微分积分公式全集
x
高中大学数学微分与积分公式（全集）
（高中大学数学）
二 _ 、 重要公式（1） sin x
lim
1 1
(2) lim 1 x 匸
e
(3) lim : a(a o) 1
x 0
x
x 0
n
(4)
lim n n 1
(5) limarctan x —
(6) lim arc tan x
—
n
x
2
x
2
(7)
limarccot x x
0 (8) lim arccot x x
(9) lim e x
0 x
(10) lim e x
x
(11) lim x x
1
x 0
三、 下列常用等价无穷小关系
(x 0)
四、 导数的四则运算法则
五、 基本导数公式
⑴c 0 ⑵x
⑷ cosx
sinx （5） tan
x
(7) secx secx tan x
⑻ cscx cscx cotx
1
x
(3) sin x cosx
2
sec x
⑹ cot x
2
csc x ⑼e x
⑽ a x a x
lna
1 (11) In x
n
n 1
j
a o x a 1x
a n
i m - m 1
b o x b ^x
1
b m
a
。
b o
（系数不为0的情况）
lim x 0 n m
1 1
(12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx
xln a
1
(15) arcta nx 2 1 x arccot x
(17)
1
(18)
1 2
「
x
六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2)
cu
cu
n
(3) u ax b ax
(4)
k c n
u
(k)
七、基本初等函数的 n 阶导数公式
(1)
(2)
ax e
ax
e
x n
ln a
sin ax n .
a sin ax
cos ax n
a cos ax
ax b
n
i
n a n!
n 1
ax b
In ax
n
ax b
八、 微分公式与微分运算法则
x 1dx
(3) d sin x cosxdx
cosx
sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x
csc 2 xdx
(7) d secx secx tan xdx
⑻ d cscx cscx cot xdx
1
⑼ d e x e x dx ⑽d a x
a x
ln adx
1
(11) d In x dx
(12) d
log a x
1 dx (13) d arcs in
x I n a (15) d arcta n x 1 2dx 1 x 2
九、 微分运算法则 1
dx (14) d arccosx
(16) d arccot x
⑴ d u v du dv (2) d cu cdu
(3) d uv vdu udv 十、基本积分公式 ⑴ kdx kx c ⑵x dx i
x
c
1
2 dx
1 x 2
vdu udv 2
v
dx
x
In x c
x
⑷ a x dx c In a ⑸ e x dx e x c (6) cosxdx sin x c
(7) sin xdx cosx c 1
⑻ ------ -- dx
cos x sec xdx tan x c
1 _~2-
sin x
csc xdx cot x c 1 dx 1 x
arcta n x c
arcs in x c
F 列常用凑微分公式
十二、补充卜面儿个积分公式
十三、分部积分法公式
⑴形如x n e ax dx，令u n x ,dv ax i
e dx
形如x n sin xdx 令u n x ,dv sin xdx
形如x n cosxdx令u
n
x ,dv cosxdx
⑵形如x n arctanxdx,令u arctanx , dv x n dx
形如x n ln xdx，令u In x , dv x n dx
(3)形女口e ax sinxdx, e ax cosxdx令u e ax,sin x,cos x均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
(1) a2x2x asi nt (2) va2x2x ata nt (3) vx2a2x asect
【特殊角的三角函数值】
十五、三角函数公式
1. 两角和公式
2. 二倍角公式
3. 半角公式
4. 和差化积公式
5. 积化和差公式
6. 万能公式
7. 平方关系
8. 倒数关系
(1) sinO 0
1
(2) sin - 6 2
(3) sin
3 (4) sin 1 )
2
(5) sin 0
(1) cosO 1
(2) cos —
6
(3) cos —
3
(4) cos 0 )
2
(5) cos 1
(1) tanO 0
(2) tan 3 6 3 (3) tan 3
(4) 3
tan —不存在
2
(5) tan
(1) cot0不存在(2)
cot — .. 3
6
(3) cot —
3
彳
(4
)
cot
?
