隧道力学数值方法

第一章

1、 隧道力学：是岩土力学的一个重要组成部分。其所采用的数值方法与结构物的周围环境、 施工方法等因素息息相关。 研究范围：隧道围岩的工程地质分级；隧道和地下结构物的静力分析和动力分析；现场测试和室内模型试验与数值方法的相互验证及参数获取；岩土物理力学性质和本构关系的研究

2、 隧道与地下结构设计模型：经验法、收敛—约束法、结构力学法、连续介质法

第二章

相应减少，同时还能够保证较高的计算精度1、对原结构可采用不规则单元，真实模拟复杂的边界形状。2、建立一基准单元：通过简单变化，能代表各类曲边、曲面单元，且完全不影响单元的特性计算；或不规则单元变换为规则单元，从而容易构造位移模式。3、引入数值分析方法，对积分做近似计算。在基准单元上实现规则化的数值积分，可使用标准数值计算方案，形成统一程序。等参变换条件：如果坐标变换和未知函数（如位移）插值采用相同的节点，并且采用相同的插值函数。

第三章

1.非线性问题：采用数值方法分析结构时，离散化后得到代数方程组：KU+F=0，当总刚度矩阵K 中的元素k ij 为常量时，所代表的的问题为线性问题，当k ij 为变量时，则式为非线性方程组，它所描述的问题为非线性问题。材料非线性：指的是当应力超过某一限值后，应力与应变的变化不成线性关系，但应变与位移的变化仍成线性关系。几何非线性：指的是当应变或应变速率超过某一限值以后，应变与位移的变化不成线性关系，但应力与应变的变化仍成线性关系。 有些情况下，非线性问题即包括材料非线性又包括几何非线性的特征。

2.非线性问题的四种求解方法

直接迭代法 ：① 给定初值0x 、计算精度； ② 用迭代格式()1k k x g x +=进行迭代计算； ③ 判断迭代结果是否满足收敛判据，如果满足，终止计算并输出结果，否则返回步骤②。 特点：适用于求解很多场的问题，但不能保证迭代过程的收敛。

牛顿法—切线刚度法：使用函数f(x ）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。 其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛 。特点：如果初始试探解误差较大，则迭代过程也可能发散。只要初始刚度矩阵式对称的，则切线刚度矩阵将始终保持对称，而在大变形下割线刚度矩阵则不一定能保持这种对称性。

修正的牛顿法—初始刚度法 ：每条线均为平行，均采用初始刚度，显然不用每次迭代都计算刚度矩阵，迭代次数增多，但计算时间不一定多。特点：对于材料应变软化以及体系中塑性区域发展范围较大的情况，采用初始刚度矩阵仍能取得迭代求解的收敛，而在这种情况下采用切线刚度法则难以甚至不能达到收敛。

混合法该法为切线刚度法与初始刚度法联合使用的方法。为此必须采用增量加荷的方式，将总荷载分成几级，逐级加荷。在每一级荷载作用下采用一种初始刚度进行迭代运算，达到收敛后再施加下一级荷载，并采用新的切线刚度矩阵[]r K 进行迭代运算。

3.岩土材料的弹塑性应力应变关系即本构关系四个组成部分：1.屈服条件和破坏条件，确定材料是否塑性屈服和破坏。

2.硬化定律，指明屈服条件由于塑性应变而发生的变化。

3.流动法则，确定塑性应变的方向。

4.加载和卸载准则，表明材料的工作状态。

4.屈服函数：为一种标量函数，它在主应力空间的图像称为屈服面。屈服面也可以看成是由多个屈服的应力点连接起来所构成的一个空间曲面。屈服面所包围的空间区称为弹性区。在弹性区内的应力点处于弹性状态，位于屈服面上的应力点处于塑性状态。

屈服面与π平面的交线称为π平面上的屈服曲线；屈服面与子午平面的的交线称为子午面上的屈服曲线。

π平面上的屈服曲线特点：1.屈服曲线是一条封闭的曲线或主应力空间对角线上的一个点。屈服面以内为弹性区域，所以屈服面必须是封闭的，否则会存在某些永不屈服的应力点。静水压力也可引起屈服，而在空间对角线上123==σσσ，这正好对应静水压力情况。2.屈服曲线对称于π平面内的三个坐标轴123σσσ'''，，，这是由于根据各项同性假定，屈服不随坐标方向的改变而变化。因此屈服曲线对称于直线LL MM NN '''、、。为此，只要确定出60?范围内的一段曲线，就可以将它对称开拓而得到整个屈服曲线。3.屈服曲线相对于坐标原点为外凸曲线，这是由屈服面处处外凸。

