高中数学圆的方程专题复习
高中数学圆的方程典型题型归纳总结
类型一：巧用圆系求圆的过程
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：
⑴以为圆心的同心圆系方程
⑵过直线与圆的交点的圆系方程
⑶过两圆和圆的交点的圆系方程
此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程
例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。
分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：
，即
………………….①
依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则
，解之可得
又满足方程①，则故
例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为
，即
过直线与圆的交点的圆系方程为
，即
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心
必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。
解：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
即
??
?-==???=-+=-+4y 9
x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2
＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，
即l 恒过定点A （3，1）.
∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－
2
1
， ∴l 的方程为2x －y －5=0.
评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？
思考讨论
类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.
解：∵曲线24x y -=
表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是
22<≤-m 或22=m .
变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x=
2
1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________.
解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2
例6 圆9)3()3(2
2
=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2
2
=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324
311
34332
2
<=+-?+?=
d ．
∵m ∈R ，∴
得
如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又123=-=-d r ．
∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则14
3112
2
=++=
m d ，
∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即
06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．
设圆9)3()3(2
2
1=-+-y x O ：
的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34
36
34332
2
1=+-?+?=
d ，14
316
34332
2
2=+-?+?=
d ．
∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324
311
34332
2
<=+-?+?=d ．
∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 类型三：圆中的最值问题
例7：圆010442
2
=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆18)2()2(2
2=-+-y x 的圆心为（2，2），半径23=r ，∴圆心到直线的距离
r d >==
252
10，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
262)()(==--+r r d r d .
例8 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：
，),(y x P 为圆O 上的动点，求2
2y x d +=的最大、最小值． (2)已知圆1)2(2
2
2=++y x O ：
，),(y x P 为圆上任一点．求1
2
--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(2
2
=-+-y x ．
可设圆的参数方程为?
??+=+=,sin 4,
cos 3θθy x （θ是参数）．
则θθθθ2
2
2
2
sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d
)cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中3
4
tan =
φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ．
(法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离'
1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离'
1d 减去半径1．
所以6143221=++=d ．
4143222=-+=d ．
所以36max =d ．16min =d ．
(2) (法1)由1)2(2
2
=++y x 得圆的参数方程：?
??=+-=,sin ,
cos 2θθy x θ是参数．
则
3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3
cos 2
sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ
1)sin(1322
≤-=+-?
φθt t 4
3
3433+≤≤-?
t ． 所以4
33max +=
t ，43
3min -=t ．
即
1
2
--x y
的最大值为433+，最小值为433-．
此时)cos(52sin 2cos 22φθθθ++-=-+-=-y x ． 所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--． (法2)设
k x y =--1
2
，则02=+--k y kx ．由于),(y x P 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值． 由11222
=++--=
k k k d ，得4
3
3±=
k ． 所以
1
2
--x y 的最大值为433+，最小值为433-．
令t y x =-2，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值．
由15
2=--=
m d ，得52±-=m ．
所以y x 2-的最大值为52+-，最小值为52--．
例9、已知对于圆1)1(2
2
=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．
设圆1)1(22
=-+y x 上任一点)sin 1,(cos θθ+P )2,0[πθ∈ ∴θcos =x ，θsin 1+=y ∵0≥++m y x 恒成立 ∴0sin 1cos ≥+++m θθ 即)sin cos 1(θθ++-≥m 恒成立．
∴只须m 不小于)sin cos 1(θθ++-的最大值． 设1)4
sin(21)cos (sin -+-=-+-=π
θθθu
∴12max -=u 即12-≥
m ．
说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆2
22)()(r b y a x =-+-上的点设为
)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运
用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．
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