0 (5) cot 不存在
9. 商数关系
十六、几种常见的微分方程
1. 可分离变量的微分方程：dy f x g y , x g! y dx f2 x g2 y dy 0
dx
2. 齐次微分方程：f
dx x
3. 一阶线性非齐次微分方程：矽p x y Q x 解为：
dx
PID比例积分微分
尽管不同类型的控制器，其结构、原理各不相同，但是基本控制规律只有三个：比例（P）控制、积分（I）控制和微分（D）控制。这几种控制规律可以单独使用，但是更多场合是组合使用。如比例（P）控制、比例-积分（PI）控制、比例-积分-微分（PID）控制等。 比例（P）控制 单独的比例控制也称“有差控制”，输出的变化与输入控制器的偏差成比例关系，偏差越大输出越大。实际应用中，比例度的大小应视具体情况而定，比例度太小，控制作用太弱，不利于系统克服扰动，余差太大，控制质量差，也没有什么控制作用；比例度太大，控制作用太强，容易导致系统的稳定性变差，引发振荡。 对于反应灵敏、放大能力强的被控对象，为提高系统的稳定性，应当使比例度稍小些；而对于反应迟钝，放大能力又较弱的被控对象，比例度可选大一些，以提高整个系统的灵敏度，也可以相应减小余差。 单纯的比例控制适用于扰动不大，滞后较小，负荷变化小，要求不高，允许有一定余差存在的场合。工业生产中比例控制规律使用较为普遍。 比例积分（PI）控制 比例控制规律是基本控制规律中最基本的、应用最普遍的一种，其最大优点就是控制及时、迅速。只要有偏差产生，控制器立即产生控制作用。但是，不能最终消除余差的缺点限制了它的单独使用。克服余差的办法是在比例控制的基础上加上积分控制作用。 积分控制器的输出与输入偏差对时间的积分成正比。这里的“积分”指的是“积累”的意思。积分控制器的输出不仅与输入偏差的大小有关，而且还与偏差存在的时间有关。只要偏差存在，输出就会不断累积（输出值越来越大或越来越小），一直到偏差为零，累积才会停止。所以，积分控制可以消除余差。积分控制规律又称无差控制规律。 积分时间的大小表征了积分控制作用的强弱。积分时间越小，控制作用越强；反之，控制作用越弱。 积分控制虽然能消除余差，但它存在着控制不及时的缺点。因为积分输出的累积是渐进的，其产生的控制作用总是落后于偏差的变化，不能及时有效地克服干扰的影响，难以使控制系统稳定下来。所以，实用中一般不单独使用积分控制，而是和比例控制作用结合起来，构成比例积分控制。这样取二者之长，互相弥补，既有比例控制作用的迅速及时，又有积分控制作用消除余差的能力。因此，比例积分控制可以实现较为理想的过程控制。 比例积分控制器是目前应用最为广泛的一种控制器，多用于工业生产中液位、压力、流量等控制系统。由于引入积分作用能消除余差，弥补了纯比例控制的缺陷，获得较好的控制质量。但是积分作用的引入，会使系统稳定性变差。对于有较大惯性滞后的控制系统，要尽量避免使用。 比例微分（PD）控制
积分、微分、比例运算电路
模拟电路课程设计报告 题目：积分、微分、比例运算电路 一、设计任务与要求 ①设计一个可以同时实现积分、微分和比例功能的运算电路。 ②用开关控制也可单独实现积分、微分或比例功能 ③用桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V）。 二、方案设计与论证 用桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V），为运算电路提供偏置电源。此电路设计要求同时实现比例、积分、微分运算等功能。即在一个电路中利用开关或其它方法实现这三个功能。
方案一： 用三个Ua741分别实现积分、微分和比例功能，在另外加一个Ua741构成比例求和运算电路，由于要单独实现这三个功能，因此在积分、微分和比例运算电路中再加入三个开关控制三个电路的导通与截止，从而达到实验要求。 缺点：开关线路太多，易产生接触电阻，增大误差。此运算电路结构复杂，所需元器件多，制作难度大，成本较高。并且由于用同一个信号源且所用频率不一样，因此难以调节。 流程图如下： 图1 方案二: 用一个Ua741和四个开关一起实现积分、微分和比例功能，并且能够单独实现积分、微分或比例功能。 优点：电路简单，所需成本较低。 电路图如下： 积分运算电路 微分运算电路 比例运算电路 比例求和运算电路
图2 三、单元电路设计与参数计算 1、桥式整流电容滤波集成稳压块电路设计电路所需的正负直流电源（±12V ）。 其流程图为： 图3 直流电源电路图如下： 电源变 压器 整流电路 滤波电路 稳压电路
V1220 Vrms 50 Hz 0?? U11_AMP T1 7.32 1D21N4007 D3 1N4007D4 1N4007 C13.3mF C23.3mF C3220nF C4220nF C5470nF C6470nF C7220uF C8220uF U2LM7812CT LINE VREG COMMON VOLTAGE U3LM7912CT LINE VREG COMMON VOLTAGE D51N4007D61N4007 LED2 LED1 R11k|?R21k|?23 4 5 D1 1N400715 16 6 7 14 17 图4 原理分析： (1)电源变压器： 由于要产生±12V 的电压，所以在选择变压器时变压后副边电压应大于24V,由现有的器材可选变压后副边电压为30V 的变压器。 (2)整流电路： 其电路图如下： 图5 ①原理分析： 桥式整流电路巧妙地利用了二极管的单向导电性，将四个二极管分为两组，
微分积分公式全集
微分积分公式全集 The pony was revised in January 2021
高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??++ +? =?? ? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） 四、导数的四则运算法则 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ? +?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-
微分积分公式(全集)
高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、001 01101lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式
⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ?