5.几种常见屈服准则的优缺点、使用范围及几何意义

1、Mohr-Coulomb 屈服准则

优点：（1）反映岩土类材料的抗压强度不同的S-D 效应对正应力的敏感性，（2）反映了静水压力三向等压的影响，（3）简单实用，参数简单易测。

缺点：（1）没有反映中主应力2σ对屈服和破坏的影响（2）没有考虑单纯静水压力引起的岩土屈服的特性（3）屈服面有转折点，棱角，不连续，不便于塑性应变增量的计算。几何意义：屈服面为不规则的六角锥面。

2、Tresca 准则

优点：当知道主应力的大小顺序，应用简单方便

缺点：（1）没有考虑正应力和静水压力对屈服的影响。（2）屈服面有转折点，棱角，不连续. 几何意义：在主应力空间内，屈服面为一无限延伸的正六边形柱面。

3、Zienkiewice-Pande 准则

优点：（1）三种曲线在子午面上都是光滑曲线，利于数值计算（2）在一定程度上考虑了屈服曲线与静水压力的非线性关系（3）在一定程度上考虑了中主应力2σ对屈服和破坏的影响。几何意义：屈服面为一种应变硬化椭圆屈服面。

4、Mises 屈服准则

优点：（1）考虑了中主应力2σ对屈服和破坏的影响（2）简单实用，材料参数少，易于实验测定（3）屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算

缺点：（1）没有考虑静水压力对屈服的影响（2）没有考虑单纯静水压力p 对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性（3）没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D 效应。几何意义：屈服面为一无限延伸的圆柱面。

5、Drucker-Prager 屈服准则

优点：（1）考虑了中主应力2σ对屈服和破坏的影响（2）简单实用，材料参数少，可以由C-M 准则材料常数换算（3）屈服曲面光滑，没有棱角，利于塑性应变增量方向的确定和数值计算（4）考虑了静水压力对屈服的影响（5）更符合实际

缺点：（1）没有考虑单纯静水压力p 对岩土类材料屈服的影响及屈服与破坏的非线性特性（2）没有考虑岩土类材料在偏平面上拉压强度不同的S-D 效应。几何意义：屈服面为圆锥面。

第四章

1.蠕变：材料在恒定荷载作用下其应变随时间而增长的现象。材料的粘性：材料在外荷载施加速度增大的情况下，其应力随应变速率d dt

εε

=而增长的现象。应力松弛：在应变保持不变的情况下，其应力随时间而衰减的现象。流变：材料在弹塑性或塑性工作阶段均能呈现出蠕变、流动和应力松弛的形态统称为

宾哈姆模型：基本元件：弹簧粘体滑块三种元件组合之后得到粘弹塑性模型时弹性变形时代入

得积分得

对于理想材料，E vp=0 其解为：

））t

第五章

1．无限元的概念：无限元是几何上趋于无穷的单元，它是一种特殊的有限元，也是有限元在求解无限域问题上的有效补充，并可实现与有限元之间的无缝连接。

2．为什么应用无限元：在岩土工程和地下工程的数值模拟中，经常遇到无限边界的情况，以有限模拟无限边界，不可避免的会带来计算误差，为了提高计算精度而采用大量的有限元以扩大有限边界，结果会导致计算机内存和计算量的大量增加，这样做不但不经济，而且计算精度的提高也不明显。采用有限元和无限元的耦合，已被实践证明是较为经济合理的方法，其中有限元布置在体系可能出现塑性变形的范围内，而无限元则用以模拟无穷边界。

第六章

1.边界单元法的概念：工程中常遇到的微分方程边值问题多数可规划为边界积分方程求解，若采用将边界离散为单元的插值方法，则又可将边界积分方程转换成线性代数方程组而获得问题的数值解，这就是边界单元法。优点：边界单元法仅需对问题的边界进行离散，先求得边界的数值解，然后利用解析解求出计算域内任一点的解。与有限元方法相比，边界单元法可以降低问题求解的空间维数，输入数据量减少，计算精度高。特别是对隧道与地下工程中常遇到的无限域或者半无限域的应力场计算问题，边界元法更能显示其优点。目前，已被广泛地应用于各类势场问题的计算中。缺点：对于多层介质的应力场问题，或者塑性区较大的弹塑性应力场问题，使用边界元法就比较麻烦，如果将边界元法和有限元法耦合应用，扬长避短，则是解决这类问题的有效方式。两种表述方式：基于物理直观的间接解法、基于数学推理的直接解法。

第七章

1.常见的动力学问题有哪些？1.在进行地下结构物施工时，爆破和施工机械的振动以及运营时车辆运行的振动，对结构物本身及其周围的环境将受到影响。

2.地面振动、化学爆炸振动和核爆炸振动对地下结构物及其周围戒指的影响。

2.结构动态问题和静态问题的区别有哪些？1、作用在结构物上的荷载大小和位置，是随时间而变化的；2、结构物本身的动态特性（自振周期、阻尼特征、质量和刚度等）对其振动反应有影响；3、材料的动态特性（动强度、动弹模、动态本构关系、沙土液化等），也对结构物特别是地下结构物的动态反应产生影响。

