= =∠的邻边的对边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边； cot B a B B b ∠== ∠的邻边的对边 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切、余切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA ，cotA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，cot A ?不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A ，cot 与∠A 的乘积．书写时习惯上 省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不 B C a b c

第3套人教版初中数学九年级下册28.1锐角三角形函数教案

锐角三角形函数 章节 第四章 课题 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用. 2.掌握特殊角三角函数值， 并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简； 3.掌握互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化 简。 4. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值 求它对应的锐角． 教学重点 掌握特殊角三角函数值，并能运用进行计算和化简；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角． 教学难点 互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化 简. 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.直角三角形的边角关系（如图） （1）边的关系（勾股定理）：AC 2+BC 2=AB 2； （2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系： ①：00901230C BC AB A ?∠=??=?∠=?? ②：锐角三角函数： ∠A 的正弦=A a sin A=c ∠的对边，即斜边； ∠A 的余弦=A b cos A=c ∠的邻边，即斜边 , ∠A 的正切=A a tan=A b ∠的对边，即∠的邻边 注：三角函数值是一个比值． 2.特殊角的三角函数值． 3.三角函数的关系 4.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较 ①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。 (2) 异名三角函数的大小比较 ①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA

中考数学锐角三角函数的综合题试题及答案

中考数学锐角三角函数的综合题试题及答案 一、锐角三角函数 1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62 或 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE； （3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得. 【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K， ∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO， ∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK， ∵△EFK是直角三角形，∴OF=1 2 EK=OE； （2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF， ∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF， ∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF， ∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE； （3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H， ∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2， 在Rt△EFK中，tan∠3 ∴∠FEK=30°，∠EKF=60°， ∴EK=2FK=4，OF=1 2 EK=2， ∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2， 在Rt△PHF中，PH=1 2 PF=1，3OH=23 ∴()2 2 12362 +-=

上海初三数学锐角三角函数

第五讲 锐角三角函数 【问题探索】 一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中： ?===2 2 2111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？ （2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？ 【新课引入】 由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。 1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即： b a A A A =∠∠= 的邻边的对边tan 同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________. 3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。 （你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考： 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表： 【总结归纳】 1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键； 2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。 C C 1 C 2

人教版九年级锐角三角函数全章教案

第二十八章锐角三角函数 28．1 锐角三角函数（1） 教学目标： 1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。能根据正弦概念正确进行计算。 2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 教学重点： 理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 教学难点： 引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测 量旗杆高度。小明站在离旗杆底部10米远处，目 测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 34 1米 10 米 ?

二、探索新知 【活动一】问题的引入 【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 1 【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比 AB BC ，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 2。 【问题三】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图：Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1中，∠C=∠C 1=90o ， ∠A=∠A 1=α，那么与 有 什么关系 分析：由于∠C=∠C 1 =90o ，∠A=∠A 1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A 1B 1C 1， ，即