PID 调节比例积分微分作用的特点和规律总结
（一） 在自动控制系统中，P、I、D调节是比例调节，积分调节和微分调节作用。调节控制质量的好坏取决于控制规律的合理选取和参数的整定。在控制系统中总是希望被控参数稳定在工艺要求的范围内。但在实际中被控参数总是与设定值有一定的差别。调节规律的选取原则为：调节规律有效，能迅速克服干扰。 比例、积分、微分之间的联系与相匹配使用效果 比例调节简单，控制及时，参数整定方便，控制结果有余差。因此，比例控制规律适应于对象容量大负荷变化不大纯滞后小，允许有余差存在的系统，一般可用于液位、次要压力的控制。 比例积分控制作用为比例及时加上积分可以消除偏差。积分会使控制速度变慢，系统稳定性变差。比例积分适应于对象滞后大，负荷变化较大，但变化速度缓慢并要求控制结果没有余差。广泛使用于流量，压力，液位和那些没有大的时间滞后的具体对象。 比例微分控制作用：响应快、偏差小，能增加系统稳定性，有超前控制作用，可以克服对象的惯性，控制结果有余差。适应于对象滞后大，负荷变化不大，被控对象变化不频繁，结果允许有余差的系统。 在自动调节系统中，E=SP-PV。其中，E为偏差，SP为给定值，PV为测量值。当SP 大于PV时为正偏差，反之为负偏差。 比例调节作用的动作与偏差的大小成正比；当比例度为100时，比例作用的输出与偏差按各自量程范围的1：1动作。当比例度为10时，按lO：l动作。即比例度越小。比例作用越强。比例作用太强会引起振荡。太弱会造成比例欠调，造成系统收敛过程的波动周期太多，衰减比太小。其作用是稳定被调参数。 积分调节作用的动作与偏差对时间的积分成正比。即偏差存在积分作用就会有输出。它起着消除余差的作用。积分作用太强也会引起振荡，太弱会使系统存在余差。 微分调节作用的动作与偏差的变化速度成正比。其效果是阻止被调参数的一切变化，有超前调节的作用。对滞后大的对象有很好的效果。但不能克服纯滞后。适用于温度调节。使用微分调节可使系统收敛周期的时间缩短。微分时间太长也会引起振荡。 参数设定的方法一般是，先比例次积分后微分的顺序进行。看曲线调参数，从调节品质的曲线逐步找到最佳参数． 在随动系统中，采用数字PI控制可以达到控制精度高、无超调、响应快、曲线拟合精度高等优点，并简化了控制电路。传统的位置式PI算法一般是可以达到基本控制要求，但必须有一个前提：控制周期要足够小。如果控制周期过长，曲线拟合差，要达到15％的曲线拟合误差有点困难，甚至可能会造成系统失控，并造成对机械设备的损伤。因此，针对本文所提到的控制系统，不能简单的采用位置式PI算法，而应该对其进行改进，以适应该控制系统的要求。 比例系数K是和每次采样的偏差值有直接关系，因此提高Kp能使系统响应较快；同时积分系数Ⅸ尾和前面所有的采样偏差值有关，由于采样周期长，每次采样的
微分积分公式大全
高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=
PID中比例积分微分经验调节要点
PID中比例积分微分的经验调节 PID调节经验 Kp: 比例系数 ----- 比例带（比例度）P：输入偏差信号变化的相对值与输出信号变化的相对值之比的百分数表示（比例系数的倒数） T：采样时间 Ti: 积分时间 Td: 微分时间 温度T: P=20~60%,Ti=180~600s,Td=3-180s 压力P: P=30~70%,Ti=24~180s, 液位L: P=20~80%,Ti=60~300s, 流量L: P=40~100%,Ti=6~60s。 （1）一般来说，在整定中，观察到曲线震荡很频繁，需把比例带增大以减少震荡；当曲线最大偏差大且趋于非周期过程时，需把比例带减少 （2）当曲线波动较大时，应增大积分时间；曲线偏离给定值后，长时间回不来，则需减小积分时间，以加快消除余差。
（3）如果曲线震荡的厉害，需把微分作用减到最小，或暂时不加微分；曲线最大偏差大而衰减慢，需把微分时间加长而加大作用 （4）比例带过小，积分时间过小或微分时间过大，都会产生周期性的激烈震荡。积分时间过小，震荡周期较长；比例带过小，震荡周期较短；微分时间过大，震荡周期最短 （5）比例带过大或积分时间过长，都会使过渡过程变化缓慢。比例带过大，曲线如不规则的波浪较大的偏离给定值。积分时间过长，曲线会通过非周期的不正常途径，慢慢回复到给定值。 注意：当积分时间过长或微分时间过大，超出允许的范围时，不管如果改变比例带，都是无法补救的 1. PID调试步骤 没有一种控制算法比PID调节规律更有效、更方便的了。现在一些时髦点的调节器基本源自PID。甚至可以这样说：PID调节器是其它控制调节算法的吗。 为什么PID应用如此广泛、又长久不衰？ 因为PID解决了自动控制理论所要解决的最基本问题，既系统的稳定性、快速性和准确性。调节PID的参数，可实现在系统稳定的前提下，兼顾系统的带载能力和抗扰能力，同时，在PID调节器中引入积分项，系统增加了一个零积点，使之成为一阶或一阶以上的系统，这样系统阶跃响应的稳态误差就为零。 由于自动控制系统被控对象的千差万别，PID的参数也必须随之变化，以满足系统的性能要求。这就给使用者带来相当的麻烦，特别是对初学者。下面简单介绍一下调试PID参数的一般步骤： 1．负反馈 自动控制理论也被称为负反馈控制理论。首先检查系统接线，确定系统的反馈为负反馈。例如电机调速系统，输入信号为正，要求电机正转时，反馈信号也为正（PID算法时，误差=输入-反馈），同时电机转速越高，反馈信号越大。其余系统同此方法。 2．PID调试一般原则 a.在输出不振荡时，增大比例增益P。 b.在输出不振荡时，减小积分时间常数Ti。 c.在输出不振荡时，增大微分时间常数Td。