3.地震波的输入方法？1.在土结构中，通过在人工边界上施加等效节点力来实现，而等效节点力的大小与入射地震波波速成正比。2、岩石地基：可按地基表面自由场运动减半作为地震动输入。3、软土地基：通过反演地表自由场运动得到计算域底部地震动输入运动，在反演计算中，通常假设地基远场土域为均匀的粘弹性介质。

4.地震波的分析和处理方法？主要包括地震波的选择、波的频谱分析、滤波和基线校正。

1.地震波的选用：常选用的地震波有：拟建场地的实际地震记录、有代表性的过去强震记录和人工合成地震波。优先采用第一种地震波；第二种地震波如EIcentro 波、Taft 波、Kobe 波、天津波等；第三种地震波是根据拟建场地的某些特征参数来人工合成适合这类场地的地震波包括比例法和数值法。

2.地震波的频谱分析：地震动的三要素为振幅、频谱以及持时。一般的地震波，只能从时间轴上来观察地震动的特性，而不能直接从频率轴上看出其特征分布，要想如此，就必须进行频谱分析。对地震动用傅里叶变化进行处理，可以从时域数据变换到频域数据；通过傅里叶逆变换可以从频域数据变换到时域数据。

3.滤波及模型网格尺寸的确定：在动态分析中，输入波的频率成分以及波速等特征对计算结果影响较大，因此要进行滤波。为了提高计算效率，需要适当增加网格尺寸，同时还要满足计算精度，可以通过增大地震波的最小波长，也就是减小地震波的频率来实现。具体来说，就是对地震波设定一个最高截止频率，将地震波中的高频成分滤掉。

4.地震波的基线校正：由于仪器灵敏度和系统方面的问题,往往容易引入噪音误差信号,突出表现在使加速度时程水平均值线(零线)偏离零水平线.相当于在地震加速度输入中,时刻有一个恒定的非零加速度值,导致结构的相对位移响应可能随时间轴发生飘移.在传统零线校正加速度记录的基础上，积分获得加速度时程；然后积分得到速度时程，再做一次传统法的基线校正，使速度时程归零；最后积分得到位移，再用butterworth滤波器做一次高通滤波，可得到比较满意的结果。

5.常用边界处理方法有哪些？1、无穷元法无穷元是外部区域向无穷远处延伸的辐射状窄条，其基本原理是利用Lagrange插值函数和衰减函数的乘积来构造形函数，由于衰减函数与所传播的波的频率有关，因此无穷元主要在频域内建立，难以适用于非线性材料。2、边界元法边界元也称为边界积分方程法，兴起于六十年代，通常把场的控制微分方程和定解条件变换成边界上的积分方程，然后运用与有限元相似的方法对边界进行离散，从而把边界积分方程转换成代数方程求解。其计算精度与效率较高但通用性较差，前后处理比较困难，主要适于规则区域的线性匀质问题。3、远置人工边界条件远置人工边界，即当人工边界的尺寸足够大，结构动力反应在给定时间长度内可以完全避免人工边界的影响。远置人工边界方法原理简单，实施方便，但它只适用于要求的计算时间较短和运动形式较简单的情形4、叠加边界条件又称Smith边界，其基本思想是将透射边界分解为两个已知非透射边界，分别求出两个边界问题的解，再通过叠加获得满足透射边界条件的解。由于其难以处理波的多次反射问题，故其实际应用受到限制。5、一致边界条件它是根据弹性波场在刚性基底成层弹性介质中的传播规律导出的，基于面波形函数展开的方法建立，是一种精确的人工边界，并已获得一定应用，但主要局限于二维情形，且须假定基底为刚性，限制了其在三维复杂地形中的应用。6、透射边界七十年代末，廖振鹏等提出了建立人工边界条件的一个简单思想，即从近场区内射出的各种外行波动可以通过引入一个假定的波速近似地加以模拟，建立了现称之为一阶透射公式的局部人工边界并应用于三维地形散射问题7、粘性边界粘性动力人工边界最早是由Lysmer等基于一维平面波动理论提出来的。模型底部采用粘性边界，能够模拟地震能量传至基础地面时，一部分被反射后向下方的能量逸散，侧面采用粘性边界能够模拟地震能量向两侧方向无限远处的逸散。粘性边界能够很好的满足地下结构的动力模拟分析需要，计算速度较快且不容易失稳，是目前应用最为广泛和成熟的人工边界之一。

