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西华大学《高等数学》专升本考试题（ 2015）

2015 年西华大学专升本《高等数学》考试题

一、判断正误（每小题 2 分，共 10 分）

1、若级数

a n 收敛，则

( 1)n a n 收敛。

（

正确 ）

n 1

n 1

2、函数 y

x 2 e x 是微分方程 y

2 y y 0 的解。

（ 错误 ）

3、无穷小量的倒数是无穷大量。

（

错误 ）

2

z 2 1在空间中所表示的图形是椭圆柱面。

（

正确 ）

4、方程 x

9

5 、 n 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX B 有 唯 一 解 的 充 要 条 件 是 r ( A) n 。

（ 正确 ）

二、填空题：（每题 4 分，共 16 分）

1、已知 f ( x) 是 R 上的连续函数， 且 f (3)

2 ，则 lim 3x 2

2x 1 2 3x

6

】

f ( 2

)(1

)

。【 2e

x

x 5x

1

x

2、由方程 xyz

x 2 y 2 z 2

2 所确定的函数 z

z(x, y) 在点 (1,0, 1) 处的全微分

dz

。【 dz

dx

2dy 】

2 2 y

4

x

3、改变二次积分 I 0

dy y 2

f ( x, y)dx 的次序， I

。【

4、若 f (sin 2 x)

tan 2 x （ 0 x 1 ），则 f (x)

。【 I

dx x f ( x, y)dy 】

2

x

ln( x 1) C 】

三、求解下列各题（每小题

6 分，共 60 分）

2 x tan tdt

1、求极限 lim

x 2

。 【 2 】

x 0 1 cos x

1

，求 f ( x) 。

2、设 f ( x)

x sin x , x

0, x

【当 x 0 时， f ( x)

sin

1

1 cos 1

，当 x 0时， f ( x) 不存在。】

x x x 2 sin 3 4 sin 7 x 2

3、求不定积分

cos 5 x

sin xdx 。 【 x sin 11 x C 】

x 3

7 11 4、求曲线 y

sin x, z

) 处的切线与法平面方程。

在点 ( ,0, 2

2

西华大学《高等数学》专升本考试题（2015）

【切线方程：5、求微分方程x y 2 z

) y

1

) 0 】11

；法平面方程： (x(z

122

dx xydy y2dx ydy 的通解。【y21c( x1) 】

6y x

2、

x y2

及x 轴所围成的区域绕x 轴所成立体的体积。11

、求由曲线

5

x1x2x3x4x5a

7、当a, b为何值时，线性方程组3x12x2x3x43x50

有解，并求其全部解。

x22x32x46x5b

5x14x23x33x4 x52

【知识点】非齐次线性方程组解的判定定理、非齐次方程组的通解。

1 1 1 1 1a 1 1111a

解析： A 321130012263a 0 1 2 2 6b0 0000 b 3a 543312000002(1a)

当 2(1 a)0, b3a0 ，即 a1,b 3 时，方程组有无穷多解。

取 x3 , x4 , x5为自由变量，令x3x4x50 得非齐次特解：x0(2,3,0,0,0) T；令 x31, x40, x50 ， x30, x41, x50 ， x30, x40, x5 1 的基础解系：

1(2,2,1,0,0) T，

2(2,2,0,1,0)

T，

1(5,6,0,0,1) T；

故，非齐次线性方程组的通解为：x x0k11k22k3 3

。

8、计算二重积分ln(1x2y2)dxdy，其中D : x2y2R2 ( R0), x0, y 0 。

D

【知识点】极坐标系下的二重积分。[(1R2 ) ln(1R2 )R2 ]

4

9、计算曲线积分y2 xdx x2 ydy ，其中 L 是圆周x2y2a2，逆时针方向为正。【0】

L

10、判别级数的敛散性：

n!

（ 2）n 11n

（1）n 1 n n（收）n cos4（收）

四、证明题（每小题7 分，共14 分）

1、设f ( x)在[ a, b]上连续，在 ( a, b) 内可导，且 f (a) f (b)0，证明：在 (a,b) 内至少存在一点，使 f ()2015 f ( )0 。

【知识点】罗尔定理。

西华大学《高等数学》专升本考试题（2015）2、证明：对0 x，有 x tan x x。

cos2

2x

【知识点】拉格朗日中值定理。