微分积分公式大全
高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、 1 01 1 01 lim0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m - - →∞ ? = ? ? +++? =< ? +++? ∞> ? ?? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1 ） sin lim1 x x x → =（2）( )1 lim1x x x e → +=（3）)1 n a o >= （4）1 n =（5）limarctan 2 x x π →∞ =（6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot0 x x →∞ =（8）lim arccot x xπ →-∞ =（9）lim0 x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞（11） lim1 x x x + → = 三、下列常用等价无穷小关系（0 x→） sin x x tan x x arcsin x x arctan x x2 1 1cos 2 x x - () ln1x x +1 x e x -1ln x a x a -() 11 x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 () u v u v ''' ±=±()uv u v uv ''' =+ 2 u u v uv v v ''' - ?? = ? ?? 五、基本导数公式 ⑴()0 c'=⑵1 x x μμ μ- =⑶() sin cos x x '= ⑷() cos sin x x '=-⑸()2 tan sec x x '=⑹()2 cot csc x x '=- ⑺() sec sec tan x x x '=?⑻() csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾() 1 ln x x '=
比例 积分 微分
就是一种控制方式，通常叫做PID，在网上一搜一大堆， 比例（P）控制 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error）。 积分（I）控制 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（System with Steady-state Error）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。 但积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，为了使系统在进入稳态后无稳态误差，通常采用比例+积分(PI)控制器，微分（D）控制 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。 形象点：比例跟偏差成正比，决定响应速度；积分的作用是使系统稳定后没有静差（如：你要得到输出是10，积分就能使最后结果是10，静差为0也即没有静差）；微分的作用使输出快速的跟定输入，也就是说你输入偏差变大，我“立刻”变化是你变小，抑制你。 在控制领域，PID是一种经典的调节方法。在实际的过程控制与运动控制系统中，PID 家族占有相当的地位，据统计，工业控制的控制器中PID类控制器占有90%以上（K J ?str?m and T. H?gglund. PID Controllers: Theory,Design and Tuning. Instrument Society of America, 1995）。PID控制器是最早出现的控制器类型，因为其结构简单，各个控制器参数有着明显的物理意义，调整方便，所以这类控制器很受工程技术人员的喜爱。 更专业的只是你就要查看自动化的专业课：自动控制原理，过程控制原理等。 在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。
大一微积分公式
有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=
PID(比例微分积分)