8、粘弹性边界是利用无限域介质本构方程和来自于计算区内部的单侧外行波表达建立的一种应力边界条件。

6.动荷载列阵：作用在地下结构物及周围岩体上的动荷载，主要为地震荷载、机械与车辆振动的谐振荷载，以及化学爆炸和核爆炸的超压引起的动荷载

7.质量矩阵和阻尼矩阵：1.质量矩阵分为一致质量矩阵和集中质量矩阵，一致质量矩阵是按e T V M N

NdV ρ=?计算的单元质量矩阵及由它们聚合而成的体系的总质量矩阵，均称为

一致质量矩阵。集中质量矩阵是将一个单元的质量集中，并分配到单元的各个节点上，则由此所形成的质量矩阵。构造集中质量矩阵的方法主要有直接法和分配法两种。2.阻尼矩阵的计算，因为粘滞阻尼c 的值不易直接确定，在实际计算中，常采用间接的方法计算总体阻尼矩阵C ，常用方法有瑞利法、勾犀法和克劳夫法。

8. 应力释放的含义，概念，原因，如何实现释放的荷载与支撑荷载关系

隧道开挖后，洞周初始应力被解除，产生了不平衡力，围岩发生变形，应力产生变化，洞周产生卸荷效应—释放荷载。它是被挖掉的那一部分岩体对洞周作用力的反作用力。其数值等于该点的初始应力，但方向相反，即指向洞内。围岩的力学状态经过一定的变化后，达到新的平衡，产生新的位移场和应力场。“支撑荷载”能够模拟洞周位移的释放效应。在位移释放以前，支撑荷载的大小与释放荷载的数值相等，但方向相反，即指向洞外。在数值计算中，首先计算初始应力场，然后模拟开挖过程，挖掉的围岩单元被去除或“杀死”，这时在洞周就已经产生了不平衡力，即“释放荷载”，若在洞周不加“支撑荷载”进行下一步计算，则位移释放一次完成，所得的结果就是“释放荷载”作用下隧道的应力和位移状态。围岩单元被去除或“杀死”后，为了控制释放荷载，使其逐步释放，就需要在洞周施加“支撑荷载”，其开始的数值与释放荷载相等，为洞周节点的初始应力，但方向相反，随着位移的释放，其数值不断减小，直至为零。支撑荷载有两种计算方法，一种是取挖掉的岩土体的周边（内圈）节点的等效节点力。另一种是取留下的围岩的周边（外圈）节点的等效节点力，并反号。若洞周节点上无集中荷载，则这两种方法所得的支撑荷载是相等的，否则是不相同的。

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数值计算方法比较

有限差分方法(FDM:Finite Difference Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》；R. LeVeque《Finite Difference Method for Differential Equations》；《Numerical Methods for C onservation Laws》。 注：差分格式： （1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。 （2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。 （3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。 目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法： 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。 有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念 直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是 与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法 广义差分法（有限体积法）（GDM:Generalized Difference Method）：1953年，Mac—Neal 利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格 式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有

结构动力计算习题

160 结构动力计算习题 一．选择题 8-1 体系的动力自由度是指（ ）。 A ．体系中独立的质点位移个数 B ．体系中结点的个数 C ．体系中质点的个数 D ．体系中独立的结点位移的个数 8-2 下列说法中错误的是（ ）。 A ．质点是一个具有质量的几何点； B ．大小、方向作用点随时间变化的荷载均为动荷载； C ．阻尼是耗散能量的作用； D ．加在质点上的惯性力，对质点来说并不存在 8-3 图示体系EI =常数，不计杆件分布质量，动力自由度相同的为（ ）。 题8-3图 A ．（a ）、（b ）、（c ） B ．（a ）、（b ） C ．（b ）、（c ） D ．（a ）、（c ） 8-4图示体系不计杆件分布质量，动力自由度相同的为（ ）。 (b ) (c ) 题8-4图 A ．（a ）、（b ）、（c ） B ．（a ）、（b ） C ．（b ）、（c ） D ．（a ）、（c ） 8-5 若要提高单自由度体系的自振频率，需要（ ）。 A ．增大体系的刚度 B ．增大体系的质量 C ．增大体系的初速度 D ．增大体系的初位移 8-6 不计阻尼影响时，下面说法中错误的是（ ）。 A ．自振周期与初位移、初速度无关； B ．自由振动中，当质点位移最大时，质点速度为零； C ．自由振动中，质点位移与惯性力同时达到最大值； D ．自由振动的振幅与质量、刚度无关 8-7 若结构的自振周期为T ，当受动荷载)(P t F =t F θsin 0作用时，其自振周期T （ ）。 A ．将延长 B ．将缩短 C ．不变 D ．与荷载频率 θ的大小有关 8-8 若图（a ）、（b ）和（c ）所示体系的自振周期分别为a T 、b T 和c T ，则它们的关系为（ ）。 (a) (b) (c) 题8-8图 A ．a T >b T >c T B ．a T >c T >b T C ．a T

隧道工程课程设计(包含内力图和衬砌及内轮廓设计图)

目录 题目：隧道工程课程设计............................................................................................................. - 3 - 一、设计依据................................................................................................................................. - 3 - 二、设计资料................................................................................................................................. - 3 - 三、隧道方案比选说明................................................................................................................. - 3 - 1.平面位置的确定................................................................................................................... - 3 - 2.纵断面设计........................................................................................................................... - 4 - 3.横断面设计........................................................................................................................... - 4 - 四、二次衬砌结构计算................................................................................................................. - 4 - 1.基本参数............................................................................................................................... - 4 - 2.荷载确定............................................................................................................................... - 5 - 3.计算衬砌几何要素............................................................................................................... - 5 - 4.载位移—主动荷载在基本结构中引起的位移................................................................... - 7 - 5.外荷载在基本结构中产生的内力....................................................................................... - 8 - 6.主动荷载位移..................................................................................................................... - 10 - 7.载位移—单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移..................................................... - 11 - 四、墙底（弹性地基梁上的刚性梁）位移............................................................................... - 14 - 五、解力法方程........................................................................................................................... - 15 - 六、计算主动荷载和被动荷载分别产生的衬砌内力............................................................... - 16 - 七、最大抗力值的求解............................................................................................................... - 17 - 八、计算衬砌总内力................................................................................................................... - 18 - 1.相对转角的校核................................................................................................................. - 19 - 2.相对水平位移的校核按下式计算..................................................................................... - 19 - 九、衬砌截面强度检算............................................................................................................... - 20 - 1.拱顶..................................................................................................................................... - 20 - 2.墙底偏心检查..................................................................................................................... - 20 - 十、内力图- 21 - (21) - 1 -

2013GDEM力学数值分析软件介绍

目 录 公司简介...................................................................................................................................................................1 的应用领域模型在边坡工程中的应用在结构工程中的应用GDEM 的特点...........................................................................................................................................................2 GDEM ...................................................................................................................................................3 GDEM 的基本模型 (4) 1、块体模型 (4) （1）线弹性模型 (4) （2）Drucker-Prager 模型 (4) 模型...............................................................................................................................（3）Mohr-Coulomb (4) （4）块体切割模型 (4) （5）孔隙渗流模型 (4) （6）蠕变模型 (4) 2、界面模型 (4) （1）线弹性 (4) （2）脆性断裂模型 (4) （3）应变软化断裂模型 (4) （4）裂隙渗流模型 (5) 3、工程结构模型 (5) （1）锚杆/锚索模型 (5) （2）钢筋模型.........................................................................................................................................................5 GDEM 中GPU 的加速效果. (6) GDEM 在边坡工程中的应用——连续到非连续 (7) GDEM 在边坡工程中的应用——运动性破坏 (8) GDEM ——渗流应力耦合....................................................................................................9 GDEM 在采矿工程中的应用..................................................................................................................................10 GDEM 在爆破工程中的应用..................................................................................................................................12 GDEM 在高速冲击中的应用..................................................................................................................................13 GDEM 在隧道工程中的应用..................................................................................................................................14 GDEM ..................................................................................................................................15 GDEM 在机械工程中的应用. (16) GDEM 在颗粒问题中的应用 (17) GDEM 在流体问题中的应用 (18) GDEM 在其他领域中的应用 (19)

《结构力学习题集》(下)-结构的动力计算习题及答案

第九章 结构的动力计算 一、判断题： 1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。 2、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。 3、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。 4、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。 5、图示刚架不计分布质量和直杆轴向变形，图a 刚架的振动自由度为2，图b 刚架的振动自由度也为2。 (a)(b) 6、图示组合结构，不计杆件的质量，其动力自由度为5个。 7、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。 8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。 9、设ωω,D 分别为同一体系在不考虑阻尼和考虑阻尼时的自振频率，ω与ωD 的关系为ωω=D 。

二、计算题： 10、图示梁自重不计，求自振频率ω。 EI l W l/4 11、图示梁自重不计，杆件无弯曲变形，弹性支座刚度为k，求自振频率ω。 EI W o o l/2l/2 k 12、求图示体系的自振频率ω。 m l EI EI l 0.5l 0.5 2 13、求图示体系的自振频率ω。EI = 常数。 m l l0.5 14、求图示结构的自振频率ω。 m l l l l EI=常数