PID(比例微分积分)调节口诀 PID(比例微分积分)调节口诀（转贴） 1. PID常用口诀: 参数整定找最佳，从小到大顺序查，先是比例后积分，最后再把微分加，曲线振荡很频繁，比例度盘要放大，曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳，曲线偏离回复慢，积分时间往下降，曲线波动周期长，积分时间再加长，曲线振荡频率快，先把微分降下来，动差大来波动慢，微分时间应加长，理想曲线两个波，前高后低4比1， 2. 一看二调多分析，调节质量不会低 2.PID控制器参数的工程整定,各种调节系统中P.I.D参数经验数据以下可参照：温度T: P=20~60%,T=180~600s,D=3-180s压力P: P=30~70%,T=24~180s, 液位L: P=20~80%,T=60~300s, 流量L: P=40~100%,T=6~60s。 3.PID控制的原理和特点 在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID 调节。PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象﹐或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。 PID控制，实际中也有PI和PD控制。PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。 比例（P）控制 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error）。 积分控制 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（System with Steady-stat e Error）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。 微分控制 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性
微分积分公式全集
x 高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 二 _ 、 重要公式（1） sin x lim 1 1 (2) lim 1 x 匸 e (3) lim : a(a o) 1 x 0 x x 0 n (4) lim n n 1 (5) limarctan x — (6) lim arc tan x — n x 2 x 2 (7) limarccot x x 0 (8) lim arccot x x (9) lim e x 0 x (10) lim e x x (11) lim x x 1 x 0 三、 下列常用等价无穷小关系 (x 0) 四、 导数的四则运算法则 五、 基本导数公式 ⑴c 0 ⑵x ⑷ cosx sinx （5） tan x (7) secx secx tan x ⑻ cscx cscx cotx 1 x (3) sin x cosx 2 sec x ⑹ cot x 2 csc x ⑼e x ⑽ a x a x lna 1 (11) In x n n 1 j a o x a 1x a n i m - m 1 b o x b ^x 1 b m a 。 b o （系数不为0的情况） lim x 0 n m
1 1 (12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx xln a 1 (15) arcta nx 2 1 x arccot x (17) 1 (18) 1 2 「 x 六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2) cu cu n (3) u ax b ax (4) k c n u (k) 七、基本初等函数的 n 阶导数公式 (1) (2) ax e ax e x n ln a sin ax n . a sin ax cos ax n a cos ax ax b n i n a n! n 1 ax b In ax n ax b 八、 微分公式与微分运算法则 x 1dx (3) d sin x cosxdx cosx sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x csc 2 xdx
PID(比例积分微分)控制器
PID（比例积分微分）英文全称为Proportion Integration Differentiation，它是一个数学物理术语。 目前工业自动化水平已成为衡量各行各业现代化水平的一个重要标志。一个控制系统包括控制器、传感器、变送器、执行机构、输入输出接口。控制器的输出经过输出接口、执行机构，加到被控系统上；控制系统的被控量，经过传感器，变送器，通过输入接口送到控制器。不同的控制系统，其传感器、变送器、执行机构是不一样的。比如压力控制系统要采用压力传感器。电加热控制系统的传感器是温度传感器。有利用PID控制实现的压力、温度、流量、液位控制器，能实现PID控制功能的可编程控制器(PLC)，还有可实现PID控制的PC 系统等等。 在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型时，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合用PID控制技术。PID控制，实际中也有PI和PD控制。PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。 比例（P）控制: 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error）。 积分（I）控制: 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（System with Steady-state Error）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。微分（D）控制: 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。