15、求图示体系的自振频率ω。EI =常数，杆长均为l 。 m 16、求图示体系的自振频率ω。杆长均为l 。 EA=o o EI m EI EI 17、求图示结构的自振频率和振型。 m m EI EI EI l /2 l /2 l /2 18、图示梁自重不计，W EI ==??2002104kN kN m 2 ,，求自振圆频率ω。 EI W A B C 2m 2m 19、图示排架重量W 集中于横梁上，横梁EA =∞，求自振周期ω。 h EI EI W

计算流体力学常用数值方法简介[1]

计算流体力学常用数值方法简介 李志印　熊小辉　吴家鸣 (华南理工大学交通学院) 关键词　计算流体力学　数值计算 一　前　言 任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的,这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程,揭示流体运动的物理规律,研究流体运动的时一空物理特征,这样的学科称为计算流体力学。 计算流体力学是一门由多领域交叉而形成的一门应用基础学科,它涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程的数学理论、数值方法等学科。一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的,大致经历了四个发展阶段:无粘性线性、无粘性非线性、雷诺平均的N-S方程以及完全的N-S方程。随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展,利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高,现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。 经过40年来的发展,计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段,在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题,其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形,确定其气动载荷,从而有效地提高了设计效率,减少了风洞试验次数,大大地降低了设计成本。此外,计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域,显示了计算流体力学强大的生命力。 随着计算机技术的发展和所需要解决的工程问题的复杂性的增加,计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线,包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。目前计算流体力学主要向二个方向发展:一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理,开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究;另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动,解决工业生产中的各种问题。 二　计算流体力学常用数值方法 流体力学数值方法有很多种,其数学原理各不相同,但有二点是所有方法都具备的,即离散化和代数化。总的来说其基本思想是:将原来连续的求解区域划分成网格或单元子区

数值分析论文

题目：论数值分析在数学建模中的应用 学院: 机械自动化学院 专业: 机械设计及理论 学号: 学生姓名: 日期: 2011年12月5日

论数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Y u-tao 1 Bai Y ang 2 Tian Lu 2 Liu De-zheng 2 （1 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134 2 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134) Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve practical problems. Key Words Numerical Analysis ；Mathematical Modeling; Linear Equations ；differential equation 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ，第k 周吸收热量为)(k c ，热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型

结构力学计算题及答案

《结构力学》计算题61.求下图所示刚架的弯矩图。 a a 62.用结点法或截面法求图示桁架各杆的轴力。 63.请用叠加法作下图所示静定梁的M图。 64.作图示三铰刚架的弯矩图。 65.作图示刚架的弯矩图。

66. 用机动法作下图中E M 、L QB F 、R QB F 的影响线。 1m 2m 2m Fp 1 =1m E B A 2m C D 67. 作图示结构F M 、QF F 的影响线。 68. 用机动法作图示结构影响线L QB F F M ,。 69. 用机动法作图示结构R QB C F M ,的影响线。 70. 作图示结构QB F 、E M 、QE F 的影响线。

71. 用力法作下图所示刚架的弯矩图。 l B D P A C l l EI =常数 72. 用力法求作下图所示刚架的M 图。 73. 利用力法计算图示结构，作弯矩图。 74. 用力法求作下图所示结构的M 图,EI=常数。 75. 用力法计算下图所示刚架，作M 图。

76. 77. 78. 79. 80. 81. 82.

83. 84. 85.

答案 取整体为研究对象，由 0A M =，得 2220yB xB aF aF qa +-= （1）(2分) 取BC 部分为研究对象，由 0C M =∑，得 yB xB aF aF =，即yB xB F F =（2）(2分) 由(1)、(2)联立解得2 3 xB yB F F qa ==(2分) 由 0x F =∑有 20xA xB F qa F +-= 解得 4 3xA F qa =-(1分) 由0y F =∑有 0yA yB F F += 解得 2 3 yA yB F F qa =-=-(1分) 则222 4222333 D yB xB M aF aF qa qa qa =-=-=（）(2分) 弯矩图(3分) 62. 解：（1）判断零杆（12根）。（4分） （2）节点法进行内力计算，结果如图。每个内力3分（3×3＝9分） 63. 解：

《计算流体力学》结课作业解读

2012～2013学年第1学期 12级研究生《计算流体力学》结课作业 适用专业：供热供燃气通风及空调工程 一、结合某一具体学科，阐述纯理论方法、实验方法及数值方法在科学研究中的各自优缺点，在此基础上论述数值模拟方法的发展前景。（不少于4千字）。 流体力学是力学的一个重要分支, 是研究流体(液体和气体)的力学运动规律及其应用的学科, 主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态特征，以及流体和相邻固体界面有相对运动时的相互作用和流动规律。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，流体力学与人类的日常生活和生产事业密切相关。按其研究内容的侧重点不同，分为理论流体力学和工程流体力学。其中理论流体力学主要采用严密的数学推理方法，力求准确性和严密性，工程流体力学侧重于解决工程实际中出现的问题，而不追求数学上的严密性。当然由于流体力学研究的复杂性，在一定程度上，两种方法都必须借助于实验研究，得出经验或半经验的公式。 在实际工程的诸多领域流体力学都起着十分重要的作用。如气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸，都广泛地用到流体力学知识。许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导，同时也促进了流体力学自身的不断发展。1950年后，计算机的发展给予流体力学以极大的推动作用。 目前，解决流体力学问题的方法主要有实验方法、理论分析方法和数值方法三种。 实验方法 同物理学、化学等学科一样，流体力学的研究离不开实验，尤其是对新的流体运动现象的研究。实验能显示运动特点及其主要趋势，有助于形成概念，检验理论的正确性。二百年来流体力学发展史中每一项重大进展都离不开实验。流体力学实验研究方法有实物实验、比拟研究和模型研究三类：实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，适用于较小的原型；比拟实验是利用电场和磁场来模拟流场，实施起来限制条件较多；模型研究是实验流体力学最常用的研究方法。 实验研究的一般过程是：在相似理论的指导下建立实验模型，用流体测量技术测量流动参数，处理和分析实验数据。建立实验模型要求模型与原型满足相似理论，即满足两个流场

隧道说明书修改样本

８) 通风设计图 ９) 防排水设计图 10) 监测测点布置图 5、撰写毕业设计说明书: 使用”兰州理工大学毕业设计( 论文) ”统一封面及格式; 论文内容包括目录、正文、参考资料等, 并按规定的顺序装订( 详见《毕业设计( 论文) 过程记录》( 理工类) 的末页) , 若用计算机进行计算要附上计算程序。中文摘要约200字, 关键词3－5个。 三、各阶段时间安排 四、参考文献 [1]《公路隧道设计规范》(JTG D70- )

[2]《公路隧道施工技术规范》(JTJ F60- ) [3]《公路隧道通风照明技术规范》( JTJ026.1-1999) [4]《公路工程技术标准》(JTGB01- ) [5]《公路隧道勘测规程》( JTJ 063—85) [6]《隧道结构力学计算(高等学校试用教材)》王永东主编, 北京: 人民交通出版社, .9 [7]《隧道工程》王毅才, 北京: 人民交通出版社, .7 [8]《公路勘测设计》孙家驷等著, 重庆: 重庆大学出版社, 1995.5 [9]《道路勘测设计》张雨化, 北京: 人民交通出版社, .7 [10]陕西省公路勘察设计院及中交第一勘察设计院的隧道设计图纸。 [11]Response of a shield-driven tunnel to deep excavations in soft clay. Ge, Xuewu. Hong Kong University of Science and Technology (People's Republic of China) , PHD, [12] A numerical simulation in longitudinal ventilation system of long highway tunnel.. Lin, Wenchin. University of Minnesota, PHD, 1995

数值分析学习方法

第一章 1霍纳（horner）方法： 输入=c + bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ? 2 注：p为近似值 p（x） 绝对误差： ?|ep?|p?p ?||p?p rp? |p| 相对误差： ?|101?d|p?p rp?? |p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)： o(h?)+o(h?)=o(h?); o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章 2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则 ，可得到序 列值｛｝。设函数g 满足 y 定义在得 。如果对于所有 x ，则函数g 在 ，映射y=g(x)的范围 内有一个不动点; 此外，设 ，存在正常数k<1，使 内，且对于所有x，则函数g 在 内有唯一的不动点p。 ，（ii）k是一个正常数， 。如果对于所有 定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ） 如果对于所有x在

这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散 性。波理 尔 查 . 诺 二 分 法 ( 二 分 法 定) <收敛速度较慢> 试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与 x轴的交点(c,0)> 应注意 越来越 小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法 . f(pk?1) 其中k=1,2,……证明：用 f(pk?1) 牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1? 泰勒多项式证明 第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步 substitution 二lu factorization 第一步 a = lu 原方程变为lux=y ； 第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ； 三iterative methods（迭代法） a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2? ） back 初始值 0,x0,?,x0x1n2 四 jacobi method 1.选择初始值 2.迭代方程为 0,x0,?,x0x1n2 k?1? x1k?1 ? x2

结构力学习题库

15 结构的动力计算判断题 体系的振动自由度等于集中质量数。（） 图示体系具有1个振动自由度。（） 图示体系具有2个振动自由度。（） 图示体系具有3个振动自由度。（）

图示体系具有2个振动自由度。（） 图示体系具有2个振动自由度。（） 结构的自振频率除与体系的质量分布状况、杆件刚度有关外，还与干扰力有关。（）自由振动是指不受外界干扰力作用的振动。（） 自由振动是由初位移和初速度引起的，缺一不可。（）