微积分公式大全
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++， ， ， 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
(模电)比例求和积分微分电路
深圳大学实验报告 课程名称：模拟电路 实验名称：比例、求和、积分、微分电路 学院：信息工程学院 专业：班级： 07 组号：指导教师：吴迪 报告人：王逸晨学号： 2014130358 实验时间： 2015 年 10 月 2 日星期五 实验地点： N102 实验报告提交时间： 2015 年 10 月 16 日
一、实验目的 （1）掌握用集成运算放大电路组成的比例、求和电路的特点及性能； （2）掌握用运算放大器组成积分微分电路的方法； （3）学会上述电路的测试和分析方法。 二、实验仪器 （1）数字万用表； （2）双踪示波器； （3）信号发生器。 三、实验内容 1.电压跟随电路 实验电路图如下，按表1内容实验并测量记录。 表1 U i/V -2 -0.5 0 +0.5 1 U0/V R L=∞-2.005 -0.502 / 0.499 1.002 R L=5.1kΩ-2.003 -0.502 / 0.499 1.002
2.反相比例放大器 实验电路如图，U0=-RF*Ui/R1,按表2内容实验并测量记录。 表2 3.同相比例放大电路 实验电路如下所示，U0=(1+RF/R1)Ui,按表3实验测量并记录。 表3 直流输入电压U i /mV 30 100 300 1000 3000 输出电压 U 0 理论估算/V / -1.000 -3.000 -10 -30 实际值/V / -1.0211 -3.030 -9.916 -9.970 误差/mV / 21.1 30 84 20030
直流输入电压U i/mV 30 100 300 1000 3000 输出电压U0理论估算/V / 1.1 3.3 11 33 实际值/V / 1.090 3.301 11.095 11.340 误差/mV / 10 1 95 21660 4.反相求和放大电路 实验电路如图，U0=-RF(Ui1/R1+Ui2/R2),按表4内容进行实验测量。 表4 Ui1/V 0.3 -0.3 Ui2/V 0.2 0.2 U0/V -5.032 0.951 U0估/V -5.000 1.000
高等数学积分公式和微积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -
14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++
PID(比例-积分-微分)
自动控制原理实验报告 实验名称：线性系统的时域分析 实验时间：2013.12.25 实验地点： 实验学生（签名）： 实验设备验收人员（签名）： 实验成绩： 实验指导教师（签名）：————————————————————————————— 一、实验目的 1、认识各种电路元件，了解其功能，并能在电路板上连接电路图，分析电路的工作原理。 2、掌握线性系统的时域特性规律，观察比例微分环节、比例-积分-微分环节输出时域响应曲线，并测量相应参数。 3、熟悉自动控制原理实验装置，能够熟练运用LabACTn软件解决线性系统的时域输出响应。 二、实验原理及内容 1、微分环节 为了便于观察比例微分的阶跃响应曲线，本实验增加了一个小惯性环节，其模拟电路如图3-1-5所示。
图3-1-5 典型比例微分环节模拟电路 实际比例微分环节的传递函数：)11((S)(S)(S)S TS K U U G i O τ++== 微分时间常数：C R R R R R T )( 32 12 1++= 惯性时间常数：C R 3=τ 02 1R R R K += 额外定义如下参数： 3 3 21)//(R R R R K D += s K T D 06.0=?=τ 比例微分环节对幅值为A 的阶跃响应为：))(()(K t KT A t U A +=δ 2、PID （比例-积分-微分）环节 PID （比例-积分-微分）环节模拟电路如图3-1-6所示。 图3-1-6 PID （比例-积分-微分）环节模拟电路 典型PID 环节的传递函数： s T K s T K K s T s T K s U s U s G d p i p p d i p i O ++=++== )1 1()()()( 其中 232121)( C R R R R R T d ++=， 121)(C R R T i +=， 02 1 R R R K p +=。 惯性时间常数： 23C R =τ， τ?=D d K T ， 3 3 21)R //(R R R K D += 。 典型PID 环节对幅值为A 的阶跃响应为： ] )([)(0t T K t T K K A t U i p d p p + +?=δ