有阻尼单自由度体系的阻尼比越大，自振频率越小。（） 临界阻尼现象是指起振后振动次数很少且振幅很快衰减为零的振动。（）惯性力并不是实际加在运动质量上的力。（） 计算一个结构的自振周期时，考虑阻尼比不考虑所得的结果要大。（）临界阻尼振动时质点缓慢地回到平衡位置且不过平衡点。（） 阻尼力总是与质点加速的方向相反。（）

在某些情形下建立振动微分方程式时，不考虑重力的影响是因为重力为恒力。（） 图示结构的自振频率为w，在干扰力P(t)=P sin qt作用下，不管频率q怎样改变，动位移y(t)的方向总是和P(t)的方向相同。（） 计算图示振动体系的最大动内力和动位移时可以采用同一个动力系数。（） 不论干扰力是否直接作用在单自由度体系的质量m上，都可用同一个动力系数计算任一点的最大动位移。（） 单自由度体系受迫振动的最大动位移的计算公式y max=my j中，y j是质量m的重量所引起的静位移。

（） 多自由度体系作自由振动，一般包括所有的振型，不可能出现仅含某一主振型的振动。（）解得图(a)所示两个自由度体系的两个主振型为图(b)和图(c)，此解答是正确的。（） 图(a)与图(b)所示梁的自由振动频率w A、w B相比，w A>w B。（） 填空题 动力荷载是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿荷载。

隧道结构力学分析计算书

有限元基础理论与 ANSYS应用 —隧道结构力学分析 专业： 姓名： 学号： 指导教师： 2014年12月

隧道结构力学分析

目录 目录 (2) 1. 问题的描述........................................................ 错误！未定义书签。 2. 建模.................................................................... 错误！未定义书签。 2.1 定义材料....................................................................... 错误！未定义书签。 2.2 建立几何模型............................................................... 错误！未定义书签。 2.3 单元网格划分 (5) 3. 加载与求解 (6) 3.1 施加重力加速度 (6) 3.2 施加集中力、荷载位移边界条件 (6) 4. 后处理 (8) 4.1 初次查看变形结果 (8) 4. 2 除去受拉弹簧网格.............. (9) 4.3 除去弹簧单元网格 (10) 4. 4 查看内力和变形结果 (11) 4. 5 绘制变形图 (12) 5. 计算结果对比分析 (14) 6. 结语 (14) 7. 在做题过程中遇到的问题及解决方法 (16) 8. 附录 (16)

山岭隧道结构力学分析 1.问题的描述 已知双线铁路隧道总宽为13.3米，高为11.08米，以III级围岩深埋段为例，隧道而衬厚度为35cm，带仰拱，采用钢筋混凝土C30=25kN/m3，弹性模量为31GPa，泊松比为0.2，。该段该隧道的埋深为5米，围岩平均重度为23kN/m3,侧压力系数为0.3，计算围岩高度为6.588m，地层弹性抗力系数为500MPa/m。 试分析结构的应力和变形 图1双线铁路隧道断面（cm）

第二章计算流体力学的基本知识

第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1 计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。 从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解析解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解析解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力

数值分析答案

数值分析模拟试题1 注：计算题取小数点后四位。 注：计算题取小数点后四位。 1. (10分)利用Gauss-Legendre 求积公式 ?-++-≈1 1)7746.0(5556.0)0(8889.0)7746 .0(5556.0)(f f f dx x f 导出求积分 3()f x dx -?的三点高斯型求积公式。 2. (15分)写出求解线性代数方程组 123121322531272 x x x x x x x -+=??-+=-??+=? 的Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的敛散性。 3. (15分) 设矩阵21011000201010A ??????=?????， （1）试计算 ||||A ∞。 （2）用Householder 变换阵H 将A 相似约化为上Hessenberg 阵，即HAH 为上 Hessenberg 阵。 4. (10分) 求关于点集{}1,2,3,4的正交多项式 {}012(),(),()x x x ???。

5. (10分)用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合下列数据 1.0 2.0 3.0 4.00.8 1.5 1.8 2.0i i x y ??? 6. (20分)给出数据点： 0 134 19156 i i x y =??=? （1）用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)L 。 （2）用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ，并计算 1.5x =的近似值2(1.5)N 。 （3）用事后误差估计方法估计2(1.5)L 、2(1.5)N 的误差。 7．(10分) 设矩阵A 可逆，A δ为A 的误差矩阵，证明：当11A A δ-<时， A A δ+也可逆。 8．(10分)设()f x 四阶连续可导，0,0,1,2.i x x ih i =+=试建立如下数值微分 公式 ''01212()2()()()f x f x f x f x h -+≈ 并推导该公式的截断误差。